《圆的基本性质》的知识点及典型例题(1)

知识框图

圆、圆心、半径、直径 弧、弦、弦心距、等弧 弧可分为劣弧、半圆、优弧 概 念 在同圆或等圆中，能够重合的两条弧叫等弧 圆心角、圆周角 三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形 点和圆的位置关系 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等

不在同一直线上的三点确定一个圆 圆的轴对称性 圆的基本性质 垂径定理及其2个逆定理 圆的中心对称性和旋转不变性 圆圆心角定理及逆定理 圆心角定理及逆定理都是根据圆的旋转不变性推出来的 圆周角定理及2个推论

求半径、弦长、弦心距

求圆心角、圆周角、弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积及表面积 圆的相关计算

求不规则阴影部分的面积

证明线段长度之间的数量关系；证明角度之间的数量关系

证明弧度之间的数量关系； 圆的相关证明

证明多边形的形状；证明两线垂直

1、过一点可作 个圆。过两点可作 个圆，以这两点之间的线段的 上任意一点为圆心即可。过三点可作 个圆。过四点可作 个圆. 2、垂径定理：垂直于弦的直径 ，并且平分 垂径定理的逆定理1：平分弦( ）的直径垂直于弦，并且平分 垂径定理的逆定理2：平分弧的直径

3、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 ，所对的 圆心角定理的逆定理:在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么 都相等。

注解：在由“弦相等，得出弧相等”或由“弦心距相等,得出弧相等\"时,这里的“弧相等”是指对应的劣弧与劣弧相等，优弧与优弧相等.在题目中，若让你求⌒，AB，那么所求的是弧长 4、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的

- 1 -

圆周角定理推论1：半圆（或直径)所对的圆周角是 ；90°的圆周角所对的弦是

圆周角定理推论2：在同圆或等圆中, 所对的圆周角相等；相等的圆周角所对 的也相等 5、拓展一下：圆内接四边形的对角之和为

6、弧长公式：在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为l=

7、扇形面积公式1：半径为R,圆心角为n°的扇形面积为 。这里面涉及3个变量： ，已知其中任意两个，都可以求出第3个变量。我们中需要记住一个公式即可。 扇形面积公式2：半径为R，弧长为l的扇形面积为

8、沿圆锥的母线把圆锥剪开并展平，可得圆锥的侧面展开图是一个 ，圆锥的侧面积等于这个扇形的面积,其半径等于圆锥的 ，弧长等于圆锥的 9、圆锥的侧面积： ；圆锥的全面积：

10、圆锥的母线长l,高h，底面圆半径r满足关系式

11、已知圆锥的底面圆半径r和母线长l,那么圆锥的侧面展开图的圆心角为 12、圆锥的侧面展开图的圆心角x的取值范围为

考点一、与圆相关的命题的说法正确的个数,绝大多数是选择题，也有少部分是填空题（填序号) 考点二、求旋转图形中某一点移动的距离，这就要利用弧长公式

考点三、求半径、弦长、弦心距,这就要利用勾股定理和垂径定理及逆定理 考点四、求圆心角、圆周角 考点五、求阴影部分的面积

考点六、证明线段、角度、弧度之间的数量关系;证明多边形的具体形状 考点七、利用不在同一直线上的三点确定一个圆的作图题 考点八、方案设计题，求最大扇形面积 考点九、将圆锥展开，求最近距离

练习

一、选择题

1、下列命题中:① 任意三点确定一个圆;②圆的两条平行弦所夹的弧相等;③ 任意一个三角形有且仅有一个外接圆；④ 平分弦的直径垂直于弦；⑤ 直径是圆中最长的弦，半径不是弦.正确的个数是（ ） A.2个 B.3个 C。4个 D.5个

2、如图,AB是半圆O的直径，点P从点O出发，沿OAABBO 的路径运动一周．设OP为s，运动时间为t,则下列图形能大致地刻画s与t之间关系的是（ ) A t A． B． C． D．

3、如图所示，在△ABC中，∠BAC=30°，AC=2a，BC=b，以AB所在直线为轴旋转一周得到一个几何体,则这个几何体的全面积是（ ）

A。 2πa B。 πab C. 3πa2+πab D. πa（2a+b) 4、如图，有一圆心角为120°,半径长为6cm的扇形，若将OA、OB重合后围成一圆锥侧面，那么圆锥的高是（ ）

t

- 2 -

P s s s s O

B O t O O t O A。 42cm B.

