圆与抛物线

1、如图所示，△ABC的高AD为3，BC为4，直线EF∥BC，交线段AB于E，交线段AC于F，交AD于G，以EF为斜边作等腰直角三角形PEF（点P与A在直线EF的异侧），设EF为x，△PEF与四边形BEFC重合部分的面积为y。 （1）求线段AG（用x表示）；

（2）求y与x的函数关系式，并求x的取值范围。

22

2、已知抛物线C1：y=ax－2amx＋am＋2m＋1(a＞0，m＞1)，其顶点为A，抛物线C2的对称轴是y轴，顶点为点B。且抛物线C1和C2关于点P（1，3）成中心对称。 （1）用含m的代数式表示抛物线C1的顶点坐标； （2）求m的值和抛物线C2的解析式；

（3）设抛物线C2与x轴正半轴的交点是C，当△ABC为等腰三角形时，求a的值。

3、如图所示，圆O的半径OA与OB互相垂直，P是线段OB延长线上的一动点，线段AP交圆O于点D，过D点作圆O的切线交OP于点E.

（1）观察图形，比较点P在移动过程中DE与EP的大小关系，并对你的结论加以证明； （2）作DH⊥OP于点H，若HE=6，DE=43，求圆O半径的长。

4、已知：OC是半圆M的直径，点D在半圆弧上运动（点D与点O、点C不重合），∠OCD的平分线与半圆M交于点E，连接OE交CD的延长线于点B，点A在直线OC上，且OA=OD。 （1）如图1所示，当点D运动到什么位置时，点A和M重合？

（2）如图2所示，作EF⊥CO于点F，猜想EF与图中已有的哪条线段的一半相等，并加以证明；

（3）如图3所示，在上述条件下，过点E作CO的平行线交CB于点N，当NA⊥OC时，求∠EOC的正切值。

5、如图所示，抛物线y=－

23x2－

333x＋3交x轴于A、B两点，交y轴于点C，顶点

为D。

（1）求点A、B、C、D的坐标；

（2）把△ABC绕AB的中点M旋转180°，得到四边形AEBC。 ①求点E的坐标；

②试判断四边形AEBC的形状，并说明理由；

（3）试探求：在直线BC上是否存在一点P，使得△PAD的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

6、如图所示，已知矩形ABCD中，点I在∠CAB的平分线AK上运动，过I作IE⊥AD，IF⊥CD，垂足分别为E、F，IE、IF分别交AC于点G、H。 （1）若点H为AC的中点，且KH⊥AC，求GH:AG的值；

（2）当点I运动到什么位置时，GH=GE+HF成立？此时矩形EIFD的面积与矩形ABCD的面积的比值是多少？

2

7、如图所示，抛物线y=ax＋ax＋c与y轴交于点C（0，2），与x轴交于点A、B，点A的坐标为（－2，0）。

（1）求该抛物线的解析式；

（2）M是线段OB上一动点，N是线段OC上一动点，且ON=2OM，分别连接MC、MN，当△MNC的面积最大时，求点M、N的坐标； （3）若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（-1，0），问：是否存在直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存

在，请说明理由。

8、如图所示，抛物线y=－

42482

x－mx＋m(m＞0)与x轴相交于A、B两点，点H是抛物999线的顶点，以AB为直径作圆G交y轴于E、F两点，EF=42.

（1）用含m的代数式表示圆G的半径rG的长；

（2）连接AH，求线段AH的长；

（3）点P是抛物线对称轴上半轴上的一点，且满足以P点为圆心的圆P与直线AH和圆G都相切，求点P的坐标。

9、在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=3AD。

（1）如图1所示，连接AC，如果三角形ADC的面积为6，求梯形ABCD的面积；

（2）如图2所示，E是腰AB上一点，连接CE，设△BCE和四边形AECD的面积分别为S1和S2，且2S1=3S2，求

AE的值； BE（3）如图3所示，AB=CD，如果CE⊥AB于点E，且BE=3AE，求∠B的度数。

10、在直角坐标系中，⊙O1经过坐标原点O，分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A、B，

3，过点A作⊙O1的切线与y轴交于点C。 512（1）如图1所示，点O到直线AB的距离为，求直线AC的解析式；

5sin∠ABO=

（2）如图2所示，若⊙O1经过点M（2，2），设△BOA的内切圆的直径为d，试判断d+AB的值是否会发生变化，如果不变，求出其值，如果变化，求其变化的范围；

（3）如图3所示，经过点B且以点A为顶点的抛物线与直线AC的另一个交点为D，试判断AC：AD的值是否变化，并说明理由。

11、AB是⊙O的直径，AB=4，D是⊙O上异于端点A、B的一动点，延长AD到C，使CD=AD，连接BC、BD。

（1）求证：AB=BC；

（2）设AD=x，△ABC的面积为y，请你写出y与x之间的函数关系式； （3）何时△ABC的面积最大？请你求出这个面积的最大值。

2

12、已知抛物线y=ax+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x

2

轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB＜OC）是方程x－10x＋16=0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x=－2. （1）求A、B、C三点的坐标； （2）求此抛物线的表达式；

