导数题的解题技巧

编稿：林景飞 审稿：张扬 责编：严春梅

【命题趋向】

点：

综观2007年全国各套高考数学试题，我们发现对导数的考查有以下一些知识类型与特

（1）多项式求导（结合不等式求参数取值范围）,和求斜率（切线方程结合函数求最值）问题.

（2）求极值, 函数单调性,应用题,与三角函数或向量结合.

（3）分值在12---17分之间，一般为1个选择题或1个填空题，1个解答题.

【考点透视】

1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念．

2．熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数．

3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．

【例题解析】

考点一：导数的概念

理解导函数的概念.

对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，

1．（2007年北京卷）

是的导函数，则的值是

____________．

考查目的：本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力. 解答过程：

2. ( 2006年湖南卷）

故填3.

设函数的取值范围是 ( )

,集合,,若MP,则实数

A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,+∞) 考查目的：本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力.

解答过程：由 ，∴当时，；当时，

综上可得MP时,

考点二：曲线的切线

的切线，即在P点的导数

在曲线

上，且曲线在该

（1）关于曲线在某一点的切线 求曲线

在点

点的切线的斜率就是函数

。

（2）关于曲线过某一点的切线 求曲线 ①切点为 ②切点不为

过点

。因此切线方程为（点斜式）：

的切线，可以分两种情况：

时，方法同（1） 时，可以设切点为

，

然后列出方程（1）。

（3）关于两曲线的公切线

及，解得切点为后方法同

若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线.

3.（2007年湖南文）已知函数

的最大值；

时，设函数

在点

在区间，内各

有一个极值点． （I）求 （II）当穿过函

处的切线为，若在点处

数的图象（即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的一侧进

入另一侧），求函数的表达式．

思路启迪：用求导来求得切线斜率. 解答过程：

（I）因为函数 所以 设两实根为 于是 即 故

，

（

，时等号成立．

在

在区间，

，内分别有一个极值点，

内分别有一个实根，

，且

，且当

，

．

），则

的最大值是16．

知

在点

处的切线的方程是

（II）解法一：由

因为切线在点

，即

处空过

，

的图象，

所以 则

不是

的极值点．

在两边附近的函数值异号，

而 且 若 所以

，则，即

和

，又由

都是

，

．

的极值点． ，得

，

故．

解法二：同解法一得

因为切线在点 所以 当 或当

在时，时，

处穿过

．

的图象，

（； ．

）．

两边附近的函数值异号，于是存在

，当，当

时，时，

设 则当 或当

时，时，

，当，当

，

时，时，

； ．

由 所以

知是的一个极值点，则

，得

，

，

，又由

故

4.（2006年安徽卷）若曲线

．

的一条切线与直线垂直，则的

方程为（ ）

A．D．

B． C．

考查目的：本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力. 解答过程：与直线 即 而

垂直的直线为

在某一点的导数为4， ，所以

在(1，1)处导数为4，

，

此点的切线为

，故选A.

5．( 2006年重庆卷)过坐标原点且与

相切的直线的方

程为 ( )

A.或 B. 或

C. 或 D. 或

考查目的：本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力. 解答过程：

解法1：设切线的方程为

即

.

又，∴圆心为

，，解得，

∴或，故选A.

解法2:由解法1知切点坐标为由

，

6.已知两抛物线

，，故选A.

,取何值时，有且只有

一条公切线，求出此时公切线的方程. 思路启迪：先对 解答过程：

求导数.

函数 曲线

在点

，

即 曲线 即

在点

的导数为，

处的切线方程为

①

的切线方程是 ②

若直线是过点P点和Q点的公切线，则①式和②式都是的方程，故得

，消去

得方程，

若即时，解得，此时点P、Q重合.

∴当时

，，有且只有一条公切线，由①式得公切线方程为 .

考点三：导数的应用

中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数，导数是研究函数性质的重要而有力的工具，特别是对于函数的单调性，以“导数”为工具，能对其进行全面的分析，为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法，进而与不等式的证明，讨论方程解的情况等问题结合起来，极大地丰富了中学数学思想方法.复习时，应高度重视以下问题: 1. 求函数的解析式； 2. 求函数的值域； 3.解决单调性问题； 4.求函数的极值（最值）； 5.构造函数证明不等式。

7．（2006年天津卷）函数

的定义域为开区间

，导函数

在

内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D． 4个

考查目的：本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识的应用能力. 解答过程：由图象可见,在区间

内的图象上有一个极小值点.

故选A. 得极值．

8 .（2007年全国一）设函数

在

及

时取

（Ⅰ）求a、b的值； （Ⅱ）若对于任意的 思路启迪：利用函数程组求a、b的值． 解答过程： （Ⅰ） 因为函数

在

， 及

取得极值，则有

，

．

，都有

成立，求c的取值范围．

在

及

时取得极值构造方

即 解得

，

．

， ．

时，时，时，时，时，

； ； ． 取得极大值的最大值为，有

或

，又．

恒成立， ， ．

，

．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， 当 当 当 所以，当 则当

因为对于任意的 所以

，解得

因此的取值范围为

9.函数的值域是_____________.

