数学分析上
数学剖析（I）
（周课时 5 加习题课时 2 ）（共 80 课时）
（ 1）会合与函数 （6 课时）
实数概括，绝对值不等式，区间与邻域，有界集，确界原理，函数观点。
（ 2）数列极限 （ 12 课时）
数列。数列极限的
N 定义。收敛数列的性质：独一性、有界性、保号性、不等式
性质、迫敛性、有理运算。子列。数列极限存在的条件；单一有理、柯西收敛原理。
1 n 、 STOLZ 定理。 1
n
（ 3）函数极限 （ 10 课时） 函数极限观点（ x
与 x x。刹时函数的极限。
定义、
M 定义）函数
极限的性质：独一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质、迫敛性、有理运算。
函数极限存在的条件：归纳原则、柯西准则。 两个重要极限： lim (1
x
) x e, lim sin x 1 1 x 0 x x
无量小量与无量大批及其阶的比较。 （ 4）函数的连续性 （14 课时）
函数在一点的连续性。单侧连续性。中断点及其分类。在区间上连续的函数。连续函 数的局部性质：有界性、保号性、连续函数的有理运算、复合函数的连续性。闭区间上连续 函数的性质：有界性、获得最大最小值性、介值性、一致连续性。初等函数的连续性。
（ 5）极限与连续性（续） （ 15 课时）
实数齐备性的基本定理：区间套定理、数列的柯西收敛准则、聚点原理、致密性定理、 有限覆盖定理、 实数齐备性基本定理的等价性。闭区间上连续函数性质的说明。实数系。压缩映照原理。
（6）导数与微分 （8 课时）
引入问题（切线问题与刹时速度问题） 。导数的定义。单侧导数。导函数。导数的几何意义。和、积、商的导数。反函数的导数。复合函数的导数。初等函数的导数。 微分观点。微分的几何意义。微分的运算法例。一阶微分形式的不变性。微分在近似
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数学分析上
计算中的应用。高阶导数与高阶微分。由参量方程所表示的曲线的斜率。
（ 7）中值定理与导数的应用
（ 15 课时）
费马 (Fermat)定理。罗尔（ Rolle ）中值定理。拉格朗日（ Lagrange）中值定理。柯西中值定理。泰勒（ Taylor ）定理 （ Taylor 公式及其拉格朗日型余项、皮亚诺余项） 、泰勒公式的某些应用。
函数的单一性的鉴别法。极值。最大值与最小值。函数的凸性。拐点。渐近点。函数图象的议论。
数 学 分 析（II）
（周课时 5 加习题课时
2 ）（共 85 课时）
（ 8）不定积分 （ 10 课时）
原函数与不定积分观点。基本积分表。线性运算法例。换元积分法。分部积分法。有理 函数的积分。三角函数有理式的积分。若干初等可积函数。
（ 9）定积分 （15 课时）
引入问题（曲边梯形面积与变力作功）
。定积分定义。定积分的几何意义。可积的必需
条件。上下和及其性质。可积主要条件。几乎到处连续函数。可积函数类：在闭区间上连续
函数、在闭区间上只有有限个中断点的有界函数、单一有界函数。
定积分性质：线性运算法例、区间可加性、不等式性质、绝对可积性、积分中值定理、
第二积分中值定理。微积分基本定理。牛顿—莱布尼兹公式。换元积分法。分部积分法。近
似求积。用活动上积分定义对数函数，并导出对数函数和指数函数的基天性质。
（ 10）定积分的应用
（9 课时）
简单平面图形面积。曲线的弧长与弧微分。曲率。已知截面面积函数的立体体积。旋转体体积
与侧面积。均匀值。物理应用（压力、功、静力矩与重心等） 。 2 / 5
数学分析上
（ 11）失常积分 （10 课时）
无量限失常积分的观点。 柯西准则。 线性运算法例。绝对收敛。失常积分与数项级数的
关系。无量限失常积分收敛性鉴别法。
无界函数失常积分观点。两种失常积分的联系。无界函数失常积分收敛性的鉴别法。
