中学数学二次函数压轴题(含答案)

来源：华佗小知识

二次函数压轴题强化训练（带详细答案）　一．解答题（共30小题） 1．（2016•深圳模拟）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线

与x轴、y

轴的交点分别为A、B，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C．（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T，Q为线段BT上一点，直接写出|QA﹣QO|的取值范围．　 2．（2015•枣庄）如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．第1页（共98页）　 3．（2007•玉溪）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线y=x+m与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在y轴上．（1）求m的值及这个二次函数的关系式；（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．　 4．（2013•凉山州）如图，抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）交x轴于A、B两点，A点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，4），以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴l在边OA（不包括O、A两点）上平行移动，分别交x轴于点E，交CD于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示PM的长；（3）在（2）的条件下，连结PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断△PCM的形状；若不存在，请说明理由．　 5．（2009•綦江县）如图，已知抛物线y=a（x﹣1）2+3（a≠0）经过点A（﹣2，0），抛物线的顶点为D，过O作射线OM∥AD．过顶点平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连接BC．（1）求该抛物线的解析式；第2页（共98页）（2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为t（s）．问当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形，直角梯形，等腰梯形？（3）若OC=OB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t（s），连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长．　 6．（2013•天水）如图1，已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；（3）如图2，若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）．　 7．（2014•河南）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（5，0）两点，直线y=﹣x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D．点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E．设点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）若PE=5EF，求m的值；（3）若点E′是点E关于直线PC的对称点，是否存在点P，使点E′落在y轴上？若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由．第3页（共98页）　 8．（2013•德州）如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t， ①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求出当△CEF与△COD相似时，点P的坐标； ②是否存在一点P，使△PCD的面积最大？若存在，求出△PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由．　 9．（2013•河南）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线y=x+2交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为（3，）．点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由．（3）若存在点P，使∠PCF=45°，请直接写出相应的点P的坐标．第4页（共98页）　 10．（2013•重庆）如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）．（1）求直线BC与抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标．　 11．（2013•徐州）如图，二次函数y=x2+bx﹣的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E．（1）请直接写出点D的坐标：　　　　　　；（2）当点P在线段AO（点P不与A、O重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值；（3）是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．第5页（共98页）　 12．（2013•泰安）如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）．（1）求该抛物线的解析式．（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．　 13．（2014•广元）如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连接AB、AE、BE．已知tan∠CBE=，A（3，0），D（﹣1，0），E（0，3）．（1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标；（2）求证：CB是△ABE外接圆的切线；（3）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（4）设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度（0＜t≤3）时，△AOE与△ABE重叠部分的面积为s，求s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围．第6页（共98页）　 14．（2014•成都）如图，已知抛物线y=（x+2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y=﹣

x+b与抛物线的另一交

点为D．（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？　 15．（2014•南宁）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k与直线y=kx+1交于A，B两点，点A在点B的左侧．（1）如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．第7页（共98页）　 16．（2013•防城港）如图，抛物线y=﹣（x﹣1）2+c与x轴交于A，B（A，B分别在y轴的左右两侧）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，已知A（﹣1，0）．（1）求点B，C的坐标；（2）判断△CDB的形状并说明理由；（3）将△COB沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t＜3）得到△QPE．△QPE与△CDB重叠部分（如图中阴影部分）面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．　 17．（2014•重庆）如图，抛物线y=﹣x2﹣2x+3 的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求A、B、C的坐标；（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N．若点P在点Q左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积；（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ．过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）．若FG=2标． DQ，求点F的坐

第8页（共98页）　 18．（2014•钦州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、D两点，与y轴交于点B，四边形OBCD是矩形，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，4），已知点E（m，0）是线段DO上的动点，过点E作PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G，交BD于点H．（1）求该抛物线的解析式；（2）当点P在直线BC上方时，请用含m的代数式表示PG的长度；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．　 19．（2014•昆明）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ存在时，求运动多少秒使△PBQ的面积最大，最大面积是多少？（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK：S△PBQ=5：2，求K点坐标．第9页（共98页）　 20．（2013•恩施州）如图所示，直线l：y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，抛物线过点B、C和D（3，0）．（1）求直线BD和抛物线的解析式．（2）若BD与抛物线的对称轴交于点M，点N在坐标轴上，以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似，求所有满足条件的点N的坐标．（3）在抛物线上是否存在点P，使S△PBD=6？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．　 21．（2013•毕节地区）如图，抛物线y=ax2+b与x轴交于点A、B，且A点的坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，1）．（1）求抛物线的解析式，并求出点B坐标；（2）过点B作BD∥CA交抛物线于点D，连接BC、CA、AD，求四边形ABCD的周长；（结果保留根号）（3）在x轴上方的抛物线上是否存在点P，过点P作PE垂直于x轴，垂足为点E，使以B、P、E为顶点的三角形与△CBD相似？若存在请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．第10页（共98页）　 22．（2014•德州）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．　 23．（2014•吉林）如图①，直线l：y=mx+n（m＜0，n＞0）与x，y轴分别相交于A，B两点，将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD，过点A，B，D的抛物线P叫做l的关联抛物线，而l叫做P的关联直线．（1）若l：y=﹣2x+2，则P表示的函数解析式为　　　　　　；若P：y=﹣x2﹣3x+4，则l表示的函数解析式为　　　　　　．（2）求P的对称轴（用含m，n的代数式表示）；（3）如图②，若l：y=﹣2x+4，P的对称轴与CD相交于点E，点F在l上，点Q在P的对称轴上．当以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，求点Q的坐标；（4）如图③，若l：y=mx﹣4m，G为AB中点，H为CD中点，连接GH，M为GH中点，连接OM．若OM=

，直接写出l，P表示的函数解析式．第11页（共98页）　 24．（2013•武汉）如图，点P是直线l：y=﹣2x﹣2上的点，过点P的另一条直线m交抛物线y=x2于A、B两点．（1）若直线m的解析式为y=﹣x+，求A，B两点的坐标；（2）①若点P的坐标为（﹣2，t）．当PA=AB时，请直接写出点A的坐标； ②试证明：对于直线l上任意给定的一点P，在抛物线上能找到点A，使得PA=AB成立．（3）设直线l交y轴于点C，若△AOB的外心在边AB上，且∠BPC=∠OCP，求点P的坐标．　 25．（2013•遂宁）如图，抛物线y=（0，）．直线y=kx（1）求抛物线y=

x2+bx+c与x轴交于点A（2，0），交y轴于点B

过点A与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点是D． x2+bx+c与直线y=kx

的解析式；（2）设点P是直线AD上方的抛物线上一动点（不与点A、D重合），过点P作y轴的平行线，交直线AD于点M，作DE⊥y轴于点E．探究：是否存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形？若存在请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；第12页（共98页）（3）在（2）的条件下，作PN⊥AD于点N，设△PMN的周长为l，点P的横坐标为x，求l与x的函数关系式，并求出l的最大值．　 26．（2013•舟山）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=（x﹣m）2﹣m2+m的顶点为A，与y轴的交点为B，连结AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使AD=AC，连结BD．作AE∥x轴，DE∥y轴．（1）当m=2时，求点B的坐标；（2）求DE的长？（3）①设点D的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式？②过点D作AB的平行线，与第（3）①题确定的函数图象的另一个交点为P，当m为何值时，以A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形？　 27．（2006•重庆）已知：m、n是方程x2﹣6x+5=0的两个实数根，且m＜n，抛物线y=﹣x2+bx+c的图象经过点A（m，0）、B（0，n）．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C、D的坐标和△BCD的面积；（3）P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△PCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出P点的坐标．第13页（共98页）　 28．（2015•阜新）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P在抛物线上，且S△AOP=4SBOC，求点P的坐标；（3）如图b，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DQ

长度的最大值．　 29．（2014•白银）如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线是由抛物线y=x2﹣3向右平移一个单位后得到的，它与y轴负半轴交于点A，点B在该抛物线上，且横坐标为3．（1）求点M、A、B坐标；（2）连接AB、AM、BM，求∠ABM的正切值；（3）点P是顶点为M的抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，设PO与x正半轴的夹角为α，当α=∠ABM时，求P点坐标．第14页（共98页）　 30．（2014•宿迁）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0，c＜0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D．（1）如图1，已知点A，B，C的坐标分别为（﹣2，0），（8，0），（0，﹣4）； ①求此抛物线的表达式与点D的坐标； ②若点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM面积的最大值；（2）如图2，若a=1，求证：无论b，c取何值，点D均为定点，求出该定点坐标．　　第15页（共98页）二次函数压轴题强化答案一．解答题（共30小题） 1．（2016•深圳模拟）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线

与x轴、y

轴的交点分别为A、B，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C．（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T，Q为线段BT上一点，直接写出|QA﹣QO|的取值范围．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题；开放型．【分析】（1）点A的坐标是纵坐标为0，得横坐标为8，所以点A的坐标为（8，0）；点B的坐标是横坐标为0，解得纵坐标为6，所以点B的坐标为（0，6）；由题意得：BC是∠ABO的角平分线，所以OC=CH，BH=OB=6 ∵AB=10，∴AH=4，设OC=x，则AC=8﹣x 由勾股定理得：x=3

，顶点D的坐标为，设抛物线的对称轴与x轴的交点为G．直线BC的解析式为y=﹣2x+6.4分）设点P的坐标为（x，﹣2x+6）．解法一：如图，作OP∥AD交直线BC于点P，连接AP，作PM⊥x轴于点M． ∵OP∥AD， ∴∠POM=∠GAD，tan∠POM=tan∠GAD． ∴

，即．解得经检验

．是原方程的解．．（5分），OM＜GA．，此时点P的坐标为但此时∵

∴OP＜AD，即四边形的对边OP与AD平行但不相等， ∴直线BC上不存在符合条件的点P（6分）解法二：如图，取OA的中点E，作点D关于点E的对称点P，作PN⊥x轴于点N．则∠PEO=∠DEA，PE=DE．第17页（共98页）可得△PEN≌△DEG．由

，可得E点的坐标为（4，0）．． NE=EG=，ON=OE﹣NE=，NP=DG=∴点P的坐标为∵x=时，

．（5分）， ∴点P不在直线BC上． ∴直线BC上不存在符合条件的点P．（6分）（3）|QA﹣QO|的取值范围是

．（8分）当Q在OA的垂直平分线上与直线BC的交点时，（如点K处），此时OK=AK，则|QA﹣QO|=0，当Q在AH的延长线与直线BC交点时，此时|QA﹣QO|最大，直线AH的解析式为：y=﹣x+6，直线BC的解析式为：y=﹣2x+6，联立可得：交点为（0，6）， ∴OQ=6，AQ=10， ∴|QA﹣QO|=4， ∴|QA﹣QO|的取值范围是：0≤|QA﹣QO|≤4．【点评】此题考查了二次函数与一次函数以及平行四边形的综合知识，解题的关键是认真识图，注意数形结合思想的应用．　第18页（共98页） 2．（2015•枣庄）如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．【考点】二次函数综合题．【专题】几何综合题；压轴题．【分析】（1）已知B（4，m）在直线y=x+2上，可求得m的值，抛物线图象上的A、B两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值．（2）要弄清PC的长，实际是直线AB与抛物线函数值的差．可设出P点横坐标，根据直线AB和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，进而得到关于PC与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出PC的最大值．（3）当△PAC为直角三角形时，根据直角顶点的不同，有三种情形，需要分类讨论，分别求解．【解答】解：（1）∵B（4，m）在直线y=x+2上， ∴m=4+2=6， ∴B（4，6）， ∵A（，）、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx+6上， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为y=2x2﹣8x+6．（2）设动点P的坐标为（n，n+2），则C点的坐标为（n，2n2﹣8n+6）， ∴PC=（n+2）﹣（2n2﹣8n+6）， =﹣2n2+9n﹣4， =﹣2（n﹣）2+

，第19页（共98页） ∵PC＞0， ∴当n=时，线段PC最大且为

．（3）∵△PAC为直角三角形， i）若点P为直角顶点，则∠APC=90°．由题意易知，PC∥y轴，∠APC=45°，因此这种情形不存在； ii）若点A为直角顶点，则∠PAC=90°．如答图3﹣1，过点A（，）作AN⊥x轴于点N，则ON=，AN=．过点A作AM⊥直线AB，交x轴于点M，则由题意易知，△AMN为等腰直角三角形， ∴MN=AN=，∴OM=ON+MN=+=3， ∴M（3，0）．设直线AM的解析式为：y=kx+b，则：

，解得

， ∴直线AM的解析式为：y=﹣x+3 ① 又抛物线的解析式为：y=2x2﹣8x+6 ② 联立①②式，解得：x=3或x=（与点A重合，舍去） ∴C（3，0），即点C、M点重合．当x=3时，y=x+2=5， ∴P1（3，5）； iii）若点C为直角顶点，则∠ACP=90°． ∵y=2x2﹣8x+6=2（x﹣2）2﹣2， ∴抛物线的对称轴为直线x=2．如答图3﹣2，作点A（，）关于对称轴x=2的对称点C，第20页（共98页）则点C在抛物线上，且C（，）．当x=时，y=x+2=∴P2（，

