一元一次不等式复习[1]

一、知识点回顾

1、不等式的定义：

一般地，用符号“＜”、“≤”、“＞”、“≥”、“≠”连接的式子叫做不等式。 注意：⑪要弄清不等式和等式的区别：等式有等号，而不等式没有。

⑫常用的不等号有：＜、≤、＞、≥、≠。

例：判断下列哪些式子是不等式，哪些不是不等式。

①32；②2x1；③2x1；④svt；⑤2m8x3；⑥

124x；⑦3x8；⑧x5x22x3；⑨x240；⑩

2x30。

解：①②⑤⑦⑨⑩是不等式，其余不是；③是多项式，④⑧是等式，⑥是分式。 ⑬列不等式是数学化与符号化的过程，它与列方程类似，列不等式注意找到问题中不等关系的词，如： “正数(＞0)”， “负数（＜0）”， “非正数（≤0）”， “非负数（≥0）”， “超过(＞0)”， “不足（＜0）”， “至少（≥0）”， “至多（≤0）”， “不大于（≤0）”， “不小于（≥0）”

⑭除了⑬常见不等式所表示的基本语言与含义还有：

①若a－b＞0，则a大于b ；②若a－b＜0，则a小于b ；③若a－b≥0，则a不小于b ；④若a－b≤0，则a不大于b ；⑤若ab＞0或

aa0，则a、b同号；⑥若ab＜0或0，则a、b异号。 bb⑮不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换：a＜b可转换为b＞a，c≥d可转换为d≤c。

例：规定一种新的运算：ababab1，比如：2323231，请你比较：

34 43，34 43。（填不等号）

练习：1、用不等式表示：⑪a是正数： ；⑫x的平方是非负数： ； ⑬a不大于b： ；⑭x的3倍与－2的差是负数： ；

2

⑮长方形的长为x cm，宽为10cm，其面积不小于200cm： 。

2、试判断a23a7与3a2的大小。

3、如果ab0，b0，则a, b, a, b的从打到小的排序是： 。

2、不等式的基本性质：

有时，为了更好的理解新旧知识之间的异同，便以表格形式将二者进行比较。 等式的基本性质 两边同时加上（或减去）同一个代数式所得结果仍是等式。 两边同时乘以同一个数（或除以同一个不为0的数）所得结果 仍是等式。 比如：不等式axb的解集是x

不等式的基本性质 性质1：两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。 性质2：两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 性质3：两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 一般形式 若ab，则acbc 若ab，c0则acbc 若ab，c0则acbc b，一定会有a0。 a

练习： ⑪用最确切的不等号填空：

2

①若3＜x，则x 3；②若-2＜x，则0 x+2；③若－2a≥8，则a 4；④若x＞y，则m x m2 y。 ⑫关于x的一元一次方程4x-2m+1=5x-8的解是负数，则m的取值范围是 。 ⑬如果mn0，那么下列结论中错误的是（ ）

第 1 页 共 12 页 高州市石板一中 李森老师（整理）

A．m9n9 B. mn C.

11m

 D.1 nmn

3、不等式的解和不等式的解集的定义：

⑪能使不等式成立的未知数的值（一个或几个），叫做不等式的解。 ⑫一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。 注意：不等式的解集，包含两方面的含义：

⑪未知数取解集中的任何一个值时，不等式都成立。 ⑫未知数取解集外的任何一个值时，不等式都不成立。 ⑬求不等式的解集的过程叫做解不等式。

⑭不等式的解集可在数轴上直观表示。注意：用数轴表示不等式的解，应记住规律： 大于向右画，小于向左画，有等号(≤、≥)画实心点，无等号(＜、＞)画空心圈。

例如：不等式x＞5的解集可以用数轴上表示5的点的右边部分来表示，在数轴上表示5的点的位置上画空心圆圈，表示5不在这个解集内。

不等式x－5≤－1的解集x≤4可以用数轴上表示4的点及其左边部分来表示，在数轴上表示4的点的位置画实心圆点，表示4在这个解集内。 例1：求不等式中字母的取值（实质仍是解不等式）

