类比归纳专题：有关中点的证明与计算
——遇中点，定思路，一击即中
◆类型一 直角三角形中，斜边中点构造斜边上的中线 1．(2021·高邑县期末)如图，一根木棍斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上，设木棍中点为P，假设木棍A端沿墙下滑，且B沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离( )
A．变小 B．不变 C．变大
D．无法判断
2．如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，M，N分别是BC，DE的中点．求证：MN⊥DE(提示：连接ME，MD)．
◆类型二 结合或构造三角形的中位线解题
3．(2021·宁夏中考)如图，在△ABC中，AB＝6，点D是AB的中点，过点D作DE∥BC，1
交AC于点，点M在DE上，且ME＝DM.当AM⊥BM时，那么BC的长为________．
3
4．如图，在四边形ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，假设AB＝10，CD＝8，求MN的取值范围．
5．如图，AD，BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE于点G，AD＝BE＝6，
求AC的长．
◆类型三 中点与特殊四边形
6．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD与CE相交于点O，点M，N分别为线段BO和CO的中点．求证：四边形EDNM是矩形．
参与解析
1．B 2．证明：连接ME，MD.∵CE⊥AB，∴△BCE为直角三角形．∵M为BC的中点，∴ME11
＝BC.同理可证MD＝BC，∴ME＝MD.∵N为DE的中点，∴MN⊥DE. 22
3．8
4．解：取BD的中点P，连接PM，PN.∵M是AD的中点，∴PM是△ABD的中位线，11
∴PM＝ABPN＝CD△PMN中，PM－PN＜MN＜PM＋PN，∴1＜MN＜9.
22
5．解：过D点作DF∥BE，交AC于点F.∵AD是△ABC的中线，AD⊥BE，∴F为CE1
的中点，AD⊥DF.∴DF是△BCE的中位线，∠ADF＝90°.∵AD＝BE＝6，∴DF＝BE＝3，
2∴AF＝AD2＋DF2＝35.∵BE是△ABC的角平分线，∴∠ABG＝∠DBG.∵AD⊥BE，∴AG
1
＝DG，即G为AD的中点．∵BE∥DF，∴E为AF的中点，∴AE＝EF＝CF＝AF，∴AC
23395＝AF＝×35＝. 222
11
6．证明：∵BD，CE分别是AC，AB边上的中线，∴AE＝AB，AD＝AC，ED是△ABC
221
的中位线，∴ED∥BC，ED＝BC.∵点M，N分别为线段BO和CO的中点，∴OM＝BM，
21
ON＝CN，MN是△OBC的中位线，∴MN∥BC，MN＝BC，∴ED∥MN，ED＝MN，∴四
2边形EDNM是平行四边形，∴OE＝ON，OD＝OM.∵AB＝AC，∴AE＝AD.在△ABD和△ACEAB＝AC，中，∠A＝∠A，∴△ABD≌△ACE，∴BD＝CE，∴EO＋ON＋CN＝BM＋OM＋OD，∴3OE
AD＝AE，＝3OM，即OE＝OM.又∵DM＝2OM，EN＝2OE，∴DM＝EN，∴四边形EDNM是矩形．
