湖南沙市雅实、北雅、长雅、明德华兴联考2019年中考数学模拟(3月)试卷(含解析)

（3月份）

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．下列实数中，是无理数的是（ ） A．0

B．

C．

D．

2．下列运算中，正确的是（ ） A．2a﹣a＝2

2

2

B．（a）＝a

325

C．a•a＝a

246

D．a÷a＝a

﹣3﹣2

3．中国企业2018年已经在“一带一路”沿线国家建立了56个经贸合作区，直接为东道国增加了20万个就业岗位．将20万用科学记数法表示应为（ ） A．2×10

5

B．20×10

4

C．0.2×10

6

D．20×10

5

4．下列立体图形中，主视图是圆的是（ ）

A． B． C． D．

5．如图，AB∥CD，∠B＝68°，∠E＝20°，则∠D的度数为（ ）

A．28° B．38° C．48° D．88°

6．若将点A（1，3）向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点B，则点B的坐标为（ ） A．（﹣2，﹣1）

B．（﹣1，0）

C．（﹣1，﹣1）

D．（﹣2，0）

7．某校为了解全校同学五一假期参加社团活动的情况，抽查了100名同学，统计它们假期参加社团活动的时间，绘成频数分布直方图（如图），则参加社团活动时间的中位数所在的范围是（ ）

A．4﹣6小时 B．6﹣8小时

2

C．8﹣10小时 D．不能确定

8．若m，n是一元二次方程x+x﹣2＝0的两个根，则m+n﹣mn的值是（ ） A．﹣3 9．函数y＝A．x≠2

B．3

C．﹣1

D．1

的自变量x的取值范围是（ ）

B．x＜2

C．x≥2

D．x＞2

10．下列命题是真命题的是（ ） A．内错角相等

B．两边和一角对应相等的两个三角形全等 C．矩形的对角线互相垂直 D．圆内接四边形的对角互补

11．《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，可列方程组为（ ） A．C．

B．D．

12．如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，D为BC的中点，将△ABC折叠，使点A与点D重合，

EF为折痕，则sin∠BED的值是（ ）

A． B． C． D．

二、填空题（本大题共6个小题,每小题3分共18分) 13．分解因式：x3﹣4x＝ ． 14．计算：

＝ ．

15．若正多边形的一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是 ．

16．如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在边BC和CD上，则∠AEB＝ 度．

17．已知圆锥的底面积为16πcm2，母线长为6cm，则圆锥的侧面积是 cm2．

18．如图，一艘轮船自西向东航行，航行到A处测得小岛C位于北偏东60°方向上，继续向东航行20海里到达点B处，测得小岛C在轮船的北偏东15°方向上，此时轮船与小岛C的距离为 海里．

三、解答题（本大题共8个小题,共66分) 19．（6分）计算：

﹣（2019﹣π）0﹣4cos45°+（﹣）﹣2

20．（6分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．

21．（8分）西宁市教育局在局属各初中学校设立“自主学习日”．规定每周三学校不得以任何形式布置家庭作业，为了解各学校的落实情况，从七、八年级学生中随机抽取了部分学生的反馈表，针对以下六个项目（每人只能选一项）：A．课外阅读；B．家务劳动；C．体育锻炼；D．学科学习；E．社会实践；F．其他项目进行调查，根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：

（1）此次抽查的样本容量为 ，请补全条形统计图；

（2）全市约有4万名在校初中学生，试估计全市学生中选择体育锻炼的人数约有多少人？ （3）七年级（1）班从选择社会实践的2名女生和1名男生中选派2名参加校级社会实践活动，请你用树状图或列表法求出恰好选到1男1女的概率是多少？并列举出所有等可能的结果．

22．（8分）已知E、F分别是▱ABCD的边BC、AD上的点，且BE＝DF． （1）求证：△ABE≌△CDF；

（2）若BC＝10，∠BAC＝90°，且四边形AECF是菱形，求BE的长．

23．（9分）长沙市计划聘请甲、乙两个工程队对桂花公园进行绿化．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队的2倍；若两队分别各完成300m的绿化时，甲队比乙队少用3天． （1）求甲、乙两工程队每天能完成的绿化的面积；

