2015安徽高考数学理科真题及解析

数学（理科）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷第1至第2页，第II卷第3至第4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一

项是符合题目要求的。 （1）设i是虚数单位，则复数

2i在复平面内所对应的点位于（ ） 1i（A）第一象限 （B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限 【答案】B 【解析】由

2i2i(1i)22i1i 1i(1i)(1i)2 其对应点的坐标为(1,1)在第二象限，故选B.

（2）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）

（A）ycosx （B）ysinx （C）ylnx （D）yx1 【答案】A

【解析】选项中A,D都是偶函数，排除B,C. 而D选项与x 轴没有交点，故选A.

x（3）设p:1x2,q:21, 则p是q成立的（ ）

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 【答案】A

【解析】由q解得x0，可知由p能推出q，但q不能推出p，故p是q成立的充分不必要条件， 故选A.

（4）下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y2x的是（ ）

2y2x2y2x22221 （B）y1 （C）x1 （D）y1 （A）x44442【答案】C

【解析】选项A和B中的双曲线的交点都在x上，可排除。D选项中的双曲线的a1,b2, 其

1x，故也可排除。因此答案选C. 2（5）已知m，n是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）

渐近线方程为y（A）若，垂直于同一平面，则与平行

（B）若m，n平行于同一平面，则m与n平行

（C）若，不平行，则在内不存在与平行的直线 ．．．．．．（D）若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面 ．．．．．．【答案】D

【解析】选项A中,垂直于同一平面，,关系可能相交，故排除。 选项B中m,n平行于同一平面，m,n关系无法确定，故排除。 选项C中,不平行，在中可以存在与平行的直线，故排除。

因此，答案选D。

（6）若样本数据x1，x2，……，x10的标准差为8，则数据2x11，2x21，，2x101的 标准差为（ ）

（A）8 （B）15 （C）16 （D）32 【答案】C

【解析】设样本数据的平均数为x ，其标准差为8，则方差为，

数据2x11，2x21，，2x101的平均数为2x1，

根据方差计算公式知方差为256，故其标准差为16。因此答案选C。

（7）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）

（A）13 （B）23 （C）122 （D）22

【答案】B

【解析】由题意知该四面体的直观图如图所示： sBCD11221，sABD221, 221322sin， 232 sABCsACD因此该四面体的表面积为23，因此答案选B。

（8）C是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足2a，C2ab，则下列结论正确的是（ ）

（A）b1 （B）ab （C）ab1 （D）4abC 【答案】D



【解析】由题意BCACABb，故b2 ，故选项A错。又2a且AB2,所以a1， ABAC2a(2ab)4a2ab22 因此答案选D.

（9）函数fx212，所以ab1，故B,C错。 2axbxc2的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）

（A）a0，b0，c0 （B）a0，b0，c0

（C）a0，b0，c0 （D）a0，b0，c0 【答案】C

【解析】由题中图形可知xc易知c0，所以c0。当x0时，

f(0)x

b0，所以b0。当y0时，axb0, 所以2cb0 ，所以a0。因此，答案选C。 a23（10）已知函数fxsinx（，，均为正的常数）的最小正周期为，当x时，函数fx取得最小值，则下列结论正确的是（ ）

（A）f2f2f0 （B）f0f2f2 （C）f2f0f2 （D）f2f0f2 【答案】A

【解析】由题意f(x)Asin(x)(A0,0,0),T 又f(2222)Asin(2)A,知22k，即2k,(kZ) 33326,2,

所以可求出函数的一个解析式为f(x)Asin(2x因此答案选A。

6)，可以判断f(2)f(2)f(0)，

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

（11）(x)的展开式中x的系数是 （用数字填写答案） 【答案】35

31x751r214r()rC7x x4 令214r5,得r4，所以所求的系数C735.

【解析】由Tr1C7(x)r37r（12）在极坐标系中，圆8sin上的点到直线最大值是 【答案】6

3(R)距离的

2【解析】由8sin，得圆的方程为xy8y，化为标准方程为x(y4)16，直线

222方程为y3x，可求得圆心到直线的距离为2，因此所求最大值为6.

（13）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为 【答案】4

37时，n2；当a时，n3 251717 当a时，n4，由于1.417，故输出n的值为4.

1212【解析】当a1时，n1；当a

（14）已知数列{an}是递增的等比数列，a1a49,a2a38，则数列{an}的前n项和等于 【答案】2n1

33【解析】由题意可得方程a1a1q9和a1q8，解得a11,q2，

2a1(1qn)1(12n)2n1。 所以Sn1q12（15）设xaxb0，其中a,b均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个

实根的是 （写出所有正确条件的编号）

(1)a3,b3； (2)a3,b2； (3)a3,b2；

3(4)a0,b2; (5)a1,b2.

【答案】⑴ ⑶ ⑷ ⑸

'【解析】设f(x)xaxb，则f(x)3xa。当a0时，f(x)0，此时f(x)单调递增，

3‘2 若方程有一个实根，⑷ ⑸正确；当a0时，由于选项中a3，此时f(x)3x3可求

得f(x)极大值b2，f(x)极小值b2，由于方程仅有一根，须满足b2或b2，因此 ⑴ ⑶正确。综上可得本题正确选项是⑴ ⑶ ⑷ ⑸。

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （16）（本小题满分12分） 在ABC中，A'23，AB6，AC32,点D在BC边上，ADBD，求AD的长。 4【答案】10

【解析】设ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c，

由余弦定理得abc2bccosBAC(32)62326cos 所以a310 ………………………………4分

又由正弦定理得sinB由题设知0B22222390 4bsinBAC310 a103101310 10104ABsinB6sinB310 ……………12分 在ABD中，由正弦定理得ADsin(2B)2sinBcosBcosB,所以cosB1sin2B1

