八年级 专题03 等腰三角形中的动态问题题型讲义(学生版)

等腰三角形中的动态问题

【典例解析】

【例1-1】（2020·安徽省泗县月考）如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝1．若点M，

N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有( )

A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个

【例1-2】（2020·贵州六盘水期末）如图，在ABC中，ABAC3，BC50，点D在边BC上运动（点D不与点B,C重合），连接AD，作ADE50，DE交边AC于点E．

（1）当BDA100时，EDC ，DEC

（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；

（3）在点D的运动过程中，ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出BDA的度数；若不可以，请说明理由．

1

【变式1-1】（2019·霍林郭勒市期中）点A的坐标是（2，2），若点P在x轴或y轴上，且△APO是等腰三角形，这样的点P共有（ ）个

A．6 B．7 C．8 D．9

【变式1-2】（2020·山西初二月考）综合与探究：

在ABC中，ABACBC3 cm.点P从点A出发以1 cm/s的速度沿线段AB向点B运动．

（1）如图1，设点P的运动时间为t(s)，当t______s时，PBC是直角三角形．

（2）如图2，若另一动点Q从点B出发，沿线段BC向点C运动，如果动点P,Q都以1 cm/s的速度同时出发，设运动时间为t(s)，求当t为何值时，PBQ是直角三角形．

2

（3）如图3，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动，连接PQ交AC点D，且动点P,Q都以1 cm/s的速度同时出发．

①设运动时间为t(s)，那么当t为何值时，DCQ是等腰三角形？

②如图4，连接PC.请你猜想：在点P,Q的运动过程中，PCD和QCD的面积之间的数量关系为______．

【例2】（2020·江苏江阴月考）如图，在△ABC中，AB=AC=10cm；BC=6cm，点D为AB的中点．

（1）如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点

C向点A运动．

①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；

②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？

（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B出发都逆时针沿△ABC三边运动，直接写出经过多少秒后，点P与点Q第一次在△ABC的那一条边上相遇．

3

【例3-1】（2019·武汉市期中）如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3、…在射线ON上，点B1、B2、B3、…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…均为等边三角形，若OA1=1，则△A9B9A10的边长为（ ）

A．32 B． C．128 D．256

【例3-2】（2020·浙江温州月考）如图，图①是一块边长为1，周长记为P1的正三角形纸板，沿

1图①的底边剪去一块边长为2的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三

）后，得图③、④，…，记第n（n≥3）块

1角形纸板（即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的2纸板的周长为Pn，则Pn－Pn－1等于…（ ）

4

1A．2n1

1nB．3－2

331C．1－2n1 D．2n1＋2n2

【变式3-1】（2020·山东牡丹期末）如图，已知MON30，点A1，A2，A3，在射线ON上，点B1，

B2，B3，

在射线OM上，A1B1B2，A2B2B3，A3B3B4，均为等边三角形．若OB11，则A8B8B9的边

长为（ ）

A． B．128 C．132 D．256

【变式3-2】（2019·贵州印江月考）如图，已知ABA1B,A1B1A1A2,A2B2A2B3,A3B3A3B4∠A＝70°，则An1AnBn1的度数为（ ）

70707070A．2n

B．2n1

C．2n1

D．2n2

【习题精练】

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……，若

1.（2020·山东青州期中）如图，平面直角坐标系中，点A在第一象限，∠AOx=40°，点P在x轴上，若△POA是等腰三角形，则满足条件的点P共有______个．

2. （2019·浙江宁波模考）如图，AOB10，点P在OB上．以点P为圆心，OP为半径画弧，交OA于点P1（点P1与点O不重合），连接PP1；再以点P1为圆心，OP为半径画弧，交OB于点P2（点P2与点P不

12；重合），连接PP再以点P2为圆心，OP为半径画弧，交OA于点P3（点P3与点P1不重合），连接P2P3；……

按照上面的要求一直画下去，得到点Pn，若之后就不能再画出符合要求点Pn1了，则n________．

3.（2020·河北保定一模）如图，AOB10，点P在OB上．以点P为圆心，OP为半径画弧，交OA于点P1（点P1与点O不重合），连接PP1；再以点P1为圆心，OP为半径画弧，交OB于点P2（点P2与点P不

12；重合），连接PP再以点P2为圆心，OP为半径画弧，交OA于点P3（点P3与点P1不重合），连接P2P3；……，12P2P3按照上面的要求一直画下去，就会得到OPPP1PP，则

（1）P2P3P4_________；

（2）与线段OP长度相等的线段一共有__________条（不含OP）．

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4.（2020·福建连城期中）如图，在ABC中，C90，ACBC4cm，点D是斜边AB的中点．点

