学而思初一数学春季班第13讲 全等中的基本模型.目标满分班 教师版

全等中的基本模型

满分晋级阶梯

三角形6级

特殊三角形之等腰三角形

三角形7级 倍长中线与截长补短

三角形5级 全等中的基本模型

春季班 第十三讲 暑期班 第五讲 暑期班 第六讲

漫画释义

爸爸怎么样啦？

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题型一：平移型全等

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把一个图形经过平移、翻折、旋转后，它们的位置虽然变化了，但是形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等. 我们把平移、翻折（轴对称）、旋转称为几何变换. 这一讲我们就来学习基本变换下的全等三角形. 常见平移模型

例题精讲

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DACEFB2

【引例】 如图，A、E、F、B四点在一条直线上，

ACCE，BDDF，AEBF，ACBD． 求证：CFDE 【解析】 ∵ACCE，BDDF

∴ACEBDF90 在Rt△ACE和Rt△BDF中 ACBD AEBF∴Rt△ACE≌Rt△BDFHL ∴CEDF，AECBFD ∴CEFDFE 在△CEF和△DFE中 CEDFCEFDFE EFFE∴△CEF≌△DFE ∴CFDE

典题精练

【例1】 如图1，A、B、C、D在同一直线上，ABCD，DE∥AF，且DEAF.

求证：△AFC≌△DEB

如果将BD沿着AC边的方向平行移动，图2，B点与C点重合时；图3，B点在C点右侧时，其余条件不变，结论是否成立，如果成立，请选择一种情况请予证明；如果不成立，请说明理由．

EABCF图1DAF图2EB(C)DEAFCB图3D【解析】 ∵DE∥AF，∴AD．

∵ABCD，∴ABBCCDBC，即ACDB． ACDB在△AFC和△DEB中，AD，

AFDE

∴△AFC≌△DEB(SAS)． 另两结论均成立，证明同上．

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题型二：对称型全等

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常见轴对称模型

典题精练

【例2】 如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC翻折到同

一平面内形成的．若1:2:315:2:1，则4________．

【解析】 60；由外角得422360°.

B

【例3】 如图，ABAC，D、E分别是AB、AC的中点，AMCD于M，

ANBE于N．求证：AMAN．

【解析】证法一：

D4A213ECAMDBNEC∵ABAC， ∴ABCACB．

∵D、E是AB、AC的中点， ∴DBEC，ADAE． 在△DBC与△ECB中，

BCCB，DBCECB，DBEC，

∴△DBC≌△ECB． ∴BDCCEB

∵ADMBDC，AENCEB， ∴ADMAEN． 在△AMD与△ANE中，

MN90，ADAE，ADMAEN，

∴△AMD≌△ANE，

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∴AMAN．

证法二：

∵ABAC，D、E是AB、AC的中点， ∴ADAE．

在△DAC与△EAB中，

MDBANECABAC，AEAD，DACEAB，

∴△DAC≌△EAB， ∴ACDABE．

又∵AMCD于M，ANBE于N． ∴MN90， 在△AMC与△ANB中，

ACAB，ACMABN，MN，

∴△AMC≌△ANB， ∴AMAN． 证法三：

∵ABAC，D、E是AB、AC的中点，

11∴S△ADCS△ABC，S△AEBS△ABC，ADAE，

22∴S△ADCS△AEB， 在△ADC与△AEB中，

AMDBNECADAE，ACAB，DACEAB，

∴△ADC≌△AEB， ∴CDBE． 11∴CDAMBEAN， 22∴AMAN．

题型三：旋转型全等

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常见旋转模型：

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例题精讲

【引例】 如图，在△ABC中，A:B:ACB3:5:10，若将△ACB绕点C逆时针旋转，使旋转后的△ABC中的顶点B在原三角形的边AC的延长线上时，求BCA的度数． 【解析】 ∵A:B:ACB3:5:10