）．）均在线段AB上，）．． ∵点P1（3，5）、P2（，

∴综上所述，△PAC为直角三角形时，点P的坐标为（3，5）或（，

【点评】此题主要考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识．　 3．（2007•玉溪）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线y=x+m与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在y轴上．（1）求m的值及这个二次函数的关系式；（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）因为直线y=x+m过点A，将A点坐标直接代入解析式即可求得m的值；设出二次函数的顶点式，将（3，4）代入即可；（2）由于P和E的横坐标相同，将P点横坐标代入直线和抛物线解析式，可得其纵坐标表达式，h即为二者之差；根据P、E在二者之间，所以可知x的取值范围是0＜x＜3；（3）先假设存在点P，根据四边形DCEP是平行四形的条件进行推理，若能求出P点坐标，则证明存在点P，否则P点不存在．【解答】解：（1）∵点A（3，4）在直线y=x+m上， ∴4=3+m． ∴m=1．设所求二次函数的关系式为y=a（x﹣1）2． ∵点A（3，4）在二次函数y=a（x﹣1）2的图象上， ∴4=a（3﹣1）2，第21页（共98页） ∴a=1． ∴所求二次函数的关系式为y=（x﹣1）2．即y=x2﹣2x+1．（2）设P、E两点的纵坐标分别为yP和yE． ∴PE=h=yP﹣yE =（x+1）﹣（x2﹣2x+1） =﹣x2+3x．即h=﹣x2+3x（0＜x＜3）．（3）存在．解法1：要使四边形DCEP是平行四边形，必需有PE=DC． ∵点D在直线y=x+1上， ∴点D的坐标为（1，2）， ∴﹣x2+3x=2．即x2﹣3x+2=0．解之，得x1=2，x2=1（不合题意，舍去） ∴当P点的坐标为（2，3）时，四边形DCEP是平行四边形．解法2：要使四边形DCEP是平行四边形，必需有BP∥CE．设直线CE的函数关系式为y=x+b． ∵直线CE经过点C（1，0）， ∴0=1+b， ∴b=﹣1． ∴直线CE的函数关系式为y=x﹣1． ∴

得x2﹣3x+2=0．解之，得x1=2，x2=1（不合题意，舍去） ∴当P点的坐标为（2，3）时，四边形DCEP是平行四边形．【点评】此题考查了用待定系数法求函数解析式以及函数图象上点的坐标特征，结合图形有利于解答；（3）是一道存在性问题，有一定的开放性，需要先假设点P存在，然后进行验证计算．　 4．（2013•凉山州）如图，抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）交x轴于A、B两点，A点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，4），以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴l在边OA（不包括O、A两点）上平行移动，分别交x轴于点E，交CD于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示PM的长；（3）在（2）的条件下，连结PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断△PCM的形状；若不存在，请说明理由．第22页（共98页）【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）将A（3，0），C（0，4）代入y=ax2﹣2ax+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）先根据A、C的坐标，用待定系数法求出直线AC的解析式，进而根据抛物线和直线AC的解析式分别表示出点P、点M的坐标，即可得到PM的长；（3）由于∠PFC和∠AEM都是直角，F和E对应，则若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似时，分两种情况进行讨论：①△PFC∽△AEM，②△CFP∽△AEM；可分别用含m的代数式表示出AE、EM、CF、PF的长，根据相似三角形对应边的比相等列出比例式，求出m的值，再根据相似三角形的性质，直角三角形、等腰三角形的判定判断出△PCM的形状．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）经过点A（3，0），点C（0，4）， ∴

，解得

， ∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+4；（2）设直线AC的解析式为y=kx+b， ∵A（3，0），点C（0，4）， ∴

，解得

， ∴直线AC的解析式为y=﹣x+4． ∵点M的横坐标为m，点M在AC上， ∴M点的坐标为（m，﹣m+4）， ∵点P的横坐标为m，点P在抛物线y=﹣x2+x+4上， ∴点P的坐标为（m，﹣m2+m+4）， ∴PM=PE﹣ME=（﹣m2+m+4）﹣（﹣m+4）=﹣m2+4m，第23页（共98页）即PM=﹣m2+4m（0＜m＜3）；（3）在（2）的条件下，连结PC，在CD上方的抛物线部分存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似．理由如下：由题意，可得AE=3﹣m，EM=﹣m+4，CF=m，若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似，情况： ①P点在F上，PF=﹣m2+m+4﹣4=﹣m2+m．若△PFC∽△AEM，则PF：AE=FC：EM，即（﹣m2+m）：（3﹣m）=m：（﹣m+4）， ∵m≠0且m≠3， ∴m=

． ∵△PFC∽△AEM， ∴∠PCF=∠AME， ∵∠AME=∠CMF， ∴∠PCF=∠CMF．在直角△CMF中， ∵∠CMF+∠MCF=90°， ∴∠PCF+∠MCF=90°，即∠PCM=90°， ∴△PCM为直角三角形； ②P点在F下，PF=4﹣（﹣m2+m+4）=m2﹣m 若△PFC∽△AEM，则PF：AE=FC：EM，即（m2﹣m）：（3﹣m）=m：（﹣m+4）， ∵m≠0且m≠3， ∴m=

（不合题意舍去）． ∵∠CFP=90°， ∴∠CPM=∠CFP+FCM＞90°， ∴△CPM为钝角三角形； ③若△CFP∽△AEM，则CF：AE=PF：EM，即m：（3﹣m）=（﹣m2+m）：（﹣m+4）， ∵m≠0且m≠3， ∴m=1． ∵△CFP∽△AEM， ∴∠CPF=∠AME， ∵∠AME=∠CMF， ∴∠CPF=∠CMF．第24页（共98页） ∴CP=CM， ∴△PCM为等腰三角形．综上所述，存在这样的点P使△PFC与△AEM相似．此时m的值为三角形或等腰三角形．或1，△PCM为直角

【点评】此题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形、等腰三角形的判定，难度适中．要注意的是当相似三角形的对应边和对应角不明确时，要分类讨论，以免漏解．　 5．（2009•綦江县）如图，已知抛物线y=a（x﹣1）2+3（a≠0）经过点A（﹣2，0），抛物线的顶点为D，过O作射线OM∥AD．过顶点平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连接BC．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为t（s）．问当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形，直角梯形，等腰梯形？（3）若OC=OB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t（s），连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）将A的坐标代入抛物线y=a（x﹣1）2+3（a≠0）可得a的值，即可得到抛物线的解析式；（2）易得D的坐标，过D作DN⊥OB于N；进而可得DN、AN、AD的长，根据平行四边形，直角梯形，等腰梯形的性质，用t将其中的关系表示出来，并求解可得答案；第25页（共98页）（3）根据（2）的结论，易得△OCB是等边三角形，可得BQ、PE关于t的关系式，将四边形的面积用t表示出来，进而分析可得最小值及此时t的值，进而可求得PQ的长．【解答】解：（1）∵抛物线y=a（x﹣1）2+3∴0=9a+3， ∴a=﹣

（1分） x2+

；（3分）（a≠0）经过点A（﹣2，0）， ∴二次函数的解析式为：y=﹣

（2）①∵D为抛物线的顶点， ∴D（1，3），过D作DN⊥OB于N，则DN=3∴AD=

=6，，AN=3， ∴∠DAO=60°．（4分） ∵OM∥AD， ①当AD=OP时，四边形DAOP是平行四边形， ∴OP=6， ∴t=6（s）．（5分） ②当DP⊥OM时，四边形DAOP是直角梯形，过O作OH⊥AD于H，AO=2，则AH=1（如果没求出∠DAO=60°可由Rt△OHA∽Rt△DNA（求AH=1） ∴OP=DH=5，t=5（s）（6分） ③当PD=OA时，四边形DAOP是等腰梯形，易证：△AOH≌△DPP′， ∴AH=CP， ∴OP=AD﹣2AH=6﹣2=4， ∴t=4（s）综上所述：当t=6、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形；（7分）（3）由（2）及已知，∠COB=60°，OC=OB，△OCB是等边三角形则OB=OC=AD=6，OP=t，BQ=2t， ∴OQ=6﹣2t（0＜t＜3）过P作PE⊥OQ于E，则PE=

t（8分） ×（6﹣2t）×（9分）．（10分） t

∴SBCPQ=×6×3=

（t﹣）2+

当t=时，四边形BCPQ的面积最小值为∴此时OQ=3，OP=，OE=；第26页（共98页） ∴QE=3﹣=，PE=， ∴PQ=．（11分）【点评】本题考查学生将二次函数的图象与解析式相结合处理问题、解决问题的能力．　 6．（2013•天水）如图1，已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；（3）如图2，若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可；（2）根据已知条件可求出OB的解析式为y=x，则向下平移m个单位长度后的解析式为：y=x﹣m．由于抛物线与直线只有一个公共点，意味着联立解析式后得到的一元二次方程，其根的判别式等于0，由此可求出m的值和D点坐标；（3）综合利用几何变换和相似关系求解．方法一：翻折变换，将△NOB沿x轴翻折；方法二：旋转变换，将△NOB绕原点顺时针旋转90°．特别注意求出P点坐标之后，该点关于直线y=﹣x的对称点也满足题意，即满足题意的P点有两个，避免漏解．第27页（共98页）【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4） ∴将A与B两点坐标代入得：解得：

，， ∴抛物线的解析式是y=x2﹣3x．（2）设直线OB的解析式为y=k1x，由点B（4，4），得：4=4k1，解得：k1=1 ∴直线OB的解析式为y=x， ∴直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为：y=x﹣m， ∵点D在抛物线y=x2﹣3x上， ∴可设D（x，x2﹣3x），又∵点D在直线y=x﹣m上， ∴x2﹣3x=x﹣m，即x2﹣4x+m=0， ∵抛物线与直线只有一个公共点， ∴△=16﹣4m=0，解得：m=4，此时x1=x2=2，y=x2﹣3x=﹣2， ∴D点的坐标为（2，﹣2）．（3）∵直线OB的解析式为y=x，且A（3，0）， ∴点A关于直线OB的对称点A′的坐标是（0，3），根据轴对称性质和三线合一性质得出∠A′BO=∠ABO，设直线A′B的解析式为y=k2x+3，过点（4，4）， ∴4k2+3=4，解得：k2=， ∴直线A′B的解析式是y=

， ∵∠NBO=∠ABO，∠A′BO=∠ABO， ∴BA′和BN重合，即点N在直线A′B上， ∴设点N（n，∴

=n2﹣3n，），又点N在抛物线y=x2﹣3x上，解得：n1=﹣，n2=4（不合题意，舍去） ∴N点的坐标为（﹣，方法一：如图1，将△NOB沿x轴翻折，得到△N1OB1，）．第28页（共98页）则N1（

，

），B1（4，﹣4）， ∴O、D、B1都在直线y=﹣x上． ∵△P1OD∽△NOB，△NOB≌△N1OB1， ∴△P1OD∽△N1OB1， ∴

， ∴点P1的坐标为（

，）．，），将△OP1D沿直线y=﹣x翻折，可得另一个满足条件的点P2（综上所述，点P的坐标是（方法二：如图2，将△NOB绕原点顺时针旋转90°，得到△N2OB2，则N2（

，），B2（4，﹣4），，

）或（

，）． ∴O、D、B1都在直线y=﹣x上． ∵△P1OD∽△NOB，△NOB≌△N2OB2， ∴△P1OD∽△N2OB2， ∴

， ∴点P1的坐标为（

，）．，

），将△OP1D沿直线y=﹣x翻折，可得另一个满足条件的点P2（综上所述，点P的坐标是（

，

）或（

，）．方法三： ∵直线OB：y=x是一三象限平分线， ∴A（3，0）关于直线OB的对称点为A′（0，3）， ∴

得：x1=4（舍），x2=﹣， ∴N（﹣，）， ∵D（2，﹣2），∴lOD：y=﹣x， ∵lOD：y=x， ∴OD⊥OB，第29页（共98页） ∵△POD∽△NOB， ∴N（﹣，∵OB=4∴

）旋转90°后N1（

，，）或N关于x轴对称点N2（﹣，﹣

），，OD=2， ∵P为ON1或ON2中点， ∴P1（

，），P2（

，

）．【点评】本题是基于二次函数的代数几何综合题，综合考查了待定系数法求抛物线解析式、一次函数（直线）的平移、一元二次方程根的判别式、翻折变换、旋转变换以及相似三角形等重要知识点．本题将初中阶段重点代数、几何知识熔于一炉，难度很大，对学生能力要求极高，具有良好的区分度，是一道非常好的中考压轴题．　 7．（2014•河南）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（5，0）两点，直线y=﹣x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D．点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E．设点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；第30页（共98页）（2）若PE=5EF，求m的值；（3）若点E′是点E关于直线PC的对称点，是否存在点P，使点E′落在y轴上？若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】代数几何综合题；压轴题．【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）用含m的代数式分别表示出PE、EF，然后列方程求解；（3）解题关键是识别出当四边形PECE′是菱形，然后根据PE=CE的条件，列出方程求解；当四边形PECE′是菱形不存在时，P点y轴上，即可得到点P坐标．【解答】方法一：解：（1）将点A、B坐标代入抛物线解析式，得：，解得， ∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+4x+5．（2）∵点P的横坐标为m， ∴P（m，﹣m2+4m+5），E（m，﹣m+3），F（m，0）． ∴PE=|yP﹣yE|=|（﹣m2+4m+5）﹣（﹣m+3）|=|﹣m2+EF=|yE﹣yF|=|（﹣m+3）﹣0|=|﹣m+3|．由题意，PE=5EF，即：|﹣m2+①若﹣m2+

m+2=

； m+15），整理得：m2﹣m﹣17=0，．第31页（共98页） m+2|， m+2|=5|﹣m+3|=|m+15|

m+15，整理得：2m2﹣17m+26=0，解得：m=2或m=②若﹣m2+解得：m=

m+2=﹣（

或m=

由题意，m的取值范围为：﹣1＜m＜5，故m=∴m=2或m= （3）假设存在．作出示意图如下：．、m=这两个解均舍去． ∵点E、E′关于直线PC对称， ∴∠1=∠2，CE=CE′，PE=PE′． ∵PE平行于y轴，∴∠1=∠3， ∴∠2=∠3，∴PE=CE， ∴PE=CE=PE′=CE′，即四边形PECE′是菱形．当四边形PECE′是菱形存在时，由直线CD解析式y=﹣x+3，可得OD=4，OC=3，由勾股定理得CD=5．过点E作EM∥x轴，交y轴于点M，易得△CEM∽△CDO， ∴