A35 C。 26 D。 23 第4题 C第3题

B5、如图所示，长方形ABCD中，以A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于E点。取BC的中点为F，过F作一

DE 于G点。求AGF=（ ） 直线与AB平行,且交 (A） 110 (B） 120 （C） 135 （D) 150 。

D

P

BA

C

第5题 第6题 第7题 第8题

6、如图，AB是⊙O的直径，AD=DE，AE与BD交于点C，则图中与∠BCE相等的角有（ ) A.2个 B.3个 C。4个 D.5个

7、如图，弧BD是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周， P为弧BD上任意一点，若AC=5,则四边形ACBP周长的最大值是( )

A． 15 B． 20 C．15+52 D．15+55 8、如图,已知⊙O的半径为5，点到弦的距离为3，则⊙O上到弦A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

所在直线的距离为2的点有（ ）

9、如图，C为⊙O直径AB上一动点，过点C的直线交⊙O于D、E两点，且∠ACD=45°，DF⊥AB于点F,EG⊥AB于点G,当点C在AB上运动时，设AF=x，DE=y，下列中图象中，能表示y与x的函数关系式的图象大致是

DAFCOGB

A B C D

E10、如图5，AB是⊙O的直径，且AB=10，弦MN的长为8,若弦MN的两端在圆上滑动时，始终与AB相交，记点A、B到MN的距离分别为h1，h2,则|h1－h2| 等于（ ）

- 3 -

A、5 B、6 C、7 D、8

11、如上图,Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=2，O、H分别为边AB、AC的中点，将△ABC绕点B顺时针旋转120°到△A1B1C1的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积（即阴影部分面积)为( ） A．

如图所示,若AB=4，AC=2,S1S2A。

77π3 38B．

47π3 38C．π

D．

4π3 3H

C

A1 O1

H1

，

A 12、（2013年温州中考题）在△ABC中，∠C为锐角,分别以AB，AC为直径作半圆，过点A，C作C1 O B，B

4，则S3S4的值是( )

2923115 B。 C。 D. 4444的外接圆，

，

，

为⊙O的直径，

，连结

，

二、填空题

1、如图，⊙O是等腰三角形则

2、如图，

，

．

CADEOB第1题

为⊙O的直径，点

第2题 在⊙O上，

第3题 ，则

．

第4题

3、如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，连结BD、BC. AB=5，AC=4,则BD= 4、如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为BC上一点，若∠CEA=28，则∠ABD=

°.

5、在半径为5cm的圆中，两条平行弦的长度分别为6cm和8cm，则这两条弦之间的距离为 6、在半径为1的⊙O中，弦AB、AC分别是3和2，则∠BAC的度数为__________________

7、如图，扇形OAB是圆锥的侧面展开图,若小正方形方格的边长为1cm,则这个圆锥的底面半径为

第7题 第9题 第8题

- 4 -

8、如图所示是小芳学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示意图，那么围成这个灯罩的铁皮的面积为 9、如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF长为10cm，母线OE(OF)长为10cm．在母线OF上的点A处有一块爆米花残渣,且FA=2cm，一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到A点，

A 则此蚂蚁爬行的最短距离 cm．

10、如图，AB是⊙O的直径，弦CD∥AB．若ABD65°,则ADC ．

1 D

D C

O C A B

第11题 O

2 E

（第10题） B 11、如图， AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC=30°,点P在线段OB上运动. 第12题设∠ACP=x，则x的取值范围是 12、、如图，AB是⊙O的直径，C、D、E是⊙O上的点，则12

13、以半圆O的一条弦BC（非直径）为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D.若AD=4，DB=6，那么AC的长为

14、如图,菱形ABCD中，AB=2，∠C=60°,菱形ABCD在直线l上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作，则经过36次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为

C

O

DAB

第13题 第14题 第15题

15、当汽车在雨天行驶时，为了看清楚道路，司机要启动前方挡风玻璃上的雨刷器。如图是某汽车的一个雨刷器的示意图，雨刷器杆AB与雨刷CD在B处固定连接（不能转动)，当杆AB绕A点转动90°时，雨刷CD扫过的面积是多少呢？小明仔细观察了雨刷器的转动情况，量得CD=80cm、∠DBA=20°，端点C、D与点A的距离分别为115cm、35cm．他经过认真思考只选用了其中的部分数据就求得了结果.也请你算一算雨刷CD扫过的面积为

2

cm（π取3.14)

三、解答题

1、如图所示，AB是⊙O的一条弦,OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上。 （1）若∠AOD=52°,求∠DEB的度数; （2)若OA=5，OC=3，求AB的长

- 5 -

2、如图,在一个横截面为Rt△ABC的物体中,∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=1米．工人师傅先将AB边放在地面(直线l）上.