关于不等式2xa2的解集如图所示，a的值是（ ） A、0 B、2 C、－2 D、－4

2a2a，因此1，解方程，得a0

22例2：不等式3x5＜3x的正整数解有( ) 【答案C】

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 练习：⑪解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来。

①x11； ②2x30

说明：移项，得，2x2a，则x⑫填空题：①大于0且小于π的整数是 ；②x4，则x的最小整数是 。

3⑬李强同学用若干根长度相等的火柴棒在桌面上首尾相接地摆三角形，其中三角形的一边用了3根火柴棒，另一边用了6根火柴棒，那么第三边最少用 根火柴棒，最多用 根火柴棒。 ⑭不等式x3的解集在数轴上表示为（ ）。 【答案B】 A. B． C． D． 0 1 2 3 0 1 0 1 2 3 0 1 2 3 2 3

4、一元一次不等式的定义和解法：

⑪不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫一元一次不等式。其标准形式：ax+b＜0或ax+b≤0，ax+b＞0或ax+b≥0(a≠0)．

⑫解一元一次不等式的一般步骤：

x13x1 例：解不等式：1

233x1)2(3x1)6 （不要漏乘哦！每一项都得乘） 解：去分母，得 （ 去括号，得 3x36x26 （注意符号，不要漏乘!）

移 项，得 3x6x632 （移项要变号） 合并同类项，得 3x7 （计算要正确） 系数化为1， 得 x7 （同除负，不等号方向要改变，分子分母别颠倒了） 3⑬根据实际问题列不等式并求解，主要有以下环节：

第 2 页 共 12 页 高州市石板一中 李森老师（整理）

①审题，找出不等关系；②设未知数；③列出不等式；④求出不等式的解集； ⑤找出符合题意的值；⑥作答。

练习：⑪解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来。

①32x53x12； ②2x3x152x

3423

⑫某商品原来的价格为6元/件，涨价x%后仍不高于9元/件，求x的最大值。

5、一元一次不等式与一次函数

⑪利用函数图象求解不等式，通过直接观察图象，得到不等式的解集，并用解不等式方法加以验证； ⑫借助于函数关系建立不等式，即先建立函数模型，再建立不等式模型。 ⑬解一元一次不等式与解一元一次方程的区别

①从表达含义来看：一元一次不等式表示的是不等关系，一元一次方程表示的是相等关系。 ②从解法来看：解法的5个步骤相同，但是“去分母”“系数化为1”时，如果不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数时，不等号方向改变。

③从解的情况来看：不等式有无数个解，而一元一次方程只有唯一解。 ⑭一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的互相转化作用

令一次函数y=kx+b(k≠0)中的y=0，即可得一元一次方程，将一元一次方程中的等号改为不等号，一元一次方程则转化为一元一次不等式

例：一次函数y3x12中，x为何值时，⑪y0，⑫y0，⑬y0。

解：y0，即3x120，有x4；y0，即3x120，有x4；y0，即3x120，有x4。 练习：⑪已知函数y11x3，y23x1，求当x为何值时，y1y2，y1y2，y1y2。 2

⑫甲现有存款600元，乙现有存款2000元，从本月起甲每月存500元，乙每月存200元。问几个月后甲的存款开始超过乙的存款额？

⑬某电视厂要印刷产品宣传材料。甲印刷厂提出每份材料手1元印刷费，另收1500元制版费；乙印刷厂提出每份材料收2.5元印刷费，不收制版费。假如你是电视机厂的厂长，选择哪家印刷厂较合算？

6、一元一次不等式组：

第 3 页 共 12 页 高州市石板一中 李森老师（整理）

⑪关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起就组成一个一元一次不等式组。

⑫一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。 ⑬一元一次不等式组的解法：先解出各个不等式的解集，然后再找出它们的公共部分。 可以利用数轴来找。

