2018年湖北省襄阳市中考数学试卷(答案+解析)

一、选择题(每题只有一个正确选项，本题共10小题，每题3分，共30分) 1．(3分)﹣2的相反数为( ) A．2 B． C．﹣2

21

2018年湖北省襄阳市中考数学试卷

D．− 122．(3分)近几年，襄阳市经济呈现稳中有进，稳中向好的态势，2017年GDP突破4000亿元大关，4000亿这个数用科学记数法表示为( )

A．4×1012 B．4×1011 C．0.4×1012

D．40×1011

3．(3分)如图，把一块三角板的直角顶点放在一直尺的一边上，若∠1=50°，则∠2的度数为( )

A．55° B．50° C．45° D．40°

C．(﹣a3)2=a6 D．(ab)2=ab2

4．(3分)下列运算正确的是( ) A．a2+a2=2a4

B．a6÷a2=a3

2𝑥＞1−𝑥5．(3分)不等式组{的解集为( )

𝑥+2＜4𝑥−1A．x＞ B．x＞1 C．＜x＜1

3

3

1

1

D．空集

6．(3分)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是( )

A． B． C． D．

12

7．(3分)如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E．若AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为( )

A．16cm B．19cm C．22cm D．25cm

8．(3分)下列语句所描述的事件是随机事件的是( ) A．任意画一个四边形，其内角和为180° B．经过任意两点画一条直线

C．任意画一个菱形，是中心对称图形 D．过平面内任意三点画一个圆

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9．(3分)已知二次函数y=x2﹣x+m﹣1的图象与x轴有交点，则m的取值范围是( )

41

A．m≤5 B．m≥2 C．m＜5 D．m＞2

10．(3分)如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA=30°，则弦BC的长为( )

A．4 B．2√2 C．√3 D．2√3

二、填空题(本题共6小题，每题3分，共18分) 11．(3分)计算：|1﹣√2|= ． 12．(3分)计算

5𝑥+3𝑦𝑥2−𝑦

2﹣

2𝑥𝑥2−𝑦2= ．

13．(3分)我国古代数学著作《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，译文为：“现有几个人共同购买一个物品，每人出8元，则多3元；每人出7元，则差4元．问这个物品的价格是多少元？”该物品的价格是 元． 14．(3分)一组数据3，2，3，4，x的平均数是3，则它的方差是 ．

15．(3分)已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD=√3，AD=1，AB=2AC，则BC的长为 ．

16．(3分)如图，将面积为32√2的矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A的对应点为点P，连接AP交BC于点E．若BE=√2，则AP的长为 ．

三、解答题(本题共9题，72分)

17．(6分)先化简，再求值：(x+y)(x﹣y)+y(x+2y)﹣(x﹣y)2，其中x=2+√3，y=2﹣√3．

18．(6分)为了保证端午龙舟赛在我市汉江水域顺利举办，某部门工作人员乘快艇到汉江水域考察水情，以每秒10米的速度沿平行于岸边的赛道AB由西向东行驶．在A处测得岸边一建筑物P在北偏东30°方向上，继续行驶40秒到达B处时，测得建筑物P在北偏西60°方向上，如图所示，求建筑物P到赛道AB的距离(结果保留根号)．

19．(6分)“品中华诗词，寻文化基因”．某校举办了第二届“中华诗词大赛”，将该校八年级参加竞赛的学生成绩统计后，绘制了如下不完整的频数分布统计表与频数分布直方图．

频数分布统计表

组别 A B C

成绩x(分) 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90

人数 8 16 a

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百分比 20% m% 30%

D

请观察图表，解答下列问题： (1)表中a= ，m= ； (2)补全频数分布直方图；

(3)D组的4名学生中，有1名男生和3名女生．现从中随机抽取2名学生参加市级竞赛，则抽取的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率为 ．

