2020届安徽六校高三数学(文科)试题及答案解析

文科数学试题

命题：安徽师范大学附属中学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。

1.已知复数z(1i)(3i)（i为虚数单位），则z的虚部为（ ） A.2 B.2i C.4 D.4i 2．设集合Mxx11，Nxx1，则M考试时间：120分钟试卷分值：150分

N=( )

A.xx1 B.xx1或x2 C.x0x1 D.xx0 当x(,0)时，f(x)x32x2，则f(3)=（3.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，

A.9 B.-9 C.45 D.-45 4. 若a1,0cb1，则下列不等式不正确的是（ ）

A．log2019alog2019b B.logcalogba C．cbaccbab D.(ac)ac(ac)ab 5. 已知函数f(x)）

1，则f(x)的大致图象是( )

4x24x

A B C D

6.甲、乙两名同学在6次数学考试中，所得成绩用茎叶图表示如下，若甲、乙两人这6次考试的平均成绩分别用x甲、x乙表示，则下列结论正确的是（ ）

A.x甲x乙，且甲成绩比乙成绩稳定 B.x甲x乙，且乙成绩比甲成绩稳定 C.x甲x乙，且甲成绩比乙成绩稳定 D.x甲x乙，且乙成绩比甲成绩稳定

高三数学试题（文）第1页共4页7.如图程序框图是为了求出满足3n2n2020的最小偶数n，那么在

和

两个空白框中，可以分别填入（ ）

A. A2020和nn1 B. A2020和nn2 C. A2020和nn1 D. A2020和nn2

8.函数fxAsinx（其中A0,则f( )

A. 1 B.

2）的图象如图所示，

123 C. D. 2229.如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别为AB、AD上的

44AB，连接AC、MN交于P点，若APAC，511则点N在AD上的位置为（ ）

点，且AM

B. AD上靠近点D的三等分点A.AD中点

D. AD上靠近点D的五等分点 C.AD上靠近点D的四等分点

x2y210．已知椭圆C:221(ab0)的右焦点为F，短轴的一个端点为P，直线l:4x3y0ab6与椭圆相交于A、B两点.若|AF||BF|6，点P到直线l的距离不小于，则椭圆离心率

5的取值范围为（ ）

3513] C．(0,] D．(,] 233211．某罐头加工厂库存芒果mkg，今年又购进nkg新芒果后，欲将芒果总量的三分之一用

A．(0,] B．(0,95于加工为芒果罐头。被加工为罐头的新芒果最多为f1kg，最少为f2kg，则下列坐标图最能准确描述f1、f2分别与n的关系的是（ ）

高三数学试题（文）第2页共4页x2y212．如图，F1、F2是双曲线C:221a0, b0的左、右焦

ab点，过F2的直线与双曲线C交于A若AB:BF1:AF13:4:5． 、B两点．

则双曲线的渐近线方程为（ ） A.y23x C．y3x

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若函数f(x)lnx2ax的图象存在与直线2xy0垂直的切线，则实数a的取值范围 是 ． 14.设等差数列an的公差d不为0，a116d，若ak是a1与a2k的等比中项，则k等 于 ．

B．y22x D．y2x

15．将函数f(x)4cosx和直线g(x)x1的所有交点从左到右依次记为A1，A2，…，A5，若P点坐标为(0,3)，则PA1PA2...PA5．

216．如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点M是AD ，若B1P 的中点，动点P在底面ABCD内（不包括边界）

平

面A1BM，则C1P的最小值是 ．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分10分）设等比数列an满足a1a320，a2a410， （Ⅰ）令Tna1a2a3an ，求Tn的最大值； （Ⅱ）令bnlog2an，求数列anbn的前n项和Sn.

高三数学试题（文）第3页共4页18．（本小题满分12分）在ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，且

sinBsinCsin(AC),

（Ⅰ）求角A；

（Ⅱ）若a3，求b2c的最大值.

19．（本小题满分12分）某商场近5个月的销售额和利润额如下表所示：

销售额x/千万元 利润额y/百万元 3 5 6 7 9 1 3 3 4 5 （Ⅰ）画出散点图，观察散点图，说明两个变量有怎样的相关关系； （Ⅱ）求出利润额y关于销售额x的回归直线方程；

（Ⅲ）当销售额为4千万元时，利用（Ⅱ）的结论估计该商场的利润额（百万元）.

bxxyyiii1nxxii1n2，aybx.



