相似三角形
一、选择题
1．(3分)如图,在△ABC中,D、E分别为AB、AC边上的点,DE∥BC,点F为BC边上一点,连接AF交DE于点G.则下列结论中一定正确的是( )
A．B．C．D．
2．(3分)如图,△ABC中,∠A=78°,AB=4,AC=6.将△ABC沿图示中的虚线剪下,剪下的阴影三角形与原三角形
的是( )
A．B．
C．D．
3．(3分)如图,线段CD两个端点的坐标分别为C(1,2)、D(2,0),以原点为位似中心,将线段CD放大得到线段AB,若点B的坐标为(5,0),则点A的坐标为( )
A．(2,5) B．(2.5,5) C．(3,5) D．(3,6)
4．(3分)如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=3.若点E是边CD的中点,连接AE,过点B作BF⊥AE交AE于点F,则BF的长为( )
A．
B．
C．
D．
5．(3分)
为测量操场上旗杆的高度,小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理.她拿出随身携带的镜子和卷尺,先将镜子放在脚下的地面上,然后后退,直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E,标记好脚掌中心位置为B,测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是50 cm,镜面中心C距旗杆底部D的距离为4 m,如图所示.已知小丽同学的身高是1.54 m,眼睛位置A距离小丽头顶的距离为4 cm,则旗杆DE的高度等于( )
A．10 m B．12 m C．12.4 m D．12.32 m
6．(3分)如图,△ABC中,AD是中线,BC=8,∠B=∠DAC,则线段AC的长为( )
A．4 B．4 C．6 D．4
7．(3分)如图,有一块矩形纸片ABCD,AB=8,AD=6,将纸片折叠,使得AD边落在AB边上,折痕为AE,再将△AED沿DE向右翻折,AE与BC的交点为F,则△CEF的面积为( )
A．
B．C．2 D．4
二、填空题
8．(3分)如图,四边形ABCD与四边形EFGH位似,位似中心是点O,
=,则
=________.
9．(3分)如图,△ABC与△DEF位似,位似中心为点O,且△ABC的面积等于△DEF面积的,则AB∶DE=________.
10．(12分)如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(2,2),B(4,0),C(4,-4). (1)请画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1;
(2)以点O为位似中心,将△ABC缩小为原来的,得到△A2B2C2,请在y轴右侧画出△A2B2C2,并求出∠A2C2B2的正弦值.
11．(3分)如图,正方形ABCD中,AD=4,点E是对角线AC上一点,连接DE,过点E作EF⊥ED,交AB于点F,连接DF,交AC于点G,将△EFG沿EF翻折,得到△EFM,连接DM,交EF于点N.若点F是AB边的中点,则△EMN的周长是________.
三、解答题
12．(13分)已知四边形ABCD的一组对边AD,BC的延长线相交于点E. (1)如图1,若∠ABC=∠ADC=90°,求证ED·EA=EC·EB;
(2)如图2,若∠ABC=120°,cos∠ADC=,CD=5,AB=12,△CDE的面积为6,求四边形ABCD的面积;
(3)如图3,另一组对边AB,DC的延长线相交于点F,若cos∠ABC=cos∠ADC=,CD=5,CF=ED=n,直接写出AD的长(用含n的式子表示).
13．(12分)如图,在△ABC中,AB=AC=1,BC=,在AC边上截取AD=BC,连接BD.
(1)通过计算,判断AD2与AC·CD的大小关系; (2)求∠ABD的度数.
14．(3分)在△ABC中,P为边AB上一点. (1)如图1,若∠ACP=∠B,求证:AC2=AP·AB; (2)若M为CP的中点,AC=2.
①如图2,若∠PBM=∠ACP,AB=3,求BP的长;
②如图3,若∠ABC=45°,∠A=∠BMP=60°,直接写出BP的长.
图1
图2
图3
答案与解析
1．(3分) 【答案】 C 【解析】
根据平行线分线段成比例定理可知故选C
=
,=
,
=
,=
,所以选项A、B、D错误,选项C正确.