90≤x≤100

4

10%

20．(6分)正在建设的“汉十高铁”竣工通车后，若襄阳至武汉段路程与当前动车行驶的路程相等，约为325千米，且高铁行驶的速度是当前动车行驶速度的2.5倍，则从襄阳到武汉乘坐高铁比动车所用时间少1.5小时．求高铁的速度． 21．(7分)如图，已知双曲线y1=与直线y2=ax+b交于点A(﹣4，1)和点B(m，﹣4)．

𝑥𝑘

(1)求双曲线和直线的解析式；

(2)直接写出线段AB的长和y1＞y2时x的取值范围．

22．(8分)如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，E为⊙O上一点，过点E作直线DC分别交AM，BN于点D，C，且CB=CE． (1)求证：DA=DE；

(2)若AB=6，CD=4√3，求图中阴影部分的面积．

23．(10分)襄阳市精准扶贫工作已进入攻坚阶段．贫困户张大爷在某单位的帮扶下，把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓，今年正式上市销售．在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4𝑚𝑥−76𝑚(1≤𝑥＜20，𝑥为正整数)千克．第x天的售价为y元/千克，y关于x的函数解析式为y={，且第12天的售价为32

𝑛(20≤𝑥≤30，𝑥为正整数)元/千克，第26天的售价为25元/千克．已知种植销售蓝莓的成本是18元/千克，每天的利润是W元(利润=销售收入﹣成本)． (1)m= ，n= ；

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(2)求销售蓝莓第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？ (3)在销售蓝莓的30天中，当天利润不低于870元的共有多少天？

24．(10分)如图(1)，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F． (1)证明与推断：

①求证：四边形CEGF是正方形； ②推断：

𝐴𝐺𝐵𝐸

的值为 ：

(2)探究与证明：

将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角(0°＜α＜45°)，如图(2)所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由； (3)拓展与运用：

正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图(3)所示，延长CG交AD于点H．若AG=6，GH=2√2，则BC= ．

25．(13分)直线y=﹣x+3交x轴于点A，交y轴于点B，顶点为D的抛物线y=﹣x2+2mx﹣3m经过点A，交x轴于另一点C，

2

4

3

3

连接BD，AD，CD，如图所示．

(1)直接写出抛物线的解析式和点A，C，D的坐标；

(2)动点P在BD上以每秒2个单位长的速度由点B向点D运动，同时动点Q在CA上以每秒3个单位长的速度由点C向点A运动，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒．PQ交线段AD于点E． ①当∠DPE=∠CAD时，求t的值；

②过点E作EM⊥BD，垂足为点M，过点P作PN⊥BD交线段AB或AD于点N，当PN=EM时，求t的值．

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2018年湖北省襄阳市中考数学试卷

一、选择题(每题只有一个正确选项，本题共10小题，每题3分，共30分) 1．(3分)﹣2的相反数为( ) A．2 B． C．﹣2

21

参与试题解析

D．− 12【分析】根据相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，﹣2的相反数为2． 【解答】解：与﹣2符号相反的数是2， 所以，数﹣2的相反数为2．

故选：A．

2．(3分)近几年，襄阳市经济呈现稳中有进，稳中向好的态势，2017年GDP突破4000亿元大关，4000亿这个数用科学记数法表示为( )

A．4×1012 B．4×1011 C．0.4×1012

D．40×1011

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：4000亿=4×1011，

故选：B．

3．(3分)如图，把一块三角板的直角顶点放在一直尺的一边上，若∠1=50°，则∠2的度数为( )

A．55° B．50° C．45° D．40°

【分析】利用平行线的性质求出∠3即可解决问题； 【解答】解：

∵∠1=∠3=50°，∠2+∠3=90°， ∴∠2=90°﹣∠3=40°，

故选：D．

4．(3分)下列运算正确的是( ) A．a2+a2=2a4

B．a6÷a2=a3

C．(﹣a3)2=a6 D．(ab)2=ab2

【分析】根据合并同类项法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；同底数幂相除，底数不变指数相减；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A、a2+a2=2a2，故A错误； B、a6÷a2=a4，故B错误； C、(﹣a3)2=a6，故C正确； D、(ab)2=a2b2，故D错误． 故选：C．