E从点B出发以1cm/s的速度向点C运动，点F同时从点C出发以一定的速度沿射线CA方向运动，规定

当点E到终点C时停止运动．设运动的时间为x秒，连接DE、DF．

2（1）填空：SABC______cm；

（2）当x1且点F运动的速度也是1cm/s时，求证：DEDF；

（3）若动点F以3cm/s的速度沿射线CA方向运动，在点E、点F运动过程中，如果存在某个时间x，使得ADF的面积是BDE面积的两倍，请你求出时间x的值．

5.（2020·广东佛山月考）如图，在等边ABC中，ABACBC10厘米，DC4厘米，如果点M以

3厘米/的速度运动．

7

（1）如果点M在线段CB上由点C向点B运动．点N在线段BA上由B点向A点运动，它们同时出发，若点N的运动速度与点M的运动速度相等：

①经过2秒后，BMN和CDM是否全等？请说明理由．

②当两点的运动时间为多少秒时，BMN刚好是一个直角三角形？

（2）若点N的运动速度与点M的运动速度不相等，点N从点B出发，点M以原来的运动速度从点

C同时出发，都顺时针沿ABC三边运动，经过25秒时点M与点N第一次相遇，则点N的运动速度是

__________厘米/秒．（直接写出答案）

6.（2018·湖北广水期中）（阅读）

如图1，等边△ABC中，P是AC边上一点，Q是CB延长线上一点，若AP＝BQ．则过P作PF∥BC交AB于F，可证△APF是等边三角形，再证△PDF≌QDB可得D是FB的中点．请写出证明过程．

（运用）

如图2，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A，C不重合），

Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．

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（1）当∠BQD＝30°时，求AP的长；

（2）在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，直接写出线段ED的长；如果发生改变，请说明理由．

7.（2020·乐清市月考）如图所示，△ABC中，AB＝AC＝BC＝10厘米，M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度是1厘米/秒的速度，点N的速度是2厘米/秒，当点

N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．设运动时间为t秒．

（1）M、N同时运动 秒后，M、N两点重合？

（2）当0＜t＜5时，M、N同时运动几秒后，可得等边三角形△AMN？

（3）M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰△AMN，如果存在，请求出此时M、

N运动的时间，如果不存在请说明理由.

9

8.（2020·南京月考）在ABC中，BAC90，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F．

（1）若ABAC，BAC120，求证BMMNNC；

（2）由（1）可知AMN是______三角形；

（3）去掉（1）中的“BAC120”的条件，其他不变，判断AMN的形状，并证明你的结论；

（4）当B与C满足怎样的数量关系时，AMN是等腰三角形？直接写出所有可能的情况．

9.（2020·长沙月考）点P是边长为3cm的等边△ABC的边AB上的动点，点P从点A出发．沿线段AB向点B运动．

（1）如图1，若另一动点Q从点B出发，沿线段BC向点C运动，如果动点P，Q都以1cm/s的速度同时出发，设运动时问为t（s），连换AQ、CP交于点M，

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①当t为何值时，△PBQ是直角三角形？

②在P，Q运动的过程中，∠CMQ会发生变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．

（2）如图2，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动，连接PQ交AC于点D，如果动点P，Q都以1cm/s的速度同时出发，设运动时间为t（s），连接PC，

①当t为何值时，△DCQ是等腰三角形？

②在点P，Q的运动过程中，请探究△PCD和△QCD的面积之间的数量关系．

10.（2020·广东惠来期末）如图，在等边△ABC中，AB＝6cm，动点P从点A出发以1cm/s的速度沿AB匀速运动．动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为t（s）．过点P作PE⊥AC于E，连接PQ交AC边于

D．以CQ、CE为边作平行四边形CQFE．

（1）当t为何值时，△BPQ为直角三角形；

（2）是否存在某一时刻t，使点F在∠ABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；

（3）求DE的长．

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11.（2019·哈尔滨市月考）如图，A6,0,B0,4，点B关于x轴的对称点为C点，点D在x轴的负半轴上，△ABD的面积是30．

（1）求点D坐标；

（2）若动点P从点B出发，沿射线BC运动，速度为每秒1个单位，设P的运动时间为t秒，△APC的面积为S，求S与t的关系式.

12.（2020·湖北襄州期末）已知等边△ABC的边长为4cm，点P，Q分别是直线AB，BC上的动点．

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图1 图2

（1）如图1，当点P从顶点A沿AB向B点运动，点Q同时从顶点B沿BC向C点运动，它们的速度都为lcm/s，到达终点时停止运动．设它们的运动时间为t秒，连接AQ，PQ．

①当t＝2时，求∠AQP的度数．

②当t为何值时△PBQ是直角三角形？

（2）如图2，当点P在BA的延长线上，Q在BC上，若PQ＝PC，请判断AP，CQ和AC之间的数量关系，并说明理由．

13.（2019·连云港市期中）如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A．点

B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为2cm/s，点N的速度为3cm/s．当点N第一次

到达B点时，M、N同时停止运动．

（1）点M、N运动 秒后，△AMN是等边三角形？

（2）点M、N在BC边上运动时，运动 秒后得到以MN为底边的等腰三角形△AMN？

（3）M、N同时运动几秒后，△AMN是直角三角形？请说明理由．

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