高三数学试题（文）第4页共4页

CBB160，20. （本小题满分12分）如图所示，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，

A在侧面BB1C1C上的投影恰为B1C的中点O．

（Ⅰ）证明：B1CAB；

（Ⅱ）若ACAB1，且三棱柱ABCA1B1C1的体积为 棱柱ABCA1B1C1的高.

o3，求三 8221. （本小题满分12分）已知函数fxxalnx(aR).

（Ⅰ）讨论函数fx的极值点情况；

（Ⅱ）若a2，存在x1，x2，…，xn,e，使得f(x1)f(x2)f(xn1)f(xn)成

e立，求n的最大值.

122．（本小题满分12分） 在平面直角坐标系xOy中，圆O为ABC的内切圆.其中

A(m,n),B(2,1),C(1,3).

（Ⅰ）求圆O的方程及A点坐标；

（Ⅱ）在直线AO上是否存在异于A的定点Q，使得对圆O上任意一点P，都有

PAPQ(为常数)？若存在，求出点Q的坐标及的值；若不存在，请说明理由.

安徽六校教育研究会2020届高三第一次素质测试

文科数学参

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z(1i)(3i)（i为虚数单位），则z的虚部为（A.2

B.2iC.4

解：易知复数z(1i)(3i)42i，故z的虚部为2，选A.）

D.4i2．设集合Mxx11，Nxx1，则MN=(A.xx1)

C.x0x1D.xx0解：由Mxx11xx2或x0且Nxx1得Mnxx0，选D.B.xx1或x2323.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x(,0)时，f(x)x2x，则f(3)=（

）

A.9B.-9C.45

）

D.-45

解：由f(3)f(3)(2718)45，选C.4.若a1,0cb1，则下列不等式不正确的是（A．log2019alog2019bC．cbaccbabc

b

B.logcalogbaD.(ac)ac(ac)abc

b

解：由a1,0cb1有aa,ac0，故有(ac)a(ac)a，选D.5.已知函数f(x)1，则f(x)的大致图象是(

4x24x)

ABCD

1

解：易知当0x1时，f(x)0；x0或x1时，f(x)0，可排除A、C，又可由f(13)f(2)

排除D，故选B.6.甲、乙两名同学在6次数学考试中，所得成绩用茎叶图表示如下，若甲、乙两人这6次考试的平均成绩分别用x甲、x乙表示，则下列结论正确的是（A.x甲x乙，且甲成绩比乙成绩稳定B.x甲x乙，且乙成绩比甲成绩稳定C.x甲x乙，且甲成绩比乙成绩稳定D.x甲x乙，且乙成绩比甲成绩稳定解：根据茎叶图中数据可求得x甲82、x乙83，S甲12）7412

，S乙故选C.33

7.如图程序框图是为了求出满足3n2n2020的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入A.A2020和nn1B.A2020和nn2C.A2020和nn1D.A2020和nn2解：因为要求A2020时输出，且框图中在“否”时输出，所以““A2020”，又要求n为偶数，且n的初始值为0，所以“偶数，所以D选项满足要求，故选：D．8.函数fxAsinx（其中A0,则f”内不能输入”中n依次加2可保证其为2）的图象如图所示，(A.1)B.12C.22D.3227T4，则2，此时fxsin2x，将解：由图象知A1，T12377,1sin1fxsin2x代入解析式得，又，则，所以，126323所以fsin33．故选D．29.如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别为AB、AD上的点，44AC，则点N且AMAB，连接AC、MN交于P点，若AP511在AD上的位置为A.AD中点B.AD上靠近点D的三等分点C.AD上靠近点D的四等分点D.AD上靠近点D的五等分点4解：假设ANAD，AMAB，54415445APACABADAMANAMAN，11111141111三点M，N，P共线，5421，故选：B.111132x2y2

10．已知椭圆C:221(ab0)的右焦点为F，短轴的一个端点为P，直线l:4x3y0ab

与椭圆相交于A、B两点.若|AF||BF|6，点P到直线l的距离不小于值范围为（A．(0,]）B．(0,6，则椭圆离心率的取5953513]C．(0,]D．(,]2332解：设椭圆的左焦点为F，P为短轴的上端点，连接AF,BF，如下图所示：由椭圆的对称性可知，A,B关于原点对称，则OAOB,又OFOF,四边形AFBF为平行四边形，AFBF又AFBFBFBF2a6，解得：a3,3b6