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2𝑥＞1−𝑥

5．(3分)不等式组{的解集为( )

𝑥+2＜4𝑥−1A．x＞ B．x＞1 C．＜x＜1

3

3

1

1

D．空集

13

【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集． 【解答】解：解不等式2x＞1﹣x，得：x＞， 解不等式x+2＜4x﹣1，得：x＞1， 则不等式组的解集为x＞1，

故选：B．

6．(3分)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是( )

A． B． C． D．

【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．

【解答】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱． 故选：C．

7．(3分)如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交

2

1

BC，AC于点D，E．若AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为( )

A．16cm B．19cm C．22cm D．25cm

【分析】利用线段的垂直平分线的性质即可解决问题． 【解答】解：∵DE垂直平分线段AC， ∴DA=DC，AE+EC=6cm， ∵AB+AD+BD=13cm， ∴AB+BD+DC=13cm，

∴△ABC的周长=AB+BD+BC+AC=13+6=19cm， 故选：B．

8．(3分)下列语句所描述的事件是随机事件的是( ) A．任意画一个四边形，其内角和为180° B．经过任意两点画一条直线

C．任意画一个菱形，是中心对称图形

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D．过平面内任意三点画一个圆

【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【解答】解：A、任意画一个四边形，其内角和为180°是不可能事件； B、经过任意点画一条直线是必然事件；

C、任意画一个菱形，是中心对称图形是必然事件； D、过平面内任意三点画一个圆是随机事件； 故选：D． A．m≤5

B．m≥2

9．(3分)已知二次函数y=x2﹣x+m﹣1的图象与x轴有交点，则m的取值范围是( )

4

1

C．m＜5 D．m＞2

14

【分析】根据已知抛物线与x轴有交点得出不等式，求出不等式的解集即可． 【解答】解：∵二次函数y=x2﹣x+m﹣1的图象与x轴有交点， ∴△=(﹣1)2﹣4×1×(m﹣1)≥0，

41

解得：m≤5，

故选：A．

10．(3分)如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA=30°，则弦BC的长为( )

A．4 B．2√2 C．√3 D．2√3

̂=𝐴𝐵̂，根据圆周角定理求出∠AOB，根据正弦的定义求出BH，计算即可． 【分析】根据垂径定理得到CH=BH，𝐴𝐶

【解答】解：∵OA⊥BC，

̂=𝐴𝐵̂， ∴CH=BH，𝐴𝐶

∴∠AOB=2∠CDA=60°， ∴BH=OB•sin∠AOB=√3， ∴BC=2BH=2√3， 故选：D．

二、填空题(本题共6小题，每题3分，共18分) 11．(3分)计算：|1﹣√2|= √2﹣1 ．

【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答． 【解答】解：|﹣√2|=√2﹣1． 故答案为：√2﹣1．

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5𝑥+3𝑦

12．(3分)计算

﹣= 𝑥2−𝑦2𝑥2−𝑦2

(𝑥+𝑦)(𝑥−𝑦)5𝑥+3𝑥−2𝑥

2𝑥3𝑥−𝑦 ．

【分析】根据同分母分式加减运算法则计算即可，最后要注意将结果化为最简分式． 【解答】解：原式==

(𝑥+𝑦)(𝑥−𝑦)3=， 𝑥−𝑦

3(𝑥+𝑦)

故答案为：

3

13．(3分)我国古代数学著作《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，译文为：“现有几个人共同购买一个物品，每人出8元，则多3元；每人出7元，则差4元．问这个物品的价格是多少元？”该物品的价格是 53 元．

【分析】设该商品的价格是x元，共同购买该物品的有y人，根据“每人出8元，则多3元；每人出7元，则差4元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．

