２２ 福建中学数学 ２０１６年第１１期 “函数与方程＂的教学实践与反思 余涛涛 徐荣新 江苏省无锡市洛社高级中学（２１４１８７） １课堂实录呈现 环节１介绍历史，提出问题 教师：从公元前２０００年左右开始，人类为了解 认识零点． 方程 决生活实际问题，就已经开始了探寻求解方程的路， 从一元一次方程，到一元二次方程，再到高次方程， 都想尝试得到求解的公式．这个过程中中国数学家 贾宪、秦九韶等人也都做出了卓越的贡献．但是随 着天文、物理、地理等领域知识的发展，一些方程 的出现让数学家束手无策：譬如方程２ ＋２ｘ一３＝０就 无法用公式精确求解，那这样的方程有没有解？解 大约是多少？ 环节２引出定义，深化理解 教师－对于这个新的问题，我们得重新来认识 方程和方程的解．请你给式子Ｘ 一Ｘ一２添上一部分， 变成我们可以研究的对象． 学生：可以变为函数Ｙ＝Ｘ 一Ｘ一２，不等式Ｘ ～Ｘ ２＞０和方程Ｘ 一Ｘ一２＝０． 教师：很好，这也说明这三者应该存在一定的 联系．对于函数，我们一般研究的重点是图象，在 画图时关注哪些点？ １ ０ 学生：顶点（妄，一｛），这是单调性的分界点；斗 （一１，０）和（２，０），这是图象与 轴的交点． 教师－在初中进行列表描点的时候，我们还要 取几个Ｘ轴上方的点，保证在Ｘ轴上方也有图象． 教师：此不等式解集为（一。。，一１）ｕ（２，＋。。）．我们 是如何解一元二次不等式的？ 学生：利用对应的一元二次函数，看图象在上 方对应的Ｘ范围．（在开学初初高中衔接时已讲解） 教师：方程我们主要研究方程是否有解，解是 什么？此方程的解是—— ＝２或一１． 大家可以发现，在这三者的研究过程中，我们 都看到了２和一ｌ的身影，因此这两个数字既有数的 影子－方程的解，也有形的踪迹：是函数图象与 轴 交点的横坐标．我们今天给它们一个新的名字：函 数的零点． （学生）以二次函数为例，请大家完成表格， ａｘ ＋ ＋ｃ＝Ｏ（ａ＞０、 的根 函数 Ｙ＝ａｘ ＋ｂｘ＋ｃ（ａ＞０ 的图象 ０ｌ Ｘ ０ｌ Ｘ ０ｌ 函数图象与 的交 点 函数 Ｙ：ａｘ ＋ ＋ｃ的 零点 所谓函数的零点就是方程的解，或者函数图象 与Ｘ轴交点的横坐标；要看函数有没有零点就是看方 程有没有解，函数图象与 轴有没有交点． 教师：总结得很全面．再次说明函数零点的双 重角色，我们应该从数和形的两个角度去理解．那 么，对于一般的函数Ｙ＝ｆ（ｘ），请你给出零点的定义． 学生：对于函数Ｙ＝ｆ（ｘ），使得它的函数值等于 ０，即ｆ（ｘ）＝０的实数Ｘ称为函数Ｙ＝ｆ（ｘ）的零点． 教师：定义很到位，从定义中我们可看出函数 的零点是一个——数！我们刚才是以二次函数为例 说明了零点的问题，你能再以其他函数为例进行理 解吗？ 学生：一次函数Ｙ＝Ｘ一１的零点就是方程Ｘ一１＝０ 的解，也是函数Ｙ＝ 一１与Ｘ轴交点的横坐标，是１； １ １ 反比例函数Ｙ＝二与 轴没有交点，方程 ＝０没 Ｘ 有解，所以它没有零点． 函数Ｙ＝２ 一１的零点就是方程２ 一１＝０的解，也 是函数Ｙ＝２ 一１与Ｘ轴交点的横坐标是０． 环节３探究辨析，找寻零点 问题１二次函数Ｙ＝Ｘ 一２ｘ一１是否有零点？ 学生（多位）：方法１：因为方程 一２ｘ—ｌ：０的 Ａ＝８＞０，所以函数有两个零点，还可求出方程的根 为 ｌ＝１＋ ， ＝１一 ． 方法２：可以做出函数的图象，厂（１）＝－２，又因 ２０１６年第１１期 福建中学数学 ２３ 为图象开口向上，所以有两个交点，即函数有两个 零点． 教师：ｆ（１）＝一２＜０说明图象有在Ｘ轴下方的部 分，由于我们对于二次函数图象的了解，所以开口 学生解答，辨析中突出先画图再计算定区间．