，解得：b2，即a2c29c22,点P到直线l距离：d550c5,c5e0,。本题正确选项：C.a311．某罐头加工厂库存芒果mkg，今年又购进nkg新芒果后，欲将芒果总量的三分之一用于加工为芒果罐头。被加工为罐头的新芒果最多为f1kg，最少为f2kg，则下列坐标图最能准确描述f1、f2分别与n的关系的是（）解：要使得被加工为罐头的新芒果最少，尽量使用库存芒果，即当当n2m时，f2mnm,n2m时,此时f20，3nmn2mm，对照图象舍去B,D;33要使得被加工为罐头的新芒果最多，则尽量使用新芒果，即当mnmmnmnmmn,n时f1n,n时f1n，因为2m，所以选C.，当3233223x2y2

12．如图，F1、F2是双曲线C:221a0, b0的左、右焦点，过F2的直线与双曲线C交ab

于A、B两点．若AB:BF1:AF13:4:5．则双曲线的渐近线方程为（A．y23xB．y22xC．y3xD．y2x）解：设AF2t,AB3x，则BF14x,AF15x，根据双曲线的定义得：AF1AF2BF2BF12a,即5xt3xt4x2a，解得：t3x, ax∵AB:BF1:AF13:4:5，得ABF1是以B为直角的直角三角形.∴cosBAF1|AB|3，可得cosF2AF13,AF155F2AF1中，|F1F2|2|AF1|2|AF2|22|AF1||AF2|cosF2AF1325x29x225x3x()52x2，可得|F1F2|213x,因52c213x此，该双曲线的离心率e13，所以渐近线为y23x.2a2x二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.若函数f(x)lnx2ax的图象存在与直线2xy0垂直的切线，则实数a的取值范围是

．

'

解：由f(x)lnx2ax有f(x)

111

2a，则由题意即2a在(0,)上有解，由xx2

1111

2a(,)有实数a的取值范围是(,).x224

14.设等差数列an的公差d不为0，a116d，若ak是a1与a2k的等比中项，则k等于

．

2

2

解：易知ak16d(k1)d(k15)d,a2k16d(2k1)d(2k15)d，由ak是a1与a2k的等比中项可得16a(2k15)d(k15)d化简k2k150得，有唯一正整数解为5.x和直线g(x)x1的所有交点从左到右依次记为A1，A2，…，A5，2若P点坐标为(0,3)，则PA1PA2...PA5_____．15．将函数f(x)4cos解：4函数f(x)4cos2x与g(x)x1的所有交点从左往右依次记为A1、A2、A3、A4和A5，且A1和A5，A2和A4，都关于点A3对称，如图所示；则PA1PA2...PA55PA35(1,3)=（5，-53)，所以PA1PA2...PA510.16．如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点M是AD的中点，动点P在底面ABCD内（不包括边界），若B1P值是_____．解：如图，在A1D1上取中点Q，在BC上取中点N，连接DN,NB1,B1Q,QD

平面A1BM，则C1P的最小DN//BM，DQ//A1M且DNDQD，BMA1MM，平面B1QDN//平面A1BM，则动点P的轨迹是DN（不含D,N两点），又CC1平面ABCD，则当CPDN时，C1P取得最小值,三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本小题满分10分）设等比数列an满足a1a320，a2a410，（Ⅰ）令Tna1a2a3an，求Tn的最大值；（Ⅱ）令bnlog2an，求数列anbn的前n项和Sn.解：（Ⅰ）由题q

n1

a2a41

，又由a1a1q220可得a116，

a1a22

1

故an1625n(nN*)…………………………………………………2分

2

则1n4时an1,n5时an1，n6时，0an1，

则n4或5时，Tna1a2a3an最大为168421024.………………5分

5（Ⅱ）令bnlog2an5n，则anbn(5n)2

5n

Sn424323(5n)25n1

Sn423322(5n)24n2

两式相减得1

Sn(232225n)(5n)24n2

181()n1

2(n5)24n



11216(21n1)(n5)24n

4825n(n5)24n48(n3)24n

…………7分

则Sn96(n3)2

5n

(nN*)

…………………………………………10分

18.（本小题满分12分）在ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，且（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若a3，求b2c的最大值.解：（Ⅰ）由.有，可得,易得.……………………………4分（Ⅱ）由abc23，得b2c23(sinB2sinC)sinAsinBsinC23sinB2sin120B23(2sinB3cosB)……………………8分

221sin(B)，其中tan233,0,.22由B0,，存在B使得B，∴sin(B)的最大值为1，2………………………12分

∴b2c的最大值为221.19．（本小题满分12分）某商场近5个月的销售额和利润额如下表所示：销售额x/千万元利润额y/百万元

31

53

63

74

95

（Ⅰ）画出散点图，观察散点图，说明两个变量有怎样的相关关系；（Ⅱ）求出利润额y关于销售额x的回归直线方程；

6（Ⅲ）当销售额为4千万元时，利用（Ⅱ）的结论估计该商场的利润额（百万元）.



b

xxyyi

i

i1

n

xxi

i1

n

2

，aybx.