一元一次不等式组 解集 图示 语言表达 同大取大 同小取小 大小小大中间取 大大小小无解答 xa（ab） xbxa（ab） xbxa（ab） xbxa（ab） xbxb abxa abaxb ab 无解 ab 2x31， ① 例1：解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来．x1

2≥x. ②2解：解不等式①，得 x2

解不等式②，得x1

不等式组的解集为：1x2； 解集在数轴上表示为：

例2：求不等式组中字母的取值 已知不等式组，32x≥1无解，则a的取值范围是

xa0记住：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了！ 【（a1）别忘等号】

7、列不等式（组）解应用题的一般步骤：

①弄清题意和题中的数量关系，用字母表示未知数 ②找出能表示题目全部含义的一个（多个）不等关系。

③根据这个不等关系列出所需要的代数式，从而列出不等式（组） ④解这个不等式（组），求出解集 ⑤写出符合实际意义的解。

例1：将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每个小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分不到5个苹果。问有多少苹果多少小朋友？

解：设有x个小朋友，则苹果为（5x+12）个，依题意，得

05x128(x1)5

203x15。故5x化简有03x205,即：20， 3因为x取整数，所以x6, 5x1242，所以有6个小朋友，42个苹果。

【注意：只有x1个小朋友够8个苹果】

第 4 页 共 12 页 高州市石板一中 李森老师（整理）

例2：某工厂现有甲种原料280 kg，乙种原料190 kg，计划用这两种原料生产A、B两种产品50件，已知生产一件A产品需甲种原料7kg，乙种原料3kg，可获利400元；生产一件B产品需甲种原料3kg，乙种原料5kg，可获利350元；（1）请问工厂有哪几种生产方案？（2）选择哪种方案可获利最大，最大利润是多少？

分析：这种问题，列表更方便！ A x B 50x 甲种 280 kg 7x 乙种190 kg 3x 获利 400x 3（50x） 5（50x） 350（50x） 解：设生产A产品x件，则生产B产品（50x）件。

依题意，得7x3(50x)280 解得，30x32.5，

3x5(50x)190因x取正整数，所以x取30，31，32，

故有3种方案：①A30件，B20件；②A31件，B19件；③A32件，B18件； 设生产A、B两种产品总获利为y元，则y40x350(50x)50x17500

因为k500，所以y随x的增大而增大,当x=32时，y取得最大值，y19100 (元）练习：1、解下列不等式组

2x53(x2)x12x（1）x （2）x1x

32322

2、用若干辆载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆汽车装满8吨，则最后一辆汽车不满也不空。请问：有多少辆汽车？

3、一群女生住若干间宿舍，每间住4人，剩19人无房住；每房住6人，有一间住不满，则有宿舍多少间？学生有多少名？

二、常见题型

1、解不等式并在数轴上表示解集

例1：解不等式2x110x1并把它的解集在数轴上表示出来。 6分析：求一元一次不等式解集的步骤和解一元一次方程的步骤基本相同，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。

6(2x1)10x1 „„去分母

第 5 页 共 12 页 高州市石板一中 李森老师（整理）

12x610x1 „„去括号: 12x10x61 „„移项：

2x7 „„合并同类项：

7x „„系数化为1：

23.5说明：（1）解不等式时，常常出现和解方程类似的错误，如去分母漏乘，移项时没有改变该项的符号，这就要求我们在具体解题过程中，避免这些错误的产生，在系数化为1的时候，首先要看清系数的符号，从而确定不等号的方向改变与否。

（2）解不等式的步骤并不是一成不变的，如移项前能合并同类项，首先合并再移项。

2、求与不等式有关的特殊值

例2：求不等式53(x4)2(x1)的非负整数解

解： 去括号，得 53x122x2

移项，得 3x2x2512 合并同类项，得 5x15 系数化为1，得 x3

故，解集x3中的非负整数解是0，1，2，3

说明：求不等式的非负整数解，只要先求出不等式的解集，再按要求从解集中确定非负整数即可。解这类问题时，要注意解集的完整性，如解集x<3的非负整数解是0，1，2，解集x<3的正整数解是1，2