同 时提出疑问：能否把范围缩小？留待之后研究． 环节５师生小结，提升认识 （１）一个定义和一个结论：函数零点和零点存 在的定理． 向上能够说明与Ｘ轴有交点．当然，为了能说明函数 能穿过Ｘ轴与Ｘ轴有交点，我们最好能再取个点，譬 如——ｆ（３）＝２＞０，这样我们甚至还可以得到一个 （２）两种角度和两种思想：方程的根和函数图 象与Ｘ轴交点的横坐标；函数与方程的思想，数形结 零点所在的区间为——（１，３）． 问题２方程２ ＋２ 一３＝０是否有零点？ 学生（多位）：方法１：可以移项变为２ ＝３—２ ， 然后分别画出函数Ｙ＝２ 和函数Ｙ＝３—２ ，可发现只 有一个交点，即原来的方程有一个解，而且可以看 出解在区间（０，妄）内． 方法２：也可以模仿前面的问题１，设函数ｆ（ｘ）＝ ２ ＋２ 一３，则ｆ（Ｏ）：一２＜０，ｆ（１）＝１＞０，所以函数 在（０，１）内有零点． 教师：那画图看出只有一个，你这边怎么能说 明呢？ 学生：可以看出这个函数是一个单调递增函数！ 问题３已知函数ｆ（ｘ），有如下的Ｘ和ｆ（ｘ）的对 应值表： 由此表你能推出函数ｆ（ｘ）在哪些区间上有零 点？ 教师通过在黑板上作图（从散点图出发），与学 生一起解决问题，进行辨析，形成结论，由学生归 纳零点存在性定理： 函数Ｙ＝ｆ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上的图象是一条不问 断的曲线，且满足ｆ（ａ）・ｆ（ｂ）＜０，则ｆ（ｘ）在区间（ａ，ｂ） 内存在零点． 同时进行“不问断”、“有零点，但零点个数能否 确定，怎样才能确定？”、“ｆ（ａ）・ｆ（ｂ）＜０是否一定没 有零点？”、“有零点，是否一定ｆ（ａ）・ｆ（ｂ）＜０”等问 题的辨析． 环节４知识应用，强化理解 问题函数ｆ（ｘ）＝Ｘ。＋Ｘ ＋１在区间（一２，一１）上是 否有零点？ 学生利用零点存在性定理解答． 探究函数ｆ（ｘ）＝２ 一 一２零点所在的大致区间． 合的思想． ２课堂设计反思 在进行本节课的设计时，经历了多次修改，主 要基于以下几个考虑： ２．１要让学生体会教材设置本节课的意图 教材设计 函数与方程》一节，就是想在高中 学习完函数之后，用函数的观点来统领代数知识的 学习，而利用函数来解决方程问题只是其中一个小 领域．而且对于方程的学习，学生利用代数方法求 解一次方程、二次方程的思维已经深扎于脑海，所 以在设计环节一时，讲解了方程发展的历史，以及 在社会发展的过程遇到的问题，从而激发学生解决 问题、学习探究新知的意识和兴趣． ２．２本节课的知识目标定位 这节课的重点知识不是零点的概念，而是通过 实例进行零点定义的给出过程中，对于零点所体现 出的数和形两个角度的理解，所以在设计环节２时， 借助二次函数和二次方程，从特殊到一般，点破函 数零点与方程的根之间的关系，强化数形结合的思 想，加强函数观点来理解方程的意识．另一个重点 知识是零点存在性定理的探究，所以在环节３中设 计了两个问题，从易到难，引导学生发现零点在某 个区间上存在的一个条件，并借助问题３较好地对 相关问题进行辨析，从而完善得到零点存在性定理． ２．３学生主体性的体现 作为一节定义课、新授课，如何发挥学生的主 体性是一个不容忽视的问题，因为有很多教师认为 新的知识就得老师去教，但他们忽视了学生已有的 知识水平和潜能，关键是教师要有发挥学生主体性 的意识，有了意识才会设计出让学生参与的问题和 环节．因此本节课从定义的引例到定义的学生举例 理解，从零点存在性定理的探究到定理的辨析，以 及课堂的小结提升，都给予学生发挥主动性的平台 和机会，让学生在自我的探究中感受到作为学习的 主人，感受探究的成就感．
