盐城市、南京市2021届高三年级第一次模拟考试
数 学 试 题
(总分150分，考试时间120分钟)
注意事项：
1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．
3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．
第I卷（选择题 共60分）
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的)
1＋ai1．若 为实数，其中i为虚数单位，则实数a的值为
2－i
11
A．2 B．－ C． D． －2
22
2．已知函数y＝lg(－x2－x＋2)的定义域为集合M，函数y＝sinx的值域为N，则M∩N＝
A． B．(－2，1] C．[－1，1) D．[－1，1]
2x
3．函数f(x)＝在其定义域上的图象大致为
ln∣x∣
y y y y
O O
O O x x x x
A C B D
4．一次竞赛考试，老师让学生甲、乙、丙、丁预测他们的名次．学生甲说：丁第一；学生乙说：我不是第一；学生丙说：甲第一；学生丁说：甲第二．若有且仅有一名学生预测错误，则该学生是 A．甲
ππ
5．化简sin2(－α)－sin2(＋α)可得
63
ππππ
A．cos(2α＋) B．－sin(2α＋) C．cos(2α－) D．sin(2α－) 3636
高三数学试题第1页（共4页）
B．乙
C．丙
D．丁
53
6．某词汇研究机构为对某城市人们使用流行语的情况进行调查，随机抽取了200人进行调查统计得下方的2×2列联表．则根据列联表可知 年轻人 非年轻人 总计
25 150 经常用流行用语 125
15 50 不常用流行用语 35
160 40 200 总计
A． 有95%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系 B． 没有95%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系 C． 有97.5%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系 D． 有97.5%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”没有关系
n(ad－bc)2
2
参考公式：性检验统计量χ＝，其中n＝a＋b＋c＋d．
(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)
下面的临界值表供参考： P(χ2≥x0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 x0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
x2y2
7．设F1，F2分别为双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，圆F1与双曲线的渐近线相切，过
ab
F2与圆F1相切的直线与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线的两条渐近线所成的锐角的正切值为
84A． B．3 C． D．1
153
8．已知点A，B，C，D在球O的表面上，AB平面BCD，BCCD，若AB＝2，BC＝4，AC与平面
10
ABD所成角的正弦值为， 则球O表面上的动点P到平面ACD距离的最大值为
5
A．2 B． 3 C． 4 D． 5
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分) 9. 下列关于向量a，b，c的运算，一定成立的有
A．(a＋b)c＝ac＋bc B．(ab)c＝a(bc) C．ab≤∣a∣∣b∣ D．∣a－b∣≤∣a∣＋∣b∣
10．下列选项中，关于x的不等式ax2＋(a－1)x－2＞0有实数解的充分不必要条件的有
A．a＝0 B．a≥－3＋22 C．a＞0 D．a≤－3－22
11．已知函数f(x)＝log2(1＋4x)－x，则下列说法正确的是
A．函数f(x)是偶函数 B．函数f(x)是奇函数
C．函数f(x)在(－∞，0]上为增函数 D．函数f(x)的值域为[1，＋∞)
12．回文数是一类特殊的正整数，这类数从左到右的数字排列与从右到左的数字排列完全相同，如
－
1221，15351等都是回文数．若正整数i与n满足2≤i≤n且n≥4，在[10i1，10i－1]上任取一个正整数取得回文数的概率记为Pi，在[10，10n－1]上任取一个正整数取得回文数的概率记为Qn，则
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A．Pi＜Pi＋1(2≤i≤n－1) 1n
C．Qn＞∑P
n－1i=2i
1n
B．Qn＜∑P
n－1i=2iD．∑Pi＜1
i=2n
第II卷（非选择题 共90分）
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．若函数f(x)＝sin(2x＋)为偶函数，则的一个值为 ．(写出一个即可)
14． (1＋2x)100 的展开式中有理项的个数为___________.
15．在平面直角坐标系xOy中，设抛物线y2＝2p1x与x2＝2p2y在第一象限的交点为A，若OA的斜
p2
率为2，则＝________.
p1
16．罗默、伯努利家族、莱布尼兹等大数学家都先后研究过星形线C：x＋y＝1的性质，其形美观，常用于超轻材料的设计.曲线C围成的图形的面积S 2（选填“>”、“<”、“＝”），曲线C上的动点到原点的距离的取值范围是 ．(第一空2分，第二空3分)
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)
设正项数列{an}的前n项和为Sn，2Sn＝an2＋an． （1）求数列{an}的通项公式；
n11
（2）求证：∑22 ＜．
i=1ai＋ai＋1－12
18．(本小题满分12分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝B＋3C． （1）求sinC的取值范围； （2）若c＝6b，求sinC的值.
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23
23
3
19．(本小题满分12分)
如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABEF为正方形，平面ABEF平面CDFE，CD∥EF，DFEF，EF＝2CD＝2．
C D （1）若DF＝2，求二面角A－CE－F的正弦值；
（2）若平面ACF平面BCE，求DF的长．
E F
A B （第19题图）
20.(本小题满分12分)
某市为创建全国文明城市，市文明办举办了一次文明知识网络竞赛，全市市民均有且只有一次参赛机会，满分为100分，得分大于等于80分的为优秀．竞赛结束后，随机抽取了参赛中100人的得分为样本，统计得到样本平均数为71，方差为81．假设该市有10万人参加了该竞赛活动，得分Z服从正态分布N(71，81)．
（1）估计该市这次竞赛活动得分优秀者的人数是多少万人？
（2）该市文明办为调动市民参加竞赛的积极性，制定了如下奖励方案：所有参加竞赛活动者，
均可参加“抽奖赢电话费”活动，竞赛得分优秀者可抽奖两次，其余参加者抽奖一次．抽奖者点击抽奖按钮，即随机产生一个两位数(10，11，…，99)，若产生的两位数的数字相同，则可奖励40元电话费，否则奖励10元电话费．假设参加竞赛活动的所有人均参加了抽奖活动，估计这次活动奖励的电话费总额为多少万元？ 参考数据：若Z~N(，2)，则P(－＜Z＜＋)≈0.68．
21.(本小题满分12分)
x22
设F为椭圆C：＋y＝1 的右焦点，过点(2，0)的直线与椭圆C交于A，B两点．
2
（1）若点B为椭圆C的上顶点，求直线AF的方程；
k1
（2）设直线AF，BF的斜率分别为k1，k2(k2≠0)，求证：为定值．
k2
y
B
A
x O F
22. (本小题满分12分)
－（第21题图）
设函数f(x)＝ax＋ex(a＞1)． （1）求证：f(x)有极值点；
（2）设f(x)的极值点为x0，若对任意正整数a都有x0∈(m，n)，其中m，n∈Z，
求n－m的最小值．
高三数学试题第4页（共4页）
