中考数学压轴题专项练习：面积问题(15道)及答案

1. 已知：二次函数y＝－x2－2x＋M的图象与x轴交于点A(1，0)、B，与y轴交于点C.

(1)求M的值； (2)求点B的坐标；

(3)若该二次函数图象上有一点P(不与点C重合)，满足S△ABP＝S△ABC，求点P的坐标．

第1题图

解：(1)将点A(1，0)代入y＝－x2－2x＋M中， 得－1－2＋M＝0， 解得M＝3；

(2)由(1)知y＝－x2－2x＋3， 令y＝0，则－x2－2x＋3＝0， 解得x1＝1，x2＝－3， ∵A(1，0)， ∴B(－3，0)；

(3)①当点P在x轴上方时，

∵S△ABP＝S△ABC，且点P不与点C重合，

∴点C和点P关于二次函数图象的对称轴对称，由二次函数的解析式可知，对称轴为直线x＝－1，

∵C(0，3)， ∴P(－2，3)；

②当点P在x轴下方时，

∵△ABP与△ABC的底边均为AB， ∴△ABP的边AB上的高应等于OC， 即此时点P的纵坐标y＝－3， 即－3＝－x2－2x＋3， 整理得x2＋2x－6＝0， 解得x＝－1±7，

∴点P的坐标为(－1＋7，－3)或(－1－7，－3)．

综上，当S△ABP＝S△ABC时，点P的坐标为(－2，3)或(－1＋7，－3)或(－1－7，－3)．

2. 如图，抛物线y＝Ax2＋2x＋C经过点A(0，3)，B(－1，0)． (1)求抛物线的表达式；

(2)抛物线的顶点为D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△MBC的面积是4，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

第2题图

解：(1)∵抛物线y＝Ax2＋2x＋C经过点A(0，3)，B(－1，0)，

a－2＋c＝0∴， c＝3a＝－1解得，

c＝3

∴抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3；

(2)∵抛物线的顶点为D，对称轴与x轴交于点E， y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4， B(－1，0)，

∴点D的坐标是(1，4)，点E的坐标是(1，0)， ∴DE＝4，BE＝2， ∴BD＝DE2＋BE2＝∴BD的长是25；

(3)在抛物线的对称轴上存在点M，使得△MBC的面积是4. 设点M的坐标为(1，M)， 令－x2＋2x＋3＝0得x＝－1或3， ∴点C的坐标为(3，0)，

42＋22＝20＝25，

∴BC＝3－(－1)＝4， ∵△MBC的面积是4， BC×|m|4×|m|

∴S△BCM＝2＝2＝4， 解得M＝±2，

∴点M的坐标为(1，2)或(1，－2)．

123

3.如图，抛物线y＝2x－2x－2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称．

(1)求点A、B、C的坐标； (2)求直线BD的解析式；

(3)在直线BD下方的抛物线上是否存在一点P，使△PBD的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

第3题图

123

解：(1)令y＝0，则2x－2x－2＝0， 解得x1＝－1，x2＝4， ∴A(－1，0)，B(4，0)， 令x＝0，得y＝－2， ∴C(0，－2)；

(2)∵C，D两点关于x轴对称， ∴D(0，2)，

设直线BD的解析式为y＝kx＋b(k≠0)， 将B、D坐标代入可得1k=-解得2，

b=24kb=0，

b=21

∴直线BD的解析式为y＝－ 2x＋2； (3)存在这样的点P，使得△PBD的面积最大． 123

设P(m，2m－2m－2)，

如解图，过点P作PE⊥x轴于点F，与BD交于点E，

第3题解图

1

则E点坐标为(m，－ 2m＋2)，

112312

∴PE＝(－ 2m＋2)－(2m－2m－2)＝－ 2m＋m＋4， ∴S△PBD＝S△PDE＋S△PEB 11＝2PE·OF＋2PE·BF

1＝2PE·OB

11＝2×(－2m2＋m＋4)×4 ＝－m2＋2m＋8 ＝－(m－1)2＋9，

当m＝1时，S△PBD取得最大值，最大值为9， 13

此时2m2－2m－2＝－3， ∴P(1，－3)．

4. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝Ax2＋2Ax＋C的图象与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于A、B两点，点B的坐标为(－3，0)．

