双曲线方程
1、 双曲线得第一定义:
⑴①双曲线标准方程:一般方程:
⑵①i、 焦点在x轴上: 顶点:
焦点:
、
、
准线方程、 焦点:或
、
渐近线方程:、 准线方程:
或
、 渐近线方程:
或
ii、 焦点在轴上:顶点:
,参数方程:
②轴
为对称轴,实轴长为2a, 虚轴长为2b,焦距2c、 ③离心率、 ④准线距
(
(两准线得距离);通
分别为双曲线
径、 ⑤参数关系、 ⑥焦点半径公式:对于双曲线方程得左、右焦点或分别为双曲线得上下焦点) “长加短减”原则:
构成满足 (与椭圆焦
半径不同,椭圆焦半径要带符号计算,而双曲线不带符号)
⑶等轴双曲线:双曲线
称为等轴双曲线,其渐近线方程为
,离心率
、
⑷共轭双曲线:以已知双曲线得虚轴为实轴,实轴为虚轴得双曲线,叫做已知双曲线得共轭双曲线、与
互为共轭双曲线,它们具有共同得渐近线:
得渐近线方程为、
且过
,求双曲线得方程？
、
如果双曲线得渐近线为
⑸共渐近线得双曲线系方程:时,它得双曲线方程可设为例如:若双曲线一条渐近线为
解:令双曲线得方程为:,代入得、 ⑹直线与双曲线得位置关系:
区域①:无切线,2条与渐近线平行得直线,合计2条;
区域②:即定点在双曲线上,1条切线,2条与渐近线平行得直线,合计3条; 区域③:2条切线,2条与渐近线平行得直线,合计4条;
区域④:即定点在渐近线上且非原点,1条切线,1条与渐近线平行得直线,合计2条; 区域⑤:即过原点,无切线,无与渐近线平行得直线、
小结:过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点,可以作出得直线数目可能有0、2、3、4条、 (2)若直线与双曲线一支有交点,交点为二个,求确定直线得斜率可用代入法与渐近线求交与两根之与与两根之积同号、 ⑺若P在双曲线
,则常用结论1:P到焦点得距离为m = n,则P到两准线得距离比为m︰n、
简证: = 、
常用结论2:从双曲线一个焦点到另一条渐近线得距离等于b、 双曲线得标准方程与简单几何性质
常见考法
在段考中,多以选择题、填空题与解答题得形式考查双曲线得简单几何性质。选择题与填空题一般属于容易题,解答题一般属于难题。在高考中,一般以解答题得形式融合其它圆锥曲线联合考查双曲线得几何性质,难度较大。
误区提醒
1、求双曲线得方程,用待定系数法,先定位,后定量。不确定时要分类讨论。 2、如果双曲线中,涉及双曲线上得点到焦点得距离或涉及焦点弦,一般可考虑使用双曲线得定义,使用几何法求解,比使用方程组要简单。 【典型例题】