（3）连接AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC，交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系

式，并写出自变量m的取值范围； （4）在（3）的基础上试说明S是否存 在最大值。若存在，请求出S的最大值， 并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE 的形状；若不存在，请说明理由。

13、如图所示，线段AB=1，点C在线段AB上，以AC为半径的⊙A与以CB为半径的⊙C相交于点D，BD的延长线与⊙A相交于点E，CD、AE的延长线相交于点F。 （1）求证：∠ADB=3∠B；

（2）设⊙C的半径为x，EF的长为y，求y与x的函数解析式，并指出x的取值范围； （3）点C在线段AB上移动的过程中，⊙C能否与AE相切？如果能够，请求出这时⊙C的半径；如果不能，请说明理由。

14、在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=－

323x＋交x轴于点C，交y轴于点A，33等腰直角三角板OBD的顶点D与点C重合，如图1所示，把三角板绕着点O顺时针旋转，旋

转角度为α（0°＜α＜180°），使B点恰好落在AC上的B′处，如图2所示。 （1）求图1中点B的坐标； （2）求α的值；

2

（3）若二次函数y=mx＋3x的图象经过（1）中的点B，判断点B′是否在这条抛物线上，并说明理由。

15、已知：如图1所示，直线x+y=9与x轴、y轴相交于C、D两点，直线2x+3y+12=0与x轴、y轴相交于A、B两点，F（4，0）是x轴上一点，过C点的直线l垂直于x轴，n是直线l上一点（N点与C点不重合），连接AN。 （1）求A、D两点的坐标；

（2）若P是AN的中点，PF=5，猜想∠APF的度数，并说明理由；

（3）如图2所示，连接NF，求△AFN外接圆面积的最小值，并求此面积最小时圆心G的坐标。

2

16、如图1所示，抛物线y=x-4x+c交x轴于点A和点B（-1，0），交y轴于点C，且抛物线的对称轴交x轴于点D。 （1）求这个抛物线的解析式；

（2）若点E在抛物线上，且位于第四象限，当四边形ADCE面积最大时，求点E的坐标； （3）如图2所示，在抛物线上是否存在这样的点P，使△PAB的三条边中有一边与x轴所夹锐角的正切值为

1？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。 2

17、如图所示，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F。

（1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若

AC3AF=，求的值。 AB5DF

18、如图所示，平行四边形ABCD中，AB=8，∠DAB的平分线交边CD于点E（点E不与C、D重合），过点E作AE的垂线，交BC所在直线于点G，交AB所在直线于点F。 （1）（如图1）过点E作EH∥AD，交AB于点H，请证明四边形AHED是菱形；

（2）当点G在线段BC上（不与B、C两点重合）时，判断△BFG是什么三角形，并说明理由；如果点G在CB的延长线上（如图2），此结论是否仍然成立？（不必说明理由） （3）当点G在B、C之间时，求AD的取值范围。

19、如图所示，A是x轴正半轴上一个动点，以OA为边子x轴下方作矩形OABC，使

2

AO4=，AB5将点B沿经过A点的直线对折到OC边上D点处，以B为顶点的抛物线y=ax+bx+c(a≠0)经过D点，并且与过A、D两点的直线y=mx+n交于P点。 （1）求m的值；

（2）判断点m（2，-3）能否成为矩形OABC的对称中心？简要说明理由； （3）若点M（2，-3）始终在矩形OABC内部，求S△BDP的取值范围。

20、如图所示，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，以AB上的一点O为圆心作⊙O，分别与AC、BC相切于点D、E。 （1）求⊙O的半径； （2）求sin∠BOC的值。

21、如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，D、E分别是边AB、AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ⊥BC于Q，过点Q作QR∥BA交AC于R。当点Q与点C重合时，点P停止运动，设BQ=x，QR=y。 （1）求点D到BC的距离DH的长；

（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；

（3）是否存在点P，使△PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由。

22、如图所示，已知抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）。 （1）求抛物线的解析式；

（2）设抛物线的顶点为D，在其对称右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合要求的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点M是抛物线上一点，以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标。