思路启迪：求函数的值域，是中学数学中的难点，一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解，也可以利用函数的单调性求出最大、最小值。此例的形式结构较为复杂，采用导数法求解较为容易。

解答过程：由，得，即函数的定义域为.

，

又

当函数

时，

，

在的值域是

，

上是增函数，而.

，

为参数，且

10．（2006年天津卷）已知函数 ．

时，判断函数

是否有极值；

，其中

（1）当 （2）要使函数

的极小值大于零，求参数的取值范围；

在区间

内都

（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数，函数是增函数，求实 数的取值范围．

考查目的：本小题主要考查运用导数研究三角函数和函数的单调性及极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力，以及分类讨论的数学思想方法. 解答过程： （Ⅰ）当

时，

，则

在

内是增函数，故无极值.

（Ⅱ），令，得.

由（Ⅰ），只需分下面两种情况讨论. ①当

时，随x的变化

的符号及

的变化情况如下表：

x + ↗ 0 0 极大值 - ↘ 0 + ↗ 极小值 因此，函数在处取得极小值，

且

.

要使，必有，可得.

由于 ②当时

，故，随x的变化，

的符号及

.

的变化情况如下表：

+ ↗ 0 - ↘ 0 极小值 + ↗ 极大值 因此，函数 若

，则

处取得极小值.矛盾.所以当在

，且

时，

的极小值不会大于零.

综上，要使函数内的极小值大于零，参数的取值范围为

.

（III）解：由（II）知，函数 由题设，函数

在区间与内都是增函数。

内是增函数，则a须满足不等式组

或

由（II），参数时，.

要使不等式关于参数恒成立，必有，即

.

综上，解得或.

所以的取值范围是 调区间.

.

11．(2006年山东卷)设函数f(x)=ax－(a+1)ln(x+1)，其中a-1，求

的单

考查目的：本题考查了函数的导数求法,函数的极值的判定,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力

解答过程：由已知得函数 （1）当

时，

的定义域为

函数

在

，且

上单调递减，

（2）当

、

时，由解得

随的变化情况如下表

— 0 极小值 + 从上表可知

当时，函数在上单调递减.

当

综上所述：当

时，函数时，函数

在在

上单调递增. 上单调递减.

当

时，函数在上单调递减，函数在上单调递增.

12．（2006年北京卷）已知函数在点处取得极大值，

其导函数 （Ⅰ） （Ⅱ）

的值；

的值.

的图象经过点，，如图所示.求：

考查目的：本小题考查了函数的导数,函数的极值的判定,闭区间上二次函数的最值, 函数与方程的转化等基础知识的综合应用,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力 解答过程： 解法一：

（Ⅰ）由图像可知，在

,

故

在

上递增，在

上递减，

上

，在

上

，在

上

因此 （Ⅱ） 由

在处取得极大值，所以

得 解得 解法二： （Ⅰ）同解法一 （Ⅱ）设 又

所以

由 所以 值点.

即

得

13．（2006年湖北卷）设是函数的一个极

（Ⅰ）求与的关系式（用表示），并求的单调区间；

（Ⅱ）设，.若存在使得成

立，求的取值范围.

考查目的：本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力 解答过程： （Ⅰ）

,

由 则 令

，得

，即得b＝－3－2a，

.

，得x1＝3或x2＝－a－1，

由于x＝3是极值点，所以x+a+1≠0，那么a≠－4. 当a＜－4时，x2＞3＝x1，则 在区间（－∞，3）上， 在区间（3，―a―1）上， 在区间（―a―1，+∞）上， 当a＞－4时，x2＜3＝x1，则 在区间（－∞，―a―1）上， 在区间（―a―1，3）上， 在区间（3，+∞）上， （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a＞0时，上单调递减，那么 而 那么

，

，，

为减函数； 为增函数； 为减函数.

，，，

为减函数； 为增函数； 为减函数.

在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）

，

，.

，

在区间[0，4]上的值域是

，

在区间[0，4]上的值域是

又在区间[0，4]上是增函数，

且它在区间[0，4]上的值域是，

由于，

所以只需仅需且a＞0，解得.

故a的取值范围是

.

14 （2007年全国二）已知函数

处取得极小值，且；

．

在处取得

极大值，在 （1）证明

（2）若z=a+2b,求z的取值范围。 解答过程：求函数 （Ⅰ）由函数 知 当

是时，

在

的导数

处取得极大值，在的两个根，所以为增函数，

，由

，．

处取得极小值，

得

．

（Ⅱ）在题设下，等价于

即，化简得．

上三条直线：

．

此不等式组表示的区域为平面

所围成的的内部，其三个顶点分别为：．

在这三点的值依次为．

所以的取值范围为．

小结：本题的新颖之处在把函数的导数与线性规划有机结合．

考点四： 导数的实际应用

建立函数模型,求解数学模型，得到数学结论，再把数学结论还原为实际问题的结论。

15. （2007年重庆文）用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长

方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？

考查目的：本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力. 解答过程：

设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为 故长方体的体积为 从而

.

