2019北京丰台区高三一数学(理)试题及答案

数 学（理）

2019. 03

（本试卷满分共150分，考试时间120分钟）

注意事项：

1. 答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。

2. 本次考试所有答题均在答题卡上完成。选择题必须使用2B铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。

3. 请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上答题无效。

4. 请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破损。

第一部分 （选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．复数z1的共轭复数是 1i（A）

11i 22（B）

11i 22 （C）1i （D）1i

22．已知集合A{2,3,1}，集合B{3,m}．若BA，则实数m的取值集合为

（A）{1}

（B）{3}

（C）{1,1}

（D）{3,3}

3．设命题p：x(0,),lnx≤x1，则p为 （A）x(0,),lnxx1 （C）x(0,),lnxx1

（B）x0(0,),lnx0≤x01 （D）x0(0,),lnx0x01

4．执行如图所示的程序框图，如果输入的a1，输出的S15，那么判断框内的条件可以为

1 / 11

（A）k6 （B）k≤6 （C）k6 （D）k7

开始输入ak=1, S=0否是S=S+ak2a=-a输出S结束5．下列函数中，同时满足：①图象关于y轴对称；②x1,x2(0,)(x1x2)，

f(x2)f(x1)0的是

x2x1k=k+1（A）f(x)x1

（B）f(x)log2|x| （D）f(x)2x1

（C）f(x)cosx

6．已知和是两个不同平面，命题正确的是 （A）l与l1,l2都不相交

l，l1,l2是与l不同的两条直线，且l1，l2，l1∥l2，那么下列

（B）l与l1,l2都相交

（D）l至少与l1,l2中的一条相交

（C）l恰与l1,l2中的一条相交

x2y2x27．已知F1,F2为椭圆M：21和双曲线N：2y21的公共焦点，P为它们的一个公共点，且PF1F1F2，

m2n那么椭圆M和双曲线N的离心率之积为

（A）2 （B）1 （C）

2 2 （D）

1 28．在平面直角坐标系中，如果一个多边形的顶点全是格点（横纵坐标都是整数），那么称该多边形为格点多边形．若△ABC是格点三角形，其中A(0,0),B(4,0)，且面积为8，则该三角形边界上的格点个数不可能为 （A）6

（B）8

（C）10

（D）12

第二部分 （非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

3)，b(2,m)，且a∥b，那么m____． 9．已知平面向量a(1， 2 / 11

10．从4名男生、2名女生中选派3人参加社区服务．如果要求恰有1名女生，那么不同的选派方案种数为____．

x2cos,ykx111．直线与圆（为参数）相交于M,N两点．若|MN|23，则k____．

y32sin12．若△ABC的面积为23，且A，则ABAC____． 313．已知函数f(x)cos(2x)(0)． 2①函数f(x)的最小正周期为____；

4②若函数f(x)在区间[,]上有且只有三个零点，则的值是____．

333an1,an为奇数，14．已知数列an对任意的nN*，都有anN*，且an1an

,a为偶数.n2①当a18时，a2019____；

②若存在mN*，当nm且an为奇数时，an恒为常数p，则p____． 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 15．（本小题13分）

已知函数f(x)cos(2x)2sin2xa(aR)，且f()0. （Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）若f(x)在区间[0,m]上是单调函数，求m的最大值.

16．（本小题13分）

随着经济全球化、信息化的发展，企业之间的竞争从资源的争夺转向人才的竞争．吸引、留住培养和用好人才成为人力资源管理的战略目标和紧迫任务．在此背景下，某信息网站在15个城市中对刚毕业的大学生的月平均收入薪资和月平均期望薪资做了调查，数据如下图所示．

33 3 / 11

（Ⅰ）若某大学毕业生从这15座城市中随机选择一座城市就业，求该生选中月平均收入薪资高于8500元的城市的概率；

（Ⅱ）现有2名大学毕业生在这15座城市中各随机选择一座城市就业，且2人的选择相互．记X为选中月平均收入薪资高于8500元的城市的人数，求X的分布列和数学期望E(X)；