【解答】解：设该商品的价格是x元，共同购买该物品的有y人，

8𝑦−𝑥=3

根据题意得：{，

7𝑦−𝑥=−4=53解得：{𝑥𝑦=7．

故答案为：53．

14．(3分)一组数据3，2，3，4，x的平均数是3，则它的方差是 0.4 ．

【分析】由于数据2、3、3、4、x的平均数是3，由此利用平均数的计算公式可以求出x，然后利用方差的计算公式即可求解． 【解答】解：∵数据2、3、3、4、x的平均数是3， ∴2+3+3+4+x=3×5， ∴x=3，

∴S2=[(3﹣3)2+(2﹣3)2+(3﹣3)2+(4﹣3)2+(3﹣3)2]=0.4．

51

𝑥−𝑦

．

故答案为：0.4．

15．(3分)已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD=√3，AD=1，AB=2AC，则BC的长为 2√3或2√7 ． 【分析】分两种情况：

①当△ABC是锐角三角形，如图1， ②当△ABC是钝角三角形，如图2， 分别根据勾股定理计算AC和BC即可． 【解答】解：分两种情况：

①当△ABC是锐角三角形，如图1， ∵CD⊥AB， ∴∠CDA=90°， ∵CD=√3，AD=1， ∴AC=2， ∵AB=2AC， ∴AB=4， ∴BD=4﹣1=3，

∴BC=√𝐶𝐷2+𝐵𝐷2=√32+(√3)=2√3； ②当△ABC是钝角三角形，如图2， 同理得：AC=2，AB=4，

∴BC=√𝐶𝐷2+𝐵𝐷2=√(√3)+5=2√7； 综上所述，BC的长为2√3或2√7． 故答案为：2√3或2√7．

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2

22

16．(3分)如图，将面积为32√2的矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A的对应点为点P，连接AP交BC于点E．若BE=√2，则AP的长为 163

√2 ．

【分析】设AB=a，AD=b，则ab=32√2，构建方程组求出a、b即可解决问题； 【解答】解：设AB=a，AD=b，则ab=32√2， 由△ABE∽△DAB可得：∴b=

√22

a， 2

𝐵𝐸𝐴𝐵𝐴𝐵𝐴𝐷

=

，

∴a3=， ∴a=4，b=8√2， 设PA交BD于O．

在Rt△ABD中，BD=√𝐴𝐵2+𝐴𝐷2=12， ∴OP=OA=∴AP=

163

𝐴𝐵⋅𝐴𝐷8√2=， 𝐵𝐷3

√2．

16

故答案为√2． 3

三、解答题(本题共9题，72分)

17．(6分)先化简，再求值：(x+y)(x﹣y)+y(x+2y)﹣(x﹣y)2，其中x=2+√3，y=2﹣√3．

【分析】根据平方差公式、单项式乘多项式和完全平方公式可以化简题目中的式子，再将x、y的值代入化简后的式子即可解答本题．

【解答】解：(x+y)(x﹣y)+y(x+2y)﹣(x﹣y)2 =x2﹣y2+xy+2y2﹣x2+2xy﹣y2

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=3xy，

当x=2+√3，y=2﹣√3时，原式=3×(2+√3)(2﹣√3)=3．

18．(6分)为了保证端午龙舟赛在我市汉江水域顺利举办，某部门工作人员乘快艇到汉江水域考察水情，以每秒10米的速度沿平行于岸边的赛道AB由西向东行驶．在A处测得岸边一建筑物P在北偏东30°方向上，继续行驶40秒到达B处时，测得建筑物P在北偏西60°方向上，如图所示，求建筑物P到赛道AB的距离(结果保留根号)．