令V†（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1. 当0＜x＜1时，V†（x）＞0；当1＜x＜

时，V†（x）＜0，

故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。

从而最大体积V＝V†（x）＝9×1-6×1（m），此时长方体的长为2 m，高为1.5 m. 答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m。

16．（2006年福建卷）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量

3

2

3

3

（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：

已知甲、乙两地相距100千米.

（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 考查目的：本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力. 解答过程：

（I）当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，

要耗油（升）.

答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。

（II）当速度为千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了升，

依题意得

小时，设耗油量为

令 当 当 当 因为

时，在得时，时，

取到极小值

是减函数； 是增函数.

上只有一个极值，所以它是最小值.

答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。

数列的综合测试

编稿：林景飞 审稿：张扬 责编：严春梅

一、选择题：

1．如果 A．

2．已知数列 且于（ ）

为各项都大于零的等差数列，公差 B．

C．

，则（ ） D．

、，

都是公差为1的等差数列，其首项分别为

，设

（

），则数列

、，

的前10项和等

A．55 B．70 C．85 D．100

3．等比数列

（ ）

A．1000 B．40 C． 4．设

是一次函数，若

D．

则

f(2)+f(4)+„+f(2n)等于（ ）

A．n(2n+3) B．n(n+4) C．2n(2n+3) D．2n(n+4)

5．在等差数列中，前n项的和为Sn,若Sm=2n,Sn=2m,(m、n∈N且m≠n)，则公差d的值为（ ）

A．

B． C． D．

6．设数列{ xn}满足

的值为（ ）

A．100a B．101a

2

，且，则

C．101a D．100a

100100

7．设数列想数”，已知数列为（ ）

的前n项和为Sn，令，称Tn为数列的“理的“理想数”

的“理想数”为2008，则数列2，

A．2002 B．2004 C．2006 D．2008

8． 如图，在杨辉三角形中，斜线l的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，3，3，4，6，5，10，„，记其前n项和为Sn，则S19等于（ ） A．129 B．172 C．228 D．283

9．北京市为成功举办2008年奥运会，决定从2003年到2007年5年间更新市内现有全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则2003年底更新车辆数约为现有总车辆数的（ ）

（参考数据1．1=1．46 1．1=1．61）

A．20% B．18．8% C．16．4% D．10%

4

5

10． 若动点差数列，则点

的横坐标为，纵坐标为，使成公差不为零的等

的轨迹是（ ）

二、 填空题：

中，

，

，则

的值是________.

11．已知等差数列

12.已知数列

_______

中，，设数列的前n项和为，则

（用数字作答）.

13．设等比数列值为________.

14．数列

15．作边长为a的正三角形的内切圆，在这个圆内作新的内接正三角形，在新的正三角形内再作内切圆，如此继续下去，所有这些圆的周长之和及面积之和分别为________.

16．在直角坐标系中，O是坐标原点，P1(x1，y1)、P2(x2，y2)是第一象限的两个点，若1，x1，x2，4依次成等差数列，而1，y1，y2，8依次成等比数列，则△OP1P2的面积是________.

中，

，求

的末位数字是________.

的公比为q，前n项和为Sn，若Sn+1,Sn，Sn+2成等差数列，则q的

三、 解答题：

17. 等差数列 且

的各项均为正数，

，求数列

，前项和为与

，

为等比数列,

，

的通项公式.

18．已知函数 (Ⅰ)求数列 (Ⅱ)记

,数列

的通项公式；

满足

,求.

19．已知：等差数列{an}中，a3 + a4 = 15，a2a5 = 54，公差d<0. （1）求数列{an}的通项公式an；

（2）求的最大值及相应的n的值.

20．设数列 （1）求证：

是等差数列；

（2）设

都成立的最大正整数m的值.

对所有的

21．某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用为12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元． （1）问第几年开始获利？ （2）若干年后，有两种处理方案：

方案一：年平均获利最大时，以26万元出售该渔船； 方案二：总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船． 问哪种方案合算？

22．已知为锐角，且，函数，数

列{an}的首项 ⑴ 求函数 ⑵ 求证：

的表达式；

；

.

⑶ 求证：

参 一、选择题：

B C D A A， D C D C C

二、填空题：

11．15；

12. 377；

13. －2 14．7；

15. 周长之和 16. 1

，面积之和；

三、解答题：

17． 解析：设

的公差为，，

的公比为，则

为正整数，

依题意有

解得 故 18．

或(舍去)

解析：（Ⅰ）由已知得，∴，

即

∴数列是首项,公差的等差数列.

∴,

故

(Ⅱ) ∵

19． 解析：（1）

为等差数列，∴

.

∴

解得

∴ ∴ （2）

∴

因

上单增，

又

，

，知上单减，在

而

∴当n = 5时， 20．

取最大值为

解析：（1）依题意， 当 又

①

②

，

②－①整理得： 且 ∴

为等比数列，

是等差数列.

