2016年湖南省娄底市新化县中考数学二模试卷(含解析版)

2016年湖南省娄底市新化县中考数学二模试卷

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1．﹣的绝对值是（ ） A．5

B．﹣5 C．

D．﹣

2．舌尖上的浪费让人触目惊心!据统计，中国每年浪费的食物总量折合成粮食约为50000000000千克，把50000000000用科学记数法表示为（ ） A．5×1010 B．50×109 C．5×109 D．0.5×1011

3．如图，几何体上半部为正三棱柱，下半部为圆柱，其俯视图是（ ）

A． B． C． D．

4．一个不等式组中的两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集为（ ）

A．﹣1＜x≤2 B．﹣1≤x＜2 C．﹣1＜x＜2

D．无解

5．反比例函数y1=（x＞0）的图象与一次函数y2=﹣x+b的图象交于A，B两点，其中A（1，2），当y2＞y1时，x的取值范围是（ ） A．x＜1 B．1＜x＜2 C．x＞2 D．x＜1或x＞2

6．如图，将三角形的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=65°，则∠2的度数为（ ）

A．10° B．15° C．20° D．25°

7．如图，AD、BE是△ABC的两条中线，则S△EDC：S△ABD等于（ ）

第1页（共19页）

A．1：2 B．2：3 C．1：3 D．1：4

8．已知正多边形的一个外角等于60°，则该正多边形的边数为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6

9．期中考试后，班里有两位同学议论他们所在小组同学的数学成绩，小明说：“我们组成绩是86分的同学最多”，小英说：“我们组的7位同学成绩排在最中间的恰好也是86分”，上面两位同学的话能反映出的统计量是（ ） A．众数和平均数 B．平均数和中位数 C．众数和方差 D．众数和中位数

10．在平行四边形ABCD中，点P从起点B出发，沿BC，CD逆时针方向向终点D匀速运动．设点P所走过的路程为x，则线段AP，AD与平行四边形的边所围成的图形面积为y，表示y与x的函数关系的图象大致如下图，则AB边上的高是（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分） 11．如果分式

的值为0，那么x的值为 ．

12．写出一个直角坐标系中第二象限内点的坐标： ．（任写一个只要符合条件即可）

13．若关于x的一元二次方程x2﹣（a+5）x+8a=0的两个实数根分别为2和b，则ab= ．

14．底面直径和高都是1的圆柱侧面积为 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是 ．

16．如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为 ．

17．在分别写有﹣1，0，1，2，3的五张卡片中随机抽取一张，所抽取的数字平方后等于1的概率为 ．

第2页（共19页）

18．如图，△OA1B1在直角坐标系中，A1（﹣1，0），B1（0，2），点C1与点A1关于OB1的对称．对△A1B1C1进行图形变换，得到△C1B2C2，使得B2（3，2），C2（5，0）；再进行第二次变换，得到△C2B3C3，使得B3（9，2 ），C3（13，0 ）；第三次将△C2B3C3变换成△C3B4C4，B4（21，2），C4（29，0 ）…按照上面的规律，若对△A1B1C1进行第四次次变换，得到△C4B5C5，则C5（ ）．

三、解答题（共2小题，满分12分） 19．计算：|﹣3|+

•tan30°﹣

﹣0．

20．先化简，再求值：（a2b﹣2ab2﹣b3）÷b﹣（a+b）（a﹣b），其中a=，b=﹣1．

四、解答题（共2小题，满分16分）

21．随着人们生活水平的提高，城市家庭私家车的拥有量越来越多．私家车给人们的生活带来很多方便，同时也给城市的道路交通带来了很大的压力，尤其是节假日期间交通拥堵现象非常严重．为了缓解交通堵塞，尽量保持道路通畅，某市有关部门号召市民“在节假日期间选择公共交通工具出行”，为了了解市民的意见和态度，有关部门随机抽取了若干市民进行了调查．经过统计、整理，制作统计图如图，请回答下列问题： （1）这次抽查的市民总人数是 ； （2）并补全条形统计图和扇形统计图；