2．(3分)
【答案】 C 【解析】
选项A与B中剪下的阴影三角形分别与原三角形有两组角对应相等,可得阴影三角形与原三角形相似;选项D中剪下的阴影三角形与原三角形有两边之比都是2∶3,且两边的夹角相等,所以两个三角形也是相似的,故选C. 3．(3分) 【答案】 B 【解析】
设点A的坐标为(x,y),由位似图形的性质知, ==,得x=2.5,y=5,则点A的坐标为(2.5,5).故选B.
4．(3分)
【答案】 B 【解析】 [解析] 由题意得
∠AFB=∠D=∠BAD=90°,∴∠FAB+∠DAE=90°,∠FAB+∠ABF=90°,∴∠ABF=∠DAE,∴△ADE∽△BFA,则=
,即=
=3,设AF=x(x>0),则BF=3x,在Rt△ABF中,由勾股定理得AF2+BF2=AB2,即
(负值舍去),所以3x=
,即BF=
.故选B.
x2+(3x)2=22,解得x=
5．(3分) 【答案】 B 【解析】
[解析] 由题意可得∠ACB=∠ECD,∠ABC=∠EDC, ∴△ABC∽△EDC. ∴
=
,∴
=
,∴ED=12 m,故选B.
6．(3分) 【答案】 B 【解析】
[解析] 由AD是中线可得DC=BC=4.
∵∠B=∠DAC,∠C=∠C, ∴△ADC∽△BAC, ∴
=
,∴AC2=BC·DC=8×4=32,
∴AC=4,故选B
7．(3分) 【答案】 C 【解析】
[解析] 在题中的第三个图中,AD=6,AB=4,DE=6,因为BF∥DE,所以△ABF∽△ADE,所以,解得BF=4,所以CF=2,所以S△CEF=CE·CF=2
=
,即=
8．(3分)
【考点】 【答案】
[解析] ∵四边形ABCD与四边形EFGH位似, ∴△OEF∽△OAB,△OFG∽△OBC, ∴
=
=,
=
=.
9．(3分)
【考点】 位似的性质、位似变换 【答案】 2∶3 【解析】
[解析] ∵△ABC与△DEF位似,∴△ABC∽△DEF,∴
=
.∵S△ABC=S△DEF,∴
=.∴
=,
∴= (舍负),即AB∶DE=2∶3.
10．(12分) 【答案】
(1)△A1B1C1为所求作三角形. (2)△A2B2C2为所求作三角形.
根据勾股定理得:A2C2==,
∴sin∠A2C2B2==.(8分)
11．(3分) 【答案】
【解析】
[解析] 如图,过点E作EQ⊥AB,垂足为Q,延长QE交DC于P. ∵CD∥AB,∴PQ⊥CD,
∵在正方形ABCD中,AD=CD=4, ∠DCA=∠CAB=45°,
∴△PEC、△AEQ都是等腰直角三角形, ∴PC=PE,EQ=AQ=DP,
∵DE⊥EF,∴∠DEP+∠FEQ=90°,又∵∠DEP+∠PDE=90°, ∴∠PDE=∠FEQ,又∵∠DPE=∠EQF=90°,
∴△DPE≌△EQF,∴PE=FQ,DE=EF,又EF⊥ED,∴∠EFD=45°. 设PC=x,则PE=FQ=x,PD=EQ=4-x, ∵F为AB的中点, ∴AQ=AF+FQ=2+x, ∴4-x=2+x,解得x=1, ∴PE=1,DP=3, ∴DE=EF=
=
,EC=PE=,
∵AB∥CD,∴△CDG∽△AFG, ∴
=
=
=2,
∴CG=2AG=AC,GF=DF,
∵AC=AB=4,DF==2,
∴CG=,GF=,
∴EG=CG-CE=-=,
∴EM=EG=.