（2）由（1）知，

∴

依题意有

故所求最大正整数m的值为5. 21．

解析：（1）由题意知，每年的费用是以12为首项，4为公差的等差数列． 设纯收入与年数n的关系为f（n）， 则

„

．

由题知获利即为f（n）＞0， 由

，得

．

∵nN，∴n＝3，4，5，„，17．

即第3年开始获利．

（2）方案一：年平均收入．

由于（当且仅当n＝7时取“＝”号）

（万元）． 选方案一． 22．

解析： ∴（万元）．

即前7年年平均收益最大，此时总收益为12×7＋26＝110（万元）． 方案二：f（n）＝

＋40n-98＝-2

＋102．

当n＝10时，f（n）取最大值102，此时总收益为102＋8＝110 比较如上两种方案，总收益均为110万元，而方案一中n＝7，故1）

又∵为锐角，∴

∴，

（2） ，∵，∴都大于0

∴

，∴

（3）

∴

∴

（

∵, ,

又∵

，∴

，

∴

∴

数列的综合练习

编稿：林景飞 审稿：张扬 责编：严春梅

81，公差为－7的等差数列{an}中，最接近零的是第（ ）

B．12项 C．13项 D．14项

{an}中，首项a1<0，则{an}是递增数列的充要条件是公比q满足（ ）

B．q<1 C．0是实数a,b,c成等比数列的（ ）

B．必要但不充分条件

D．既不充分又不必要条件

{an}的前n项和为Sn，若a4=18-a5，则S8等于（ ） B．36 C．54 D．72

{a}中，若a3x2

n3，a9是方程-11x+9=0的两根，则a6的值是（ ）

B．

3 C．

D．以上答案都不对．

）

课件信息 课件编号：2282 加 相关课程 四中周练 直线与圆的方程 四中周练 等比数列与等比项和 四中周练 等差数列的前n数列 四中周练 等差数列的前n数列 四中周练 等差数列与正弦 热点问题 直线、圆与圆锥曲线间的位题 设不过原点O的直线l与y^2=1交于P，Q两点，满足ＰＱ，OQ的斜率依次成等比等比数列 试题 ｛an｝满足1=3an且｛bn｝前n项和S等比数列 试题 在等比数列a6a10＝8，a3＋a13＝6

题

首项为项等比数列 ac分但不必要条件要条件知等差数列等比数列 角三角形的三条边长成等差数列，则其最小内角的正弦值为（等比数列 试题 在等比数列 B． C． D．

＋a2＋a3＝6，a2＋a3＋a4等比数列 试题 在等比数列＝2n－4 差数列{an}中，a1=-5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下10项的平均值是4，则

等比数列 试题 等比数列{前n项和 ）

B．a10 C．a9 D．a8

p，则年平均增长率为（ ）

B．12p C．(1+p)12

D．(1+p)12

-1

{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且，则（ ）

B． C． D．

{an}和正项等比数列{bn}满足a1=b1,a2=b2,公差d＞0,则an与b（nn≥3）

的大小关系是（ ）bn B．an≥bn C．an＜bn D．an≤bn

}为公比不为1的正项等比数列，则（ ）

8>a4+a5 B．a1+a88=a4+a5 D．a1+a8与a4+a5大小不定

2，且前四项的和为1，那么前的和为（ ）

B.17 C.19 D.21

{an}的通项公式an=3n-2,在数列{an}中取ak1, ak2, ak3, „, akn ,„ 成等比数列，若K1=2,K2=6,

）

B． 54, C． 160, D． 256

a，b，c，d成等差数列，x是a和d的等差中项，y是b和c的等比中项，则x和y的

）

B．x>y C．x=y D．x≥y

一课一测 高中试题-〉数学-〉代数 对资源评分 5 4 3 2 对资源评论（总数：2） 老师能给点适当的提示吗..填空16题不知所云啊 某工厂生产总值月平均增长率为 差数列项等差数列 ＞n

aa 知等比数列的公比是 知数列（ 四个正数（ 列中，al = l, a2 = 2+3 , a3 = 4+5+6 , a4 = 7+8+9+10 , 则a10的值是（ ）

B．610 C．510 D．505

是等差数列，S10>0，S11<0，则使<0的最小的n值是（ ）

B．6 C．7 D．8

一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）

项 B．12项 C．11项 D．10项

张报纸，其厚度为a，面积为b，现将此报纸对折（既沿对边中点的连线折叠）7次，这时报纸的

分别是（ ）

B． C． D．

n边形的各内角度数成等差数列，最小角是，公差为，则边数n等于（ ）

B．12 C．16 D．18

列满足并且，则数列的第100项为（ ）.

B． C． D．

知整数对的数列如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，

3），（3，2），（4，1），（1，5），（2，4），．．．。则第60个整数对是（ ）

，8） B．（4，7） C．（4，8） D．（5，7）

钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m，则m的范围是（ ）

，2） B．（2，+∞） C．[3，+∞ D．（3，+∞）

题

为等差数列，

，

，则

______________．

知

列中，，，,其中为常数，则____。

等比数列｛｝中,若,则的值是______________.