【分析】作PC⊥AB于C，构造出Rt△PAC与Rt△PBC，求出AB的长度，利用特殊角的三角函数值求解．

【解答】解：过P点作PC⊥AB于C，由题意可知：∠PAC=60°，∠PBC=30°，在Rt△PAC中，

𝑃𝐶𝐴𝐶

𝑃𝐶

=𝑡𝑎𝑛∠𝑃𝐴𝐶，∴AC=

√3PC， 3

在Rt△PBC中，∵AB=AC+BC=

𝐵𝐶√33

=𝑡𝑎𝑛∠𝑃𝐵𝐶，∴BC=√3PC，

𝑃𝐶+√3𝑃𝐶=10×40=400，

∴PC=100√3，

答：建筑物P到赛道AB的距离为100√3米．

19．(6分)“品中华诗词，寻文化基因”．某校举办了第二届“中华诗词大赛”，将该校八年级参加竞赛的学生成绩统计后，绘制了如下不完整的频数分布统计表与频数分布直方图．

频数分布统计表

组别 A B C D

请观察图表，解答下列问题： (1)表中a= 12 ，m= 40 ； (2)补全频数分布直方图；

(3)D组的4名学生中，有1名男生和3名女生．现从中随机抽取2名学生参加市级竞赛，则抽取的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率为

12成绩x(分) 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x≤100

人数 8 16 a 4

百分比 20% m% 30% 10%

．

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【分析】(1)先由A组人数及其百分比求得总人数，总人数乘以C的百分比可得a的值，用B组人数除以总人数可得m的值； (2)根据(1)中所求结果可补全图形；

(3)列出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得． 【解答】解：(1)∵被调查的总人数为8÷20%=40人， ∴a=40×30%=12，m%=×100%=40%，即m=40，

4016

故答案为：12、40；

(2)补全图形如下：

(3)列表如下：

男 ﹣﹣﹣ (男，女) (男，女) (男，女)

女1 (女，男) ﹣﹣﹣ (女，女) (女，女)

61

女2 (女，男) (女，女) ﹣﹣﹣ (女，女)

女3 (女，男) (女，女) (女，女) ﹣﹣﹣

男 女1 女2 女3

∵共有12种等可能的结果，选中1名男生和1名女生结果的有6种． ∴抽取的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率为=，

故答案为：．

2

20．(6分)正在建设的“汉十高铁”竣工通车后，若襄阳至武汉段路程与当前动车行驶的路程相等，约为325千米，且高铁行驶的速度是当前动车行驶速度的2.5倍，则从襄阳到武汉乘坐高铁比动车所用时间少1.5小时．求高铁的速度． 【分析】设高铁的速度为x千米/小时，则动车速度为0.4x千米/小时，根据题意列出方程，求出方程的解即可． 【解答】解：设高铁的速度为x千米/小时，则动车速度为0.4x千米/小时， 根据题意得：

3250.4𝑥1

122

﹣

325𝑥

=1.5，

解得：x=325，

经检验x=325是分式方程的解，且符合题意， 则高铁的速度是325千米/小时．

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(1)求双曲线和直线的解析式；

(2)直接写出线段AB的长和y1＞y2时x的取值范围．

21．(7分)如图，已知双曲线y1=与直线y2=ax+b交于点A(﹣4，1)和点B(m，﹣4)．

𝑥

𝑘

【分析】(1)先把A点坐标代入y1=中求出k得到反比例函数的解析式为y1=﹣，再把B(m，﹣4)代入y1=﹣中求出m得到

𝑥

𝑥

𝑥

𝑘44

B(1，﹣4)，然后利用待定系数法求直线解析式；

(2)利用两点间的距离公式计算AB的长；利用函数图象，写出反比例函数图象在直线上方所对应的自变量的范围得到y1＞y2时x的取值范围．

【解答】解：(1)把A(﹣4，1)代入y1=得k=﹣4×1=﹣4， ∴反比例函数的解析式为y1=﹣，

把B(m，﹣4)代入y1=﹣得﹣4m=﹣4，解得m=1，则B(1，﹣4)，

𝑥

把A(﹣4，1)，B(1，﹣4)代入y2=ax+b得{−4𝑎+𝑏=1，解得{𝑎=−1，

𝑎+𝑏=−4𝑏=−3

∴直线解析式为y2=﹣x﹣3； (2)AB=√(−4−1)+(1+4)=5√2，

当﹣4＜x＜0或x＞1时，y1＞y2．

22．(8分)如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，E为⊙O上一点，过点E作直线DC分别交AM，BN于点D，C，且CB=CE． (1)求证：DA=DE；