（3）如果该市约有18万人，那么估计对这一问题持“赞成”态度的人数约是 万．

22．2011年3月11日13时46分日本发生了9.0级大地震，伴随着就是海啸．山坡上有一

颗与水平面垂直的大树，海啸过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面（如图所示）．已知山坡的坡角∠AEF=23°，测得树干的倾斜角为∠BAC=38°，大树被折断部分和坡面的角∠ADC=60°，AD=4米．

第3页（共19页）

（1）求∠DAC的度数；

（2）求这棵大树折断前高是多少米？（注：结果精确到个位）（参考数据：

）

五、解答题（共2小题，满分18分）

23．为绿化校园，某校计划购进A、B两种树苗，共21课．已知A种树苗每棵90元，B种树苗每棵70元．设购买B种树苗x棵，购买两种树苗所需费用为y元． （1）y与x的函数关系式为： ；

（2）若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．

24．已知，如图，延长△ABC的各边，使得BF=AC，AE=CD=AB，顺次连接D，E，F，得到△DEF为等边三角形．求证： （1）△AEF≌△CDE；

（2）△ABC为等边三角形．

六、解答题（共2小题，满分20分）

25．已知：如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点P，PD⊥AC于点D． （1）求证：PD是⊙O的切线；

（2）若∠CAB=120°，AB=2，求BC的值．

26．已知，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2．若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内．将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处． （1）求点C的坐标；

第4页（共19页）

（2）若抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过C、A两点，求此抛物线的解析式；

（3）若上述抛物线的对称轴与OB交于点D，点P为线段DB上一动点，过P作y轴的平行线，交抛物线于点M，问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

第5页（共19页）

2016年湖南省娄底市新化县中考数学二模试卷

参与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1．﹣的绝对值是（ ） A．5

B．﹣5 C．

D．﹣

【考点】绝对值．

【分析】绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．

【解答】解：根据负数的绝对值是它的相反数，得|﹣|=，

故选C．

2．舌尖上的浪费让人触目惊心!据统计，中国每年浪费的食物总量折合成粮食约为50000000000千克，把50000000000用科学记数法表示为（ ） A．5×1010 B．50×109 C．5×109 D．0.5×1011 【考点】科学记数法—表示较大的数．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：50 000 000 000=5×1010， 故选：A．

3．如图，几何体上半部为正三棱柱，下半部为圆柱，其俯视图是（ ）

A． B． C． D．

【考点】简单组合体的三视图．

【分析】俯视图是从物体上面看到的图形，应把所看到的所有棱都表示在所得图形中． 【解答】解：从上面看，正三棱柱的俯视图是正三角形，圆柱的俯视图是圆，且正三角形在圆内． 故选：C．

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4．一个不等式组中的两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集为（ ）

A．﹣1＜x≤2 B．﹣1≤x＜2 C．﹣1＜x＜2 D．无解 【考点】在数轴上表示不等式的解集．

【分析】根据数轴上的表示可得﹣1＜x≤2，即可得解． 【解答】解：由图可得，这个不等式组的解集为﹣1＜x≤2． 故选A．

5．反比例函数y1=（x＞0）的图象与一次函数y2=﹣x+b的图象交于A，B两点，其中A（1，2），当y2＞y1时，x的取值范围是（ ） A．x＜1 B．1＜x＜2 C．x＞2 D．x＜1或x＞2 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．

【分析】根据函数解析式画出函数的大致图象，根据图象作出选择． 【解答】解：根据双曲线关于直线y=x对称易求B（2，1）．依题意得：

如图所示，当1＜x＜2时，y2＞y1． 故选：B．

6．如图，将三角形的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=65°，则∠2的度数为（ ）

A．10° B．15° C．20° D．25° 【考点】平行线的性质．

【分析】根据AB∥CD可得∠3=∠1=65°，然后根据∠2=180°﹣∠3﹣90°求解． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠3=∠1=65°，