（17）（本小题满分12分）

已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不

放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束。

（Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；

（Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值（数学期望）

【答案】（Ⅰ）

【解析】（Ⅰ）第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品概率P

（Ⅱ）由题意知X的可能取值为200,300,400三种情况，

3；（Ⅱ） 10EX=350

233.……5分 5410211 5410322323 P(X300)

54354310232332236 P(X400) ……………10分

5432543210 则P(X200)

所以X的分布列如下

所以EX200

（18）（本小题满分12分）

*设nN，xn是曲线yx136300400=350 ……………12分 1010101在点(1，2)处的切线与x轴交点的横坐标，

2n2（Ⅰ）求数列{xn}的通项公式；

22（Ⅱ）记Tnx1x22x2n1，证明：Tn1. 4nn；（Ⅱ）证明见解析。 n1'2n1【解析】（Ⅰ）由题意y(2n2)x，yx12n2

所以曲线在点(1,2)处的切线方程为y2(2n2)(x1)

n 当y0时，xn.……………5分

n1【答案】（Ⅰ）xn （Ⅱ）由题设中和（1）中的计算结果知Tnx1x2...x2n1()()...(21223422n12) 2n

当n1时，b122n11 42n12(2n1)2(2n1)212n2n1() 当n2时，x，

2n(2n)2(2n)22nn1212n11 所以Tn()... . 223n4n1* 综上可得对任意的nN, 均有Tn. ……………12分

4n

（19）（本小题满分13分）

如图所示，在多面体A1B1D1DCBA，四边形AA1B1B，ADD1A1,ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1,D,E的平面交CD1于F （Ⅰ）证明：EF//B1C

（Ⅱ）求二面角EA1DB1余弦值.

6 3【解析】（Ⅰ）证明：A1D//B1C, A1D平面B1CD1, B1C平面B1CD1 A1D//平面B1CD1 ……………3分

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）

又平面A1DEF平面B1CD1EF A1D//EF 而A1D//B1C

EF//B1C ……………6分

（Ⅱ）如图所示，将原图形补全为正方体，过C1作C1GB1C 取A1D的中点O，连结C1O，则GOA1C,C1OA1C 所以C1OG是二面角EA1DB1的平面角……………9分

设正方体的边长为2a，所以GO2a，C1O 所以cosC1OG6a

GO2a6 C1O36a6 ……………13分 3 故所求二面角EA1DB1的余弦值为

（20）（本小题满分13分）

x2y2设椭圆E的方程为221ab0，点O为坐标原点，点A的坐标为a，0，点B的坐标为

ab5. b，点M在线段AB上，满足BM2MA，直线OM的斜率为0，10（I）求E的离心率e ；

7（II）设点C的坐标为0，b，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，

2求E的方程.

25x2y21【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）

5459

2a1,b) 33b5b2a2c21,可得2 因为Kom2a105aa2c25c24 所以2，可得椭圆的离心率e。……………5分

a55a【解析】（Ⅰ）由BM2MA得M(

（Ⅱ）设点N关于AB对称的点为P(x0,)，NP的中点为Q，

72a2x072bab,) 44227bb所以KPN 可求直线AB的方程为yxb

2x0aa 由KPNKAB1及点Q在直线AB上得到

7bb()1 ①

2x0aa72bba2x0b ② ……………10分 4a45a2b27ba可求得 由①解得x0代入②并且由（Ⅰ）中b52ax2y21 ……………13分 a35,b3，故椭圆方程为

459

由题意知N(,)，所以点Q的坐标为(（21）（本小题满分13分）

设函数f(x)x2axb.

（Ⅰ）讨论函数f(sinx)在(-,)内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；

222（Ⅱ）记f0(x)xa0xb0,求函数f(sinx)f0(sinx)在-,上的最大值D；

22a（Ⅲ）在中（Ⅱ）取a0b00,求zb2满足D1时的最大值。

4'【答案】（Ⅰ）①当a2时，F(x)0，F(x)单调递减，无极值；

'②当a2时，F(x)0，F(x)单调递增，无极值

③当2a2时，在( ,)内存在唯一的x0，使得2sinx0a， 222xx0时，函数F(x)单调递减， x0x2时，函数F(x)单调递增，

因此，2a2，bR时，F(x)有极小值为

F(x)有极小值为 f(sinx)极小值2aa2f()b ；

242（Ⅱ）Daa0bb0；（Ⅲ）最大值为1.

【解析】（Ⅰ）f(sinx)sinxasinxb，令F(x)sinxasinxb 可求得F(x)2sinxcosxacosx=(2sinxa)cosx 因为x(',)，所以cosx0 ，因此2sinxa的符号决定F'(x)的符号，

22'①当a2时，F(x)0，F(x)单调递减，无极值；

'②当a2时，F(x)0，F(x)单调递增，无极值

 ③当2a2时，在( ,)内存在唯一的x0，使得2sinx0a， 222xx0时，函数F(x)单调递减， x0x2时，函数F(x)单调递增，

因此，2a2，bR时，F(x)有极小值为

f(sinx)极小值 （Ⅱ）aa2f()b ……………4分

242x2时，f(sinx)f0(sinx)(a0a)sinxbb0aa0bb0,

当(a0a)(bb0)0时，取x2,等号成立，

当(a0a)(bb0)0时，取x,等号成立。

2由此可知，f(sinx)f0(sinx)在-,上的最大值为

22Daa0bb0 ……………8分

a21. （Ⅲ）D1即为ab1，此时0a1,1b1,从而zb4a21. 取a0,b1,则ab1，并且zb4a2 由此可知，zb满足条件D1的最大值为1. ……………13分

42