(2)若AB=6，CD=4√3，求图中阴影部分的面积．

2

2

𝑘𝑥

4

4

𝑥

【分析】(1)连接OE．推知CD为⊙O的切线，即可证明DA=DE； (2)利用分割法求得阴影部分的面积． 【解答】解：(1)证明：连接OE、OC． ∵OB=OE， ∴∠OBE=∠OEB． ∵BC=EC， ∴∠CBE=∠CEB， ∴∠OBC=∠OEC． ∵BC为⊙O的切线， ∴∠OEC=∠OBC=90°；

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∵OE为半径， ∴CD为⊙O的切线， ∵AD切⊙O于点A， ∴DA=DE；

(2)如图，过点D作DF⊥BC于点F，则四边形ABFD是矩形， ∴AD=BF，DF=AB=6， ∴DC=BC+AD=4√3． ∵FC=√𝐷𝐶2−𝐷𝐹2=2√3， ∴BC﹣AD=2√3， ∴BC=3√3．

在直角△OBC中，tan∠BOE=∴∠BOC=60°．

在△OEC与△OBC中， 𝑂𝐸=𝑂𝐵{𝑂𝐶=𝑂𝐶， 𝐶𝐸=𝐶𝐵

∴△OEC≌△OBC(SSS)， ∴∠BOE=2∠BOC=120°．

∴S阴影部分=S四边形BCEO﹣S扇形OBE=2×BC•OB﹣

21

120×𝜋×𝑂𝐵2

360

𝐵𝐶𝐵𝑂

=√3，

=9√3﹣3π．

23．(10分)襄阳市精准扶贫工作已进入攻坚阶段．贫困户张大爷在某单位的帮扶下，把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓，今年正式上市销售．在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4𝑚𝑥−76𝑚(1≤𝑥＜20，𝑥为正整数)千克．第x天的售价为y元/千克，y关于x的函数解析式为y={，且第12天的售价为32

𝑛(20≤𝑥≤30，𝑥为正整数)元/千克，第26天的售价为25元/千克．已知种植销售蓝莓的成本是18元/千克，每天的利润是W元(利润=销售收入﹣成本)． (1)m= ﹣ ，n= 25 ；

21

(2)求销售蓝莓第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？ (3)在销售蓝莓的30天中，当天利润不低于870元的共有多少天？ 【分析】(1)根据题意将相关数值代入即可； (2)在(1)的基础上分段表示利润，讨论最值；

(3)分别在(2)中的两个函数取值范围内讨论利润不低于870的天数，注意天数为正整数． 【解答】解：(1)当第12天的售价为32元/件，代入y=mx﹣76m得 32=12m﹣76m 解得m=﹣ 21