（ 12）数项级数 （ 12 课时）
级数收敛与和的定义。柯西准则。收敛级数的基天性质。正项级数。比较原则。比式判
别法与根式鉴别法。 拉贝鉴别法。一般项级数的绝对收敛与条件收敛。
交织级数。 莱布尼兹
鉴别法。阿贝尔鉴别法与狄利克雷鉴别法。阿贝尔乞降。绝对收敛级数的性质（重排定理。
级数的乘积） 。 Mertens 定理。
（ 13）函数列与函数项级数
（12 课时）
函数列与函数列级数的收敛与一致收敛的观点。一致收敛的柯西准则。函数项级数的维尔
斯特拉斯优级数鉴别法。阿贝尔鉴别法与狄利克雷鉴别法。函数列极限函数与函数项级
数的和函数的连续性。逐项积分与逐项微分。
（ 14）幂级数 （ 8 课时）
阿贝尔第必定理。收敛半径与收敛区间。一致收敛性。和函数的连续性。逐项积分与逐 项微分。 幂级数的四则运算。 泰勒级数。 泰勒睁开的条件。 初等函数的泰勒睁开。
近似计算。
用多项式迫近连续函数（可放在下章中讲）
。
（ 15）傅里叶级数 （ 9 课时）
三角级数。三角级数的正交性。傅里叶级数。贝塞尔不等式。黎曼—勒贝格定理。傅里叶
级数的部分和公式。按段圆滑且以 2 为周期的函数睁开为傅里叶级数的收敛定理。奇函数与偶函数的傅里叶级数。以 2L 为周期的函数的傅里叶级数。一致收敛定理。傅里叶级数
的逐项积分。局部性定理。 Dini 鉴别法与 Jordan 鉴别法。
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数学分析上
数 学 分 析（III）
(一学期课程，周课时 5 加习题课 3) （共 85 课时）
(1) N 维 Euclid 空间中点集的相关性质（
10 课时）
点列的极限，内点、外点和孤立点；开集和闭集；列紧集和紧致集；连通集；点集的基本定 理（ 10 课时）
(2) 多元函数的连续性（ 7 课时）
1．多元函数的极限（ 2 课时）
2．多元连续函数和连续映照（ 5 课时） (3) 函数微分学（ 21 课时）
1．方导游数、偏导数（ 2 课时）
2．多元函数及映照的微分，链式法例（
5 课时） 5 课时） 3．隐函数定理、隐映照定理，逆映照定理（ 4． Taylor 公式，极值与条件极值（
3 课时） 3 课时） 5．曲面的显式方程、隐式方程和参数方程（
(4) 多元函数积分学（ 32 课时）
1．多重积分，包含：可积条件，可积函数类，重积分的计算
（ 10 课时）
2．重积分的应用（ 3 课时）
3．第一型曲线积分（ 3 课时） 4．第二型曲线积分， Green 公式及其各样形式（ 5 课时） 5．曲面的面积和第一型曲面积分（
3 课时）
6．第二型曲面积分， Gauss 公式和 Stokes 公式及其各样形式
（5 课时）
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数学分析上
7．场论，包含：积分与路径没关的条件，数目场的梯度，向量场的散度和旋度，有势场和
势函数（ 3 课时）
(5) 含参变量积分（ 15 课时）
1．含参量常义积分（ 3 课时）
2．含参量广义积分，包含：含参量广义积分的一致收敛性及其性质（
5 课时） 3．Γ 函数和 B 函数（ 5 课时）
教材
华东师范大学数学系 : 《数学剖析》高等教育第一版社
(2003).
教课参照书：
1．常庚哲、史济怀： 《数学剖析教程》高等教育第一版社 (2004).
2．欧阳光中、姚允龙： 《数学剖析》复旦大学第一版社 (1991)
3．菲赫金哥尔茨： 《微积分学教程》 （或数学剖析原理）高等教育第一版社 4．吉米奇： 《数学剖析习题集》山东科技第一版社 (1983). 5. 谢惠民等 《数学剖析习题课讲义》高等教育第一版社
(2003).
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(1956).
