《因数与倍数》教材剖析
“因数与倍数 ”这一单元的知识是学生学习数学不行或缺的基础。以前，学生已经学习了必定的整数知识，如整数的认识、整数的四则混淆运算及其应用。 本单元将进一步认识整数的性质， 主要学习内容包含：因数与倍数， 2、5 和 3 的倍数的特点，质数与合数。因数、倍数、质数、合数等观点以及最大公因数、最小公倍数等内容都是初等数论的基础知识。数学向来被誉为 “科学的皇后 ”，而数论更被誉为“数学的皇后 ”。单元的知识作为数论知识的基础，是小学数学教材中的重要内容。一方面，学习分数，特别是学习约分、通分，需要以因数、倍数的观点为基础，进一步掌握公因数、最大公因数和公倍数、
最小公倍数的观点，需以质数、合数的观点为基础，同时掌握 2、5
和 3 的倍数的特点。另一方面，学习了本单元的知识，能使学生加深对整数与整数除法的认识， 加之这些知识比较抽象， 并且观点间的联系特别密切，所以也有助于发展学生的数学思想。
一、与实验教材 (《义务教育课程标准实验教科书数学五年级》 ，下同 )的主要差别
1.与实验教材对比，订正后的教材不再出现整除的观点，因数和
倍数的观点由整数除法算式引出， 而不是乘法， 这样便于学生感知因 数与倍数的实质内涵， 意会这两个观点不是针对整数乘法， 而是反应 整数除法中余数为 0 的状况，为后边找一个数的因数和倍数做准备。
2.与实验教材对比，订正后的教材更为明确了因数与倍数的相互
依存的关系。
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3.与实验教材对比，在学习 2、5、3 的倍数的特点时，订正后的教材均采纳了百数表， 这样使学生的研究学习更为开放， 有益于提升学生学习的能力和发展学生的创建性思想。
4.与实验教材对比，订正后的教材增添了两数之和的奇偶性的探
讨，让学生在研究过程中获取数学活动的经验，
丰富解决问题的策略。
二、教材例题剖析
(一)因数和倍数
例 1：因数和倍数的观点
例 1 教材给出 9 个除法算式，让学生试着分类 ;接着出示以 “商是整数且没有余数 ”为分类标准分红两类的一种结果。在此基础上由第一类中的整数除法，引出因数和倍数的观点，并举例说明。
从详细的整数除法等式到抽象的数学观点，再由抽象的观点回到
详细，举例说明观点。这样的思想变换过程有益于学生认知观点，确实掌握观点。经过让学生说一说第一类中每个算式，谁是谁的因数，
谁是谁的倍数，进一步领会 “因数和倍数是相互依存的 ”。
在例 1 的最后，教材指出了本单元中的数的研究范围是大于
自然数。
0 的
例 2：一个数的因数的求法
例 2 直接提出问题：“18的因数有哪几个 ?”指引学生利用因数的观点从小到大挨次写出， 而后再用会合图表示出一个数的所有因数， 为后边用交集图表示两个数的公因数打下基础， 并使学生初步领会一个数的因数个数是有限的。
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例 3：一个数的倍数的求法
例 3 教材直接提出问题： “2的倍数有哪些 ?”因为被除数相当于积，所以求 2 的倍数可将 2 和随意非零自然数相乘获取。 学生在列乘法算式时就会发现这样的算式是列不完的，所以， 2 的倍数的个数是无穷的。接着也用会合图表示出 2 的倍数，为后边学习交集图表示两个数的公倍数确立基础。
最后指引学生抽象归纳出一个数的最小、最大因数和最小倍数分
别是什么，总结出一个数的因数、倍数的个数的结论，在此中浸透从
个别到全体、从详细到一般的抽象归纳思想方法。
(二)2、5、3 的倍数的特点
例 1：2、5 的倍数的特点
例 1 教材采纳了百数表，让学生画圈、画框、察看、发现、总结。比方，将 5 的倍数圈起来， 学生立刻就能发现 5 的倍数都集中在两列上，特点也特别显然，一列个位都是 5，另一列个位都是 0，所以学生能顺利的归纳出 5 的倍数的特点。相同道理，将 2 的倍数框起来，也能够显而易看法发现其特点。
为了便于学生总结自己的发现，教材以学生对话的形式，给出
2 倍数的特点的不完好描绘，让学生把特点填写完好。在总结了
5、 2 的
倍数的特点的基础上， 教材引出了偶数、 奇数的观点。达成了做一做，学生能够归纳出既是 2 的倍数也是 5 的倍数的数的特点。
例 2：3 的倍数的特点
例 2 教材仍采纳百数表，让学生先圈数，再依据提示，察看、思
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考，回答下列问题，获取新的发现。
3 的倍数的特点比较隐蔽，且简单受