知等差数列中，，，若，则数列的前5项和等于___________。

表示等比数列（）的前项和，已知，则______________。

知数列中，()，则数列的最大项是______________。

等差数列的前项和为，若，，则______________。

数列中，，则通项 _______。

比数列的前项和为，已知，，成等差数列，则的公比为_________。

知等差数列满足：．若将都加上同一个数，所得的三个数依次成

则所加的这个数为______________．

知数列的前项和为某三角形三边之比为，则该三角形最大角为_____．

人为了购买商品房，从2001年起，每年1月1日到银行存入a元一年定期储蓄，若年利率为p且

并约定每年到期存款及利息均自动转存为新的一年定期存款，到2008年1月1日（当日不存只取）

款及利息全部取回(不计利息税)，则可取回的钱的总数为______________（元）。

定（），定义“乘积为整数”的k（）叫做“理

区间[1，2008]内的所有理想数的和为____________________________．

差数列{an}中，若a1+a4+a7=15，a3+a6+a9=3，则S9= ______________．

列的前n项之和为 ______________．

1,2之间依次插入个正数a1，a2，a3，„，an，使这n+2个数成等比数列，则a1a2a3„an= ______．

季某高山上的温度从山脚起，每升高100米降低，已知山顶处的温度是，山脚温度

则这山的山顶相对于山脚处的高度是______________．

列满足：，则使成立的n的值是___________．

等比数列的公比为q，前n项和为Sn，若Sn+1,Sn，Sn+2成等差数列，则q的值为________.

平面内有ｎ条直线，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用＝__________；当ｎ＞４时，

＝__________．

直线交点的个数，则

题

为等差数列,

为等比数列,且a1=b1=1,a2+a4=b3,b2b4=a3分别求出

及

的前10项的和

知数列的前项和为，且满足

证明：数列为等差数列；

求及.

知等差数列的前项和为，且S13＞S6＞S14,a2=24．

公差d的取值范围；

数列{Sn}是否存在最大项，若存在，求出最大时的n，若不存在,请说明理由．

首项为正数的等比数列，它的前n项和为80，前2n项的为6560，且前n项中数值最大的项为54，

首项和公比．

于美伊战争的影响，据估计，伊拉克将产生60～100万难民，联合国难民署计划从4月1日起为伊

品。第一天运送1000 t，第二天运送1100 t，以后每天都比前一天多运送100 t，直到达到运送

量，然后再每天递减100 t，连续运送15天，总共运送21300 t，求在第几天达到运送食品的最

有唯一解，

问数列是否是等差数列？ 的值.

求

数列的前n项和为Sn=2n，和

的通项公式；

2

为等比数列，且

求数列

设，求数列的前n项和Tn.

是公比大于1的等比数列，

，且

为数列的前项和．

知构成等差数列．

求数列的通项公式．

求数列

的前项和

令

正项数列{an}的前n项和为Sn，且存在正数t，使得对所有正整数n，t与an的等差中项和t与Sn

相等。

}为等差数列；

求证数列{

求{an}通项公式．

知函数f(x)=a1x+a2x+„+anx(n∈N)，且a1，a2，a3，„，an构成数列{an}，又f(1)=n．

2n*2

求数列{an}的通项公式；

求证：．

知是公差为的值；

的等差数列，它的前项和为,,．

求公差

若，求数列中的最大项和最小项的值；

成立，求

的取值范围．

若对任意的，都有

地今年年初有居民住房面积为a m,其中需要拆除的旧房面积占了一半．当地有关部门决定每年以

2

2

房面积的10%的住房增长率建设新住房，同时每年拆除x m的旧住房，又知该地区人口年增长率为

如果10年后该地的人均住房面积正好比目前翻一番，那么每年应拆除的旧住房面积x是多少？

依照(1)拆房速度，共需多少年能拆除所有需要拆除的旧住房？

下列数据供计算时参考：

1.1=2.38 1.1=2.60 1091.0049=1.04 1.0049=1.05 1091.1=2.85 111.0049=1.06 11：

题

2．C 3．B 4．D 5．C 6．A 7．A

9．D 10．C 11．A 12．B 13．A 14．D

16．B 17．A 18．C 19．A 20．D 21．D 22．B

题

2．－1； 3．4； 4．90； 5．7；

12项或13项； 7．45； 8．； 9．；

1； 11．120 ； 12．

0

；

46； 14．27； 15．； 16．；

00米； 18．21； 19．-2； 20．5, .