解：（Ⅰ）散点图如图所示：…………………………………………2分

两个变量正相关，且具有线性相关关系。（Ⅱ）易求得x6,y3.2

………………………………………4分

………………………………………………………………5分

32.210.2010.831.8200.65……………………………7分由公式有b2222

311313

3.20.6560.7……………………………………………………………………9分且a

则线性回归方程为y0.65x0.7……………………………………………………………10分

（Ⅲ）当x4时，由（Ⅰ）可求得y1.9，即利润额约为1.9百万元。…………………12分20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）连接BC1，因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1CBC1，且B1C与BC1相交于O点．因为AO平面BB1C1C，B1C平面BB1C1C，所以B1CAO．又BC1AOO，所以B1C平面ABO因为ABÌ平面ABO，所以B1CAB…………………………………………4分（Ⅱ）由ACAB1且AO垂直平分B1C可知ACB1是等腰直角三角形，则AO又得B1C1BCB1B1B1C，2…………………………………………………………7分

71313,故RtAOB中，ABAO,且等边BCB1中，BO1,2222又AC22214,易求得等腰ABC中AC边上的高为，2412147,………………………………………………………10分

2248

321有h.…………………………………………12分87

则SABC

由VABCA1B1C1SABCh

221.（本小题满分12分）已知函数fxxalnx(aR).

（Ⅰ）讨论函数fx的极值点情况；

（Ⅱ）若a2，存在x1，x2，…，xn,e，使得f(x1)f(x2)f(xn1)f(xn)成立，

e求n的最大值.

1解：（Ⅰ）定义域为0,a2x2a

，………………………………………………………………1分fx2x

xx

故当a0时，fx0，所以函数fx在0,上单调递增，无极值点；…………2分2a2a,fx0fx当a0时，令，得x，所以函数在上单调递增；222a2a2a0,fx0fx令，得x，所以函数在上单调递减，有极小值点，无极大222值点；综上，当a0时，无极值点；当a0时，有极小值点2a，无极大值点.21e……………………………………4分（Ⅱ）当a2时，由（Ⅰ）知，函数fx在,1上单调递减，在1,e上单调递增.故fxminf11，又因为f…………………………………5分11222235.292.72fee22.825.84，，2ee2故fxmaxfee2.…………………………………7分812…………………………………8分2由于e2fefxnfx1fx2fxn1n1f1n1，1,e2故x,e时，fx，e则ne217.取x1x2x3x4x51，则fx1fx2fx55e2，2故n的最大值为6.…………………………………12分22.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，圆O为ABC的内切圆.其中A(m,n),B(2,1),C(1,3).（Ⅰ）求圆O的方程及A点坐标；使得对圆O上任意一点P，都有PAPQ(为（Ⅱ）在直线AO上是否存在异于A的定点Q，常数)？若存在，求出点Q的坐标及的值；若不存在，请说明理由.解：（Ⅰ）由B(2,1),C(1,3)知直线BC的方程为4x3y50，由于圆O与线段BC相切，所以半径r551，即圆O的方程为x2y21.……2分由题意x2y21与线段AC相切，所以线段AC方程为x1.即m1.又x2y21与线段AB也相切，所以线段AB方程为y1.即n1.故A1,1.…………………………………………………………………………………4分（Ⅲ）设Q(x0,y0),P(x,y).则PA(x1)2(y1)2，PQ(xx0)2(yy0)2.若在直线AO上存在异于A的定点Q，使得对圆O上任意一点P，都有PAPQ(为常数),等价于(x1)2(y1)2(xx0)2(yy0)2对圆O上任意点P(x,y)恒成立.…………………………………………………………6分即(x1)(y1)(xx0)(yy0).整理得(1)(xy)(22x0)x(22y0)y2(x0y0)0.因为点Q在直线AO上，所以x0y0.由于P在圆O上，所以x2y21.故(22x0)(xy)32x00对任意xy[2,2]恒成立.……8分2222222222222222229222x00,212x30，所以显然，所以.故002222232x0.0因为0，解得2或1.……………………………………………………10分……………………………………11分当1时，Q(1,1)，此时Q,A重合，舍去.当2时，Q(11,)，2211,)，此时2.………………………………12分22综上，存在满足条件的定点Q(10