（2）该项绿化工程中有一块长为20m，宽为8m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？

2

24．（9分）如图，在⊙O中，直径CD垂直于不过圆心O的弦AB，垂足为点N，连接AC，BC，点E在AB上，且AE＝CE． （1）求证：∠ABC＝∠ACE；

（2）过点B作⊙O的切线交EC的延长线于点P，证明PB＝PE； （3）在第（2）问的基础上，设⊙O半径为2的最大值．

，若点N为OC中点，点Q在⊙O上，求线段PQ

25．如图，已知二次函数y＝x+bx+c的顶点P的横坐标为﹣，且与y轴交于点C（0，﹣4）． （1）求b，c的值；

（2）直线y＝m（m＞0）与该抛物线的交点为M，N（点M在点N的左侧）点M关于y轴的对称点为点M′，点H的坐标为（3，0）．若四边形ONM′H的面积为18．求点H到OM'的距离； （3）是否在对称轴的同侧存在实数m、n（m＜n），当m≤x≤n时，y的取值范围为若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由．

≤y≤

？

2

26．我们不妨约定：在直角△ABC中，如果较长的直角边的长度为较短直角边长度的两倍，则称直角△ABC为黄金三角形

（1）已知：点O（0，0），点A（2，0），下列y轴正半轴上的点能与点O，点A构成黄金三角形的有 ；填序号①（0，1）；②（0，2）；③（0，3），④（0，4）；

（2）已知点P（5，0），判断直线y＝2x﹣6在第一象限是否存在点Q，使得△OPQ是黄金三角形，若存在求出点Q的坐标，若不存在，说明理由；

（3）已知：反比例函数y＝与直线y＝﹣x+m+1交于M，N两点，若在x轴上有且只有一个点C，使得∠MCN＝90°，求m的值，并判断此时△MNC是否为黄金三角形．

2019年湖南沙市雅实、北雅、长雅、明德华兴联考中考数学模拟试卷（3月份）

参与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．【分析】根据无理数的三种形式求解． 【解答】解：故选：C．

【点评】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．

2．【分析】分别根据合并同类项法则、幂的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法分别计算可得． 【解答】解：A、2a2﹣a2＝a2，此选项错误；

为无理数，0，，

为有理数．

B、（a3）2＝a6，此选项错误； C、a2•a4＝a6，此选项正确；

D、a﹣3÷a﹣2＝a﹣3﹣（﹣2）＝a﹣1，此选项错误；

故选：C．

【点评】本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握合并同类项法则、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方与幂的乘方．

3．【分析】科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：20万＝200000＝2×10． 故选：A．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【解答】解：A、的主视图是圆，故A符合题意；

n5

nB、的主视图是矩形，故B不符合题意； C、的主视图是三角形，故C不符合题意； D、的主视图是正方形，故D不符合题意；

故选：A．

【点评】本题考查了简单几何体的三视图，熟记常见几何体的三视图是解题关键． 5．【分析】根据平行线的性质得到∠1＝∠B＝68°，由三角形的外角的性质即可得到结论． 【解答】解：如图，∵AB∥CD， ∴∠1＝∠B＝68°， ∵∠E＝20°，

∴∠D＝∠1﹣∠E＝48°， 故选：C．

【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 6．【分析】根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求解即可．

【解答】解：∵点A（1，3）向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点B， ∴点B的横坐标为1﹣2＝﹣1，纵坐标为3﹣4＝﹣1， ∴B的坐标为（﹣1，﹣1）． 故选：C．

【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．

7．【分析】100个数据的中间的两个数为第50个数和第51个数，利用统计图得到第50个数和第51个数都落在第三组，于是根据中位数的定义可对各选项进行判断． 【解答】解：100个数据，中间的两个数为第50个数和第51个数， 而第50个数和第51个数都落在第三组，

所以参加社团活动时间的中位数所在的范围为6﹣8（小时）． 故选：B．

【点评】本题考查了中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数． 8．【分析】由韦达定理得出m+n和mn的值，再代入计算可得． 【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2+x﹣2＝0的两个根，

∴m+n＝﹣1，mn＝﹣2， 则m+n﹣mn＝﹣1﹣（﹣2）＝1， 故选：D．

【点评】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握x1，x2是一元二次方程ax+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．

9．【分析】本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式和分式部分．根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解． 【解答】解：根据二次根式的意义，被开方数x﹣2≥0，解得x≥2； 根据分式有意义的条件，x﹣2≠0，解得x≠2． 所以，x＞2．故选D．

【点评】函数自变量的范围一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．

10．【分析】根据平行线的性质、全等三角形的判定定理、矩形的性质、圆内接四边形的性质判断． 【解答】解：两直线平行，内错角相等，A是假命题； 两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等，B是假命题； 矩形的对角线相等，不一定互相垂直，C是假命题； 圆内接四边形的对角互补，D是真命题； 故选：D．