如图,连接GM交EF于点H, ∵△EFM是由△EFG沿EF翻折所得,
∴EF垂直平分GM,又∠EFD=45°,∴△GFM是等腰直角三角形, ∴GM=GF=
,
∴HF=HM=GM=,MF=GM=,
∴EH=EF-HF=-=,
∵MH⊥EF,DE⊥EF, ∴MH∥DE,∴△MNH∽△DNE, ∴
=
=
=,
∴EN=EH=,
MN=DM,
∵在Rt△DFM中,DM==,
∴MN=×=,
∴△EMN的周长为EN+MN+EM=++=.
12．(13分) 【答案】
[解析] (1)证明:∵∠ADC=90°,∠EDC+∠ADC=180°, ∴∠EDC=90°,
又∠ABC=90°,∴∠EDC=∠ABC, 又∠E为公共角,∴△EDC∽△EBA, ∴
=
,∴ED·EA=EC·EB.
(2)过点C作CF⊥AD,交AE于点F,过点A作AG⊥EB,交EB的延长线于点G.
在Rt△CDF中,cos∠FDC=,∴=,
又CD=5,∴DF=3,∴CF==4,
又S△CDE=6,∴ED·CF=6,∴ED==3,∴EF=ED+DF=6.
∵∠ABC=120°,∠G=90°,∠G+∠BAG=∠ABC,∴∠BAG=30°, 在Rt△ABG中,BG=AB=6,AG=
=6,
∵CF⊥AD,AG⊥EB,∴∠EFC=∠G=90°, 又∠E为公共角,∴△EFC∽△EGA, ∴
=
,∴
=
,∴EG=9,∴BE=EG-BG=9-6,
∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CED =BE·AG-6
=×(9-6)×6-6
=75-18.
(3)AD=.
详解:过点C作CH⊥AD,交AE于点H,则CH=4,DH=3, ∴EH=n+3,∴tan∠E=
.
过点A作AG⊥DF,交DF于点G,
设AD=5a,则DG=3a,AG=4a,∴FG=FD-DG=5+n-3a,
由CH⊥AD,AG⊥DF,∠E=∠F知△AFG∽△CEH, ∴
=
,∴
=
,∴
=
,
∴a=,∴AD=.
13．(12分) 【答案】
[解析] (1)∵AD=BC=
,
∴AD2==.
∵AC=1,∴CD=1-=,
∴AD2=AC·CD.
(2)∵AD2=AC·CD,AD=BC, ∴BC2=AC·CD,即
=
.
又∠C=∠C, ∴△ABC∽△BDC. ∴
=
.
又AB=AC, ∴BD=BC=AD.
∴∠A=∠ABD,∠ABC=∠C=∠BDC.
设∠A=∠ABD=x,则∠BDC=∠A+∠ABD=2x, ∴∠ABC=∠C=∠BDC=2x,
∴∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°. 解得x=36°. ∴∠ABD=36°.
14．(3分)
【答案】
(1)证明:∵∠ACP=∠B,∠A=∠A, ∴△ACP∽△ABC.(2分) ∴
=
,∴AC2=AP·AB.(3分)
(2)①解法一:延长PB至点D,使BD=PB,连接CD.
∵M为CP中点,∴CD∥MB. ∴∠D=∠PBM,(4分) ∵∠PBM=∠ACP,
∴∠D=∠PBM=∠ACP. 由(1)得AC2=AP·AD,(5分) 设BP=x,则22=(3-x)(3+x).
解得x= (舍去负根),即BP=.(7分)
解法二:取AP的中点E,连接EM.
∵M为CP中点,
∴ME∥AC,EM=AC=1.(4分)
∴∠PME=∠ACP, ∵∠PBM=∠ACP, ∴∠PME=∠PBM. 由(1)得EM2=EP·EB,(5分) 设BP=x,则12=
·
.
解得x= (舍去负根),即BP=.(7分)
②BP=-1.(10分)