∴∠2=180°﹣∠3﹣90°=180°﹣65°﹣90°=25°． 故选：D．

第7页（共19页）

7．如图，AD、BE是△ABC的两条中线，则S△EDC：S△ABD等于（ ）

A．1：2 B．2：3 C．1：3 D．1：4

【考点】三角形的面积；三角形的角平分线、中线和高．

【分析】先判断DE为△ABC的中位线，则DE∥AB，DE=AB，再根据相似三角形的判S△ABC=DE2：AB2=1：定方法得到△ECD∽△ACB，然后根据相似三角形的性质得到S△EDC：4，S△ABD=S△ABC，即可得到结论．

【解答】解：∵AD、BE是△ABC的两条中线，

∴DE为△ABC的中位线， ∴DE∥AB，DE=AB，

∴△ECD∽△ACB，

S△EDC：S△ABC=DE2：AB2=1：4．

∴S△EDC：S△ABC=DE2：AB2=1：4，S△ABD=S△ABC，

∴S△EDC：S△ABD=1：2， 故选A．

8．已知正多边形的一个外角等于60°，则该正多边形的边数为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【考点】多边形内角与外角．

【分析】利用外角和360°÷外角的度数即可得到边数． 【解答】解：360°÷60°=6． 故该正多边形的边数为6． 故选：D．

9．期中考试后，班里有两位同学议论他们所在小组同学的数学成绩，小明说：“我们组成绩是86分的同学最多”，小英说：“我们组的7位同学成绩排在最中间的恰好也是86分”，上面两位同学的话能反映出的统计量是（ ） A．众数和平均数 B．平均数和中位数 C．众数和方差 D．众数和中位数 【考点】统计量的选择．

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【分析】根据中位数和众数的定义回答即可．

【解答】解：在一组数据中出现次数最多的数是这组数据的众数，排在中间位置的数是中位数，

故选：D．

10．在平行四边形ABCD中，点P从起点B出发，沿BC，CD逆时针方向向终点D匀速运动．设点P所走过的路程为x，则线段AP，AD与平行四边形的边所围成的图形面积为y，表示y与x的函数关系的图象大致如下图，则AB边上的高是（ ）

A．3

D．6

【考点】动点问题的函数图象．

【分析】要找出准确反映y与x之间对应关系的图象，需分析在不同阶段中s随x变化的情况．

【解答】解：由图象可以看出BC=5，CD=6，S行四边形ABCD=24， ∵S行四边形ABCD=AB×h=6h=24， ∴h=4． 故选：B．

二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分） 11．如果分式

的值为0，那么x的值为 3 ．

B．4 C．5

【考点】分式的值为零的条件．

【分析】根据分式的分子为0，分母不为0，可得答案． 【解答】解：x﹣3=0，且x+2≠0， x=3，

故答案为：3．

12．写出一个直角坐标系中第二象限内点的坐标： （﹣1，1） ．（任写一个只要符合条件即可）

【考点】点的坐标．

【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数解答． 【解答】解：第二象限内点的坐标（﹣1，1）（任写一个只要符合条件即可）． 故答案为：（﹣1，1）． 13．x+8a=0的两个实数根分别为2和b， 若关于x的一元二次方程x2﹣（a+5）则ab= 4 ．【考点】根与系数的关系．

第9页（共19页）

【分析】根据根与系数的关系得到，通过解该方程组可以求得a、b的值．

【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（a+5）x+8a=0的两个实数根分别是2、b， ∴由韦达定理，得解得，

．

，

∴ab=1×4=4． 故答案是：4．

14．底面直径和高都是1的圆柱侧面积为 π ． 【考点】圆柱的计算．

【分析】圆柱的侧面积=底面周长×高． 【解答】解：圆柱的底面周长=π×1=π． 圆柱的侧面积=底面周长×高=π×1=π． 故答案是：π．

15．如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是 ．

【考点】锐角三角函数的定义；坐标与图形性质． 【分析】根据正切函数是对边比邻边，可得答案．

【解答】解：如图，

tanα==

故答案为：．

16．如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为 4 ．

【考点】翻折变换（折叠问题）．

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【分析】设BN=x，则由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x，根据中点的定义可得BD=3，在Rt△BND中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解． 【解答】解：设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x， ∵D是BC的中点， ∴BD=3，