例3：已知关于x的方程

xm2x1m的解是非负数，求m的取值范围。 32分析：解决此类问题时要把不等式和方程联系起来，弄清题目要求，把两个知识点联系起来。由于方

程的解是非负数，因此本题考虑先求出方程的解，然后根据题设列出不等式，从而求出m的取值范围。

解：

xm2x1m 3234m解之得：x

434m3≥0，所以：m 44y2=-2x+5x54321y1=x+2(1,3)因为方程的解是非负数，则：

3、函数的大小比较

例4：已知y1x2，y212x5，当x取何值时，y1>y2？

解：法一：在同一直角坐标系中作出两函数的图象（如图），两直线x-3-2-11234的交点坐标为（1，3），故当x>1时，y1>y2。 -1法二：由x＋2>－2x＋5，得x>1。 ∴当x>1时，y1>y2。

说明：法一用函数的图象法解一元一次不等式，具有直观性；法二是直接解不等式法，比法一更准确。

4、求范围

例5、点A（m－4，1－2m）在第三象限，则m的取值范围是（ ）

A．m11 B．m4 C．m4 D．m4 22解：∵第三象限中点的横坐标和纵坐标都是负数

第 6 页 共 12 页 高州市石板一中 李森老师（整理）

m-401∴  解得：m4，所以选C。

21-2m0说明：在涉及求方程组、点的坐标、一次函数中的未知数的取值范围时，常将有关代数式化成一次函

数的形式，利用条件制约下形成的一元一次不等式（组）来解题。

例6：小强在劳动技术课中要制作一个周长为80cm的等腰三角形，请写出底边y（cm）与一腰长x（cm）的函数关系式，并求出自变量x的取值范围。

解：根据题意：y802x ∵x＋x＝2x>y ∴0解得：20x40 ∴y802x（20x40）

说明：求函数取值范围时，一种是使得函数式有意义，如分母不等于0，被开方数大于等于0等；另一种是符合实际情况。本题属于满足三角形两边之和大于第三边。

5、解不等式组

x9x5x2　　（1）62例7：解不等式组

x2522()　　（2）463分析：先分别求出不等式（1）和（2）的解集，再求出它们的公共部分，即可求得不等式组的解集。

解：由（1），解得x>－3 由（1），解得x<4

原不等式组的解集为－36、解连不等式

例8：解不等式3<

2•x1≤5 3解法1：把原不等式化为不等式组：

2x-1 3　　（1）3 

2x15　　（2）3由（1），解得x>5

由（2），解得x≤8

在数轴上，把不等式（1）、（2）的解集表示出来，如图所示。 因此，原不等式组的解集为52•x1≤5 3 ∴9<2x－1≤15 ∴10<2x≤16 ∴5第 7 页 共 12 页 高州市石板一中 李森老师（整理）

说明：方法一是将连不等式化成不等式组来解决的，解法二是直接运用不等式的基本性质来解决的。

7、方程组与不等式组综合 例9：已知关于x、y的方程组3xy2a的解满足x<1，y>1，求整数a的值。

2y3x分析：先由方程组求得x、y，然后由x<1，y>1求得整数a的值。

4a3x7解：由方程组，解得

y2a974a3157 根据题意得： ，解这个不等式组得 1a

22a917所以整数a的值是0，1，2

8、不等式(组)的实际应用

例10：七（２）班共有50名学生，老师安排每人制作一件A型或B型的陶艺品，学校现有甲种制作材料36kg，乙种制作材料29kg，制作A、B两种型号的陶艺品用料情况如下表： 1件A型陶艺品 1件B型陶艺品 需甲种材料 ０.9kg 0.4kg 需乙种材料 0.3kg 1kg （1）设制作B型陶艺品x件，求x的取值范围；