，即

，解得CE=|m|， m+2|

∴PE=CE=|m|，又由（2）可知：PE=|﹣m2+∴|﹣m2+

m+2|=|m|． ①若﹣m2+②若﹣m2+

m+2=m，整理得：2m2﹣7m﹣4=0，解得m=4或m=﹣； m+2=﹣m，整理得：m2﹣6m﹣2=0，解得m1=3+

，m2=3﹣

．由题意，m的取值范围为：﹣1＜m＜5，故m=3+这个解舍去．当四边形PECE′是菱形这一条件不存在时，此时P点横坐标为0，E，C，E'三点重合与y轴上，菱形不存在．综上所述，存在满足条件的点P，可求得点P坐标为（﹣，﹣3）方法二：（1）略．第32页（共98页）），（4，5），（3﹣，2

（2）略．（3）若E关于直线PC的对称点E′在y轴上，则直线CD与直线CE关于PC轴对称． ∴点D关于直线PC的对称点D′也在y轴上， ∴DD′⊥CP，∵y=﹣x+3， ∴D（4，0），CD=5， ∵OC=3， ∴OD′=8或OD′=2， ①当OD′=8时，D′（0，8），设P（t，﹣t2+4t+5），D（4，0），C（0，3）， ∵PC⊥DD′，∴KPC×KDD′=﹣1， ∴

∴2t2﹣7t﹣4=0， ∴t1=4，t2=， ②当OD′=2时，D′（0，﹣2），设P（t，﹣t2+4t+5）， ∵PC⊥DD′，∴KPC×KDD′=﹣1， ∴

=﹣1，， ∴t1=3+，t2=3﹣， ∵点P是x轴上方的抛物线上一动点， ∴﹣1＜t＜5， ∴点P的坐标为（﹣，

），（4，5），（3﹣

，2

﹣3）．【点评】本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数与一次函数的图象与性质、点的坐标、待定系数法、菱形、相似三角形等多个知识点，重点考查了分类讨论思想与方程思想的灵活运用．需要注意的是，为了避免漏解，表示线段长度的代数式均含有绝对值，解方程时需要分类讨论、分别计算．第33页（共98页）　 8．（2013•德州）如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t， ①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求出当△CEF与△COD相似时，点P的坐标； ②是否存在一点P，使△PCD的面积最大？若存在，求出△PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）先求出A、B、C的坐标，再运用待定系数法就可以直接求出二次函数的解析式；（2）①由（1）的解析式可以求出抛物线的对称轴，分类讨论当∠CEF=90°时，当∠CFE=90°时，根据相似三角形的性质就可以求出P点的坐标； ②先运用待定系数法求出直线CD的解析式，设PM与CD的交点为N，根据CD的解析式

表示出点N的坐标，再根据S△PCD=S△PCN+S△PDN就可以表示出三角形PCD的面积，运用顶点式就可以求出结论．【解答】解：（1）在Rt△AOB中，OA=1，tan∠BAO=∴OB=3OA=3． ∵△DOC是由△AOB绕点O逆时针旋转90°而得到的， ∴△DOC≌△AOB， ∴OC=OB=3，OD=OA=1， ∴A、B、C的坐标分别为（1，0），（0，3）（﹣3，0）．代入解析式为 =3，，解得：．第34页（共98页） ∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；（2）①∵抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3， ∴对称轴l=﹣

=﹣1， ∴E点的坐标为（﹣1，0）．如图，当∠CEF=90°时，△CEF∽△COD．此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点，P（﹣1，4）；当∠CFE=90°时，△CFE∽△COD，过点P作PM⊥x轴于点M，则△EFC∽△EMP． ∴

， ∴MP=3EM． ∵P的横坐标为t， ∴P（t，﹣t2﹣2t+3）． ∵P在第二象限， ∴PM=﹣t2﹣2t+3，EM=﹣1﹣t， ∴﹣t2﹣2t+3=﹣（t﹣1）（t+3），解得：t1=﹣2，t2=﹣3（因为P与C重合，所以舍去）， ∴t=﹣2时，y=﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3=3． ∴P（﹣2，3）． ∴当△CEF与△COD相似时，P点的坐标为：（﹣1，4）或（﹣2，3）； ②设直线CD的解析式为y=kx+b，由题意，得，解得：， ∴直线CD的解析式为：y=x+1．设PM与CD的交点为N，则点N的坐标为（t，t+1）， ∴NM=t+1． ∴PN=PM﹣NM=﹣t2﹣2t+3﹣（t+1）=﹣t2﹣∵S△PCD=S△PCN+S△PDN， ∴S△PCD=PN•CM+PN•OM =PN（CM+OM） =PN•OC =×3（﹣t2﹣

+2）第35页（共98页） +2． =﹣（t+）2+

，． ∴当t=﹣时，S△PCD的最大值为

【点评】本题考查了相似三角形的判定及性质的运用，待定系数法求函数的解析式的运用，三角形的面积公式的运用，二次函数的顶点式的运用，解答本题时，先求出二次函数的解析式是关键，用函数关系式表示出△PCD的面积由顶点式求最大值是难点．　 9．（2013•河南）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线y=x+2交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为（3，）．点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由．（3）若存在点P，使∠PCF=45°，请直接写出相应的点P的坐标．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）首先求出点C的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；第36页（共98页）（2）本问采用数形结合的数学思想求解．将直线y=x+2沿y轴向上或向下平移2个单位之后得到的直线，与抛物线y轴右侧的交点，即为所求之交点．由答图1可以直观地看出，这样的交点有3个．联立解析式解方程组，即可求出m的值；（3）本问符合条件的点P有2个，如答图2所示，注意不要漏解．在求点P坐标的时候，需要充分挖掘已知条件，构造直角三角形或相似三角形，解方程求出点P的坐标．【解答】解：（1）在直线解析式y=x+2中，令x=0，得y=2， ∴C（0，2）． ∵点C（0，2）、D（3，）在抛物线y=﹣x2+bx+c上， ∴，解得b=，c=2， ∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2．（2）∵PF∥OC，且以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形， ∴PF=OC=2， ∴将直线y=x+2沿y轴向上、下平移2个单位之后得到的直线，与抛物线y轴右侧的交点，即为所求之交点．由答图1可以直观地看出，这样的交点有3个．将直线y=x+2沿y轴向上平移2个单位，得到直线y=x+4，联立，解得x1=1，x2=2， ∴m1=1，m2=2；将直线y=x+2沿y轴向下平移2个单位，得到直线y=x，联立，解得x3=∴m3=

．，x4=

（在y轴左侧，不合题意，舍去），第37页（共98页） ∴当m为值为1，2或（3）存在．时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形．理由：设点P的横坐标为m，则P（m，﹣m2+m+2），F（m，m+2）．如答图2所示，过点C作CM⊥PE于点M，则CM=m，EM=2， ∴FM=yF﹣EM=m， ∴tan∠CFM=2．在Rt△CFM中，由勾股定理得：CF=

m．过点P作PN⊥CD于点N，则PN=FN•tan∠PFN=FN•tan∠CFM=2FN． ∵∠PCF=45°， ∴PN=CN，而PN=2FN， ∴FN=CF=

m，PN=2FN=

m， =m．在Rt△PFN中，由勾股定理得：PF=

∵PF=yP﹣yF=（﹣m2+m+2）﹣（m+2）=﹣m2+3m， ∴﹣m2+3m=m，整理得：m2﹣m=0，解得m=0（舍去）或m=， ∴P（，）；同理求得，另一点为P（

，

）．，

）． ∴符合条件的点P的坐标为（，）或（

第38页（共98页）【点评】本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、解方程（方程组）、平行四边形、相似三角形（或三角函数）、勾股定理等重要知识点．第（2）问采用数形结合思想求解，直观形象且易于理解；第（3）问中，符合条件的点P有两个，注意不要漏解．　 10．（2013•重庆）如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）．（1）求直线BC与抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标．第39页（共98页）【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）设直线BC的解析式为y=mx+n，将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入，运用待定系数法即可求出直线BC的解析式；同理，将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代

入y=x2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）MN的长是直线BC的函数值与抛物线的函数值的差，据此可得出一个关于MN的长和M点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出MN的最大值；（3）先求出△ABN的面积S2=5，则S1=6S2=30．再设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD，根据平行四边形的面积公式得出BD=3，过点D作直线BC的平行线，交抛物线与点P，交x轴于点E，在直线DE上截取PQ=BC，则四边形CBPQ为平行四边形．证明△EBD为等腰直角三角形，则BE=

BD=6，求出E的坐标为（﹣1，0），运用待定系数法求出直

，即可求出点P的坐标．线PQ的解析式为y=﹣x﹣1，然后解方程组

【解答】解：（1）设直线BC的解析式为y=mx+n，将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入，得

，解得

，所以直线BC的解析式为y=﹣x+5；将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入y=x2+bx+c，得

，解得

，所以抛物线的解析式为y=x2﹣6x+5；（2）设M（x，x2﹣6x+5）（1＜x＜5），则N（x，﹣x+5）， ∵MN=（﹣x+5）﹣（x2﹣6x+5）=﹣x2+5x=﹣（x﹣）2+∴当x=时，MN有最大值

；，（3）方法一： ∵MN取得最大值时，x=2.5，第40页（共98页） ∴﹣x+5=﹣2.5+5=2.5，即N（2.5，2.5）．解方程x2﹣6x+5=0，得x=1或5， ∴A（1，0），B（5，0）， ∴AB=5﹣1=4， ∴△ABN的面积S2=×4×2.5=5， ∴平行四边形CBPQ的面积S1=6S2=30．设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD，则BC⊥BD． ∵BC=5， ∴BC•BD=30， ∴BD=3．过点D作直线BC的平行线，交抛物线与点P，交x轴于点E，在直线DE上截取PQ=BC，则四边形CBPQ为平行四边形． ∵BC⊥BD，∠OBC=45°， ∴∠EBD=45°， ∴△EBD为等腰直角三角形，BE=BD=6， ∵B（5，0）， ∴E（﹣1，0），设直线PQ的解析式为y=﹣x+t，将E（﹣1，0）代入，得1+t=0，解得t=﹣1 ∴直线PQ的解析式为y=﹣x﹣1．解方程组

，得

，

， ∴点P的坐标为P1（2，﹣3）（与点D重合）或P2（3，﹣4）．方法二： ∵MN取得最大值时，x=2.5， ∴﹣x+5=﹣2.5+5=2.5，即N（2.5，2.5）．解方程x2﹣6x+5=0，得x=1或5， ∴A（1，0），B（5，0）， ∴AB=5﹣1=4， ∴△ABN的面积S2=×4×2.5=5， ∴平行四边形CBPQ的面积S1=6S2=30． ∵S△BCP=S1， ∴该问题等价于在抛物线上找到一点P，使得S△BCP=15，过点P作x轴垂线交直线BC于点H，设P（t，t2﹣6t+5）， ∴H（t，﹣t+5）， ∴S△BCP=

=15， ∴×（5﹣0）×[（﹣t+5）﹣（t2﹣6t+5）]=15，第41页（共98页） ∴t2﹣5t+6=0， ∴

，

， ∴点P的坐标为P1（2，﹣3）或P2（3，﹣4）．【点评】本题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，二次函数的性质，三角形的面积，平行四边形的判定和性质等知识点，综合性较强，考查学生运用方程组、数形结合的思想方法．（2）中弄清线段MN长度的函数意义是关键，（3）中确定P与Q的位置是关键．　 11．（2013•徐州）如图，二次函数y=x2+bx﹣的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E．（1）请直接写出点D的坐标：　（﹣3，4）　；（2）当点P在线段AO（点P不与A、O重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值；（3）是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．第42页（共98页）【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）将点A的坐标代入二次函数的解析式求得其解析式，然后求得点B的坐标即可求得正方形ABCD的边长，从而求得点D的纵坐标；（2）PA=t，OE=l，利用△DAP∽△POE得到比例式，从而得到有关两个变量的二次函数，求最值即可；（3）分点P位于y轴左侧和右侧两种情况讨论即可得到重叠部分的面积．【解答】解：（1）（﹣3，4）；（2）设PA=t，OE=l

由∠DAP=∠POE=∠DPE=90°得△DAP∽△POE

∴∴l=﹣

=﹣（t﹣）2+

； ∴当t=时，l有最大值

即P为AO中点时，OE的最大值为

（3）存在． ①点P点在y轴左侧时，DE交AB于点G， P点的坐标为（﹣4，0）， ∴PA=OP﹣AO=4﹣3=1，由△PAD≌△EOP得OE=PA=1 ∵△ADG∽△OEG