在Rt△BND中，x2+32=（9﹣x）2， 解得x=4．

故线段BN的长为4． 故答案为：4．

17．在分别写有﹣1，0，1，2，3的五张卡片中随机抽取一张，所抽取的数字平方后等于1的概率为

．

【考点】概率公式．

【分析】让所抽取的数字平方后等于1的卡片数除以总卡片数即为所求的概率．

【解答】解：在分别写有﹣1，0，1，2，3的五张卡片中随机抽取一张，所抽取的数字平方后等于1的有2张，

所以所抽取的数字平方后等于1的概率为． 故答案为．

18．如图，△OA1B1在直角坐标系中，A1（﹣1，0），B1（0，2），点C1与点A1关于OB1的对称．对△A1B1C1进行图形变换，得到△C1B2C2，使得B2（3，2），C2（5，0）；再进行第二次变换，得到△C2B3C3，使得B3（9，2 ），C3（13，0 ）；第三次将△C2B3C3变换成△C3B4C4，B4（21，2），C4（29，0 ）…按照上面的规律，若对△A1B1C1进行第四次次变换，得到△C4B5C5，则C5（ （61，0） ）．

【考点】规律型：点的坐标．

【分析】由题意可知：A1（﹣1，0），B1（0，2），点C1与点A1关于OB1的对称坐标为（1，0），第一次变换C2（5，0），第二次变换C2（13，0），第三次变换C4（29，0 ）…，由此得出第n次变换Cn+1（2n+2﹣3，0 ）…由此求得答案即可． 【解答】解：∵点C1的坐标为（1，0）， 第一次变换C2（5，0）， 第二次变换C2（13，0）， 第三次变换C4（29，0 ）， …，

∴第n次变换Cn+1（2n+2﹣3，0 ）

第11页（共19页）

∴第四次次变换，得到△C4B5C5，则C5（61，0）． 故答案为：（61，0）．

三、解答题（共2小题，满分12分） 19．计算：|﹣3|+

•tan30°﹣

﹣0．

【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．

【分析】本题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式化简3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 【解答】解：原式=3+=3+1﹣2﹣1 =1．

20．先化简，再求值：（a2b﹣2ab2﹣b3）÷b﹣（a+b）（a﹣b），其中a=，b=﹣1． 【考点】整式的混合运算—化简求值．

【分析】根据多项式除单项式的法则，平方差公式化简，整理成最简形式，然后把a、b的值代入计算即可． 【解答】解：（a2b﹣2ab2﹣b3）÷b﹣（a+b）（a﹣b）， =a2﹣2ab﹣b2﹣（a2﹣b2）， =a2﹣2ab﹣b2﹣a2+b2， =﹣2ab，

当a=，b=﹣1时， 原式=﹣2××（﹣1）=1．

四、解答题（共2小题，满分16分）

21．随着人们生活水平的提高，城市家庭私家车的拥有量越来越多．私家车给人们的生活带来很多方便，同时也给城市的道路交通带来了很大的压力，尤其是节假日期间交通拥堵现象非常严重．为了缓解交通堵塞，尽量保持道路通畅，某市有关部门号召市民“在节假日期间选择公共交通工具出行”，为了了解市民的意见和态度，有关部门随机抽取了若干市民进行了调查．经过统计、整理，制作统计图如图，请回答下列问题： （1）这次抽查的市民总人数是 500 ； （2）并补全条形统计图和扇形统计图；

（3）如果该市约有18万人，那么估计对这一问题持“赞成”态度的人数约是 4.5 万．

﹣2﹣1

第12页（共19页）

【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图． 【分析】（1）根据反对的人数除以反对所占的百分比，可得抽测的人数；

（2）根据抽测的人数乘以赞成的所占的百分比，可得赞成的人数，根据有理数的减法，可得无所谓的人数，无所谓所占的百分比； （3）根据样本估计总体，可得答案． 【解答】解：（1）这次抽查的市民总人数是150÷30%=500人，