（1）请直接写出AB,AC的长;

（2）工人师傅要把此物体搬到墙边（如图），先按顺时针方向绕点B翻转到△A1BC1位置（BC1在l上），最后沿BC1的方向平移到△A2B2C2的位置，其平移的距离为线段AC的长度（此时A2C2恰好靠在墙边），画出在搬动此物的整个过程A点所经过的路径，并求出该路径的长度。

(3）若没有墙，像（2)那样翻转，将△ABC按顺时针方向绕点B翻转到△A1BC1位置为第一次翻转,又将△A1BC1按顺时针方向绕点C1翻转到△A2B1C1（A2C1在l上）为第二次翻转,求两次翻转此物的整个过程点A经过路径的长度．

3、如图，要把破残的圆片复制完整,已知弧上的三点A、B、C。

（1）用尺规作图法，找出弧ABC所在圆的圆心O(保留作图痕迹，不写作法）； （2）设△ABC是等腰三角形，底边BC=8，AB=5，求圆片的半径R

4、如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC＝BC，D为⊙O中AB上一点，延长DA至点E，使CE＝CD. (1）求证：AE＝BD （2)若AC⊥BC，求证:AD+BD=2CD．

5、已知一个圆锥的高h=33，侧面展开图是半圆，求： （1）圆锥的母线长与底面半径之比；

（2）锥角的大小(锥角为过圆锥高的平面上两母线的夹角)； （3)圆锥的全面积．

6、如图,AB为⊙O的直径，CD为弦，且CD⊥AB，垂足为H （1）如果⊙O的半径为4，CD=43，求AC的长

- 6 -

⌒的中点，连接OE、CE,求证：CE平分∠OCD （2)若点E为为ADB

（3）在（1）的条件下，圆周上到直线AC的距离为3的点有多少个？并说明理由。

7、①、如下图所示，点P在⊙O外，过点P作两射线，分别与⊙O相交于点A、B、C、D，猜想AB的度数、CD的度数与∠P之间的数量关系，并进行证明。

②、当点P在圆内时，猜想AC的度数、BD的度数与∠APC之间的数量关系,并进行证明。 B BCP DO O A PCD A

图（1） 图（2）

文字叙述：顶点在圆外的角(两边与圆相交)的度数等于其所截两弧度数差的一半； 顶点在圆内的角（两边与圆相交）的度数等于其对顶角所截弧度数和的一半。

8、在一次科学探究实验中，小明将半径为5cm的圆形滤纸片按图1所示的步骤进行折叠,并围成圆锥形。 （1）取一漏斗，上部的圆锥形内壁（忽略漏斗管口处）的母线OB长为6cm,开口圆的直径为6cm。当滤纸片重叠部分为三层，且每层为1圆时,滤纸围成的圆锥形放入该漏斗中，能否紧贴此漏斗的内壁（忽略漏斗管口处），4请你用所学的数学知识说明； （2）假设有一特殊规格的漏斗，其母线长为6cm，开口圆的直径为7。2cm,现将同样大小的滤纸围成重叠部分为三层的圆锥形，放入此漏斗中，且能紧贴漏斗内壁．问重叠部分每层的面积为多少？ 1、如图，AD是⊙O的直径．

(1) 如图①，垂直于AD的两条弦B1C1，B2C2把圆周4等分,则∠B1的度数是 ,∠B2的度数是 ；

（2） 如图②，垂直于AD的三条弦B1C1，B2C2,B3C3把圆周6等分，分别求∠B1，∠B2，∠B3的度数;

（3） 如图③，垂直于AD的n条弦B1C1,B2C2，B3 C3,…，BnCn把圆周2n等分，请你用含n的代数式表示∠Bn的度数（只需直接写出答案）． A A A B1

B1 C1 C1 B2 B3 C2

B

O …… Cn-2

B1 C1 C2 C3 - 7 - B2 O O

2、如图9，在平面直角坐标系中,以点点，且其顶点在⊙C上． （1）求的大小； （2）写出两点的坐标； （3)试确定此抛物线的解析式; (4）在该抛物线上是否存在一点由．

，使线段

与

互相平分？若存在，求出点

的坐标；若不存在,请说明理

为圆心，2为半径作圆,交轴于

两点，开口向下的抛物线经过

- 8 -