题

设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，

则，解得

∴

时，

当

∴

∴是以为首项，2为公差的等差数列

，∴

当时，

∴

由题意得

∴

由（1）知，a10＞0,a10+a11＜0,∴a10＞0＞a11，

又公差小于零，数列{an}递减，

所以{an}的前10项为正，从第11项起为负，加完正项达最大值。

∴n=10时，Sn最大。

设该等比数列为{an}，且公比为q

若q=1，则Sn=na1,S2n=2na1,与题意不符，故q≠1。

，两式相除，得1+q=82，q=81，

nn

∴，q=a1+1＞1，

∴数列{an}为递增数列，前n项中最大的项为an=a1q=

n-1

解得a1=2,q=3。

设在第n天达到运送食品的最大量。

则前n天每天运送的食品量是首项为1000，公差为100的等差数列。

。

其余每天运送的食品量是首项为100n+800，公差为－100的等差数列。

依题意，得

。

整理化简得

解得n=9或n=22（不合题意，舍去）。

∴在第9天达到运送食品的最大量。

由，

由已知得，∴

∴

又因为.

∴数列是首项为1002，公差等于的等差数列.

由（1）知∴

当

的等差数列.

得

∴{an}的通项公式为

由

设{bn}的公比为

∴

故

∵

∴

两式相减得

∴

由已知得，解得．

设数列的公比为，由，可得．

又，可知，

即

∴

，解得

，∴

．

．

由题意得

故数列的通项为．

，∴

是等差数列．

由于

由（1）得

又， ∴

∴

故．

由题意：即

∴

。

不能对正整数n恒成立，

}为等差数列，公差为，

当n=1时，

当n≥2时，

∴

因为{an}为正项数列，故Sn递增，

，即数列{

∴

∴

∴

2

*

由题意：f(1)=a1+a2+„+an=n，(n∈N)

=1时，a1=1

2

2

≥2时，an=(a1+a2+„+an)-(a1+a2+„+an-1)=n-(n-1)=2n-1

∴对n∈N总有an=2n-1,

*

即数列{an}的通项公式为an=2n-1.

∴

∴

∵，∴，解得

∵，∴数列的通项公式为

∴

∵函数

，当

在

时，

和

上分别是单调减函数，

∴

∴数列中的最大项是，最小项是

由得

又函数

时

；

在

时

和.

上分别是单调减函数，

且

又∵对任意的

的取值范围是

，都有

，∴ ∴

∴

10

设今年人口为b人，则10年后人口为b(1+4.9‟)＝1.05b,

由题设可知： 年后的住房面积为．

年后的住房面积为． 年后的住房面积为

年后的住房面积为

，解得．

（年）．

）每年拆除的旧住房面积为；

）按此速度全部拆除旧住房还需16年．

编稿：林景飞 审稿：张扬 责编：辛文升

y＝f（x）的图象与直线x＝－2的公共点数目是（ ）

1 B．1或2 C．1 D．0 U ={(x,y)｜x∈R,y∈R},A={(x,y)｜2x-y+m>0},B={(x,y)｜x+y-n ≤0}，那么点，3)∈A ∩(CUB)的充要条件是( ) 且n<5 B．m<-1且n<5 C．m>-1且n>5 D．m<-1且n>5

课件信息 课件编号：218043 相关课程 四中周练 高二下数学周末 四中周练 函数、不等式、综合 四中周练 高二数学周末练复数） 四中周练 集合、函数、不„„0由题设得全部拆除旧住房还需12

测试

题

数或集合

2-1与正弦定理综合 四中周练 函数 数f (x)是偶函数，定义域是R，且在[0, ＋∞)上是减函数，则下列各式中正确的是（ ）

一课一测 B．

高中试题-〉数学-〉代数应用（选修） D．

高中试题-〉数学-〉代数＝log0.9

0.70.8，b＝log 0.10.9， c＝1.1，那么 ( )

B．a的增区间为（ ）.

B．

C.

D.

f(x)=，则f(log23)=( )

B． C． D．

R上的函数，如果存在实数，使，那么叫做函数的一不存在好点，那么的取值范围是（ ）

B．

C．

D．

对任意，都有，且当时，，则

的值是（ ）

组合测试 对资源评分 5 4 3 对资源评论（总数：1）求选择与填空的解题步骤„>_ aa函数 于定义在实数集 好点。已知函数偶函数 B． C． D．

知命题P：关于的不等式的解集为；命题Q：

的取值范围是( )

是减函数.若P或Q为真命题，P且Q为假命题，则实数

，1 D．（－

，1）

1，2） B．1，2） C．（－

为了得到函数的图象，只需把函数上所有点( )

右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

函数的图象大致是( )

B C D

已知函数的图象与函数（且）的图象关于直线对称，记

．若在区间上是增函数，则实数的取值范围是( )

B． C． D．

题

函数y＝的定义域是_____.