（2）请你根据学校现有材料，分别写出七（2）班制作A型和B型陶艺品的件数． 分析：（1）本题没有明显的不等关系的条件，因此很容易误认为是利用二元一次方程组来解。由于题目中并没有交代两种材料必须全部用完，因此只要所用的甲、乙不要超过库存量即可，这就是本题条件所隐含的两个不等关系，列出不等式组，根据不等式组即可求出x的取值范围。

（2）根据x的取值范围即可写出七（2）班制作A型和B型陶艺品的件数． 解：（1）由题意得：

0.9(50x)0.4x36①0.3(50x)x27②

由①得，x≥18，由②得，x≤20，

所以x的取值得范围是18≤x≤20（x为正整数） （2）制作A型和B型陶艺品的件数为：

①制作A型陶艺品32件，制作B型陶艺品18件； ②制作A型陶艺品31件，制作B型陶艺品19件； ③制作A型陶艺品30件，制作B型陶艺品20件；

说明：根据题意找出题目中的不等关系或隐含的不等关系，再根据相应的关系列出不等式（组）。通常不等关系的给出总是以“至少”、“没满”、“少于”、“不超过”、“怎么办可获得最大利润”等词语作为标志。而解出不等式之后，还要根据实际情境适当取舍，选出符合要求的答案。

第 8 页 共 12 页 高州市石板一中 李森老师（整理）

三、巩固练习

一、选择题：

1、下面列出的不等式中，正确的是 ( )

(A)a不是负数，可表示成a＞0 (B)x不大于3，可表示成x＜3

(C)m与4的差是负数，可表示成m-4＜0 (D)x与2的和是非负数，可表示成x+2＞0 2、下列不等式中一定成立的是 ( ) (A)4a＞3a (B)3-x＜4-x (C)-a＞-2a (D)

32 aa3、不等式5(x+1)-3x＞2x+3的解集为 ( ) (A)x＞-1 (B)x＞1 (C)无解 (D)一切实数

4、如果关于x的方程x+2m-3=3x+7的解为不大于2的非负数，那么 (A)m=6 (B)m等于5，6，7 (C)无解 (D)5≤m≤7 5、不等式14x-7(3x+8)＜4(2x-5)的负整数解是 ( )

(A)-3，-2，-1，0 (B)-4，-3，-2，-1 (C)-2，-1 (D)以上答案都不对 6、已知(a2)2|2a3bn|0中，b为正数，则n的取值范围是( ) (A)n＜2 (B)n＜3 (C)n＜4 (D)n＜5

7、如果0＜x＜1，则下列不等式成立的是（ ） A、x＞

2

1111222

＞x B、＞x＞x C、x＞＞x D、＞x＞x xxxx8、如图，天平右盘中每个砝码的重量都是1g，图中显示出某药品A重量

的范围是（ ）

A、大于2g；B、小于3g；C、大于2g且小于3g；D、大于2g或小于3g

xm9、若不等式组无解，则m的取值范围是( )

x11A.m＜11 B.m＞11 C.m≤11 D.m≥11

10、函数y＝kx＋b（k、b为常数）的图象如图所示，则关于x的不等式 kx＋b＞0的解集是（ ）

（A）x＞0 （B）x＜0 （C）x＜2 （D）x＞2

二、填空题：

1、若方程kx+1=2x-1的解是正数，则k的取值范围是_________；已知三角形的两边为3和4，则第三边a的取值范围是_______。

2、若｜2a+3｜＞2a+3，则实数a的取值范围是_____________。

3、在下面横线上填上等号或不等号．设m＞n，那么m-5________n-5；-5m__________-5n；

mn_____________；mp____________np。 10104、有一个两位数，其个位数字比十位数字大2，已知这个两位数大于20而小于40，则这个两位数为______________．

5、已知0≤a≤15，且a≤x≤15，则当x_________时，式子｜x-a｜+｜x-15｜+｜x-a-15｜的值最小． 6、不等式9-3x≥2的非负整数解是 。2、当y 时，代数式2y-3的值不大于5y-3。