(1)求二次函数的解析式及顶点D的坐标；

(2)点M是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM把四边形ACDB分成面积为1∶2的两部分，求出此时点M的坐标；

(3)点P是第二象限内抛物线上的一动点，当点P在何处时△CPB的面积最大？求出最大面积？并求出此时点P的坐标．

第4题图

解：(1)根据题意将B(－3，0)，C(0，3)代入抛物线解析式，

c＝3a＝－1得，解得， 9a－6a＋c＝0c＝3

∴二次函数的解析式为y＝－x2－2x＋3， 将其化为顶点式为y＝－(x＋1)2＋4， ∴顶点D的坐标为(－1，4)；

（2）如解图①，连接OD、AD、AD与y轴交于点F，

第4题解图①

1S△OBD＝2×3×4＝6，S1×1×1＋2×1×1＝9，

因此直线OM必过线段BD，

由B(－3，0)，D(－1，4)得线段BD的解析式为y＝2x＋6， 设直线OM与线段BD交于点E， 则△OBE的面积可以为3或6.

1

①当S△OBE＝3时，2×3×yE＝3，解得yE＝2，将y＝2代入y＝2x＋6中，得x＝－2，

∴E点坐标(－2，2)． 则直线OE的解析式为y＝－x.

四边形

111

＝S＋S＋S＝×4×4＋×1×1＋ACDB△ABD△CDF△ACF

222

设M点坐标为(x，－x)，联立抛物线的解析式可得－x＝－x2－2x＋3， －1－13－1＋13解得x1＝，x2＝(舍去)． 22－1－131＋13∴点M(，2)； 2

1②当S△OBE＝6时，2×3×yE＝6，解得yE＝4，

将y＝4代入y＝2x＋6中得x＝－1，此时点E、M、D三点重合． ∴点M坐标为(－1，4)；

－1－13－1＋13综上所述，点M的坐标为(，)，(－1，4)． 22（3）如解图②，连接OP，设P点的坐标为(M，－M2－2M＋3)，

第4题解图②

∵点P在抛物线上，

∴S△CPB＝S△CPO＋S△OPB－S△COB

1112＝2OC·(－M)＋2OB·(－M－2M＋3)－2OC·OB 3392

＝－2M＋2(－M－2M＋3)－2 3

＝－2(M2＋3M)

33227＝－2(M＋2)＋8. ∵－3＜M＜0，

31527

∴当M＝－2时，(－M2－2M＋3)＝4，△CPB的面积有最大值8. 31527

∴当点P的坐标为(－2，4)时，△CPB的面积有最大值，且最大值为8. 12

5. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝－4x＋Bx＋C的图象与坐标轴交于A、B、C三点，其中点A的坐标为(0，8)，点B的坐标为(－4，0)．

(1)求该二次函数的表达式及点C的坐标；

(2)点D的坐标为(0，4)，点F为该二次函数在第一象限内图象上的动点，连接CD、CF，以CD、CF为邻边作平行四边形CDEF，设平行四边形CDEF的面积为S.

①求S的最大值；

②在点F的运动过程中，当点E落在该二次函数图象上时，请直接写出此时S的值．

第5题图

1

解：(1)∵二次函数y＝－4x2＋Bx＋C过A(0，8)、B(－4，0)两点，

1b＝1－4×（－4）2－4b＋c＝0∴，解得，

c＝8c＝81

∴二次函数的解析式为y＝－4x2＋x＋8， 当y＝0时，解得x1＝－4，x2＝8， ∴C点坐标为(8，0)；

12

（2）①如解图，连接DF，OF，设F(M，－4M＋M＋8)，

第5题解图

∵S四边形OCFD＝S△CDF＋S△OCD＝ S△ODF＋S△OCF，

∴S△CDF＝S△ODF＋S△OCF－S△OCD，

1111＝2×4×M＋2×8×(－4M2＋M＋8)－2×8×4 ＝2M－M2＋4M＋32－16 ＝－M2＋6M＋16 ＝－(M－3)2＋25，

当M＝3时，△CDF的面积有最大值，最大值为25， ∵四边形CDEF为平行四边形， ∴S四边形CDEF＝2S△CDF＝50，

∴S的最大值为50； ②S＝18.