∴AG：GO=AD：OE=4：1 ∴AG=

∴重叠部分的面积=

②当P点在y轴右侧时，P点的坐标为（4，0），此时重叠部分的面积为

第43页（共98页）【点评】本题考查了二次函数的综合知识，与二次函数的最值结合起来，题目的难度较大．　 12．（2013•泰安）如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）．（1）求该抛物线的解析式．（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．第44页（共98页）【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）首先求出△PCE面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值；（3）△OMD为等腰三角形，可能有三种情形，需要分类讨论．【解答】解：（1）把点C（0，﹣4），B（2，0）分别代入y=x2+bx+c中，得，解得 ∴该抛物线的解析式为y=x2+x﹣4．（2）令y=0，即x2+x﹣4=0，解得x1=﹣4，x2=2， ∴A（﹣4，0），S△ABC=AB•OC=12．设P点坐标为（x，0），则PB=2﹣x． ∵PE∥AC， ∴∠BPE=∠BAC，∠BEP=∠BCA， ∴△PBE∽△BAC， ∴

，即

，化简得：S△PBE=（2﹣x）2． S△PCE=S△PCB﹣S△PBE=PB•OC﹣S△PBE=×（2﹣x）×4﹣（2﹣x）2 =

x2﹣x+ =﹣（x+1）2+3

∴当x=﹣1时，S△PCE的最大值为3．（3）△OMD为等腰三角形，可能有三种情形：（I）当DM=DO时，如答图①所示． DO=DM=DA=2， ∴∠OAC=∠AMD=45°， ∴∠ADM=90°， ∴M点的坐标为（﹣2，﹣2）；（II）当MD=MO时，如答图②所示．过点M作MN⊥OD于点N，则点N为OD的中点，第45页（共98页） ∴DN=ON=1，AN=AD+DN=3，又△AMN为等腰直角三角形，∴MN=AN=3， ∴M点的坐标为（﹣1，﹣3）；（III）当OD=OM时， ∵△OAC为等腰直角三角形， ∴点O到AC的距离为

×4=

，即AC上的点与点O之间的最小距离为

． ∵＞2，∴OD=OM的情况不存在．综上所述，点M的坐标为（﹣2，﹣2）或（﹣1，﹣3）．【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、等腰三角形等知识点，以及分类讨论的数学思想．第（2）问将面积的最值转化为二次函数的极值问题，注意其中求面积表达式的方法；第（3）问重在考查分类讨论的数学思想，注意三种可能的情形需要一一分析，不能遗漏．　 13．（2014•广元）如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连接AB、AE、BE．已知tan∠CBE=，A（3，0），D（﹣1，0），E（0，3）．（1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标；（2）求证：CB是△ABE外接圆的切线；（3）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（4）设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度（0＜t≤3）时，△AOE与△ABE重叠部分的面积为s，求s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围．第46页（共98页）【考点】二次函数综合题．【专题】代数几何综合题；压轴题；分类讨论．【分析】（1）已知A、D、E三点的坐标，利用待定系数法可确定抛物线的解析式，进而能得到顶点B的坐标．（2）过B作BM⊥y轴于M，由A、B、E三点坐标，可判断出△BME、△AOE都为等腰直角三角形，易证得∠BEA=90°，即△ABE是直角三角形，而AB是△ABE外接圆的直径，因此只需证明AB与CB垂直即可．BE、AE长易得，能求出tan∠BAE的值，结合tan∠CBE的值，可得到∠CBE=∠BAE，由此证得∠CBA=∠CBE+∠ABE=∠BAE+∠ABE=90°，此题得证．（3）△ABE中，∠AEB=90°，tan∠BAE=，即AE=3BE，若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，那么该三角形必须满足两个条件：①有一个角是直角、②两直角边满足1：3的比例关系；然后分情况进行求解即可．（4）过E作EF∥x轴交AB于F，当E点运动在EF之间时，△AOE与△ABE重叠部分是个四边形；当E点运动到F点右侧时，△AOE与△ABE重叠部分是个三角形．按上述两种情况按图形之间的和差关系进行求解．【解答】（1）解：由题意，设抛物线解析式为y=a（x﹣3）（x+1）．将E（0，3）代入上式，解得：a=﹣1． ∴y=﹣x2+2x+3．则点B（1，4）．（2）证明：如图1，过点B作BM⊥y于点M，则M（0，4）．在Rt△AOE中，OA=OE=3， ∴∠1=∠2=45°，AE=

．在Rt△EMB中，EM=OM﹣OE=1=BM， ∴∠MEB=∠MBE=45°，BE=∴∠BEA=180°﹣∠1﹣∠MEB=90°． ∴AB是△ABE外接圆的直径．在Rt△ABE中，tan∠BAE=

==tan∠CBE， =

． ∴∠BAE=∠CBE．在Rt△ABE中，∠BAE+∠3=90°，∴∠CBE+∠3=90°． ∴∠CBA=90°，即CB⊥AB．第47页（共98页） ∴CB是△ABE外接圆的切线．（3）解：Rt△ABE中，∠AEB=90°，tan∠BAE=，sin∠BAE=

，cos∠BAE=

；若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则△DEP必为直角三角形； ①DE为斜边时，P1在x轴上，此时P1与O重合；由D（﹣1，0）、E（0，3），得OD=1、OE=3，即tan∠DEO==tan∠BAE，即∠DEO=∠BAE 满足△DEO∽△BAE的条件，因此 O点是符合条件的P1点，坐标为（0，0）． ②DE为短直角边时，P2在x轴上；若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则∠DEP2=∠AEB=90°，sin∠DP2E=sin∠BAE=

；而DE=

，则DP2=DE÷sin∠DP2E=

=10，OP2=DP2﹣OD=9

即：P2（9，0）； ③DE为长直角边时，点P3在y轴上；若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则∠EDP3=∠AEB=90°，cos∠DEP3=cos∠BAE=

；则EP3=DE÷cos∠DEP3=

，OP3=EP3﹣OE=；综上，得：P1（0，0），P2（9，0），P3（0，﹣）．（4）解：设直线AB的解析式为y=kx+b．将A（3，0），B（1，4）代入，得∴y=﹣2x+6．过点E作射线EF∥x轴交AB于点F，当y=3时，得x=，∴F（，3）．情况一：如图2，当0＜t≤时，设△AOE平移到△GNM的位置，MG交AB于点H，MN交AE于点S．则ON=AG=t，过点H作LK⊥x轴于点K，交EF于点L．由△AHG∽△FHM，得

，即

．，解得

．解得HK=2t． ∴S阴=S△MNG﹣S△SNA﹣S△HAG=×3×3﹣（3﹣t）2﹣t•2t=﹣t2+3t．情况二：如图3，当＜t≤3时，设△AOE平移到△PQR的位置，PQ交AB于点I，交AE于点V．第48页（共98页）由△IQA∽△IPF，得．即，解得IQ=2（3﹣t）． ∵AQ=VQ=3﹣t， ∴S阴=IV•AQ=（3﹣t）2=t2﹣3t+．综上所述：s=．【点评】该题考查了二次函数的综合题，涉及到二次函数解析式的确定、切线的判定、相似三角形的判定、图形面积的解法等重点知识，综合性强，难度系数较大．此题的难点在于后两个小题，它们都需要分情况进行讨论，容易出现漏解的情况．在解答动点类的函数问题时，一定不要遗漏对应的自变量取值范围．　第49页（共98页） 14．（2014•成都）如图，已知抛物线y=（x+2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y=﹣

x+b与抛物线的另一交

点为D．（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？【考点】二次函数综合题．【专题】代数几何综合题；压轴题．【分析】（1）首先求出点A、B坐标，然后求出直线BD的解析式，求得点D坐标，代入抛物线解析式，求得k的值；（2）因为点P在第一象限内的抛物线上，所以∠ABP为钝角．因此若两个三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB．如答图2，按照以上两种情况进行分类讨论，分别计算；（3）由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF，运动时间：t=AF+DF．如答图3，作辅助线，将AF+DF转化为AF+FG；再由垂线段最短，得到垂线段AH与直线BD的交点，即为所求的F点．【解答】解：（1）抛物线y=（x+2）（x﹣4），令y=0，解得x=﹣2或x=4， ∴A（﹣2，0），B（4，0）． ∵直线y=﹣∴﹣

x+b经过点B（4，0），， x+

． ×4+b=0，解得b=

∴直线BD解析式为：y=﹣当x=﹣5时，y=3

，第50页（共98页） ∴D（﹣5，3∵点D（﹣5，3

）．）在抛物线y=（x+2）（x﹣4）上，， ∴（﹣5+2）（﹣5﹣4）=3∴k=

． ∴抛物线的函数表达式为：y=（x+2）（x﹣4）．（2）由抛物线解析式，令x=0，得y=﹣k， ∴C（0，﹣k），OC=k．因为点P在第一象限内的抛物线上，所以∠ABP为钝角．因此若两个三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB． ①若△ABC∽△APB，则有∠BAC=∠PAB，如答图2﹣1所示．设P（x，y），过点P作PN⊥x轴于点N，则ON=x，PN=y． tan∠BAC=tan∠PAB，即：∴y=x+k． ∴P（x，x+k），代入抛物线解析式y=（x+2）（x﹣4），得（x+2）（x﹣4）=x+k，整理得：x2﹣6x﹣16=0，解得：x=8或x=﹣2（与点A重合，舍去）， ∴P（8，5k）． ∵△ABC∽△APB， ∴

，即

，，解得：k=． ②若△ABC∽△PAB，则有∠ABC=∠PAB，如答图2﹣2所示．与①同理，可求得：k=

．第51页（共98页）综上所述，k= 或k=．（3）如答图3，由（1）知：D（﹣5，3），如答图2﹣2，过点D作DN⊥x轴于点N，则DN=3∴tan∠DBA=

，，ON=5，BN=4+5=9， ∴∠DBA=30°．过点D作DK∥x轴，则∠KDF=∠DBA=30°．过点F作FG⊥DK于点G，则FG=DF．由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF，运动时间：t=AF+DF， ∴t=AF+FG，即运动的时间值等于折线AF+FG的长度值．由垂线段最短可知，折线AF+FG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段．过点A作AH⊥DK于点H，则t最小=AH，AH与直线BD的交点，即为所求之F点． ∵A点横坐标为﹣2，直线BD解析式为：y=﹣∴y=﹣

×（﹣2）+

， x+

， ∴F（﹣2，2）．综上所述，当点F坐标为（﹣2，2）时，点M在整个运动过程中用时最少．【点评】本题是二次函数压轴题，难度很大．第（2）问中需要分类讨论，避免漏解；在计算过程中，解析式中含有未知数k，增加了计算的难度，注意解题过程中的技巧；第（3）问中，运用了转化思想使得试题难度大大降低，需要认真体会．　 15．（2014•南宁）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k与直线y=kx+1交于A，B两点，点A在点B的左侧．（1）如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．第52页（共98页）【考点】二次函数综合题．【专题】代数几何综合题；压轴题．【分析】方法一：（1）当k=1时，联立抛物线与直线的解析式，解方程求得点A、B的坐标；（2）如答图2，作辅助线，求出△ABP面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出最大值及点P的坐标；（3）“存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°”的含义是，以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q，由圆周角定理可知，此时∠OQC=90°且点Q为唯一．以此为基础，构造相似三角形，利用比例式列出方程，求得k的值．需要另外注意一点是考虑直线AB是否与抛物线交于C点，此时亦存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°．方法二：（1）联立直线与抛物线方程求出点A，B坐标．（2）利用面积公式求出P点坐标．（3）列出定点O坐标，用参数表示C，Q点坐标，利用黄金法则二求出k的值．【解答】方法一：解：（1）当k=1时，抛物线解析式为y=x2﹣1，直线解析式为y=x+1．联立两个解析式，得：x2﹣1=x+1，解得：x=﹣1或x=2，当x=﹣1时，y=x+1=0；当x=2时，y=x+1=3， ∴A（﹣1，0），B（2，3）．（2）设P（x，x2﹣1）．如答图2所示，过点P作PF∥y轴，交直线AB于点F，则F（x，x+1）． ∴PF=yF﹣yP=（x+1）﹣（x2﹣1）=﹣x2+x+2．第53页（共98页） S△ABP=S△PFA+S△PFB=PF（xF﹣xA）+PF（xB﹣xF）=PF（xB﹣xA）=PF ∴S△ABP=（﹣x2+x+2）=﹣（x﹣）2+当x=时，yP=x2﹣1=﹣． ∴△ABP面积最大值为

，此时点P坐标为（，﹣）．（3）设直线AB：y=kx+1与x轴、y轴分别交于点E、F，则E（﹣，0），F（0，1），OE=，OF=1．在Rt△EOF中，由勾股定理得：EF==．令y=x2+（k﹣1）x﹣k=0，即（x+k）（x﹣1）=0，解得：x=﹣k或x=1． ∴C（﹣k，0），OC=k． Ⅰ、假设存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，如答图3所示，则以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q，根据圆周角定理，此时∠OQC=90°．设点N为OC中点，连接NQ，则NQ⊥EF，NQ=CN=ON=． ∴EN=OE﹣ON=﹣． ∵∠NEQ=∠FEO，∠EQN=∠EOF=90°， ∴△EQN∽△EOF， ∴

，即：

，解得：k=±∵k＞0， ∴k=

．，第54页（共98页） ∴存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，此时k=． Ⅱ、若直线AB过点C时，此时直线与圆的交点只有另一点Q点，故亦存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，将C（﹣k，0）代入y=kx+1中，可得k=1，k=﹣1（舍去），故存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，此时k=1．综上所述，k=