【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．

11．【分析】设设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据羊的价格不变列出方程组． 【解答】解：设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，可列方程组为：故选：A．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系是解题的关键． 12．【分析】先根据翻折变换的性质得到△DEF≌△AEF，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得到∠BED＝CDF，设CD＝1，CF＝x，则CA＝CB＝2，再根据勾股定理即可求解． 【解答】解：∵△DEF是△AEF翻折而成，

．

2

∴△DEF≌△AEF，∠A＝∠EDF， ∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠EDF＝45°，由三角形外角性质得∠CDF+45°＝∠BED+45°， ∴∠BED＝∠CDF，

设CD＝1，CF＝x，则CA＝CB＝2， ∴DF＝FA＝2﹣x，

∴在Rt△CDF中，由勾股定理得，

CF2+CD2＝DF2，

即x+1＝（2﹣x）， 解得：x＝，

∴sin∠BED＝sin∠CDF＝故选：B．

＝．

2

2

【点评】本题考查的是图形翻折变换的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形外角的性质，涉及面较广，但难易适中．

二、填空题（本大题共6个小题,每小题3分共18分)

13．【分析】应先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 【解答】解：x﹣4x， ＝x（x﹣4）， ＝x（x+2）（x﹣2）． 故答案为：x（x+2）（x﹣2）．

【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次因式分解，分解因式一定要彻底，直到不能再分解为止． 14．【分析】先变形为【解答】解：原式＝

﹣﹣

，然后分母不变，分子相减得到＝

＝1．

，最后约分即可．

2

3

故答案为1．

【点评】本题考查了分式的加减法：同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减，然后化简得到最简分式或整式．

15．【分析】首先根据求出外角度数，再利用外角和定理求出边数． 【解答】解：∵正多边形的一个内角是140°， ∴它的外角是：180°﹣140°＝40°， 360°÷40°＝9． 故答案为：9．

【点评】此题主要考查了多边形的外角与内角，做此类题目，首先求出正多边形的外角度数，再利用外角和定理求出求边数．

16．【分析】只要证明△ABE≌△ADF，可得∠BAE＝∠DAF＝（90°﹣60°）÷2＝15°，即可解决问题．

【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠B＝∠D＝∠BAD＝90°， 在Rt△ABE和Rt△ADF中，

，

∴△ABE≌△ADF，

∴∠BAE＝∠DAF＝（90°﹣60°）÷2＝15°， ∴∠AEB＝75°， 故答案为75．

【点评】本题考查正方形的性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

17．【分析】利用圆面积公式求出半径，再利用扇形的面积公式即可解决问题． 【解答】解：设底面圆的半径为rcm． 由题意：π•r2＝16π，

∴r＝4（负根已经舍弃），

∴圆锥的侧面积＝•2π•4•6＝24π（cm）， 故答案为24π．

【点评】本题考查圆锥的计算，圆的面积公式，扇形的面积公式等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

18．【分析】如图，作BH⊥AC于H．在Rt△ABH中，求出BH，再在Rt△BCH中，利用等腰直角三角形的性质求出BC即可．

【解答】解：如图，作BH⊥AC于H．

2

在Rt△ABH中，∵AB＝10海里，∠BAH＝30°， ∴∠ABH＝60°，BH＝AB＝5（海里），

在Rt△BCH中，∵∠CBH＝∠C＝45°，BH＝5（海里）， ∴BH＝CH＝5海里， ∴CB＝5

（海里）．

．

故答案为：5

【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考常考题型． 三、解答题（本大题共8个小题,共66分)

19．【分析】直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别代入得出答案．

【解答】解：原式＝2＝8．

【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．

20．【分析】首先解每个不等式，然后利用数轴确定两个不等式的解集的公共部分，即是不等式组的解集．

﹣1﹣2

+9

【解答】解：

解不等式①，得x＜﹣1； 解不等式②，得x≤﹣8；

所以原不等式组的解集为x≤﹣8， 在数轴上表示为：

．

【点评】本题考查的是解一元一次不等式（组），正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 21．【分析】（1）根据