【解法提示】∵四边形CDEF为平行四边形， ∴CD∥EF，CD＝EF，

∵点C向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点D，

12

∴点F向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点E，即E(M－8，－4M＋M＋12)，

12

∵E(M－8，－4M＋M＋12)在抛物线上， 1122

∴－4(M－8)＋(M－8)＋8＝－4M＋M＋12， 解得M＝7，

当M＝7时，S△CDF＝－(7－3)2＋25＝9， ∴此时S＝2S△CDF＝18.

6. 如图，抛物线y＝Ax2＋Bx－3与x轴交于点A(1，0)和点B，与y轴交于点C，且其对称轴L为直线x＝－1，点P是抛物线上B，C之间的一个动点(点P不与点B，C重合)．

第6题图

(1)直接写出抛物线的解析式；

(2)小唐探究点P的位置时发现：当动点N在对称轴L上时，存在PB⊥NB，且PB＝NB的关系，请求出此时点P的坐标；

(3)是否存在点P使得四边形PBAC的面积最大？若存在，请求出四边形PBAC面积的最大值，若不存在，请说明理由．

解：(1)y＝x2＋2x－3；

【解法提示】∵A(1，0)，对称轴L为直线x＝－1， ∴B(－3，0)，将AB两点坐标代入得，

a＋b－3＝0a＝1∴，解得， 9a－3b－3＝0b＝2

∴抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3.

(2)如解图①，过点P作PM⊥x轴于点M，连接BP，过点B作BN⊥PB交直线L于点N，

设抛物线的对称轴与x轴交于点Q，

第6题解图①

∵PB⊥NB，∴∠PBN＝90°， ∴∠PBM＋∠NBQ＝90°. ∵∠PMB＝90°，

∴∠PBM＋∠BPM＝90°. ∴∠BPM＝∠NBQ. 又∵PB＝NB， ∴△BPM≌△NBQ. ∴PM＝BQ.

由(1)得y＝x2＋2x－3， ∴Q(－1，0)，B(－3，0) ∴BQ＝2， ∴PM＝BQ＝2.

∵点P是抛物线y＝x2＋2x－3上B、C之间的一个动点，且点P的纵坐标为－2，

将y＝－2代入y＝x2＋2x－3，得－2＝x2＋2x－3， 解得x1＝－1－2，x2＝－1＋2(不合题意，舍去)， ∴点P的坐标为(－1－2，－2)；

（3）存在．如解图②，连接AC，BC，CP，PB，过点P作PD∥y轴交BC于点D，

第6题解图②

∵A(1，0)，B(－3，0)，C(0，－3)，

1

∴S△ABC＝2×3×4＝6，

直线BC的解析式为y＝－x－3.

设P(T，T2＋2T－3)，则D(T，－T－3)，

13292∴S△BPC＝2×3×(－T－3－T－2T＋3)＝－2T－2T， 329

∴S四边形PBAC＝－2T－2T＋6 3375＝－2(T＋2)2＋8，

375

当T＝－2时，S四边形PBAC存在最大值，最大值为8. 315

此时点P的坐标为(－2，－4)．

13

7. 如图，抛物线y＝－2x2＋2x＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且A点坐标为(－3，0)，连接BC、AC.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点E从点B出发，沿x轴向点A运动(点E与点A、B不重合)，过点E作直线L平行于AC，交BC于点D，设BE的长为M，△BDE的面积为S，求S关于M的函数关系式，并写出自变量M的取值范围；

