高一数学校本课程校本课程

王乐

教学目的

1.通过分析数学思维的特殊性，让学生意识到自己在数学学习中存在的问题. 2.让学生明确数学思维具有变通性. 3.让学生明确高中数学解题思维全过程. 教学重难点

重点:1.明确数学思维的特点,并能合理的加以应用. 2.明确数学解题思维全过程. 3.了解提高解题能力的技巧. 难点:对数学思维的特点的理解及其应用.

第一课时

数学思维的变通性

思维的变通性——善于根据题设的相关知识，提出灵活的设想和解题方案。 数学问题千变万化，要想既快又准的解题，总用一套固定的方案是行不通的，要善于根据题设的相关知识，提出灵活的设想和解题方案。要想在解题过程中灵活的变通需做到: （1） 善于观察

任何一道数学题，都包含一定的数学条件和关系。要想解决它，就必须依据

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题目的具体特征，对题目进行深入的、细致的、透彻的观察，然后认真思考，透过表面现象看其本质，这样才能确定解题思路，找到解题方法。观察看起来是一种表面现象，但实际上是认识事物内部规律的基础。接下来,我们通过一些例子来体会观察的重要性.

例1 已知a,b,c,d都是实数，求证a2b2c2d2(ac)2(bd)2. 思路分析 从题目的外表形式观察到，要证的 结论的右端与平面上两点间的距离公式很相似，而 左端可看作是点到原点的距离公式。根据其特点， 可采用下面巧妙而简捷的证法，这正是思维变通的体现。 证明 不妨设A(a,b),B(c,d)如图1－2－1所示， 则AB(ac)2(bd)2.

y A(a,b)B(c,d)图1－2－1

x OAa2b2,OBc2d2,

在OAB中，由三角形三边之间的关系知：

OAOBAB 当且仅当O在AB上时，等号成立。 因此，a2b2c2d2(ac)2(bd)2.

例2 已知二次函数f(x)ax2bxc0(a0),满足关系

f(2x)f(2x)，试比较f(0.5)与f()的大小。

思路分析 由已知条件f(2x)f(2x)可知，在与x2左右等距离的点的函数值相等，说明该函数的图像关于直线x2对称，又由 已知条件知它的开口向上，所以，可根据该函数的大致

2

y

图像简捷地解出此题。

解 （如图1－2－2）由f(2x)f(2x)， 知f(x)是以直线x2为对称轴，开口向上的抛物线 它与x2距离越近的点，函数值越小。

O

2

x

图1－2－2

20.52f(0.5)f() （2） 善于联想

联想是问题转化的桥梁。稍具难度的问题和基础知识的联系，都是不明显的、间接的、复杂的。因此，解题的方法怎样、速度如何，取决于能否由观察到的特征，灵活运用有关知识，做出相应的联想，将问题打开缺口，不断深入。同样我们从实际出发来分析如何联想.

xy2 例1 解方程组.

xy3这个方程指明两个数的和为2，这两个数的积为3。由此联想到韦达定理，

x、y是一元二次方程 t22t30的两个根，

x1x3所以或.可见，联想可使问题变得简单。

y3y12yxz. 例2 若(zx)24(xy)(yz)0,证明：思路分析 此题一般是通过因式分解来证。但是，如果注意观察已知条件的特点，不难发现它与一元二次方程的判别式相似。于是，我们联想到借助一元二次方程的知识来证题。

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证明 当xy0时，等式 (zx)24(xy)(yz)0

可看作是关于t的一元二次方程(xy)t2(zx)t(yz)0有等根的条件，在进一步观察这个方程，它的两个相等实根是1 ，根据韦达定理就有：

yz1即 2yxz xy若xy0，由已知条件易得 zx0, 即xyz,显然也有2yxz. （3） 善于将问题进行转化

数学家G . 波利亚在《怎样解题》中说过：数学解题是命题的连续变换。可见，解题过程是通过问题的转化才能完成的。转化是解数学题的一种十分重要的思维方法。那么怎样转化呢？概括地讲，就是把复杂问题转化成简单问题，把抽象问题转化成具体问题，把未知问题转化成已知问题。在解题时，观察具体特征，联想有关问题之后，就要寻求转化关系。

例1 如果函数f(x)xbxc对任意实数t都有f(2+t)=f(2-t)，比较

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f(2),f(1),f(4)的大小关系

解析 转化为在同一个单调区间上比较大小问题.

由f(2+t)=f(2-t)知f(x)的对称轴为x=2.

∴f(x)在［2，+∞）上为单调增函数.

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例2 已知非空集合A={x|x2-4mx+2m+6=0，x∈R}，若AR求实数m的取 值范围(R-表示负实数集,R+表示正实数集).