当第26天的售价为25元/千克时，代入y=n 则n=25

故答案为：m=﹣，n=25

21

(2)由(1)第x天的销售量为20+4(x﹣1)=4x+16

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当1≤x＜20时

W=(4x+16)(﹣x+38﹣18)=﹣2x2+72x+320=﹣2(x﹣18)2+968

21

∴当x=18时，W最大=968

当20≤x≤30时，W=(4x+16)(25﹣18)=28x+112 ∵28＞0

∴W随x的增大而增大 ∴当x=30时，W最大=952 ∵968＞952

∴当x=18时，W最大=968

(3)当1≤x＜20时，令﹣2x2+72x+320=870 解得x1=25，x2=11

∵抛物线W=﹣2x2+72x+320的开口向下 ∴11≤x≤25时，W≥870 ∴11≤x＜20 ∵x为正整数

∴有9天利润不低于870元 当20≤x≤30时，令28x+112≥870 解得x≥27 ∴27≤x≤30

141

141

∵x为正整数

∴有3天利润不低于870元

∴综上所述，当天利润不低于870元的天数共有12天．

24．(10分)如图(1)，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F． (1)证明与推断：

①求证：四边形CEGF是正方形； ②推断：

𝐴𝐺𝐵𝐸

的值为 √2 ：

(2)探究与证明：

将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角(0°＜α＜45°)，如图(2)所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由； (3)拓展与运用：

正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图(3)所示，延长CG交AD于点H．若AG=6，GH=2√2，则BC= 3√5 ．

【分析】(1)①由GE⊥BC、GF⊥CD结合∠BCD=90°可得四边形CEGF是矩形，再由∠ECG=45°即可得证；②由正方形性质知∠CEG=∠B=90°、∠ECG=45°，据此可得

𝐴𝐺𝐺𝐻𝐴𝐻𝐴𝐶𝐴𝐻𝐶𝐻

𝐶𝐺𝐶𝐸

=√2、GE∥AB，利用平行线分线段成比例定理可得；

𝐴𝐺𝐺𝐻𝐴𝐶𝐴𝐻

23

13

𝐴𝐺𝐴𝐻√10a，由=可得a3𝐴𝐶𝐶𝐻

(2)连接CG，只需证△ACG∽△BCE即可得； (3)证△AHG∽△CHA得的值．

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==，设BC=CD=AD=a，知AC=√2a，由

=得AH=a、DH=a、CH=

【解答】解：(1)①∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD=90°，∠BCA=45°， ∵GE⊥BC、GF⊥CD，

∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°，

∴四边形CEGF是矩形，∠CGE=∠ECG=45°， ∴EG=EC，

∴四边形CEGF是正方形； ②由①知四边形CEGF是正方形， ∴∠CEG=∠B=90°，∠ECG=45°， ∴

𝐶𝐺

𝐶𝐸

=√2，GE∥AB， ∴𝐴𝐺𝐵𝐸=𝐶𝐺

𝐶𝐸

=√2， 故答案为：√2；

(2)连接CG，

由旋转性质知∠BCE=∠ACG=α， 在Rt△CEG和Rt△CBA中，

𝐶𝐸𝐶𝐺

=cos45°=√2𝐶𝐺2、𝐶𝐵𝐶𝐴=cos45°=√2𝐶𝐴

2

， ∴

𝐶𝐸=

𝐶𝐵

=√2，

∴△ACG∽△BCE， ∴

𝐴𝐺=𝐶𝐴𝐵𝐸𝐶𝐵

=√2，

∴线段AG与BE之间的数量关系为AG=√2BE；

(3)∵∠CEF=45°，点B、E、F三点共线， ∴∠BEC=135°， ∵△ACG∽△BCE， ∴∠AGC=∠BEC=135°， ∴∠AGH=∠CAH=45°， ∵∠CHA=∠AHG， ∴△AHG∽△CHA， ∴

𝐴𝐺=𝐺𝐻=

𝐴𝐻𝐴𝐶𝐴𝐻𝐶𝐻，

设BC=CD=AD=a，则AC=√2a， 则由

𝐴𝐺𝐺𝐻

62√2𝐴𝐶=

𝐴𝐻得√2𝑎=𝐴𝐻，

∴AH=2

3

a，

则DH=AD﹣AH=1

3

a，CH=√𝐶𝐷2+𝐷𝐻2=

√103

a， ∴𝐴𝐺=𝐴𝐻2得6=3𝑎𝐴𝐶𝐶𝐻√2𝑎√10， 3𝑎解得：a=3√5，即BC=3√5， 故答案为：3√5．

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25．(13分)直线y=﹣x+3交x轴于点A，交y轴于点B，顶点为D的抛物线y=﹣x2+2mx﹣3m经过点A，交x轴于另一点C，