(3)在(2)的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值．

第7题图

123

解：(1)∵抛物线y＝－2x＋2x＋c过A点，且A(－3，0)， 13

∴0＝－2×9－2×3＋c，解得c＝9， 123

∴抛物线的解析式为y＝－2x＋2x＋9； 123

(2)∵抛物线的解析式为y＝－2x＋2x＋9， ∴C点坐标为(0，9)， ∴OC＝9，

123

令y＝0可得－2x＋2x＋9＝0，解得x＝－3或x＝6， ∴B点坐标为(6，0)， ∴AB＝6－(－3)＝9；

设直线AC的解析式为y＝kx＋b，

－3k＋b＝0

把A、C两点坐标代入可得，

b＝9

k＝3解得，

b＝9

∴直线AC的解析式为y＝3x＋9， ∵直线ED∥AC，

∴可设直线ED的解析式为y＝3x＋m， ∵OB＝6，BE＝m， ∴OE＝6－m，

∴E点的坐标为(6－m，0)，代入直线ED的解析式可得0＝3(6－m)＋n，解得n＝3(m－6)，

∴直线ED的解析式为y＝3x＋3m－18， 设直线BC的解析式为y＝rx＋s，

6r＋s＝0

把B、C两点坐标代入可得，

s＝9

3r＝－2

解得，

s＝9

3

∴直线BC的解析式为y＝－2x＋9， 2y＝3x＋3m－18x＝6－3m联立，解得， 3

y＝－2x＋9y＝m2

∴D点坐标为(6－3m，m)， ∴D到BE的距离为m， 112

∴S＝S△BDE＝2m·m＝2m，

又∵E在线段AB上，且不与点A、B重合， ∴0∴m的取值范围为0119

∴S△BEC＝2BE·OC＝2×m×9＝2m，

91219281∴S△CDE＝S△BEC－S△BDE＝2m－2m＝－2(m－2)＋8， 981

∴当m＝2时，△CDE的面积有最大值，最大值为8. 8. 已知抛物线y＝x2＋4x＋3交x轴于A、B两点(点A在点B的左侧)，交y轴于点C，抛物线的对称轴l交x轴于点E.

(1)求抛物线的对称轴及点A的坐标；

(2)点P为坐标系内一点，且以点A、B、C、P为顶点的四边形为平行四边形，求出所有满足条件的P点的坐标．

(3)连接CA与L交于点D，M为抛物线上一点，是否存在点M，使经过点C、M的直线恰好将四边形DEOC的面积平分？若存在，请求出直线CM的解析式；若不存在，请说明理由．

第8题图

4

解：(1)对称轴为直线x＝－2＝－2，

当y＝0时，有x2＋4x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝－3，

∴点A的坐标为(－3，0)；

(2)由y＝x2＋4x＋3可知A(－3，0)，B(－1，0)，C(0，3)，

①当AC是平行四边形的对角线时，将点C向左平移两个单位长度即是P点，即P(－2，3)；

②当BC是平行四边形的对角线时，将点C向右平移两个单位长度即是P点，即P(2，3)；

③当AB是平行四边形的对角线时，将点A向下平移三个单位长度再向左平移1个单位长度即是P点，即P(－4，－3)；

满足条件的点P有3个，分别为(－2，3)，(2，3)，(－4，－3)； (3)存在；

∵点C的坐标为(0，3)，

又DE∥y轴，AO＝3，EO＝2，AE＝1，CO＝3， ∴△AED∽△AOC， AEDE1DE∴AO＝CO，即3＝3， ∴DE＝1，

1

∴S四边形DEOC＝2×(1＋3)×2＝4， 4在OE上找点F，使OF＝3， 14

此时S△COF＝2×3＝2， 3×

直线CF把四边形DEOC分成面积相等的两部分，交抛物线于点M， 4

设直线CM的解析式为y＝kx＋3，它经过点F(－3，0)，

49则－3k＋3＝0，解得k＝4， 9

∴直线CM的解析式为y＝4x＋3.

1

9. 如图，已知抛物线y＝－2x2＋bx＋c与x轴交于点B，E两点，与y轴交于点A，OB＝8，tan∠ABD＝1，动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动，动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长x度移动，动点C，D同时出发，当动点D到达原点O时，点C，D停止运动．

(1)求抛物线的解析式；

(2)求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式；当t为何值时，△CED的面积最大？最大面积是多少？

(3)当△CED的面积最大时，在抛物线上是否存在点P(点E除外)，使△PCD的面积等于△CED的最大面积，若存在，直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