＝百分比，计算即可；

（2）用样本估计总体的思想，即可解决问题；

（3）画出树状图，求出所有可能，以及一男一女的可能数，利用概率公式计算即可； 【解答】解：（1）总人数＝200÷20%＝1000， 故答案为1000，

B组人数＝1000﹣200﹣400﹣200﹣50﹣50＝100人，

条形图如图所示：

（2）参加体育锻炼的人数的百分比为40%， 用样本估计总体：40%×40000＝16000人，

答：全市学生中选择体育锻炼的人数约有16000人．

（3）设两名女生分别用A1，A2，一名男生用B表示，树状图如下：

共有6种情形，恰好一男一女的有4种可能， 所以恰好选到1男1女的概率是＝．

【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．也考查了扇形统计图和条形统计图．

22．【分析】（1）根据SAS证明△ABE≌△CDF即可． （2）想办法证明EA＝EB＝EC即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，∠B＝∠D， ∵BE＝DF，

∴△ABE≌△CDF（SAS）．

（2）∵四边形AECF是菱形， ∴EA＝EC， ∴∠EAC＝∠ECA， ∵∠BAC＝90°，

∴∠BAE+∠EAC＝90°，∠B+∠ECA＝90°， ∴∠B＝∠EAB， ∴EA＝EB， ∴BE＝CE＝5．

【点评】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

23．【分析】（1）利用原若两队分别各完成300m2的绿化时，甲队比乙队少用3天这一等量关系列出分式方程求解即可；

（2）根据矩形的面积和为56平方米列出一元二次方程求解即可． 【解答】解：（1）设乙队每天绿化xm2，则甲每天绿化2xm2，根据题意得：

＝3，

解得：x＝100，

经检验x＝100是原方程的根， 所以2x＝200，

答：甲队每天绿化200平方米，乙队每天绿化100平方米；

（2）设人行道的宽度为a米，根据题意得， （20﹣3a）（8﹣2a）＝56， 解得：a＝2或a＝

（不合题意，舍去）．

答：人行道的宽为2米．

【点评】本题考查了分式方程及一元二次方程的应用，解题的关键是能够找到等量关系并列出方程，解分式方程时一定要检验．

24．【分析】（1）因为直径CD垂直于不过圆心O的弦AB，垂足为点N，所以＝∠ABC，因为AE＝CE，所以∠CAE＝∠ACE，所以∠ABC＝∠ACE；

（2）连接OB，设∠CAE＝∠ACE＝∠ABC＝x，通过计算可得∠PEB＝∠PBE＝2x，所以PB＝PE； （3）连接OP，证明△OBC和△PBE为等边三角形，因为⊙O半径为2即PB＝BE＝4，在Rt△PBO中求得PO的长，即可得出PQ的最大值．

【解答】解：（1）证明：∵直径CD垂直于不过圆心O的弦AB，垂足为点N， ∴

，

，可得BN＝3，NE＝1，

，所以∠CAE∴∠CAE＝∠ABC， ∵AE＝CE， ∴∠CAE＝∠ACE， ∴∠ABC＝∠ACE； （2）如图，连接OB，

∵过点B作⊙O的切线交EC的延长线于点P， ∴∠OBP＝90°，

设∠CAE＝∠ACE＝∠ABC＝x， 则∠PEB＝2x， ∵OB＝OC，AB⊥CD，

∴∠OBC＝∠OCB＝90°﹣x，

∴∠BOC＝180°﹣2（90°﹣x）＝2x， ∴∠OBE＝90°﹣2x，

∴∠PBE＝90°﹣（90°﹣2x）＝2x， ∴∠PEB＝∠PBE， ∴PB＝PE；

（3）如图，连接OP， ∵点N为OC中点，AB⊥CD， ∴AB是CD的垂直平分线， ∴BC＝OB＝OC， ∴△OBC为等边三角形， ∵⊙O半径为2∴CN＝

，

，

∵∠CAE＝∠ACE＝∠BOC＝30°， ∴∠CEN＝60°，∠PBE＝2∠CAB＝60°， ∴△PBE为等边三角形，BN＝3，NE＝1， ∴PB＝BE＝BN+NE＝3+1＝4， ∴PO＝

∴PQ的最大值为PO+

＝，

．

【点评】本题考查圆的切线的性质，等边三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理．解题的关键是掌握圆的切线的性质．

25．【分析】（1）根据二次函数顶点坐标公式和C点的坐标列出二元一次方程组，求出b、c的值． （2）首先设设M（﹣t，m），则N（﹣3+t，m），M′（t，m），其中t＞0，进而表示出M′N＝3＝OH，可知四边形ONM′H为平行四边形，从而求出四边形ONM′H的高．所以M（﹣5，6），M′