2

4

33

连接BD，AD，CD，如图所示．

(1)直接写出抛物线的解析式和点A，C，D的坐标；

(2)动点P在BD上以每秒2个单位长的速度由点B向点D运动，同时动点Q在CA上以每秒3个单位长的速度由点C向点A运动，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒．PQ交线段AD于点E． ①当∠DPE=∠CAD时，求t的值；

②过点E作EM⊥BD，垂足为点M，过点P作PN⊥BD交线段AB或AD于点N，当PN=EM时，求t的值．

【分析】(1)先由直线解析式求得点A、B坐标，将点A坐标代入抛物线解析式求得m的值，从而得出答案；

(2)①由(1)知BD=AC、BD∥OC，根据AB=AD=√13证四边形ABPQ是平行四边形得AQ=BP，即2t=4﹣3t，解之即可；②分点N在AB上和点N在AD上两种情况分别求解．

【解答】解：(1)在y=﹣x+3中，令x=0得y=3，令y=0得x=2，

23

∴点A(2，0)、点B(0，3)，

将点A(2，0)代入抛物线解析式，得：﹣×4+4m﹣3m=0，

43

解得：m=3，

所以抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣9， ∵y=﹣

34

3434

x2+6x﹣9=﹣(x﹣4)2+3，

∴点D(4，3)，对称轴为x=4， ∴点C坐标为(6，0)；

(2)如图1，

由(1)知BD=AC=4， 根据0≤3t≤4，得：0≤t≤，

34

①∵B(0，3)、D(4，3)， ∴BD∥OC， ∴∠CAD=∠ADB， ∵∠DPE=∠CAD， ∴∠DPE=∠ADB，

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∵AB=√22+32=√13、AD=√(4−2)+32=√13， ∴AB=AD， ∴∠ABD=∠ADB， ∴∠DPE=∠ABD， ∴PQ∥AB，

∴四边形ABPQ是平行四边形， ∴AQ=BP，即2t=4﹣3t， 解得：t=，

54

45

2

即当∠DPE=∠CAD时，t=秒；

②(Ⅰ)当点N在AB上时，0≤2t≤2，即0≤t≤1，

连接NE，延长PN交x轴于点F，延长ME交x轴于点H，

∵PN⊥BD、EM⊥BD，BD∥OC，PN=EM，

∴OF=BP=2t，PF=OB=3，NE=FH、NF=EH，NE∥FQ， ∴FQ=OC﹣OF﹣QC=6﹣5t， ∵点N在直线y=﹣x+3上，

23

∴点N的坐标为(2t，﹣3t+3)， ∴PN=PF﹣NF=3﹣(﹣3t+3)=3t， ∵NE∥FQ， ∴△PNE∽△PFQ， ∴

𝑁𝐸𝑃𝑁𝐹𝑄𝑃𝐹

=，

𝑃𝑁𝑃𝐹

∴FH=NE=

•FQ=×(6﹣5t)=6t﹣5t2，

3

32

3𝑡

∵A(2，0)、D(4，3)，

∴直线AD解析式为y=x﹣3， ∵点E在直线y=x﹣3上，

23

∴点E的坐标为(4﹣2t，﹣3t+3)， ∵OH=OF+FH， ∴4﹣2t=2t+6t﹣5t2， 解得：t=1+

√5√5＞1(舍)或t=1﹣； 55

43

(Ⅱ)当点N在AD上时，2＜2t≤4，即1＜t≤， ∵PN=EM，

∴点E、N重合，此时PQ⊥BD， ∴BP=OQ， ∴2t=6﹣3t， 解得：t=，

56

6√5)秒或t=秒． 55

综上所述，当PN=EM时，t=(1﹣

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