第9题图

解：(1)∵OB＝8，tan∠ABD＝1， ∴OA＝OB＝8，

∴A(0，8)，B(8，0)．

12

把点A(0，8)，B(8，0)代入y＝－2x＋bx＋c，

b＝3c＝8得12，解得，

c＝8－2×8＋8b＋c＝0

12

∴抛物线解析式为y＝－2x＋3x＋8； 1

(2)令y＝0时，有－2x2＋3x＋8＝0， 解得x1＝－2，x2＝8， ∴E(－2，0)， ∴BE＝10， 1

∵S△CED＝2DE·OC， 11

∴S＝2t(10－t)＝－2t2＋5t，

121252

∴S与T的函数解析式为S＝－2t＋5t＝－2(t－5)＋2(0≤t≤8)， 25

∴当t＝5时，△CED的面积最大，最大面积为2； 410034200

(3)存在，P点坐标为(8，0)或(3，9)或(3，－9)．

【解法提示】当△CED的面积最大时，t＝5，即BD＝DE＝5，此时要使S△

PCD＝S△CED，CD

为公共边，只需求出过点B、或点E且平行于CD的直线即可，

如下：

设直线CD的解析式为y＝kx＋B，

由(2)可知OC＝5，OD＝3， ∴C(0，5)，D(3，0)， 把C(0，5)、D(3，0)代入，

k＝－b＝53， 得，解得3k＋b＝0b＝5

5

∴直线CD的解析式为y＝－3x＋5， ∵DE＝DB＝5，

5

∴过点B且平行于CD的直线为y＝－3(x－5)＋5， 5

过点E且平行于CD的直线为y＝－3(x＋5)＋5， 与抛物线解析式联立得

15

方程①：－2x2＋3x＋8＝－3(x－5)＋5， 4

解得x1＝8，x2＝3，

125

方程②：－2x＋3x＋8＝－3(x＋5)＋5， 34

解得x3＝3，x4＝－2，

100200

分别将x的值代入抛物线的解析式，得y1＝0，y2＝9，y3＝－9，y4＝0， 又∵P点不与E点重合，

410034200∴满足题意的P点坐标有3个，分别是P1(8，0)，P2(3，9)，P3(3，－9)．

5

第9题解图

10.如图①，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx－5与x轴交于A(－1，0)，B(5，0)两点，与y轴交于点C.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)若点D是y轴上的一点，且以B，C，D为顶点的三角形与 △ABC相似，求点D的坐标；

(3)如图②，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别相交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积．

第10题图

解：(1)∵抛物线过点A(－1，0)和点B(5，0)， ∴a-b-50a=1， 解得， 25a5b5=0b=4∴抛物线的函数表达式为y＝x2－4x－5； (2)∵OB＝OC＝5， ∴∠ABC＝∠OCB＝45°，

∴以B、C、D三点为顶点的三角形要与△ABC相似，必须要有一个角等于45°.

(ⅰ)当点D在点C的下方时，∠BCD＝180°－45°＝135°， ∴不会出现45°角， ∴此种情况不存在；

(ⅱ)当点D在点C的上方时，∠BCD＝45°，易得BC＝2OB＝52，AB＝OA＋OB＝1＋5＝6，

存在两种情况：

BCCD①当△BCD∽△ABC时，AB＝BC， 52CD即6＝，

5225

∴CD＝3，

2510

OD＝CD－OC＝3－5＝3， 10

∴D(0，3)；

DCCB

②当△DCB∽△ABC时，AB＝BC， 即

CD52＝， 526∴CD＝6，

OD＝CD－OC＝6－5＝1， ∴点D(0，1)，

10

∴综上所述，点D的坐标为(0，1)或(0，3)时，以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似；

(3)令y＝－5得x2－4x－5＝－5， 解得x1＝0，x2＝4， ∴E(4，－5)， ∴CE＝4，

设H(a，a2－4a－5)，点H是在直线CE下方抛物线上的动点， ∴0＜a＜4.

设直线BC的表达式为y＝kx＋b， 把点B(5，0)、C(0，－5)代入得

5kb=0k=1，解得， b=5b=5∴直线BC的表达式为y＝x－5， 则点F(a，a－5)，

∴FH＝a－5－(a2－4a－5)＝－a2＋5a， ∵CE⊥FH，

152252

∴S四边形CHEF＝2CE×FH＝－2a＋10a＝－2(a－2)＋2， ∵0＜a＜4，

525∴当a＝2时，四边形CHEF面积有最大值，最大值是2，

535

此时H(2，－4)．

11. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2＋Bx＋C经过A(0，3)，B(1，0)两点，顶点为M.