已知x∈N，f(x)=

*

，其值域设为D，给出下列数值：-26，-1，9，14，27，65，

则其中属于集合D的元素是_____________.(写出所有可能的数值)

函数f (x)＝|x＋3|＋|x－1|＋|x－2|的最小值是_____。

函数为单调递减的奇函数，若则的取值范围是_____。

方程f(x)=x的根称为f(x)的不动点，若函数有唯一不动点，则_____。

若存在常数，使得函数满足，则的一个正周期为_____。

题：

=

，方程

两实根的差的绝对值等于2，求实数的值。

已知二次函数

设f (x)＝lg(ax－2x＋a) ．

2

如果f (x)的定义域是(－∞, ＋∞)，求a的取值范围；

如果f (x)的值域是(－∞, ＋∞)，求a的取值范围。

已知定义在R上的函数

是奇函数； 在

，满足，且时，,f(1)=－2。

求证：

求上的最大值和最小值。

2011湖北，17)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上

度v(单位：千米/小时)是车流速度x的函数．当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，

速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当

速度v是车流密度x的一次函数．

时，求函数

的表达式；

当

当车流密度为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/每小时)

可以达到最大，并求最大值(精确到1辆/每小时)

已知f(x)=ax+bx+cx+d(a≠0)是定义在R上的函数，其图象交x轴于A、B、C三点，若点B的坐标

32

且f(x)在[-1,0]和[4，5]上有相同的单调性，在[0，2]和[4，5]上有相反的单调性

）求实数c的值；

）在函数f(x)图象上是否存在一点M(x0,y0)，使f(x)在点M的切线斜率为3b？若存在，求出点M的

标；不存在说明理由。

已知集合是同时满足下列两个性质的函数的全体：

的定义域内存在区间

，使得

在

在其定义域上是单调增函数或单调减函数；②在

值域是．

是否属于集合

？并说明理由．若是，请找出区间

；

）判断函数

）若函数，求实数的取值范围．

： 1 A 2 A 3 A 4 A 5 C 6 D 7 A 8 D 9 B 10 A 11 D 12 B 题号 案 题

∈；

：≥0，，∴ x∈.

26，14，65；

；

：当x≥2时, y=3x, y≥6； 当1≤x<2时, y=x＋4, 5≤y<6； 当－3≤x<1时, y=－x＋6, 59, ∴ 函数的最小值是5.

；

：且为奇函数，∴，

上为减函数，

∴，解之得。

：令则，依题意有，此式对任意都成立，

而且为常数，因此，说明是一个周期函数，为最小正周期。

题：

解析：

，

有两个不等实根

∴

、，且

，

.

知

.

解析：

∵f (x)的定义域是(－∞, ＋∞),

2

∴当x∈(－∞, ＋∞)时,都有ax－2x＋a>0,

2

即满足条件a>0, 且△=4－4a<0， ∴a>1.

∵f (x)的值域是(－∞, ＋∞)，即当x在定义域内取值时，可以使y∈(－∞, ＋∞).

2

必须使ax－2x＋a可以取到大于零的一切值，

2

∴ a>0且△=4－4a≥0，或a＝0,

解得0≤a≤1.

解析：

则

令

令x=y=0,则f(0)=2f(0),

∴f(0)=0

∴

为奇函数。

，

，

∴

∴

设x1，

∴

∴函数

在

在R上是单调递减的。

上最大值是

，而最小值是

，

在

上的最大值为6，最小值为

。

。

∴

∴

∴

解析：

时，

；当

时，设

．

由题意：当

再由已知得，解得．

故函数的表达式为

依题意并由(Ⅰ)可得

时，

为增函数，故当

时，其最大值为

；

当

当时，

，即

时，等号成立．

，

当且仅当

所以，当时，在区间上取得最大值．

综上，当时，在区间上取得最大值≈3333．

即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，

最大值约为3333辆/小时．

解析：

为f(x)在[-1，0]和[0，2]上有相反的单调性，

以x=0是f(x)的一个极值点

f†(0)=0,∴c=0

为f(x)交x轴于点B(2,0)，

以8a+4b+d=0即d=-4(b+2a)