2 和 5 倍数特点的察看定式、思想定式的影响。为了尽量防止已学知
识对新知识学习的负迁徙，教材第 (2)条指导语，提出两个问题，启
发学生清除只看到个位的定式，而后经过第
(3)条指导语，提示变换
察看的角度。
两个女孩的对话，说出了研究过程中思想变换的要点内容。小精
灵的提示，指引学生进一步考证规律。
(三)质数和合数
质数和合数的观点
教材第一让学生找出
1—20 各数的所有因数，而后依据每个数的
因数的个数进行分类。在此基础上给出质数、合数的观点。同时指出 1 既不是质数，也不是合数。在小学阶段学生能够理解为 1 只有一个
因数，质数有两个因数，合数有三个及多因数。
例 1：找出 100 之内所有的质数
例 1 教材又采纳了百数表，让学生找出
100 之内的所有质数。通
过学生的对话， 介绍了两种操作方法。 此中挨次划去每个质数自己以外的所有倍数的方法，叫做 “筛法 ”，它是数论中有着宽泛应用的一个初等方法。
因为小学用到的质数比较少，所以教材中只需修业生找出
100 以
内的所有质数。这些质数不用要修业生都背熟，可是熟习 20 之内的质数仍是必需的。
例 2：研究两数之和的奇偶性
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例 2 是以研究两数之和的奇偶性为例，让学生在研究过程中获取数学活动的经验，丰富解决问题的策略。
“师”之观点，大概是从先秦期间的 “师长、师傅、先生 ”而来。此中 “师傅”更早则意指春秋时国君的老师。 《说文解字》中有注曰： “师教人以道者之称也 ”。“师”之含义，此刻泛指从事教育工作或是教授知识技术也或是某方面有专长值得学习者。 “老师 ”的原意并不是由 “老”而形容“师”。“老”在旧语义中也是一种尊称，隐喻年长且学问渊博者。
“老”“师”连用最先见于《史记》，有 “荀卿最为老师 ”之说法。慢慢 “老师”之说也不再有年纪的，老小皆可合用。不过司马迁笔下的 “老师”自然不是今日意义上的 “教师 ”，其不过 “老”和“师”的复合构词， 所
表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称，虽能从其身上学以 “道”，但其不必定是知识的流传者。今日看来， “教师 ”的必需条件不但是拥有知识，更重于流传知识。
要练说，先练胆。 说话胆寒是少儿语言发展的阻碍。许多少儿当众说
话时显得胆寒： 有的结巴重复， 面红耳赤；有的声音极低， 自讲自听；有的低头不语，扯衣服，扭身子。总之，说话时外面表现不自然。我
抓住练胆这个要点，面向全体，倾向差生。一是和少儿成立和睦的语言沟通关系。每当和少儿发言时，我老是笑容相迎，声音和蔼，动作亲昵，除去少儿恐惧心理，让他能主动的、自由自在地和我谈话。二是着重培育少儿敢于当众说话的习惯。 或在讲堂教课中， 改变过去老师讲学生听的传统的教课模式， 撤消了先举手后发言的拘束， 多采纳自由议论和发言的形式， 给每个少儿许多的当众说话的时机， 培育幼
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儿爱说话敢说话的兴趣， 对一些说话有困难的少儿， 我老是仔细地耐
心地听，热忱地帮助和鼓舞他把话说完、说好，加强其说话的勇气和
把话说好的信心。三是要提明确的说话要求， 在说话训练中不停提升，
我要求每个少儿在说话时要仪态大方，口齿清楚，声音响亮，学会用
眼神。对说得好的少儿， 即便是某一方面， 我都抓住教育， 提出夸奖，并要其余少儿模拟。长久坚持，不停训练，少儿说话胆子也在不停提
高。
教材依据奇数、偶数相加的三种状况，提出了三个问题。 “阅读与理解 ”环节给出了三个问题的一种表征方式，即用算式表示。 “剖析与解答 ”环节提示了三种获取结论的方法，即举例、说理、图示。事实
上，这三种方法联合使用， 能够提升结论的靠谱性，加强学生对结论的理解和确信感。 “回首与反省 ”环节给出了用大数试一试的查验方法，并提出问题， 请学生思虑其余的考证方法。也就是启迪学生联系加减法的关系想到：假如 “奇数 +偶数 =奇数 ”是对的，那么必定有 “奇数—奇数 =偶数 ”“奇数 —偶数 =奇数 ”。这样既考证和的奇偶性，又获取了差的奇偶性的结论。 作为教师一定清楚， 举例考证实质上不过不完好归纳，不是证明。
本单元的教课要点是：因数和倍数的观点 ;2、5、3 的倍数的特点 ; 质数和合数的观点。教课难点是观点之间的联系和差别， 在成立观点、运用观点的过程中，逐渐发展数学的抽象能力与推理能力。
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