(1)求B、C的值；

(2)将△OAB绕点B顺时针旋转90°后，点A落到点C的位置，该抛物线沿y轴上下平移后经过点C，求平移后所得抛物线的表达式；

(3)设(2)中平移所得的抛物线与y轴的交点为A1，顶点为M1，若点P在平移后的抛物线上，且满足△PMM1的面积是△PAA1面积的3倍，求点P的坐标．

第11题图

解：(1)∵抛物线y＝x2＋Bx＋C经过A(0，3)，B(1，0)两点，

c＝3b＝－4∴，解得； 1＋b＋c＝0c＝3

(2)由(1)知，抛物线的表达式为y＝x2－4x＋3. ∵A(0，3)，B(1，0) ∴OA＝3，OB＝1， ∴C点坐标为(4，1)，

当x＝4时，由y＝x2－4x＋3得y＝3，

则抛物线y＝x2－4x＋3经过点(4，3)，

∴将原抛物线沿y轴向下平移2个单位后过点C， ∴平移后的抛物线的表达式为y＝x2－4x＋1；

(3)∵点P在y＝x2－4x＋1上，可设P点的坐标为(x0，x20－4x0＋1)， 将y＝x2－4x＋1配方得y＝(x－2)2－3， ∴抛物线的对称轴为直线x＝2， ∵S1

△PMM1＝2|x0－2|·MM1， S1△PAA1＝2|x0|·AA1，

S△PMM1＝3S△PAA1，MM1＝AA1＝2， ∴x0<2，|x0－2|＝3|x0|. 分情况讨论： ①当0解得x10＝2，则x2

30－4x0＋1＝－4， ∴点P的坐标为(13

2，－4)； ②当x0<0时，

则有2－x0＝－3x0，解得x0＝－1，则x2

0－4x0＋1＝6，

∴点P的坐标为(－1，6)．

故满足△PMMAA11的面积是△P1面积的3倍时，点P的坐标为(2，－，6)．

3

4)或(－112. 如图，在平面直角坐标系中有一RT△AOB，O为坐标原点，OA＝1，TAN∠BAO＝3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y＝－x2＋Bx＋C经过A、B两点．

(1)求抛物线的解析式及顶点G的坐标； (2)连接CG、DG，求△GCD的面积；

(3)在第二象限内，抛物线上存在异于点G的一点P，使△PCD与△CDG的面积相等，请直接写出点P的坐标．

解：(1)∵OA＝1， ∴A(1，0)，

OB

又∵tan∠BAO＝OA＝3， ∴OB＝3， ∴B(0，3)，

将A(1，0)、B(0，3)代入抛物线的解析式，

－12＋b＋c＝0b＝－2得，解得， c＝3c＝3

∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3.

∵y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4， ∴抛物线的顶点G的坐标为(－1，4)； (2)如解图①，过点G作GE⊥y轴于点E.

第12题解图①

∵G(－1，4)， ∴GE＝1，OE＝4，

11

∴S梯形GEOC＝2(GE＋OC)·OE＝2×(1＋3)×4＝8， ∵由旋转的性质可知OD＝OA＝1， ∴DE＝3，

113∴S△OCD＝2OC·OD＝2×3×1＝2， 113S△GED＝2EG·ED＝2×1×3＝2，

33

∴S△CDG＝S梯形GEOC－S△OCD－S△GED＝8－2－2＝5； 435

(3)点P的坐标为(－3，9)．

【解法提示】如解图②，过点G作PG∥CD，交抛物线于点P.

第12题解图②

∵PG∥CD， ∴S△PCD＝S△GCD， ∵OD＝OA＝1， ∴D(0，1)，

设直线CD的解析式为y＝Kx＋B. 将点C(－3，0)、D(0，1)代入得

1

－3k＋b＝0

，解得k＝3b＝1

， b＝1

∴直线CD的解析式为y＝1

3x＋1， ∵PG∥CD，

∴设PG的解析式为y＝11

3x＋b1，将点G的坐标代入得－3＋b1＝4，解得133，

∴直线PG的解析式为y＝113

3x＋3，

b1

＝

y＝1x＋13

3联立得3，

y＝－x2－2x＋3

4x＝－13x2＝－1

解得或，

35y2＝4y＝19∴点P不与点G重合， 435

∴点P坐标为(－3，9)．

13. 如图，四边形OABC是矩形，OA＝4，OC＝8，将矩形OABC沿直线AC折叠，使点B落在点D处，AD交OC于点E.