解 设全集U={m|Δ=16m2-8m-24≥0}

3mm1或m.2 方程x2-4mx+2m+6=0的两根均非负的充要条件是

mU,34m0,可得m.22m60,

∴AR时,

3 实数m的取值范围为mm. 2 ∴AR时,

实数m的取值范围为{m|m≤-1}.

思维变通性的对立面是思维的保守性，即思维定势。思维定势是指一个人用同一种思维方法解决若干问题以后，往往会用同样的思维方法解决以后的问题。它表现就是记类型、记方法、套公式，使思维受到，它是提高思维变通性的极大的障碍，必须加以克服。

综上所述，善于观察、善于联想、善于进行问题转化，是数学思维变通性的具体体现。要想提高思维变通性，必须作相应的思维训练。

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第二课时

数学解题思维过程

数学解题的思维过程是指从理解问题开始，从经过探索思路，转换问题直至解决问题，进行回顾的全过程的思维活动。 在数学中，通常可将解题过程分为四个阶段：

第一阶段是审题。包括认清习题的条件和要求，深入分析条件中的各个元素，在复杂的记忆系统中找出需要的知识信息，建立习题的条件、结论与知识和经验之间的联系，为解题作好知识上的准备。

第二阶段是寻求解题途径。有目的地进行各种组合的试验，尽可能将习题化

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为已知类型，选择最优解法，选择解题方案，经检验后作修正，最后确定解题计划。

第三阶段是实施计划。将计划的所有细节实际地付诸实现，通过与已知条件所选择的根据作对比后修正计划，然后着手叙述解答过程的方法，并且书写解答与结果。

第四阶段是检查与总结。求得最终结果以后，检查并分析结果。探讨实现解题的各种方法，研究特殊情况与局部情况，找出最重要的知识。将新知识和经验加以整理使之系统化。

所以：第一阶段的理解问题是解题思维活动的开始。

第二阶段的转换问题是解题思维活动的核心，是探索解题方向和途径的积极的尝试发现过程，是思维策略的选择和调整过程。

第三阶段的计划实施是解决问题过程的实现，它包含着一系列基础知

识和基本技能的灵活运用和思维过程的具体表达，是解题思维活动的重要组成部分。

第四阶段的反思问题往往容易为人们所忽视，它是发展数学思维的一个重要方面，是一个思维活动过程的结束包含另一个新的思维活动过程的开始。

在制定计划寻求解法阶段，最好利用下面这套探索方法：

（1） 设法将题目与你会解的某一类题联系起来。或者尽可能找出你熟悉的、

最符合已知条件的解题方法。

（2） 记住：题的目标是寻求解答的主要方向。在仔细分析目标时即可尝试能

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否用你熟悉的方法去解题。

（3） 解了几步后可将所得的局部结果与问题的条件、结论作比较。用这种办

法检查解题途径是否合理，以便及时进行修正或调整。

（4） 尝试能否局部地改变题目，换种方法叙述条件，故意简化题的条件（也

就是编拟条件简化了的同类题）再求其解。再试试能否扩大题目条件（编一个更一般的题目），并将与题有关的概念用它的定义加以替代。 通过以下探索途径来提高解题能力：

（1） 研究问题的条件时，在需要与可能的情况下，可画出相应图形或思路图

帮助思考。因为这意味着你对题的整个情境有了清晰的具体的了解。 （2） 清晰地理解情境中的各个元素；一定要弄清楚其中哪些元素是给定了的，

即已知的，哪些是所求的，即未知的。

（3） 深入地分析并思考习题叙述中的每一个符号、术语的含义，从中找出习

题的重要元素，要图中标出（用直观符号）已知元素和未知元素，并试着改变一下题目中（或图中）各元素的位置，看看能否有重要发现。 （4） 尽可能从整体上理解题目的条件，找出它的特点，联想以前是否遇到过

类似题目。

（5） 仔细考虑题意是否有其他不同理解。题目的条件有无多余的、互相矛盾

的内容？是否还缺少条件？

（6） 认真研究题目提出的目标。通过目标找出哪些理论的法则同题目或其他

元素有联系。

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（7） 如果在解题中发现有你熟悉的一般数学方法，就尽可能用这种方法的语

言表示题的元素，以利于解题思路的展开。

（5） 一个更一般的题目），并将与题有关的概念用它的定义加以替代。 （6） 分解条件，尽可能将分成部分重新组合，扩大骒条件的理解。 （7） 尝试将题分解成一串辅助问题，依次解答这些辅助问题即可构成所给题

目的解。

（8） 研究题的某些部分的极限情况，考察这样会对基本目标产生什么影响。 （9） 改变题的一部分，看对其他部分有何影响；依据上面的“影响”改变题

的某些部分所出现的结果，尝试能否对题的目标作出一个“展望”。

（10） 万一用尽方法还是解不出来，你就从课本中或科普数学小册子中找一个

同类题，研究分析其现成答案，从中找出解题的有益启示。

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