7、若代数式13x与x1代数式的差是负数，那么x的范围是 。

55第 9 页 共 12 页 高州市石板一中 李森老师（整理）

8、当x________时，代数式3x2的值是非正数。.当m________时，不等式(2－m)x＜8的解集为x58. 2m9、适合不等式2≤3x-7＜8的整数解是 。

10、某种商品进价150元，标价200元，但销量较小。为了促销，商场决定打折销售，若为了保证利润率不底于20%，那么至多打几折？如果设商场将该商品打x折，则可列出不等式为： 。

三、解答题： 1、已知6≤m≤12，

2、a取什么值时，关于x的方程

3、 当x分别为何值时，代数式

mn3m．求m+n的取值范围 3xa2a12x1的解大于1 421(3x)的值， 2(1)不小于1； (2)为正数．

4、当x取何值时，代数式4

5、当k取何值时，方程

6、求不等式

7、若不等式(2x+1)-5<3(x-1)+4的最小整数解是方程

x2x12x1的值， (1)小于的值； (2)不小于的值。 3662x3k5(xk)1的解是正数 33x292xx1的非负整数解 3421xax5的解，求代数式a22a11的值 3

8、3xa的整数解为1、2、3、4，求a的取值范围。

第 10 页 共 12 页 高州市石板一中 李森老师（整理）

9、已知方程x+2m-3=3x+7的解不小于2且不大于10，求m的取值范围

10、求不等式｜2x-1｜≤3的解集

11、解下列不等式（组）： ⑪、1

xx213xx1； ⑫、51；

32423x1x26(x3)2x3⑬、； ⑭、2

5(x1)64(x1)3(2x)0

x312、如果x，y满足不等式组xy0，那么你能画出点(x，y)所在的平面区域吗?

xy50

13、将若干个练习本分给若干个学生，如果每人分4本，那么还余20本；如果每人分8本，那么最后有一个学生分到的不足8本，求学生人数和练习本个数。

14、某校校长暑假将带领该校“市级三好学生”去三峡旅游。甲旅行社说：如果校长买全票一张，则其余学生可以享受半价优惠；乙旅行社说：包括校长在内全部按全票的6折优惠。已知两家旅行社的全票价都是240元，请你就学生数说明哪家旅行社更优惠。

第 11 页 共 12 页 高州市石板一中 李森老师（整理）

15、某自行车保管站在某个星期日接受保管的自行车共有3500辆次，其中变速车保管费是每辆0.5元，一般车保管费是每辆0．3元．

(1)若设一般车停放的辆次数为x，总的保管费收入为y元，试写出y与x的关系式．

(2)若估计前来停放的3500辆自行车中，变速车的辆次不小于25%，但不大于40%，试求该保管站这个星期日收入保管费总数的范围．

16、将若干只鸡放在若干个笼里,若每个笼里放4只鸡,则剩下一只鸡无笼可放;若每个笼里放5只鸡,则有一笼无鸡可放.那么至少有几只鸡?多少个笼? 17、火车站有某公司待运的甲种货物1530吨,乙种货物1150吨,现计划用50节A、B两 种型号的车厢将这批货物运至北京，已知每节A型货厢的运费是0.5万元,每节B节货厢的运费是0.8万元;甲种货物35吨和乙种货物15吨可装满一节A型货厢,甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节B型货厢,按此要求安排A、B两种货厢的节数,共有哪几种方案?请你设计出来;并说明哪种方案的运费最少?

18、⑪已知方程x+2m-3=3x+7的解不小于2且不大于10，那么m的范围是 。 ⑫不等式组x2m1的解集是x＜m－2，则m的取值应为 。

xm2⑬已知方程组xy5k1的解满足x小于11，y大于7的条件，求k的正整数值。

3x2y7

⑭已知函数y=3x+12的图象，回答下列问题：

①当x为什么值时，y＞0？②如果这个函数y的值满足－6≤y≤6，求相应的x的取值范围.

第 12 页 共 12 页 高州市石板一中 李森老师（整理）