或1时，存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°．方法二：（1）略．（2）过点P作x轴垂线，叫直线AB于F，设P（t，t2﹣1），则F（t，t+1） ∴S△ABP=（FY﹣PY）（BX﹣AX）， ∴S△ABP=（t+1﹣t2+1）（2+1）， ∴S△ABP=﹣t2+t+3，当t=时，S△ABP有最大值，∴S△ABP=（3）∵y=x2+（k﹣1）x﹣k， ∴y=（x+k）（x﹣1），当y=0时，x1=﹣k，x2=1， ∴C（﹣k，0），D（1，0），点Q在y=kx+1上，设Q（t，kt+1），O（0，0）， ∵∠OQC=90°，∴CQ⊥OQ，∴KCQ×KOQ=﹣1， ∴

＜． ∴（k2+1）t2+3kt+1=0有唯一解， ∴△=（3k）2﹣4（k2+1）=0， ∴k1=

，k2=﹣

（k＞0故舍去），∴k=

．【点评】本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数及一次函数的图象与性质、解方程、

勾股定理、直线与圆的位置关系、相似等重要知识点，有一定的难度．第（2）问中，注意图形面积的计算方法；第（3）问中，解题关键是理解“存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°”的含义．　 16．（2013•防城港）如图，抛物线y=﹣（x﹣1）2+c与x轴交于A，B（A，B分别在y轴的左右两侧）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，已知A（﹣1，0）．（1）求点B，C的坐标；（2）判断△CDB的形状并说明理由；（3）将△COB沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t＜3）得到△QPE．△QPE与△CDB重叠部分（如图中阴影部分）面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．第55页（共98页）【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）首先用待定系数法求出抛物线的解析式，然后进一步确定点B，C的坐标；（2）分别求出△CDB三边的长度，利用勾股定理的逆定理判定△CDB为直角三角形；（3）△COB沿x轴向右平移过程中，分两个阶段：（I）当0＜t≤时，如答图2所示，此时重叠部分为一个四边形；（II）当＜t＜3时，如答图3所示，此时重叠部分为一个三角形．【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0）在抛物线y=﹣（x﹣1）2+c上， ∴0=﹣（﹣1﹣1）2+c，得c=4， ∴抛物线解析式为：y=﹣（x﹣1）2+4，令x=0，得y=3，∴C（0，3）；令y=0，得x=﹣1或x=3，∴B（3，0）．（2）△CDB为直角三角形．理由如下：由抛物线解析式，得顶点D的坐标为（1，4）．如答图1所示，过点D作DM⊥x轴于点M，则OM=1，DM=4，BM=OB﹣OM=2．过点C作CN⊥DM于点N，则CN=1，DN=DM﹣MN=DM﹣OC=1．在Rt△OBC中，由勾股定理得：BC=在Rt△CND中，由勾股定理得：CD=在Rt△BMD中，由勾股定理得：BD=

===

；；． ∵BC2+CD2=BD2， ∴△CDB为直角三角形（勾股定理的逆定理）．（3）设直线BC的解析式为y=kx+b，∵B（3，0），C（0，3）， ∴

，解得k=﹣1，b=3， ∴y=﹣x+3，第56页（共98页）直线QE是直线BC向右平移t个单位得到， ∴直线QE的解析式为：y=﹣（x﹣t）+3=﹣x+3+t；设直线BD的解析式为y=mx+n，∵B（3，0），D（1，4）， ∴

，解得：m=﹣2，n=6， ∴y=﹣2x+6．连接CQ并延长，射线CQ交BD于点G，则G（，3）．在△COB向右平移的过程中：（I）当0＜t≤时，如答图2所示：设PQ与BC交于点K，可得QK=CQ=t，PB=PK=3﹣t．设QE与BD的交点为F，则：

，解得

，∴F（3﹣t，2t）． S=S△QPE﹣S△PBK﹣S△FBE=PE•PQ﹣PB•PK﹣BE•yF=×3×3﹣（3﹣t）2﹣t•2t=（II）当＜t＜3时，如答图3所示：设PQ分别与BC、BD交于点K、点J． ∵CQ=t， ∴KQ=t，PK=PB=3﹣t．直线BD解析式为y=﹣2x+6，令x=t，得y=6﹣2t， ∴J（t，6﹣2t）． S=S△PBJ﹣S△PBK=PB•PJ﹣PB•PK=（3﹣t）（6﹣2t）﹣（3﹣t）2=t2﹣3t+．综上所述，S与t的函数关系式为： t2+3t； S=．第57页（共98页）【点评】本题是运动型二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数的图象与性质、勾股定理及其逆定理、图形面积计算等知识点．难点在于第（3）问，弄清图形运动过程是解题的先决条件，在计算图形面积时，要充分利用各种图形面积的和差关系．　 17．（2014•重庆）如图，抛物线y=﹣x2﹣2x+3 的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求A、B、C的坐标；（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N．若点P在点Q左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积；（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ．过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）．若FG=2标． DQ，求点F的坐

第58页（共98页）【考点】二次函数综合题．【专题】代数几何综合题；压轴题．【分析】方法一：（1）通过解析式即可得出C点坐标，令y=0，解方程得出方程的解，即可求得A、B的坐标．（2）设M点横坐标为m，则PM=﹣m2﹣2m+3，MN=（﹣m﹣1）×2=﹣2m﹣2，矩形PMNQ的周长d=﹣2m2﹣8m+2，将﹣2m2﹣8m+2配方，根据二次函数的性质，即可得出m的值，然后求得直线AC的解析式，把x=m代入可以求得三角形的边长，从而求得三角形的面积．（3）设F（n，﹣n2﹣2n+3），根据已知若FG=2DQ，即可求得．方法二：（1）略．（2）求出P，Q的参数坐标，并得出周长的函数表达式，求出P点，进而求出E点坐标，并求出△AEM的面积．（3）求出D点坐标，并求出DQ长度；再求出F，G的参数坐标，并得到FG的函数表达式，利用FG=DQ，求点F的坐标．（4）利用点P，B求出直线PB的斜率及中点坐标，进而GH的直线方程，再与抛物线联立，进而求出G，H坐标．【解答】方法一：解：（1）由抛物线y=﹣x2﹣2x+3可知，C（0，3），令y=0，则0=﹣x2﹣2x+3，解得x=﹣3或x=1， ∴A（﹣3，0），B（1，0）．（2）由抛物线y=﹣x2﹣2x+3可知，对称轴为x=﹣1，设M点的横坐标为m，则PM=﹣m2﹣2m+3，MN=（﹣m﹣1）×2=﹣2m﹣2， ∴矩形PMNQ的周长=2（PM+MN）=（﹣m2﹣2m+3﹣2m﹣2）×2=﹣2m2﹣8m+2=﹣2（m+2）2+10， ∴当m=﹣2时矩形的周长最大． ∵A（﹣3，0），C（0，3），设直线AC解析式为y=kx+b，解得k=1，b=3， ∴解析式y=x+3，当x=﹣2时，则E（﹣2，1）， ∴EM=1，AM=1， ∴S=•AM•EM=．（3）∵M点的横坐标为﹣2，抛物线的对称轴为x=﹣1， ∴N应与原点重合，Q点与C点重合， ∴DQ=DC，把x=﹣1代入y=﹣x2﹣2x+3，解得y=4， ∴D（﹣1，4） ∴DQ=DC=， ∵FG=2DQ， ∴FG=4，设F（n，﹣n2﹣2n+3），则G（n，n+3）， ∵点G在点F的上方，第59页（共98页） ∴（n+3）﹣（﹣n2﹣2n+3）=4，解得：n=﹣4或n=1． ∴F（﹣4，﹣5）或（1，0）．方法二：（1）略．（2）设P（t，﹣t2﹣2t+3），Q（﹣2﹣t，﹣t2﹣2t+3）， ∴矩形PQMN周长为：2PQ+2PM， ∴2PQ+2PM=2（﹣2﹣t﹣t）+2（﹣t2﹣2t+3）， ∴2PQ+2PM=﹣2t2﹣8t+2， ∴当t=﹣2时，周长最大， ∴P（﹣2，3）， ∵A（﹣3，0），C（0，3）， ∴lAC：y=x+3， ∵点E在直线AC上，且EX=PX，把x=﹣2代入， ∴E（﹣2，1）， ∴S△AEM=AM×EM=×1×1=，（3）∵D为抛物线顶点，∴D（﹣1，4），Q（0，3）， ∴DQ=∵FG=2

DQ=2

=4，， ∴t2+3t﹣4=0， ∴t1=﹣4，t2=1， ∴F1（﹣4，﹣5），F2（1，0）．（4）∵点P与点B关于直线L对称， ∴PB被GH垂直平分， ∵P（﹣2，3），B（1，0）， ∴KPB=∵PB⊥GH， ∴KPB×KGH=﹣1， ∴KGH=1， ∵F为PB的中点， ∴FX=

=﹣，FY=

， =﹣1， ∴⇒， ∴G（，），H（，）．第60页（共98页）【点评】本题考查了二次函数与坐标轴的交点的求法，矩形的性质，一元二次方程的解法，二次函数最值的求法，综合性较强，难度适中．运用数形结合、方程思想是解题的关键．　 18．（2014•钦州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、D两点，与y轴交于点B，四边形OBCD是矩形，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，4），已知点E（m，0）是线段DO上的动点，过点E作PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G，交BD于点H．（1）求该抛物线的解析式；（2）当点P在直线BC上方时，请用含m的代数式表示PG的长度；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】代数几何综合题；压轴题．【分析】（1）将A（1，0），B（0，4）代入y=﹣x2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；第61页（共98页）（2）由E（m，0），B（0，4），得出P（m，﹣m2﹣m+4），G（m，4），则PG=﹣m2﹣m+4﹣4=﹣m2﹣m，点P在直线BC上方时，故需要求出m的取值范围；（3）先由抛物线的解析式求出D（﹣3，0），则当点P在直线BC上方时，﹣2＜m＜0．再运用待定系数法求出直线BD的解析式为y=x+4，于是得出H（m，m+4）．当以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似时，由于∠PGB=∠DEH=90°，所以分两种情况进行讨论：①△BGP∽△DEH；②△PGB∽△DEH．都可以根据相似三角形对应边成比例列出比例关系式，进而求出m的值．【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，4）， ∴

，解得

， ∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+4；（2）∵E（m，0），B（0，4），PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G， ∴P（m，﹣m2﹣m+4），G（m，4）， ∴PG=﹣m2﹣m+4﹣4=﹣m2﹣m；点P在直线BC上方时，故需要求出抛物线与直线BC的交点，令4=﹣m2﹣m+4，解得m=﹣2或0，即m的取值范围：﹣2＜m＜0， PG的长度为：﹣m2﹣m（﹣2＜m＜0）；（3）在（2）的条件下，存在点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似． ∵y=﹣x2﹣x+4， ∴当y=0时，﹣x2﹣x+4=0，解得x=1或﹣3， ∴D（﹣3，0）．当点P在直线BC上方时，﹣2＜m＜0．设直线BD的解析式为y=kx+4，将D（﹣3，0）代入，得﹣3k+4=0，解得k=，第62页（共98页） ∴直线BD的解析式为y=x+4， ∴H（m，m+4）．分两种情况： ①如果△BGP∽△DEH，那么

，即=，解得m=﹣3或﹣1，由﹣2＜m＜0，故m=﹣1； ②如果△PGB∽△DEH，那么

，即=，由﹣2＜m＜0，解得m=﹣．综上所述，在（2）的条件下，存在点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似，此时m的值为﹣1或﹣

．第63页（共98页）【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，线段的表示，相似三角形的性质等知识，综合性较强，难度较大．运用数形结合、方程思想及分类讨论是解题的关键．　 19．（2014•昆明）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ存在时，求运动多少秒使△PBQ的面积最大，最大面积是多少？（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK：S△PBQ=5：2，求K点坐标．【考点】二次函数综合题．【专题】代数几何综合题；压轴题．【分析】方法一：（1）把点A、B的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数a、b的解析式，通过解方程组求得它们的值；（2）设运动时间为t秒．利用三角形的面积公式列出S△PBQ与t的函数关系式S△PBQ=﹣（t﹣1）2+

．利用二次函数的图象性质进行解答；第页（共98页）（3）利用待定系数法求得直线BC的解析式为y=x﹣3．由二次函数图象上点的坐标特征可设点K的坐标为（m，m2﹣m﹣3）．如图2，过点K作KE∥y轴，交BC于点E．结合已知条件和（2）中的结果求得

S△CBK=．则根据图形得到：S△CBK=S△CEK+S△BEK=EK•m+•EK•（4﹣m），把相关线段的长度代入推知：﹣m2+3m=．易求得K1（1，﹣

），K2（3，﹣

）．方法二：（1）略．（2）作QH⊥AB，并分别列出AP，BQ，PB的参数长度，利用三角函数得出HQ的参数长度，进而求出△PBQ的面积函数．（3）利用水平底与铅垂高乘积的一半求解．【解答】方法一：解：（1）把点A（﹣2，0）、B（4，0）分别代入y=ax2+bx﹣3（a≠0），得，解得，所以该抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣3；（2）设运动时间为t秒，则AP=3t，BQ=t． ∴PB=6﹣3t．由题意得，点C的坐标为（0，﹣3）．在Rt△BOC中，BC=