(1)求OE的长；

(2)求过O，D，C三点的抛物线的解析式；

(3)若F为过O，D，C三点的抛物线的顶点，一动点P从点A出发，沿射线AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，当运动时间T(秒)为何值时，直线PF把△FAC分成面积之比为1∶3的两部分．

第13题图

解：(1)∵四边形OABC是矩形， ∴∠CDE＝∠AOE＝90°，OA＝BC＝CD. 又∵∠CED＝∠OEA，

∴△CDE≌△AOE， ∴OE＝DE，

∴OE2＋OA2＝(AD－DE)2， 即OE2＋42＝(8－OE)2， 解得OE＝3；

(2)∵EC＝8－3＝5，如解图，过D作DG⊥EC于G， 易得△DGE∽△CDE， DEDGEG∴CE＝CD，ED， 129

∴DG＝5，EG＝5， 924

∴OG＝3＋5＝5. 2412∴D(5，5)， ∵O点为坐标原点，

24

故可设过O，C，D三点的抛物线的解析式为y＝Ax＋Bx，将C(8，0)与D(5，

2

122)代入y＝ax＋bx，得， 5

5a＝－32a＋8b＝0

2422412，解得5， （5）a＋5b＝5b＝455∴所求抛物线的解析式为y＝－32x2＋4x；

第13题解图

525552

(3)∵y＝－32x＋4x＝－32(x－4)＋2， 5

∴F(4，2)．

设直线AC的解析式为y＝Kx＋B(K≠0)，将A(0，－4)与C(8，0)代入y＝Kx＋B，得

1k＝2，，解得 

8k＋b＝0b＝－4

b＝－4

1

∴直线AC的解析式为y＝2x－4.

1

如解图，设直线FP交直线AC于H(M，2M－4)，过H作HM⊥OA于点M， ∴△AMH∽△AOC， ∴MH∶OC＝AH∶AC.

∵S△FAH∶S△FHC＝1∶3或3∶1， ∴AH∶HC＝1∶3或3∶1，

∴MH∶OC＝AH∶AC＝1∶4或3∶4， ∴HM＝2或6， 即M＝2或6，

∴H1(2，－3)，H2(6，－1)， 1117

∴直线FH1的解析式为y＝4x－2， 18

令y＝－4，x＝11；

719

直线FH2的解析式为y＝－4x＋2， 54

令y＝－4，x＝7，

1854

∴当T＝11或7时，直线PF把△FAC分成面积之比为1∶3的两部分． 5

14. 如图，抛物线y＝ax＋bx＋2过点A(－1，0)、B(5，0)，直线y＝x＋1交

2

抛物线的对称轴于点M，交抛物线于点A，C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P为线段AM上一动点，过点P作PQ∥y轴交抛物线于点Q，设点P2

的横坐标为M.当M为何值时，PQ＝4AC；

(3)在(2)的条件下，过点P作PN∥QM交抛物线的对称轴于点N，当四边形PQMN是正方形时，直线y＝x＋1上是否存在一点D，使△DPQ的面积与正方形PQMN的面积相等？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

5

解：(1)把A(－1，0)，B(5，0)代入y＝ax＋bx＋2中，

2

510＝a－b＋2a＝－2

得，解得，

5

0＝25a＋5b＋b＝22125

∴抛物线的解析式为y＝－2x＋2x＋2； 15

(2)根据题意，令－2x2＋2x＋2＝x＋1， 解得x1＝－1，x2＝3，即点C的坐标为(3，4)． ∴AC＝42＋42＝42， ∵点P的横坐标为m，

∴点P的坐标为(m，m＋1)且－1≤m≤2， ∵PQ∥y轴，∴点Q的横坐标为M， 125

∴点Q的坐标为(m，－2m＋2m＋2)， 125

∴PQ＝(－2m＋2m＋2)－(m＋1) 13＝－2m2＋m＋2 1

＝－2(m－1)2＋2，

122

根据题意，得－2(m－1)＋2＝4×42， 解得m1＝m2＝1，

2

∴当m＝1时，PQ＝4AC； (3)存在．

根据题意可得，抛物线的对称轴为直线x＝2， 将x＝2代入y＝x＋1，可得y＝3，即M(2，3)， 由(2)可得∠AMN＝∠BAM＝45°， ∵PQ∥y轴，MN是对称轴，∴PQ∥MN， 又∵PN∥QM，

