全国高中数赛模拟试题（三）
（命题人：吴伟朝）
第一试
一、选择题：（每小题6分，共36分）
1、若集合S＝{n|n是整数，且22n＋2整除2003n＋2004}，则S为
（A）空集 （B）单元集 （C）二元集 （D）无穷集 2、若多项式x2－x＋1能除尽另一个多项式x3＋x2＋ax＋b（a、b皆为常数）．则
a＋b等于 （A）0 （B）－1 （C）1 （D）2
3、设a是整数，关于x的方程x2＋(a－3)x＋a2＝0的两个实根为x1、x2，且
tan(arctan x1＋arctan x2)也是整数．则这样的a的个数是 （A）0 （B）1 （C）2 （D）4
4、设一个四面体的体积为V1，且它的各条棱的中点构成一个凸多面体，其
体积为V2．则（A）
12V2V1为
12
23
（B）
23
（C）常数，但不等于和
（D）不确定，其值与四面体的具体形状有关
5、在十进制中，若一个至少有两位数字的正整数除了最左边的数字外，其
余各个数字都小于其左边的数字时，则称它为递降正整数．所有这样的递降正整数的个数为 （A）1001 （B）1010 （C）1011 （D）1013
6、在正方体的8个顶点中，能构成一个直角三角形的3个顶点的直角三点
组的个数是 （A）36 （B）37 （C）48 （D）49
二、填空题：（每小题9分，共54分）
1、若直线xcos＋ysin＝cos2－sin2（0＜＜）与圆x2＋y2＝有公共点，
41则的取值范围是 ．
2、在平面直角坐标系xOy中，一个圆经过(0,2)、(3,1)，且与x轴相切．则
此圆的半径等于 ． 3、若常数a使得关于x的方程
lg(x2＋20x)－lg(8x－6a－3)＝0
有惟一解．则a的取值范围是 ． 4、f(x)＝
x28＋xcosx＋cos(2x)(x∈R)的最小值是 ．
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5、若k是一个正整数，且2k整除
C4006C40063C40063C400630212ii40062003
则k的最大值为 ．
6、设ABCD为凸四边形，AB＝7，BC＝4，CD＝5，DA＝6，其面积S的取
值范围是(a,b] ．则a＋b＝ ．
三、（20分）
设椭圆的左右焦点分别为F1、F2，左准线为l，点P在椭圆上．作PQ⊥
l，Q为垂足．试问：对于什么样的椭圆，才存在这样的点P，使得PQF1F2为平行四边形？说明理由（答案用关于离心率e的等式或不等式来表示）．
四、（20分）
设a0＝1，a1＝2，an+1＝2an-1＋n，n＝1,2,3,…．试求出an的表达式（答案用有限个关于n的式子相加的形式表示，且项数与n无关）．
五、（20分）
试求出所有的有序整数对(a,b)，使得关于x的方程x4＋(2b－a2)x2－2ax＋b2－1＝0的各个根均是整数．
参
第一试
一、选择题： 题号 答案 二、填空题：
1 C 2 C 3 B 4 A 5 D 6 C 1、,； ,63363、1636,1； 225 2、1565；
4、－1； 6、2210．
5、2004；
三、e,1．
21四、a2n＝2n+2－2n－3；a2n+1＝3×2 n+1－2n－4．
五、(a,b)＝(2l―1,l2―l―1)(l∈Z)
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第二试
一、（50分）
点P在△ABC内，且∠BAP＝∠CAP，连结BP并延长交AC于点Q．设∠BAC＝60°，且
1BP1PC1PQ．
求证：P是△ABC的内心．
二、（50分）
设正数a、b满足ab2且使得关于x的不等式
x1≥ax1b
总有实数解．试求f(a,b)＝a2－3ab＋b2的取值范围．
三、（50分）
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试求出正整数k的最小可能值，使得下述命题成立：对于任意的k个整数a1,a2,…,a（允许相等），必定存在相应的k的整数x1,x2,…,x（也允许相等），kk
且|xi|≤2(i＝1,2,…,k)，|x1|＋|x2|＋…＋|xk|≠0，使得2003整除x1a1＋x2a2＋…＋xkak．
参
第一试
一、选择题： 题号 答案 二、填空题：
1 C 2 C 3 B 4 A 5 D 6 C 1、,； ,66333、1636,1； 225 2、1565；
4、－1； 6、2210．
5、2004；
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三、e,1．
21四、a2n＝2n+2－2n－3；a2n+1＝3×2 n+1－2n－4．
五、(a,b)＝(2l―1,l2―l―1)(l∈Z)
第二试
一、证略（提示：将条件变形为
PCPAPAPB1PCPQ，然后应用正弦定理，进行三角
变换，得∠BPC＝120°，利用同一法即证）；
二、(－∞，－1)．
三、kmin＝7．
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