（5，6），N（2，6），再求出OM′的长度．最后根据三角形面积公式求出点H到OM'的距离； （3）根据题意，分2种情况：①当m≤n＜

时；②当当﹣＜m≤n时；然后根据二次函数的

≤y最值的求法，求出满足题意的实数m、n（m＜n），使得当m≤x≤n时，y的取值范围为为≤

即可

【解答】解：（1）由题意可得，

解得 b＝3，c＝﹣4；

（2）连接OM．设M（﹣t，m），则N（﹣3+t，m），M′（t，m），其中t＞0， ∴NM′＝t﹣（﹣3+t）＝3， ∵H的坐标为（3，0）， ∴OH＝3， ∴NM′＝OH，

∴四边形ONM′H为平行四边形，

S▱ONM′H＝OH•m＝3m＝18，

∴m＝6，

∴M（﹣t，6），代入y＝x+3x﹣4，得t﹣3t﹣4＝0， 解得 t1＝5，t2＝﹣2（不符合题意，舍去）， ∴M（﹣5，6），M′（5，6），N（2，6） ∴OM′＝又S△OHM′＝

，

2

2

∴点H到OM'的距离＝∴（3）分两种情况讨论：

；

①当m＜n＜﹣，即m、n在对称轴的左侧时，二次函数y的值随x增大而减小， ∵

≤y≤

，

∴

（1）×n得，n+3n﹣4n＝12 ∴（n+2）（n﹣2）（n+3）＝0 解得 n＝﹣2或2或﹣3， 同理由（2）得

3

2

m＝﹣2或2或3，

∵m＜n＜﹣， ∴m＝﹣3，n＝﹣2； ②当∵

＜m＜n，即m、n在对称轴的右侧时，二次函数y的值随x增大而增大， ≤y≤

，

（1）×n﹣2×m，得 m2n﹣n2m+4（m﹣n）＝0， ∴（mn+4）（m﹣n）＝0， ∵m﹣n≠0， ∴mn+4＝0，将

，

代入（2）

n2+3n﹣4＝﹣3n，

∴n＝﹣3±∵n＞

，与上述

＜m＜n矛盾，

n＝﹣3+

∴m＝﹣3﹣

∴没有满足的m、n．

综上，在对称轴的左侧存在实数m、n，当m≤x≤n时，y的取值范围为

≤y≤

，此时m＝﹣

3，n＝﹣2．

【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数解析式的求法和二次函数图象的性质等，难度较大．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 26．【分析】（1）根据黄金三角形的定义即可判断．

（2）假设存在．设Q（m，2m﹣6），分两种情形分别求解即可．

（3）设M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点为k，当点K到x轴的距离等于＝MN时，满足条件．根据一元二次方程的根与系数的关系，构建方程求出m即可判断．

【解答】解：（1）根据黄金三角形的定义可知能与点O，点A构成黄金三角形的有（0，1）或（0，4），

故答案为①④．

（2）假设存在．设Q（m，2m﹣6），

∵△OPQ是直角三角形，当∠OQP是直角三角形时，OQ+PQ＝OP， ∴m2+（2m﹣6）2+（m﹣5）2+（2m﹣6）2＝52， 解得：m＝和4， ∵点Q在第一象限， ∴m＝4， ∴Q（4，2）， ∵OQ＝2

，PQ＝

，

2

2

2

∴OQ＝2PQ，

∴△OPQ是黄金三角形，

当∠OPQ＝90°时，Q（5，4），此时△OPQ不满足黄金三角形的定义． ∴满足条件点点Q坐标为（5，4）．

（3）设M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点为k，当点K到x轴的距离等于＝MN时，满足条件． 由

，消去y得到：x﹣（m+1）x+m＝0，

2

∴x1+x2＝m+1，x1•x2＝m，y1+y2＝m+1．y1•y2＝m， ∴MN＝

＝

＝

∵K（

，

），

∴＝，

整理得：m2﹣6m+1＝0， ∴m＝3±2

，

如图，作MH⊥x轴于H．

∵直线MN的解析式为y＝﹣x+m+1， ∴∠HMN＝45°， ∵OK∥MH， ∴∠CMH＝∠MCK， ∵KM＝KC， ∴∠MCK＝∠CMK， ∴∠CMH＝∠CMN＝22.5°， ∴tan22.5°＝

≠，

∴△MCN不是黄金三角形．

【点评】本题属于反比例函数综合题，考查了勾股定理，黄金三角形的定义，一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．