22（Ⅲ）记图中月平均收入薪资对应数据的方差为s12，月平均期望薪资对应数据的方差为s2，判断s12与s2的

大小．（只需写出结论）

17．（本小题14分）

如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，ABBC，平面ABCD平面

ABB1A1，BAA160，AB=AA12BC=2CD2．

（Ⅰ）求证：BCAA1；

（Ⅱ）求二面角DAA1B的余弦值；

DM（Ⅲ）在线段DB1上是否存在点M，使得CM∥平面DAA1？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

DB1C1CD1DBA1AMB1

4 / 11

18．（本小题13分）

已知函数f(x)(x2)exax3ax2. （Ⅰ）当a0时，求函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）当a≤e时，求证：x1是函数f(x)的极小值点.

19．（本小题14分）

已知抛物线C:y22px过点M(2,2)，A,B是抛物线C上不同两点，且AB∥OM（其中O是坐标原点），直线AO与BM交于点P，线段AB的中点为Q. （Ⅰ）求抛物线C的准线方程； （Ⅱ）求证：直线PQ与x轴平行.

20．（本小题13分）

设nN*且n≥2，集合Sn{(x1,x2,（Ⅰ）写出集合S2中的所有元素； （Ⅱ）设(a1,a2,1312,xn)|x1|1,|xi1|2|xi|(i1,2,,n1)}.

,an)，(b1,b2,,bn)Sn，证明：“aibi”的充要条件

i1i1nn是“aibi(i1,2,3,,n)”；

n（Ⅲ）设集合Tn{xi|(x1,x2,i1,xn)Sn}，求Tn中所有正数之和.

（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）

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数学试题答案

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

题号 答案 1 A 2 C 3 D 4 A 5 B 6 A 7 B 8 C 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。有两空的小题，第一空3分，第二空2分） 9．6 10．12 11． 3 12．4 13．；三、解答题（共6小题，共80分） 15.（共13分）

解：（Ⅰ）f(x)cos(2x)2sin2xa

 14．2；1 6313cos2xsin2xcos2x1a 2233cos2xsin2x1a 223(31cos2xsin2x)1a 223sin(2x)1a.

3因为 f()0, 所以 a1.

3ππ（Ⅱ）解法1：因为 函数ysinx的增区间为[2kπ,2kπ],kZ.

22πππ由2kπ≤2x≤2kπ，kZ，

232所以 kπ5ππ≤x≤kπ，kZ. 12125ππ,kπ]，kZ. 1212所以 函数f(x)的单调递增区间为[kπ因为 函数f(x)在[0,m]上是单调函数，

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所以 m的最大值为

. 12解法2：因为x[0,m]，

ππ所以≤2x≤2m.

333ππ因为 [,]是函数ysinx的增区间，

22所以 2m所以 m≤π≤. 32π. 12. 12所以 m的最大值为

16．（共13分）

解：（Ⅰ）设该生选中月平均收入薪资高于8500元的城市为事件A.

因为 15座城市中月平均收入薪资高于8500元的有6个， 所以 P(A)2. 523，低于8500元的概率为， 55（Ⅱ）由（Ⅰ）知选中平均薪资高于8500元的城市的概率为

所以X~B(2,).

2539P(X0)()2；

52523121P(X1)C2；

5525242P(X2)C2()2.

525所以随机变量X的分布列为：

P 0 1 2 X 所以X的数学期望为E(X)2（Ⅲ）s12s22 . 17.（共14分）

9 2512 254 2524. 55 7 / 11

解：（Ⅰ）因为 平面ABCD平面ABB1A1，平面ABCD平面ABB1A1AB，ABBC，

BC平面ABCD，

所以 BC平面ABB1A1. 因为 AA1平面ABB1A1， 所以 BCAA1.

（Ⅱ）取A1B1的中点N，连结BN.

平行四边形ABB1A1中ABAA1，BAA160.易证BNA1B1. 由（Ⅰ）知BC平面ABB1A1.