（2）赞成的500×25%=125人，无所谓的500﹣150﹣125=225人，无所谓的1﹣30%﹣25%=45%

条形统计图：；

（3）对这一问题持“赞成”态度的人数约是18×25%=4.5（万人）， 故答案为：500，4.5．

22．2011年3月11日13时46分日本发生了9.0级大地震，伴随着就是海啸．山坡上有一颗与水平面垂直的大树，海啸过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面（如图所示）．已知山坡的坡角∠AEF=23°，测得树干的倾斜角为∠BAC=38°，大树被折断部分和坡面的角∠ADC=60°，AD=4米．

（1）求∠DAC的度数；

（2）求这棵大树折断前高是多少米？（注：结果精确到个位）（参考数据：

）

【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题． 【分析】（1）通过延长BA交EF于一点G，则∠CAD=180°﹣∠BAC﹣∠EAG即可求得； （2）作AH⊥CD于H点，先求得AH的长，然后再求得AC的长． 【解答】解：（1）延长BA交EF于一点G，则∠DAC=180°﹣∠BAC﹣∠GAE=180°﹣38°﹣（90°﹣23°）=75°；

（2）过点A作CD的垂线，设垂足为H， 则Rt△ADH中，

∵∠ADC=60°，∠AHD=90°，∴∠DAH=30°， ∵AD=4， ∴DH=2，AH=．

第13页（共19页）

Rt△ACH中，

∵∠CAH=∠CAD﹣∠DAH=75°﹣30°=45°， ∴∠C=45°， 故CH=AH=，AC=．

++2≈10米． 故树高

五、解答题（共2小题，满分18分）

23．为绿化校园，某校计划购进A、B两种树苗，共21课．已知A种树苗每棵90元，B种树苗每棵70元．设购买B种树苗x棵，购买两种树苗所需费用为y元． （1）y与x的函数关系式为： y=﹣20x+10 ；

（2）若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．

【考点】一次函数的应用． 【分析】（1）根据购买两种树苗所需费用=A种树苗费用+B种树苗费用，即可解答；

（2）根据购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，列出不等式，确定x的取值范围，再根据（1）得出的y与x之间的函数关系式，利用一次函数的增减性结合自变量的取值即可得出更合算的方案． 【解答】解：（1）y=90（21﹣x）+70x=﹣20x+10， 故答案为：y=﹣20x+10．

（2）∵购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量， ∴x＜21﹣x， 解得：x＜10.5， 又∵x≥1，

∴x的取值范围为：1≤x≤10，且x为整数， ∵y=﹣20x+10，k=﹣20＜0， ∴y随x的增大而减小，

∴当x=10时，y有最小值，最小值为：﹣20×10+10=1690，

∴使费用最省的方案是购买B种树苗10棵，A种树苗11棵，所需费用为1690元．

24．已知，如图，延长△ABC的各边，使得BF=AC，AE=CD=AB，顺次连接D，E，F，得到△DEF为等边三角形．求证： （1）△AEF≌△CDE；

（2）△ABC为等边三角形．

第14页（共19页）

【考点】全等三角形的判定；等边三角形的判定． 【分析】（1）关键是证出CE=AF，可由AE=AB，AC=BF，两两相加可得．再结合已知条件可证出△AEF≌△CDE．

（2）有（1）中的全等关系，可得出∠AFE=∠CED，再结合△DEF是等边三角形，可知∠DEF=60°，从而得出∠BAC=60°，同理可得∠ACB=60°，那么∠ABC=60°．因而△ABC是等边三角形． 【解答】证明：（1）∵BF=AC，AB=AE（已知） ∴FA=EC（等量加等量和相等）． ∵△DEF是等边三角形（已知）， ∴EF=DE（等边三角形的性质）． 又∵AE=CD（已知）， ∴△AEF≌△CDE（SSS）．

（2）由△AEF≌△CDE，得∠FEA=∠EDC（对应角相等）， ∵∠BCA=∠EDC+∠DEC=∠FEA+∠DEC=∠DEF（等量代换）， △DEF是等边三角形（已知）， ∴∠DEF=60°（等边三角形的性质）， ∴∠BCA=60°（等量代换），

