正态分布的概率密度分布函数数学期望与方差

13 正态分布的概率密度、分布函数、数学期望与方差

2一、设随机变量X服从正态分布N(1,2)，求（1）P(1.6X5.8)；（2）P(X4.56)．

X12.4) 2 Φ0,1(2.4)Φ0,1(1.3)Φ0,1(2.4)[1Φ0,1(1.3)]0.991810.90320.50

解：(1) P(1.6X5.8)P(2.6X14.8)P(1.3X11.78) 2 1[Φ0,1(1.78)Φ0,1(2.78)]1Φ0,1(1.78)1Φ0,1(2.78)]

(2) P(X4.56)1P(X4.56)1P(2.78 20.96250.99730.0402.

2二、已知某种机械零件的直径X（mm）服从正态分布N(100,0.6)．规定直径在1001.2（mm）

之间为合格品，求这种机械零件的不合格品率． 解：设p表示这种机械零件的不合格品率，则pP(X1001.2)1P(X1001.2)．

1.2X1001.2X100)P(22) 0.60.60.60.6 (2)(2)(2)[1(2)]2(2)1 20.977210.9544 故p10.95440.0456．

而P(X1001.2)P(

三、测量到某一目标的距离时发生的误差X(m)具有概率密度

f(x)1402e(x20)23200

求在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过30m的概率． 解：三次测量中每次误差绝对值都超过30米可表为

D{第一次ξ30}{第二次ξ30}{第三次ξ30}

因为ξ~N(20,40)，所以由事件的相互性，有

3P(D)(P{ξ30})3(P{ξ30ξ30})3[Φ0,1(1.25)1Φ0,1(0.25)]

2 (20.59870.44)0.50690.13025 于是有

P{三次测量中至少有一次绝对值30米}1P(D)10.130250.86975．

2X四、设随机变量X~N(,)，求随机变量函数Ye的概率密度（所得的概率分布称为对

数正态分布）．

解：由题设，知X的概率密度为

33fX(x)12e(x)222(x)

从而可得随机变量Y的分布函数为

FY(y)P(Yy)P(eXy)．

概率论与数理统计习题解答 第二章随机变量及其分布

当y0时，有FY(y)0；此时亦有FY(y)0． 当y0时，有

FY(y)P(Xlny) 此时亦有FY(y)21lnye(x)222dx．

12ye(lny)222．

从而可得随机变量Y的概率密度为

0,(lny)2fY(y)122e,2yy0;y0.

22五、设随机变量X与Y，X~N(1,1)，Y~N(2,2)，求： (1) 随机变量函数Z1aXbY的数学期望与方差，其中a及b为常数； (2) 随机变量函数Z2XY的数学期望与方差．

2解：由题设，有E(X)1,D(X)12；E(Y)2,D(Y)2．从而有

(1)E(Z1)E(aXbY)E(aX)E(bY)aE(X)bE(Y)a1b2； D(Z1)D(aXbY)D(aX)D(bY)aD(X)bD(Y)a(2)E(Z2)E(XY)E(X)E(Y)12；

D(Z2)D(XY)E(XY)E(XY)E(X)E(Y)E(X)E(Y) [D(X)E(X)][D(Y)E(Y)]E(X)E(Y) D(X)D(Y)D(X)E(Y)D(Y)E(X)

121221．

N（0,1）

则Y=X^2~卡方分布X^2(1) 所以EX^2=1

E(X^4)=DY+(EY)^2=2+1=3

E(X^5)=0.pdf概率密度函数关于y对称.

用定义求解而不是性质,X4次方当成一个g(x)函数,根据定义,E（X4次方）=积分符号g(x)f(x)dx,其中f(x)是标准正态分布的概率密度.用分部积分法求解,不过运算很麻烦.还有另一种解这种复杂积分的方法,用一个叫F（符号我打不出来）函数的性质解,前提你熟悉这个F函数,在浙大教材P79有提过这个函数

因为 X的均值为N，方差为D，

所以有 E(X^2)= D(X) +[E(X)]^2= D +N^2

令 Y = (X-N)/(D^0.5)，则Y服从标准正态，即均值为0，方差为1。 则 E(Y^3) = 0 又

X = Y * D^0.5 +N

2222222222222222． 12b222222222概率论与数理统计习题解答 第二章随机变量及其分布

X^3 = [(Y*D^0.5) + N]^3 = Y^3 * D^1.5 + 3* Y^2 *D*N + 3*Y*N^2*D^0.5 + N^3 所以

E(X^3) = 3 *D*N E(Y^2) + N^3 = 3 DN + N^3