故以为B原点，BA，BN，BC所在直线为坐标轴， 建立如图所示空间直角坐标系Bxyz. 依题意，A(2,0,0),A1(1,3,0),D(1,0,1)， 设平面DAA1的一个法向量为n(x,y,z) 则AA1(1，3，）,0，AD(1,0,1)

则nAA10， 即x3y0nAD0xz0，

令y=1，得n=(3,1,3)．

易知平面ABB1A1的一个法向量为m=(0,0,1)， 设二面角DAA1B的平面角为α，可知为锐角， 则coscosn,mnm3nm313217，

即二面角DAA1B的余弦值为

217． （Ⅲ）解：设DMDB1，[0,1]，M(x,y,z)．

因为D(1,0,1)，B1(1,3,0)，C(0,0,1)， 所以DB1(2,3,1),DM(x1,y,z1) 所以x12,y3,z1.

M(12,3,1) CM(12,3,)

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zC1CD1DMB1BNyAA1x因为CM∥平面DAA1 所以CMn=0

即3(12)330，所以λ=1． 2DM1． DB12所以存在点M，使得CM∥平面DAA1，此时

18.（共13分）

x解：（Ⅰ）因为a0，xR所以f(x)(x2)e，

故f(x)(x1)ex，

令f(x)0，得x1，所以单调递增区间为(1,)； 令f(x)0，得x1，所以单调递区间为(,1)．

x（Ⅱ）由题可得f(x)(x1)(eax).

① 当a≤0时，对任意x(0,+)，都有exax0恒成立， 所以当0x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0. 所以函数f(x)在x1处取得极小值，符合题意.

x② 当0a≤e时，设g(x)=eax，依然取x(0,+).

x则g(x)=ea，令g(x)=0，得x=lna，

所以g(x)在(0,lna)上单调递减，在区间(lna,)上单调递增， 所以g(x)ming(lna)a(1lna).

因为0a≤e，所以g(x)mina(1lna)≥0（当且仅当a=e时，等号成立，此时x1）. 所以对任意x(0,1)(1,)，都有exax0恒成立. 所以当0x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0. 所以函数f(x)在x1处取得极小值，符合题意.

综上①②可知：当a≤e时x1是函数f(x)的极小值点.

19．（共14分）

2解：（Ⅰ）由题意得2=4p ，解得p1．

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所以抛物线C的准线方程为x2y12y2 （Ⅱ）设A,y1,B,y2，

22p1 ． 22 由AB∥OM得kABkOM1，则

y2y121，所以y2y12． 22y2y1y2y122所以线段AB中点Q的为纵坐标yQ1．

直线AO方程为yy12xx┅① 2y1y12y222x2x2┅② 2y2y2222直线BM方程为y2yx1联立①②解得2 ，即点P的为纵坐标yP1．

y1如果直线BM斜率不存在，结论也显然成立． 所以直线PQ与x轴平行．

20．（共13分）

解：（Ⅰ）因为|x1|1，所以|x2|2，

所以S2中的元素有(1,2),(1,2),(1,2),(1,2). （Ⅱ）先证充分性

因为对于任意的i{1,2,3,再证必要性

因为|x1|1,|xi1|2|xi|，所以数列{|xi|}是以1为首项，2为公比的等比数列，所以|xi|2i1． 假设存在j{2,3,,n}，都有aibi，所以aibi．

i1i1nn,n}，使得|aj||bj|．

所以ajbj或ajbj．

若ajbj，不妨设aj0，则bj0，

12j1因为|a1||b1|1，xi≤|xi|2j-11|xj|2j1．

12i1i1j1j1所以

ai1ji0，bi0，这与aibi矛盾．

i1i1i1jjj 10 / 11

所以ajbj．

当j2时，必有a1b1． 所以 对于任意i{1,2,3,nn,n}，都有aibi．

综上所述， “aibi”的充要条件是“aibi(i1,2,3,i1i1,n)” ．

12n1（Ⅲ）因为 xi≤|xi|2n-11|xn|2n1，

12i1i1n1n1所以 xi为正数，当且仅当xn0．

i1nk1因为 对于任意的正整数kn，xk2k1或2，所以集合Tn中，元素为正数的个数为

11C2C2n1个1C22n1，

所以 所有的正数元素的和为2n1xn2n12n14n1.

（若用其他方法解题，请酌情给分）

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