由△AEF≌△CDE，得∠EFA=∠DEC， ∵∠DEC+∠FEC=60°， ∴∠EFA+∠FEC=60°，

又∠BAC是△AEF的外角， ∴∠BAC=∠EFA+∠FEC=60°，

∴△ABC中，AB=BC（等角对等边）．

∴△ABC是等边三角形（等边三角形的判定）．

六、解答题（共2小题，满分20分）

25．已知：如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点P，PD⊥AC于点D． （1）求证：PD是⊙O的切线；

（2）若∠CAB=120°，AB=2，求BC的值．

第15页（共19页）

【考点】切线的判定． 【分析】（1）连接OP，要证明PD是⊙O的切线只要证明∠DPO=90°即可； （2）连接AP，根据已知可求得BP的长，从而可求得BC的长． 【解答】（1）证明：连接AP，OP， ∵AB=AC， ∴∠C=∠B，

又∵OP=OB，∠OPB=∠B， ∴∠C=∠OPB， ∴OP∥AD；

又∵PD⊥AC于D， ∴∠ADP=90°， ∴∠DPO=90°，

∵以AB为直径的⊙O交BC于点P， ∴PD是⊙O的切线．

（2）解：∵AB是直径， ∴∠APB=90°；

∵AB=AC=2，∠CAB=120°， ∴∠BAP=60°， ∴BP=， ∴BC=2．

26．已知，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2．若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内．将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处． （1）求点C的坐标；

（2）若抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过C、A两点，求此抛物线的解析式；

（3）若上述抛物线的对称轴与OB交于点D，点P为线段DB上一动点，过P作y轴的平行线，交抛物线于点M，问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）在Rt△AOB中，根据AB的长和∠BOA的度数，可求得OA的长，根据折叠的性质即可得到OA=OC，且∠BOC=∠BOA=30°，过C作CD⊥x轴于D，即可根据∠COD的度数和OC的长求得CD、OD的值，从而求出点C的坐标．

（2）将A、C的坐标代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求出待定系数的值，从而确定该抛物线的解析式．

（3）根据（2）所得抛物线的解析式可得到其顶点的坐标（即C点），设直线MP与x轴的交点为N，且PN=t，在Rt△OPN中，根据∠PON的度数，易得PN、ON的长，即可得到点P的坐标，然后根据点P的横坐标和抛物线的解析式可求得M点的纵坐标，过M作ME⊥CD（即抛物线对称轴）于E，过P作PQ⊥CD于Q，若四边形CDPM是等腰梯形，那么CE=QD，根据C、M、P、D四点纵坐标，易求得CE、QD的长，联立两式即可求出此时t的值，从而求得点P的坐标． 【解答】解：（1）过点C作CH⊥x轴，垂足为H； ∵在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2， ∴OB=4，OA=2；

由折叠的性质知：∠COB=30°，OC=AO=2， ∴∠COH=60°，OH=，CH=3； ∴C点坐标为（，3）．

（2）∵抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过C（，3）、A（2，0）两点， ∴

，

解得；

∴此抛物线的函数关系式为：y=﹣x2+2x．

（3）存在．

∵y=﹣x2+2x的顶点坐标为（，3）， 即为点C，MP⊥x轴，垂足为N，设PN=t； ∵∠BOA=30°， ∴ON=t， ∴P（t，t）；

作PQ⊥CD，垂足为Q，ME⊥CD，垂足为E；

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把x=t代入y=﹣x2+2x， 得y=﹣3t2+6t，

∴M（t，﹣3t2+6t），E（，﹣3t2+6t）， 同理：Q（，t），D（，1）；

要使四边形CDPM为等腰梯形，只需CE=QD， 即3﹣（﹣3t2+6t）=t﹣1， 解得t=，t=1（舍去）， ∴P点坐标为（

，），

，）．

∴存在满足条件的P点，使得四边形CDPM为等腰梯形，此时P点坐标为（

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2016年6月2日

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