=5．如图1，过点Q作QH⊥AB于点H． ∴QH∥CO， ∴△BHQ∽△BOC， ∴

，即

=， ∴HQ=t． ∴S△PBQ=PB•HQ=（6﹣3t）•t=﹣当△PBQ存在时，0＜t＜2 ∴当t=1时， S△PBQ最大=

．第65页（共98页） t2+t=﹣（t﹣1）2+

．答：运动1秒使△PBQ的面积最大，最大面积是（3）设直线BC的解析式为y=kx+c（k≠0）．把B（4，0），C（0，﹣3）代入，得，；解得， ∴直线BC的解析式为y=x﹣3． ∵点K在抛物线上． ∴设点K的坐标为（m，m2﹣m﹣3）．如图2，过点K作KE∥y轴，交BC于点E．则点E的坐标为（m，m﹣3）． ∴EK=m﹣3﹣（m2﹣m﹣3）=﹣m2+m．当△PBQ的面积最大时，∵S△CBK：S△PBQ=5：2，S△PBQ=∴S△CBK=． S△CBK=S△CEK+S△BEK=EK•m+•EK•（4﹣m） =×4•EK =2（﹣m2+m） =﹣m2+3m．即：﹣m2+3m=．解得 m1=1，m2=3． ∴K1（1，﹣

），K2（3，﹣

）．．方法二：（1）略．（2）设运动时间为t秒，则AP=3t，BQ=t，PB=6﹣3t， ∴点C的坐标为（0，﹣3）， ∵B（4，0），∴lBC：y=x﹣3，过点Q作QH⊥AB于点H，第66页（共98页） ∴tan∠HBQ=，∴sin∠HBQ=， ∵BQ=t，∴HQ=t， ∴S△PBQ=PB•HQ=∴当t=1时，S△PBQ最大=

． =﹣

，（3）过点K作KE⊥x轴交BC于点E， ∵S△CBK：S△PBQ=5：2，S△PBQ=∴S△CBK=，设E（m，m﹣3），K（m，S△CBK=∴﹣

=， =

）， =﹣

，， ∴m1=1，m2=3， ∴K1（1，﹣

），K2（3，﹣

）．【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数解析式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意该点的运动范围，即自变量的取值范围．第67页（共98页）　 20．（2013•恩施州）如图所示，直线l：y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，抛物线过点B、C和D（3，0）．（1）求直线BD和抛物线的解析式．（2）若BD与抛物线的对称轴交于点M，点N在坐标轴上，以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似，求所有满足条件的点N的坐标．（3）在抛物线上是否存在点P，使S△PBD=6？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）由待定系数法求出直线BD和抛物线的解析式；（2）首先确定△MCD为等腰直角三角形，因为△BND与△MCD相似，所以△BND也是等腰直角三角形．如答图1所示，符合条件的点N有3个；（3）如答图2、答图3所示，解题关键是求出△PBD面积的表达式，然后根据S△PBD=6的已知条件，列出一元二次方程求解．【解答】解：（1）∵直线l：y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴A（﹣1，0），B（0，3）； ∵把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，∴C（1，0）．设直线BD的解析式为：y=kx+b， ∵点B（0，3），D（3，0）在直线BD上， ∴

，解得k=﹣1，b=3， ∴直线BD的解析式为：y=﹣x+3．设抛物线的解析式为：y=a（x﹣1）（x﹣3）， ∵点B（0，3）在抛物线上， ∴3=a×（﹣1）×（﹣3），解得：a=1， ∴抛物线的解析式为：y=（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3．（2）抛物线的解析式为：y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1， ∴抛物线的对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，﹣1）．直线BD：y=﹣x+3与抛物线的对称轴交于点M，令x=2，得y=1，第68页（共98页） ∴M（2，1）．设对称轴与x轴交点为点F，则CF=FD=MF=1， ∴△MCD为等腰直角三角形． ∵以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似， ∴△BND为等腰直角三角形．如答图1所示：（I）若BD为斜边，则易知此时直角顶点为原点O， ∴N1（0，0）；（II）若BD为直角边，B为直角顶点，则点N在x轴负半轴上， ∵OB=OD=ON2=3， ∴N2（﹣3，0）；（III）若BD为直角边，D为直角顶点，则点N在y轴负半轴上， ∵OB=OD=ON3=3， ∴N3（0，﹣3）． ∴满足条件的点N坐标为：（0，0），（﹣3，0）或（0，﹣3）．（3）方法一：假设存在点P，使S△PBD=6，设点P坐标为（m，n）．（I）当点P位于直线BD上方时，如答图2所示：过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=n，DE=m﹣3． S△PBD=S梯形PEOB﹣S△BOD﹣S△PDE=（3+n）•m﹣×3×3﹣（m﹣3）•n=6，化简得：m+n=7 ①， ∵P（m，n）在抛物线上， ∴n=m2﹣4m+3，代入①式整理得：m2﹣3m﹣4=0，解得：m1=4，m2=﹣1， ∴n1=3，n2=8， ∴P1（4，3），P2（﹣1，8）；（II）当点P位于直线BD下方时，如答图3所示：过点P作PE⊥y轴于点E，则PE=m，OE=﹣n，BE=3﹣n． S△PBD=S梯形PEOD+S△BOD﹣S△PBE=（3+m）•（﹣n）+×3×3﹣（3﹣n）•m=6，化简得：m+n=﹣1 ②， ∵P（m，n）在抛物线上， ∴n=m2﹣4m+3，代入②式整理得：m2﹣3m+4=0，△=﹣7＜0，此方程无解．故此时点P不存在．综上所述，在抛物线上存在点P，使S△PBD=6，点P的坐标为（4，3）或（﹣1，8）．方法二：假设存在点P，使S△PBD=6，过点P作直线l平行BD，则l与BD的距离为d， ∵BD=

，第69页（共98页） ∴S△PBD=BD×d， ∴d=2， ∵BD与y轴夹角为45°， ∴BB′=4， ∴将BD上移或下移4个单位， ①上移4个单位，l解析式为：y=﹣x+7， ∵y=x2﹣4x+3， ∴x2﹣3x﹣4=0， ∴x1=4，x2=﹣1， ②下移4个单位，l解析式为y=﹣x﹣1， ∵y=x2﹣4x+3， ∴x2﹣3x+4=0，△＜0，∴此方程无解，综上所述，点P的坐标为（4，3）或（﹣1，8）．第70页（共98页）【点评】本题是中考压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形的判定与性质、图形面积计算、解一元二次方程等知识点，考查了数形结合、分类讨论的数学思想．第（2）（3）问均需进行分类讨论，避免漏解．　 21．（2013•毕节地区）如图，抛物线y=ax2+b与x轴交于点A、B，且A点的坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，1）．（1）求抛物线的解析式，并求出点B坐标；（2）过点B作BD∥CA交抛物线于点D，连接BC、CA、AD，求四边形ABCD的周长；（结果保留根号）（3）在x轴上方的抛物线上是否存在点P，过点P作PE垂直于x轴，垂足为点E，使以B、P、E为顶点的三角形与△CBD相似？若存在请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．第71页（共98页）【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，点B坐标可由对称性质得到，或令y=0，由解析式得到；（2）关键是求出点D的坐标，然后利用勾股定理分别求出四边形ABCD四个边的长度；（3）本问为存在型问题．可以先假设存在，然后按照题意条件求点P的坐标，如果能求出则点P存在，否则不存在．注意三角形相似有两种情形，需要分类讨论．【解答】方法一：解：（1）∵点A（1，0）和点C（0，1）在抛物线y=ax2+b上， ∴

，解得：a=﹣1，b=1， ∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+1，抛物线的对称轴为y轴，则点B与点A（1，0）关于y轴对称，∴B（﹣1，0）．（2）设过点A（1，0），C（0，1）的直线解析式为y=kx+b，可得：，解得k=﹣1，b=1，∴y=﹣x+1． ∵BD∥CA，∴可设直线BD的解析式为y=﹣x+n， ∵点B（﹣1，0）在直线BD上，∴0=1+n，得n=﹣1， ∴直线BD的解析式为：y=﹣x﹣1．将y=﹣x﹣1代入抛物线的解析式，得：﹣x﹣1=﹣x2+1，解得：x1=2，x2=﹣1， ∵B点横坐标为﹣1，则D点横坐标为2， D点纵坐标为y=﹣2﹣1=﹣3，∴D点坐标为（2，﹣3）．如答图①所示，过点D作DN⊥x轴于点N，则DN=3，AN=1，BN=3，在Rt△BDN中，BN=DN=3，由勾股定理得：BD=；在Rt△ADN中，DN=3，AN=1，由勾股定理得：AD=；又OA=OB=OC=1，OC⊥AB，由勾股定理得：AC=BC=； ∴四边形ABCD的周长为：AC+BC+BD+AD=+++= （3）假设存在这样的点P，则△BPE与△CBD相似有两种情形：（I）若△EPB∽△BDC，如答图②所示，则有

，即

，∴PE=3BE．第72页（共98页） +．设OE=m（m＞0），则E（﹣m，0），BE=1﹣m，PE=3BE=3﹣3m， ∴点P的坐标为（﹣m，3﹣3m）． ∵点P在抛物线y=﹣x2+1上， ∴3﹣3m=﹣（﹣m）2+1，解得m=1或m=2，当m=1时，点E与点B重合，故舍去；当m=2时，点E在OB左侧，点P在x轴下方，不符合题意，故舍去．因此，此种情况不存在；（II）若△EBP∽△BDC，如答图③所示，则有

，即

，∴BE=3PE．设OE=m（m＞0），则E（m，0），BE=1+m，PE=BE=（1+m）=+m， ∴点P的坐标为（m，+m）． ∵点P在抛物线y=﹣x2+1上， ∴+m=﹣（m）2+1，解得m=﹣1或m=， ∵m＞0，故m=﹣1舍去，∴m=，点P的纵坐标为：+m=+×=， ∴点P的坐标为（，）．综上所述，存在点P，使以B、P、E为顶点的三角形与△CBD相似，点P的坐标为（，）．方法二：（1）略．（2）∵A（1，0），C（0，1），∴lAC：y=﹣x+1， ∵BD∥CA，∴KBD=KAC=﹣1， ∴lBD：y=﹣x﹣1， ∴

， ∴x1=2，x2=﹣1（舍）， ∴D（2，﹣3）， ∴AC=CB=BD=DA=

===

，， =3

，，第73页（共98页） ∴四边形ABCD的周长为：5+ （3）∵C（0，1），B（﹣1，0）， ∴KBC=

=1，． ∵KBD=﹣1，∴KBC×KBD=﹣1， ∴BD⊥BC，若△EPB∽△BDC，则

或

， ①设点P（t，﹣t2+1），E（t，0），B（﹣1，0）， PE=PY=﹣t2+1，BE=EX﹣BX=t+1， ∵BD=3

，CB=

，

， ∴， ∴t=﹣2（此时点P位于x轴下方，故舍去） ②∵

， ∴， ∴t=， ∴P（，）．第74页（共98页）【点评】本题是代数几何综合题，考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形的判定与性质、勾股定理等重要知识点．第（2）问的解题要点是求出点D的坐标，第（3）问的解题要点是分类讨论．　 22．（2014•德州）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．第75页（共98页）【考点】二次函数综合题；等腰三角形的判定与性质．【专题】代数几何综合题；压轴题．【分析】（1）根据A的坐标，即可求得OA的长，则B、C的坐标即可求得，然后利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）分点A为直角顶点时，和C的直角顶点两种情况讨论，根据OA=OC，即可列方程求解；（3）据垂线段最短，可得当OD⊥AC时，OD最短，即EF最短，根据等腰三角形的性质，

D是AC的中点，则DF=OC，即可求得P的纵坐标，代入二次函数的解析式，即可求得横坐标，得到P的坐标．【解答】解：（1）由A（4，0），可知OA=4， ∵OA=OC=4OB， ∴OA=OC=4，OB=1， ∴C（0，4），B（﹣1，0）．设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c，则，解得：，则抛物线的解析式是：y=﹣x2+3x+4；（2）存在．第一种情况，当以C为直角顶点时，过点C作CP1⊥AC，交抛物线于点P1．过点P1作y轴的垂线，垂足是M． ∵∠ACP1=90°， ∴∠MCP1+∠ACO=90°． ∵∠ACO+∠OAC=90°， ∴∠MCP1=∠OAC． ∵OA=OC，第76页（共98页） ∴∠MCP1=∠OAC=45°， ∴∠MCP1=∠MP1C， ∴MC=MP1，设P（m，﹣m2+3m+4），则m=﹣m2+3m+4﹣4，解得：m1=0（舍去），m2=2． ∴﹣m2+3m+4=6，即P（2，6）．第二种情况，当点A为直角顶点时：过A作AP2，交抛物线于点P2，过点P2作y轴的垂线，垂足是N，AP2交y轴于点F． ∴P2N∥x轴，由∠CAO=45°， ∴∠OAP2=45°， ∴∠FP2N=45°，AO=OF． ∴P2N=NF，设P2（n，﹣n2+3n+4），则n=（﹣n2+3n+4）+4，解得：n1=﹣2，n2=4（舍去）， ∴﹣n2+3n+4=﹣6，则P2的坐标是（﹣2，﹣6）．综上所述，P的坐标是（2，6）或（﹣2，﹣6）；（3）连接OD，由题意可知，四边形OFDE是矩形，则OD=EF．根据垂线段最短，可得当OD⊥AC时，OD最短，即EF最短．由（1）可知，在直角△AOC中，OC=OA=4，根据等腰三角形的性质，D是AC的中点．又∵DF∥OC， ∴DF=OC=2， ∴点P的纵坐标是2．则﹣x2+3x+4=2，解得：x=

，第77页（共98页） ∴当EF最短时，点P的坐标是：（，2）或（，2）．【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求抛物线的解析式，

