差分方法的稳定性

差分方法的稳定性之蔡仲巾千创作

时间：二O二一年七月二十九日

1.实验内容

对一阶线性双曲线型方程：

1,x0其中初值u0x

0,x0取空间长度h=0.01,对分歧的差分格式（迎风格式,Lax-Friedrichs格式,Lax-Wendroff格式,Beam-Warming格式以及蛙跳格式）及分歧的网格比（时间长度与空间长度比）进行迭代计算.通过将

h

计算结果与精确解进行比力,来讨论和分析差分格式的稳定性. 2.算法思想与步伐 2.1迎风格式

这种格式的基本思想是简单的,就是在双曲型方程中关于空间偏导数用在特征线方向一侧的单边差商来取代,格式如下： 运算格式：

1nnun(1a)uaujjj1,a0un1j1auau,a0njnj1

2.2 Lax-Friedrichs格式 运算格式： un1j11n1auj11aunj1 222.3 Lax-Wendroff格式

这种格式构造采纳Taylor级数展开和微分方程自己获得 运

算

格

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式：

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u

n1jaannna1u1a1aua1uj1jj1222.4 Bean-Warming格式（二阶迎风格式）

借助于双曲型方程的解在特征线上为常数这一事实,可以构造出多种差分格式.设在ttn时间层上网格点A,B,C和D上u的值已给定,要计算出在ttn1时间层上网格点P上的u的值.假定C.F.L条件成立,过P点特征线与BC交于点Q,故微分方程解的性质知

uPuQ.

对uQ：

① 用B,C两点值进行线性插值,获得的是迎风格式; ② 用B,D两点值进行线性插值,获得的是③ 用

Lax-Friedrichs格式；

B,C和D三点值进行抛物型插值,获得的是Lax-Wendroff格

式.

如果我们采纳A,BC三点来进行抛物型插值,可以获得 这就是Beam-Warming格式. 2.5 蛙跳格式

n1n1nnuuauuj1j1 运算格式： jj由于它是个三层格式,需要先用一个二层格式计算出t那一层的值u1j.为了坚持精度的阶数相同,一般我们用Lax-Wendroff格式或Beam-Warming格式.

2.6 目标点范围跟踪格式（迎风格式的改进）

其中a是a取整数部份,aaa.下面的分析将会获得

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这是一个无条件稳定结构. 3.数据分析与作图 3.1迎风格式 稳定性分析：

n1ijkhnijkhnijkhnij1khnijkhveveaveveuve记j,则,得nikhvn1vn1a1e

即

G,k1a1eikh1a1coskhaisinkh.

则在a1时,有G,k1,格式稳定. 3.2 Lax-Friedrichs格式 稳定性分析： 则在

a1时稳定.

3.3 Lax-Wendroff格式 稳定性分析： 则在a1时稳定. 3.4 Beam-Warming格式 稳定性分析： 则在

a2时稳定.

3.5 蛙跳格式 稳定性分析：

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n1nnnuvauujj1j1j命n1 nvjuj令Uu,v

T2aisinkh1则G,k

10则a1时稳定.

3.6 目标点范围跟踪格式 稳定性分析：

G,keiakh1a1eikh,其中

eiakh1,1a1eikh1的成立条件为a1.然

而

a1恒成立,故无条件稳定.

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