∴四边形PQMN是平行四边形， 当QM⊥MN时，四边形PQMN是矩形， 又∵∠BAM＝45°， ∴四边形PQMN是正方形， ∴Q点的纵坐标是3， 125

即－2m＋2m＋2＝3，

解得m1＝2－3，m2＝2＋3(不合题意，舍去)． ∴M的值是2－3.

∴PQ＝QM＝2－(2－3)＝3.

∵△DPQ的面积与正方形PQMN的面积相等， ∴点D到PQ的距离为23. 设点D的横坐标为n. 当点D在PQ的左侧时，

可得2－3－n＝23，解得n＝2－33，

∴点D的坐标为(2－33，3－33)；

当点D在PQ的右侧时，可得n－(2－3)＝23，解得n＝2＋3， ∴点D的坐标为(2＋3，3＋3)．

综上所述，存在满足条件的点D，点D的坐标为(2－33，3－33)或(2＋3，3＋3)．

12

15.如图①，抛物线y＝3x＋bx＋c经过A(－23，0)、B(0，－2)两点，点C在y轴上，△ABC为等边三角形，点D从点A出发，沿AB方向以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，设运动时间为t秒(t＞0)，过点D作DE⊥AC于点E，以DE为边作矩形DEGF，使点F在x轴上，点G在AC或AC的延长线上．

(1)求抛物线的解析式；

(2)将矩形DEGF沿GF所在直线翻折，得矩形D′E′GF，当点D的对称点D′落在抛物线上时，求此时点D′的坐标；

(3)如图②，在x轴上有一点M(23，0)，连接BM、CM，在点D的运动过程中，设矩形DEGF与四边形ABMC重叠部分的面积为S，写出S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．

第15题图

1

解：(1)把A(－23，0)，B(0，－2)代入抛物线y＝3x2＋bx＋c中，得

c＝－213×12－2c＝－2

，解得3，

3b＋c＝0b＝3

123

∴抛物线的解析式为y＝3x＋3x－2； (2)∵A(－23，0)，B(0，－2)， ∴OA＝23，OB＝2，

∵AD＝2t, ∠DEA＝90°，∠BAC＝60°， ∴AE＝t，ED＝3 t, ∵△ABC为等边三角形， ∴∠BAC=60°， ∵AO⊥BC，

∴∠CAO＝∠BAO＝30°， ∵四边形DEGF为矩形， ∴DF∥AC，GF＝DE＝3t, ∴∠DFA＝∠CAO＝30°， ∴AF＝2GF＝23t; ∴∠DFA＝∠BAO＝30°， ∴DF＝AD＝2t，

由翻折得D′F＝DF＝2t，如解图①，过点D′作D′H⊥x轴于点H，

第15题解图①

∵∠D′FH＝∠AFD＝30°，

1

∴D′H＝2D′F＝t，FH＝3D′H＝3t， ∴AH＝AF＋FH＝33 t, ∴OH＝AH－AO＝33t－23， ∴D′(33 t－23， t)，

123

把D′(33 t－23，t)代入y＝3x＋3x－2中， 13

∴t＝3(33t－23)2＋3(33t－23)－2， 整理得9t2－10t＝0，

10410

解得t1＝9，t2＝0(舍去)，∴D′(33，9)． （3）由（2）可知：DE=3t，DF=2t. 4

当AE+EG≤AC时，即t+2t≤4，解得t≤3， 4

如解图②，当0第15题解图②

S＝S矩形DEGF，∴S＝2t·3t＝23t2；

4

如解图③，当3第15题解图③

∵CG＝AG－AC＝3t－4， GH＝3CG＝3(3t－4)， ∴S＝S矩形DEGF－S△CGH，

153

∴S＝23t2－2(3t－4)·3(3t－4)＝－2t2＋123t－83. 综上所述，S与t的函数关系式为 S＝错误!