以及等腰三角形的性质．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．　 23．（2014•吉林）如图①，直线l：y=mx+n（m＜0，n＞0）与x，y轴分别相交于A，B两点，将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD，过点A，B，D的抛物线P叫做l的关联抛物线，而l叫做P的关联直线．（1）若l：y=﹣2x+2，则P表示的函数解析式为　y=﹣x2﹣x+2　；若P：y=﹣x2﹣3x+4，则l表示的函数解析式为　y=﹣4x+4　．（2）求P的对称轴（用含m，n的代数式表示）；（3）如图②，若l：y=﹣2x+4，P的对称轴与CD相交于点E，点F在l上，点Q在P的对称轴上．当以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，求点Q的坐标；（4）如图③，若l：y=mx﹣4m，G为AB中点，H为CD中点，连接GH，M为GH中点，连接OM．若OM=

，直接写出l，P表示的函数解析式．【考点】二次函数综合题；一次函数的应用；勾股定理；等腰直角三角形；平行四边形的性质；作图-旋转变换．【专题】压轴题；新定义．【分析】（1）若l：y=﹣2x+2，求出点A、B、D的坐标，利用待定系数法求出P表示的函数

解析式；若P：y=﹣x2﹣3x+4，求出点D、A、B的坐标，再利用待定系数法求出l表示的函数解析式；（2）根据对称轴的定答即可；（3）以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，则有FQ∥CE，且FQ=CE．以此为基础，列方程求出点Q的坐标．注意：点Q的坐标有两个，如答图1所示，不要漏解；（4）如答图2所示，作辅助线，构造等腰直角三角形OGH，求出OG的长度，进而由AB=2OG求出AB的长度，再利用勾股定理求出y=mx﹣4m中m的值，最后分别求出l，P表示的函数解析式．【解答】解：（1）若l：y=﹣2x+2，则A（1，0），B（0，2）． ∵将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△COD， ∴D（﹣2，0）．设P表示的函数解析式为：y=ax2+bx+c，将点A、B、D坐标代入得：第78页（共98页），解得， ∴P表示的函数解析式为：y=﹣x2﹣x+2；若P：y=﹣x2﹣3x+4=﹣（x+4）（x﹣1），则D（﹣4，0），A（1，0）． ∴B（0，4）．设l表示的函数解析式为：y=kx+b，将点A、B坐标代入得：，解得

， ∴l表示的函数解析式为：y=﹣4x+4．（2）直线l：y=mx+n（m＞0，n＜0），令y=0，即mx+n=0，得x=﹣；令x=0，得y=n． ∴A（﹣，0）、B（0，n）， ∴D（﹣n，0）．设抛物线对称轴与x轴的交点为N（x，0）， ∵DN=AN， ∴﹣﹣x=x﹣（﹣n）， ∴2x=﹣n﹣， ∴P的对称轴为x=﹣

．（3）若l：y=﹣2x+4，则A（2，0）、B（0，4）， ∴C（0，2）、D（﹣4，0）．可求得直线CD的解析式为：y=x+2．由（2）可知，P的对称轴为x=﹣1． ∵以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形， ∴FQ∥CE，且FQ=CE．设直线FQ的解析式为：y=x+b． ∵点E、点C的横坐标相差1， ∴点F、点Q的横坐标也是相差1．第79页（共98页）则|xF﹣（﹣1）|=|xF+1|=1，解得xF=0或xF=﹣2． ∵点F在直线ll：y=﹣2x+4上， ∴点F坐标为（0，4）或（﹣2，8）．若F（0，4），则直线FQ的解析式为：y=x+4，当x=﹣1时，y=， ∴Q1（﹣1，）；若F（﹣2，8），则直线FQ的解析式为：y=x+9，当x=﹣1时，y=∴Q2（﹣1，

）．）．， ∴满足条件的点Q有2个，如答图1所示，点Q坐标为Q1（﹣1，）、Q2（﹣1，（4）如答图2所示，连接OG、OH． ∵点G、H为斜边中点， ∴OG=AB，OH=CD．由旋转性质可知，AB=CD，OG⊥OH， ∴△OGH为等腰直角三角形． ∵点M为GH中点， ∴△OMG为等腰直角三角形， ∴OG=OM=•=2， ∴AB=2OG=4． ∵l：y=mx﹣4m， ∴A（4，0），B（0，﹣4m）．在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA2+OB2=AB2，即：42+（﹣4m）2=（4）2，解得：m=﹣2或m=2， ∵点B在y轴正半轴， ∴m=2舍去，∴m=﹣2． ∴l表示的函数解析式为：y=﹣2x+8； ∴B（0，8），D（﹣8，0）．又A（4，0），利用待定系数法求得P：y=﹣x2﹣x+8．第80页（共98页）【点评】本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、一次函数、待定系数法、旋转变换、平行四边形、等腰直角三角形、勾股定理等多个知识点，综合性较强，有一定的难度．题干中定义了“关联抛物线”与“关联直线”的新概念，理解这两个概念是正确解题的前提．　 24．（2013•武汉）如图，点P是直线l：y=﹣2x﹣2上的点，过点P的另一条直线m交抛物线y=x2于A、B两点．（1）若直线m的解析式为y=﹣x+，求A，B两点的坐标；（2）①若点P的坐标为（﹣2，t）．当PA=AB时，请直接写出点A的坐标； ②试证明：对于直线l上任意给定的一点P，在抛物线上能找到点A，使得PA=AB成立．（3）设直线l交y轴于点C，若△AOB的外心在边AB上，且∠BPC=∠OCP，求点P的坐标．第81页（共98页）【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）联立抛物线y=x2与直线y=﹣x+的解析式，求出点A、B的坐标．（2）①如答图1所示，求出点P坐标（﹣2，2），设A（m，m2）．作辅助线，构造直角梯形PGFB，AE为中位线，求出点B的坐标（用含m的代数式表示），然后代入抛物线的解析式求出m的值； ②与①解题思路一致．设P（a，﹣2a﹣2），A（m，m2）．作辅助线，构造直角梯形PGFB，AE为中位线，求出点B的坐标（用含a、m的代数式表示），然后代入抛物线的解析式得到关于m的一元二次方程，根据其判别式大于0，可证明题中结论成立．（3）△AOB的外心在边AB上，则AB为△AOB外接圆的直径，∠AOB=90°．设A（m，m2），B（n，n2）．作辅助线，证明△AEO∽△OFB，得到mn=﹣1．再联立直线m：y=kx+b与抛物线y=x2的解析式，由根与系数关系得到：mn=﹣b，所以b=1；由此得到OD、CD的长度，从而得到PD的长度；作辅助线，构造Rt△PDG，由勾股定理求出点P的坐标．【解答】解：（1）∵点A、B是抛物线y=x2与直线y=﹣x+的交点， ∴x2=﹣x+，解得x=1或x=﹣．当x=1时，y=1；当x=﹣时，y=， ∴A（﹣，），B（1，1）．（2）①∵点P（﹣2，t）在直线y=﹣2x﹣2上，∴t=2，∴P（﹣2，2）．设A（m，m2），如答图1所示，分别过点P、A、B作x轴的垂线，垂足分别为点G、E、F．第82页（共98页） ∵PA=AB， ∴AE是梯形PGFB的中位线， ∴GE=EF，AE=（PG+BF）． ∵OF=|EF﹣OE|，GE=EF， ∴OF=|GE﹣EO|

∵GE=GO﹣EO=2+m，EO=﹣m ∴OF=|2+m﹣（﹣m）|=|2+2m| ∴OF=2m+2， ∵AE=（PG+BF），∴BF=2AE﹣PG=2m2﹣2． ∴B（2+2m，2m2﹣2）． ∵点B在抛物线y=x2上， ∴2m2﹣2=（2+2m）2 解得：m=﹣1或﹣3，当m=﹣1时，m2=1；当m=﹣3时，m2=9 ∴点A的坐标为（﹣1，1）或（﹣3，9）． ②设P（a，﹣2a﹣2），A（m，m2）．如答图1所示，分别过点P、A、B作x轴的垂线，垂足分别为点G、E、F．与①同理可求得：B（2m﹣a，2m2+2a+2）． ∵点B在抛物线y=x2上， ∴2m2+2a+2=（2m﹣a）2 整理得：2m2﹣4am+a2﹣2a﹣2=0． △=16a2﹣8（a2﹣2a﹣2）=8a2+16a+16=8（a+1）2+8＞0， ∴无论a为何值时，关于m的方程总有两个不相等的实数根．即对于任意给定的点P，抛物线上总能找到两个满足条件的点A，使得PA=AB成立．（3）∵△AOB的外心在边AB上，∴AB为△AOB外接圆的直径，∴∠AOB=90°．设A（m，m2），B（n，n2），如答图2所示，过点A、B分别作x轴的垂线，垂足为E、F，则易证△AEO∽△OFB．第83页（共98页） ∴

，即

，整理得：mn（mn+1）=0， ∵mn≠0，∴mn+1=0，即mn=﹣1．设直线m的解析式为y=kx+b，联立

，得：x2﹣kx﹣b=0． ∵m，n是方程的两个根，∴mn=﹣b． ∴b=1．设直线m与y轴交于点D，则OD=1．易知C（0，﹣2），OC=2，∴CD=OC+OD=3． ∵∠BPC=∠OCP，∴PD=CD=3．设P（a，﹣2a﹣2），过点P作PG⊥y轴于点G，则PG=﹣a，GD=OG﹣OD=﹣2a﹣3．在Rt△PDG中，由勾股定理得：PG2+GD2=PD2，即：（﹣a）2+（﹣2a﹣3）2=32，整理得：5a2+12a=0，解得a=0（舍去）或a=﹣当a=﹣∴P（﹣

时，﹣2a﹣2=，

）．，，【点评】本题是二次函数综合题型，考查了二次函数与一次函数的图象与性质、梯形及梯形

中位线、勾股定理、相似三角形、一元二次方程等知识点，有一定的难度．第（2）问中，注意根的判别式的应用，第（3）问中，注意根与系数关系的应用．　 25．（2013•遂宁）如图，抛物线y=（0，）．直线y=kx（1）求抛物线y=

x2+bx+c与x轴交于点A（2，0），交y轴于点B

过点A与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点是D． x2+bx+c与直线y=kx

的解析式；第84页（共98页）（2）设点P是直线AD上方的抛物线上一动点（不与点A、D重合），过点P作y轴的平行线，交直线AD于点M，作DE⊥y轴于点E．探究：是否存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形？若存在请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，作PN⊥AD于点N，设△PMN的周长为l，点P的横坐标为x，求l与x的函数关系式，并求出l的最大值．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）将A，B两点分别代入y=

x2+bx+c进而求出解析式即可；（2）首先假设出P，M点的坐标，进而得出PM的长，将两函数联立得出D点坐标，进而得出CE的长，利用平行四边形的性质得出PM=CE，得出等式方程求出即可；（3）利用勾股定理得出DC的长，进而根据△PMN∽△CDE，得出两三角形周长之比，求出l与x的函数关系，再利用配方法求出二次函数最值即可．【解答】解：（1）∵y=

x2+bx+c经过点A（2，0）和B（0，）， ∴由此得，解得． ∴抛物线的解析式是y=

x2﹣x+， ∵直线y=kx﹣经过点A（2，0） ∴2k﹣=0，解得：k=， ∴直线的解析式是y=x﹣，第85页（共98页）（2）设P的坐标是（x，∴PM=（

x2﹣x+），则M的坐标是（x，x﹣） x2﹣x+）﹣（x﹣）=﹣x2﹣x+4，解方程得：，， ∵点D在第三象限，则点D的坐标是（﹣8，﹣7），由y=x﹣得点C的坐标是（0，﹣）， ∴CE=﹣﹣（﹣7）=6，由于PM∥y轴，要使四边形PMEC是平行四边形，必有PM=CE，即﹣x2﹣x+4=6 解这个方程得：x1=﹣2，x2=﹣4，符合﹣8＜x＜2，当x=﹣2时，y=﹣×（﹣2）2﹣×（﹣2）+=3，当x=﹣4时，y=﹣×（﹣4）2﹣×（﹣4）+=，因此，直线AD上方的抛物线上存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形，点P的坐标是（﹣2，3）和（﹣4，）；（3）在Rt△CDE中，DE=8，CE=6 由勾股定理得：DC=∴△CDE的周长是24， ∵PM∥y轴， ∵∠PMN=∠DCE， ∵∠PNM=∠DEC， ∴△PMN∽△CDE， ∴