f†(x)=0得3ax+2bx=0,解得x1=0,

2

为f(x)在[0，2]和[4，5]上有相反单调性，

以-且

有

设存在点M(x0,y0),使得f(x)在点M的切线率为3b，则f†(x0)=3b

3ax0+2bx0-3b=0 所以

2

, ∴

不存在点M(x0，y0),使得f(x)在点M的切钱斜率为3b

解析：

的定义域是 则

在

，

在

上是单调减函数．

．

）

，∴上的值域是

由 解得或（舍去）或（舍去）

∴ 函数属于集合，且这个区间是

是定义域

． 上的增函数．

）设，则易知

，∴存在区间，满足，．

即方程法一：

在内有两个不等实根．

方程在内有两个不等实根，

等价于方程即方程

在

在

内有两个不等实根．

内有两个不等实根．

根据一元二次方程根的分布有

解得．

因此，实数的取值范围是法二：

．

要使方程在内有两个不等实根，

即使方程如图：

在内有两个不等实根．

当直线经过点时，，

当直线得由

，得

与曲线

，

．

相切时，方程两边平方，

因此，利用数形结合得实数的取值范围是．

三角函数综合测试

编稿：林景飞 审稿：张扬 责编：严春梅 （时间：120分钟 总分150分） 一、选择题（共10道，每道5分） 1．已知角的终边过点P(－4,3)，则

（ ）

A．－1 B．

C． D．2

2．已知点P(tan,cos)）在第二象限，则角的终边在第（ ）象限。 A．一 B．二 C．三 D．四

3．“”是“A=30°”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4．函数的单调增区间为（ ）

A． B．

C．

D．

5．已知函数

程为（ ）

的图象经过点(0,1)，则该函数的一条对称轴方

A．

B． C． D．

6．已知，，则等于（ ）

A．

B． 7 C． D．－7

7．在△ABC中，，则△ABC是（ ）

A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．任意三角形

8．下列函数中，图象的一部分如右图所示的是（ ）

A． B．

C．

D．

9．已知函数，则的值域是（ ）

A．[－1，1] B．

C． D．

10．若不等式对于区间内的任意x都成立，则实数a的取值范

围是（ ）

A．（0，1） B．

C． D．

二、填空题（共4题，每题5分）

11．已知扇形AOB的周长是12 cm，该扇形中心角是2弧度，则该扇形面积为____________。

12．函数

的定义域为___________。

13．已知

14．对于函数

，，，则________。

，给出下列四个命题：

①存在，使；

②存在 ③存在

，使，使函数

恒成立；

的图象关于y轴对称；

④函数的图象关于点对称；

其中正确命题的序号是____________。

三、解答题（共6题，共80分）

15．（本小题满分12分）

已知在△ABC中，∠B=30°，b=6，

，求a及△ABC的面积S。

16．（本小题满分12分）

在△ABC中，已知a、b、c分别是三内角A、B、C所对应的边长，且b2+c2－a2=bc。 （1）求角A的大小；

（2）若sin2A+sin2B=sin2C，求角B的大小。

17．（本题满分14分）函数的图象上

一个最高点的坐标为 （1）求 （2）求

，与之相邻的一个最低点的坐标是

的表达式；

在[0，π]上的最大值和最小值；

（3）求

在处的切线方程。

18．（14分）已知函数

（1）求函数的最小正周期；

（2）当y取到最大值时，求自变量x的取值的集合； （3）说明该函数的图象可以由函数

19．（14分）已知A(3,0)，B(0,3)，C(cos （1）若 （2）若

，求

，且

的值；

，求

，

,sin

经过怎样的平移和伸缩变换得到。 )，O为坐标原点，

的夹角。

20．（本小题满分14分）

为了立一块广告牌，要制造一个三角形的支架。三角形支架形状如图，要求∠ACB=60°，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米。为了广告牌稳固，要求AC的长度越短越好，求AC最短为多少米？且当AC最短时，BC长度为多少米？

参 一、选择题

1．C 2．D 3．B 4．C 5．C 6．A 7．B 8．D 9．C 10．D

二、填空题

11．9 cm2 12．

13． 14．①③④

三、解答题

15．解析：

法一：由余弦定理：b2=a2+c2－2ac cosB

即：36=a2+108－18a ∴a2－18a+72=0 解得：a=6或a=12

当a=6时，

当a=12时，

法二：由正弦定理得

∵c＞b ∴∠C＞∠B

∴30°＜C＜180° ∴C=60°或C=120°

①当C=60°时，A=90°，

②当C=120°时，A=B=30°，∴a=b=6，

16．解析：

。

（1）∵b2+c2－a2=bc，∴ ∵0＜A＜180° ∴A=60°

（2）由正弦定理：，

∴，，

∵sin2A+sin2B=sin2C，∴ 即a2+b2=c2 ， ∴∠C=90° ∴B=180°－(A+C)=30°

17．解析：

（1）由题意知：，

，∴

又∵的图象过点，∴

即：

∴，

∴，

∵，∴，

∴

（2）∵0≤x≤π，∴

∴，即时

，即时

（3）∵，∴，又∵

∴在处的切线方程

即

。

18．解析： （1）

∴函数的最小正周期：

（2）当即时

∴时，。

（3）

19．解析： （1）∵ ∴

，

即，∴

两边都平方，得

∴ （2）∵

，

∴

∴ 即：

∵，∴

又∵，

∴，，

∴ ∵

，

∴

。

20．解析： 法一：余弦定理

设AC=x米，BC=y米，则AB=(x－0.5)米，y＞1 由余弦定理：AB2=AC2+BC2－2AC·BC·cosC 即(x－0.5)2=x2+y2－2xy cos60° 整理得：(y－1)x=y2－0.25 ∵y＞1

∴

（当且仅当即时，取“＝”）

∴当时，。

答：当AC最短为时，BC长度为。

法二：设AC=x米，则AB=(x－0.5)米，x＞0.5

由正弦定理得：，

即 ∴

∵x＞0.5 ∴2x－1＞0

∴

又∵0＜B≤120°，∴0＜sinB≤1

∴，∵2x－1＞0，∴

解得： ∴ 当

时，sinB=1，∴B=90°，A=30°

∴。

答：当AC最短为时，BC长度为。