，即

， x+

，化简整理得：l与x的函数关系式是：l=﹣x2﹣l=﹣x2﹣∵﹣＜0， ∴l有最大值，当x=﹣3时，l的最大值是15． x+

=﹣（x+3）2+15，第86页（共98页）【点评】此题主要考查了二次函数的最值求法以及待定系数法求二次函数解析式和函数交点求法以及平行四边形的性质等知识，利用数形结合得出PM=CE进而得出等式是解题关键．　 26．（2013•舟山）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=（x﹣m）2﹣m2+m的顶点为A，与y轴的交点为B，连结AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使AD=AC，连结BD．作AE∥x轴，DE∥y轴．（1）当m=2时，求点B的坐标；（2）求DE的长？（3）①设点D的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式？②过点D作AB的平行线，与第（3）①题确定的函数图象的另一个交点为P，当m为何值时，以A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形？【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题；数形结合．【分析】（1）将m=2代入原式，得到二次函数的顶点式，据此即可求出B点的坐标；（2）延长EA，交y轴于点F，证出△AFC≌△AED，进而证出△ABF∽△DAE，利用相似三角形的性质，求出DE=4；（3）①根据点A和点B的坐标，得到x=2m，y=﹣m2+m+4，将m=代入y=﹣m2+m+4，即可求出二次函数的表达式； ②作PQ⊥DE于点Q，则△DPQ≌△BAF，然后分（如图1）和（图2）两种情况解答．【解答】解：（1）当m=2时，y=（x﹣2）2+1，第87页（共98页）把x=0代入y=（x﹣2）2+1，得：y=2， ∴点B的坐标为（0，2）．（2）延长EA，交y轴于点F， ∵AD=AC，∠AFC=∠AED=90°，∠CAF=∠DAE， ∴△AFC≌△AED， ∴AF=AE， ∵点A（m，﹣m2+m），点B（0，m）， ∴AF=AE=|m|，BF=m﹣（﹣m2+m）=m2， ∵∠ABF=90°﹣∠BAF=∠DAE，∠AFB=∠DEA=90°， ∴△ABF∽△DAE， ∴

，即：

， ∴DE=4．（3）①∵点A的坐标为（m，﹣m2+m）， ∴点D的坐标为（2m，﹣m2+m+4）， ∴x=2m，y=﹣m2+m+4， ∴y=﹣•

++4， x2+x+4， ∴所求函数的解析式为：y=﹣

②作PQ⊥DE于点Q，则△DPQ≌△BAF，（Ⅰ）当四边形ABDP为平行四边形时（如图1），点P的横坐标为3m，第88页（共98页）点P的纵坐标为：（﹣m2+m+4）﹣（m2）=﹣m2+m+4，把P（3m，﹣m2+m+4）的坐标代入y=﹣﹣m2+m+4=﹣

×（3m）2+×（3m）+4， x2+x+4得：解得：m=0（此时A，B，D，P在同一直线上，舍去）或m=8．（Ⅱ）当四边形ABPD为平行四边形时（如图2），点P的横坐标为m，点P的纵坐标为：（﹣m2+m+4）+（m2）=m+4，把P（m，m+4）的坐标代入y=﹣m+4=﹣

m2+m+4， x2+x+4得：解得：m=0（此时A，B，D，P在同一直线上，舍去）或m=﹣8，综上所述：m的值为8或﹣8．【点评】本题是二次函数综合题，涉及四边形的知识，同时也是存在性问题，解答时要注意数形结合及分类讨论．　 27．（2006•重庆）已知：m、n是方程x2﹣6x+5=0的两个实数根，且m＜n，抛物线y=﹣x2+bx+c的图象经过点A（m，0）、B（0，n）．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C、D的坐标和△BCD的面积；（3）P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△PCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出P点的坐标．【考点】二次函数综合题．【专题】代数几何综合题；压轴题．【分析】（1）通过解方程即可求出m、n的值，那么A、B两点的坐标就可求出．然后根据A、B两点的坐标即可求出抛物线的解析式．（2）根据（1）得出的抛物线的解析式即可求出C、D两点的坐标．第页（共98页）由于△BCD的面积无法直接求出，可用其他图形的面积的“和，差关系”来求出．过D作DM⊥x轴于M，那么△BCD的面积=梯形DMOB的面积+△DCM的面积﹣△BOC的面积．由此可求出△BCD的面积．（3）由于△PCH被直线BC分成的两个小三角形等高，因此面积比就等于底边的比．如果设PH与BC的交点为E，那么EH就是抛物线与直线BC的函数值的差，而EP就是E点的纵坐标．然后可根据直线BC的解析式设出E点的坐标，然后表示出EH，EP的长．进而可分两种情况进行讨论：①当EH=EP时；②当EH=EP时．由此可得出两个不同的关于E点横坐标的方程即可求出E点的坐标．也就求出了P点的坐标．【解答】解：（1）解方程x2﹣6x+5=0，得x1=5，x2=1

由m＜n，有m=1，n=5

所以点A、B的坐标分别为A（1，0），B（0，5）．将A（1，0），B（0，5）的坐标分别代入y=﹣x2+bx+c．得

解这个方程组，得

所以，抛物线的解析式为y=﹣x2﹣4x+5 （2）由y=﹣x2﹣4x+5，令y=0，得﹣x2﹣4x+5=0 解这个方程，得x1=﹣5，x2=1 所以C点的坐标为（﹣5，0）．由顶点坐标公式计算，得点D（﹣2，9）．过D作x轴的垂线交x轴于M．则S△DMC=×9×（5﹣2）=

S梯形MDBO=×2×（9+5）=14， S△BOC=×5×5=

﹣

=15．所以，S△BCD=S梯形MDBO+S△DMC﹣S△BOC=14+

答：点C、D的坐标和△BCD的面积分别是：（﹣5，0）、（﹣2，9）、15；（3）设P点的坐标为（a，0）因为线段BC过B、C两点，所以BC所在的直线方程为y=x+5．那么，PH与直线BC的交点坐标为E（a，a+5）， PH与抛物线y=﹣x2﹣4x+5的交点坐标为H（a，﹣a2﹣4a+5）．由题意，得①EH=EP，即（﹣a2﹣4a+5）﹣（a+5）=（a+5）解这个方程，得a=﹣或a=﹣5（舍去）第90页（共98页） ②EH=EP，即（﹣a2﹣4a+5）﹣（a+5）=（a+5）解这个方程，得a=﹣或a=﹣5（舍去）， P点的坐标为（﹣，0）或（﹣，0）．【点评】命题立意：考查一元二次方程的解法，二次函数解析式的确定、图形的面积求法、函数图象交点等知识及综合应用知识、解决问题的能力．点评：（1）函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．（2）不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．　 28．（2015•阜新）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P在抛物线上，且S△AOP=4SBOC，求点P的坐标；第91页（共98页）（3）如图b，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DQ

长度的最大值．

【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）把点A、C的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数的方程组，通过解方程组求得系数的值；（2）设P点坐标为（x，﹣x2﹣2x+3），根据S△AOP=4S△BOC列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标；（3）先运用待定系数法求出直线AC的解析式为y=x+3，再设Q点坐标为（x，x+3），则D点坐标为（x，x2+2x﹣3），然后用含x的代数式表示QD，根据二次函数的性质即可求出线段QD长度的最大值．【解答】解：（1）把A（﹣3，0），C（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，得，解得

．故该抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3．（2）由（1）知，该抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3，则易得B（1，0）． ∵S△AOP=4S△BOC， ∴×3×|﹣x2﹣2x+3|=4××1×3．整理，得（x+1）2=0或x2+2x﹣7=0，解得x=﹣1或x=﹣1±2．则符合条件的点P的坐标为：（﹣1，4）或（﹣1+2 ，﹣4）或（﹣1﹣2，﹣4）；第92页（共98页）（3）设直线AC的解析式为y=kx+t，将A（﹣3，0），C（0，3）代入，得解得

．，即直线AC的解析式为y=x+3．设Q点坐标为（x，x+3），（﹣3≤x≤0），则D点坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）， QD=（﹣x2﹣2x+3）﹣（x+3）=﹣x2﹣3x=﹣（x+）2+， ∴当x=﹣时，QD有最大值．【点评】此题考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质以及三角形面积、线段长度问题．此题难度适中，解题的关键是运用方程思想与数形结合思想．　 29．（2014•白银）如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线是由抛物线y=x2﹣3向右平移一个单位后得到的，它与y轴负半轴交于点A，点B在该抛物线上，且横坐标为3．（1）求点M、A、B坐标；（2）连接AB、AM、BM，求∠ABM的正切值；（3）点P是顶点为M的抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，设PO与x正半轴的夹角为α，当α=∠ABM时，求P点坐标．【考点】二次函数综合题．【专题】代数几何综合题；压轴题．【分析】（1）根据向右平移横坐标加写出平移后的抛物线解析式，然后写出顶点M的坐标，令x=0求出A点的坐标，把x=3代入函数解析式求出点B的坐标；（2）过点B作BE⊥AO于E，过点M作MF⊥AO于M，然后求出∠EAB=∠EBA=45°，同理求出∠FAM=∠FMA=45°，然后求出△ABE和△AMF相似，根据相似三角形对应边成比例列

式求出，再求出∠BAM=90°，然后根据锐角的正切等于对边比邻边列式即可得解；（3）过点P作PH⊥x轴于H，分点P在x轴的上方和下方两种情况利用α的正切值列出方程求解即可．【解答】解：（1）抛物线y=x2﹣3向右平移一个单位后得到的函数解析式为y=（x﹣1）2﹣3，顶点M（1，﹣3），令x=0，则y=（0﹣1）2﹣3=﹣2，第93页（共98页）点A（0，﹣2）， x=3时，y=（3﹣1）2﹣3=4﹣3=1，点B（3，1）；（2）过点B作BE⊥AO于E，过点M作MF⊥AO于M， ∵EB=EA=3， ∴∠EAB=∠EBA=45°，同理可求∠FAM=∠FMA=45°， ∴△ABE∽△AMF， ∴

=，又∵∠BAM=180°﹣45°×2=90°， ∴tan∠ABM=

=；（3）过点P作PH⊥x轴于H， ∵y=（x﹣1）2﹣3=x2﹣2x﹣2， ∴设点P（x，x2﹣2x﹣2）， ①点P在x轴的上方时，整理得，3x2﹣7x﹣6=0，解得x1=﹣（舍去），x2=3， ∴点P的坐标为（3，1）； ②点P在x轴下方时，整理得，3x2﹣5x﹣6=0，解得x1=x=

（舍去），x2=

时，x2﹣2x﹣2=﹣×

，﹣

=﹣），，﹣

）．，， =， =， ∴点P的坐标为（

综上所述，点P的坐标为（3，1）或（

第94页（共98页）【点评】本题是二次函数的综合题型，主要利用了二次函数图象与几何变换，抛物线与坐标轴的交点的求法，相似三角形的判定与性质，锐角三角形函数，难点在于作辅助线并分情况讨论．　 30．（2014•宿迁）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0，c＜0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D．（1）如图1，已知点A，B，C的坐标分别为（﹣2，0），（8，0），（0，﹣4）； ①求此抛物线的表达式与点D的坐标； ②若点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM面积的最大值；（2）如图2，若a=1，求证：无论b，c取何值，点D均为定点，求出该定点坐标．【考点】二次函数综合题．【专题】代数几何综合题；压轴题．【分析】（1）①利用待定系数法求抛物线的解析式；利用勾股定理的逆定理证明

∠ACB=90°，由圆周角定理得AB为圆的直径，再由垂径定理知点C、D关于AB对称，由此得出点D的坐标； ②求出△BDM面积的表达式，再利用二次函数的性质求出最值．解答中提供了两种解法，请分析研究；（2）根据抛物线与x轴的交点坐标、根与系数的关系、相似三角形求解．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣2，0），B（8，0），C（0，﹣4），第95页（共98页） ∴，解得， ∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣4； ∵OA=2，OB=8，OC=4，∴AB=10．如答图1，连接AC、BC．由勾股定理得：AC=

，BC=

． ∵AC2+BC2=AB2=100， ∴∠ACB=90°， ∴AB为圆的直径．由垂径定理可知，点C、D关于直径AB对称， ∴D（0，4）．（2）解法一：设直线BD的解析式为y=kx+b，∵B（8，0），D（0，4）， ∴

，解得

， ∴直线BD解析式为：y=﹣x+4．设M（x，x2﹣x﹣4），如答图2﹣1，过点M作ME∥y轴，交BD于点E，则E（x，﹣x+4）． ∴ME=（﹣x+4）﹣（x2﹣x﹣4）=﹣x2+x+8． ∴S△BDM=S△MED+S△MEB=ME（xE﹣xD）+ME（xB﹣xE）=ME（xB﹣xD）=4ME， ∴S△BDM=4（﹣x2+x+8）=﹣x2+4x+32=﹣（x﹣2）2+36．第96页（共98页） ∴当x=2时，△BDM的面积有最大值为36；解法二：如答图2﹣2，过M作MN⊥y轴于点N．设M（m，m2﹣m﹣4）， ∵S△OBD=OB•OD=

=16， S梯形OBMN=（MN+OB）•ON =（m+8）[﹣（m2﹣m﹣4）] =﹣m（m2﹣m﹣4）﹣4（m2﹣m﹣4）， S△MND=MN•DN =m[4﹣（m2﹣m﹣4）] =2m﹣m（m2﹣m﹣4）， ∴S△BDM=S△OBD+S梯形OBMN﹣S△MND =16﹣m（m2﹣m﹣4）﹣4（m2﹣m﹣4）﹣2m+m（m2﹣m﹣4） =16﹣4（m2﹣m﹣4）﹣2m

=﹣m2+4m+32

=﹣（m﹣2）2+36； ∴当m=2时，△BDM的面积有最大值为36．（3）如答图3，连接AD、BC．第97页（共98页）由圆周角定理得：∠ADO=∠CBO，∠DAO=∠BCO， ∴△AOD∽△COB， ∴

，设A（x1，0），B（x2，0）， ∵已知抛物线y=x2+bx+c（c＜0）， ∵OC=﹣c，x1x2=c， ∴

， ∴OD==1， ∴无论b，c取何值，点D均为定点，该定点坐标D（0，1）．【点评】本题考查了待定系数法求解析式，直角三角形的判定及性质，图形面积计算，三角形相似的判定和性质，二次函数的系数与x轴的交点的关系等．　

第98页（共98页）

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中学数学 二次函数压轴题(含答案)

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