10∴ACB180100

18∵由△ACB绕点C旋转得到△A'B'C ∴A'CB'100

∵ACBA'CB'BCA'180 ∴BCA'100218020

B'A'BCA典题精练

【例4】 如图，四边形ABCD、连接AE、 DEFG都是正方形，CG．

求证：⑴AECG；⑵AECG. 【解析】 ∵ADCEDG ∴CDGADE

在△CDG和△ADE中 CDADCDGADE DGDEBAOGFMDE∴△CDG≌△ADE

∴AECG，CGDAED ∵DMEAED90 ∴OMG+CGD90 即GOM90° ∴AECG

【点评】 可拓展证明AG2CE2AC2GE2.

【例5】 如图，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角

形．

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CNMDACFEB

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请你证明：

⑴ANBM； ⑵MFA60； ⑶△DEC为等边三角形； ⑷DE∥AB.

【解析】 此图是旋转中的基本图形．其中蕴含了许多等量关系．

MCN60,ANBM，CDCE，ADME，NDBE；AM∥CN，CM∥BN；DE∥AB；

△ACN≌△MCB，△ADC≌△MCE，△NDC≌△BEC；△DEC为等边三角形．

⑴∵△ACM、△CBN是等边三角形， ∴MCAC，CNCB，ACNMCB ∴△ACN≌△MCB，

∴ANBM. (找出图中所有的全等三角形，及相等的线段)

⑵ MFANABMBABMCMBAMCA60. (找出图中所有的60角) ⑶由△ACN≌△MCB易推得△NDC≌△BEC，

所以CDCE，又MCN60，进而可得△DEC为等边三角形． ⑷由⑶易得DE∥AB．AFCBFC以后学习证明.

题型四：辅助线添加初步

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辅助线：在几何学中用来帮助解答疑难几何图形问题,在原图基础之上另外所作的具有极大价值的直线或者线段.

添辅助线的作用：凸显和集散

1. 揭示图形中隐含的性质：当条件与结论间的逻辑关系不明朗时，通过添加适当的辅助线，将条件中隐含的有关图形的性质充分揭示出来，以便取得过渡性的推论，达到推导出结论的目的.

2. 聚拢集中原则：通过添置适当的辅助线，将图形中分散、远离的元素，通过变换和转化，使他们相对集中，聚拢到有关图形上来，使题设条件与结论建立逻辑关系，从而推导出要求的结论.

3. 化繁为简原则：对一类几何命题，其题设条件与结论之间在已知条件所给的图形中，其逻辑关系不明朗，通过添置适当辅助线，把复杂图形分解成简单图形，从而达到化繁为简、化难为易的目的.

4. 发挥特殊点、线的作用：在题设条件所给的图形中，对尚未直接显现出来的各元素，通过添置适当辅助线，将那些特殊点、特殊线、特殊图形性质恰当揭示出来，并充分发挥这些特殊点、线的作用，达到化难为易、导出结论的目的.

5. 构造图形的作用：对一类几何证明题，常须用到某种图形，这种图形在题设条件所给的图形中却没有发现，必须添置这些图形，才能导出结论，常用方法有构造出线段和角的和差倍分、新的三角形、直角三角形、等腰三角形等.

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典题精练

【例6】 如图1，已知△ABC中，ABBC1，∠ABC90，把一块含30角的直角三角板DEF的

直角顶点D放在AC的中点上(直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF)，将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转．直线DE交直线AB于M，直线DF交直线BC于N． ⑴ 在图1中， ①证明DMDN；

②在这一旋转过程中，直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；

⑵ 继续旋转至如图2的位置，DMDN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

⑶ 继续旋转至如图3的位置，DMDN是否仍然成立？请写出结论，不用证明．

（海淀区期末考试）

【解析】 ⑴ ①方法一：

连接BD，在Rt△ABC中， ∵ABBC，ADDC．

∴DBDCAD，∠BDC90． ∴∠ABD∠C45．

∵∠MDB∠BDN∠CDN∠BDN90， ∴∠MDB∠NDC． ∴△BMD≌△CND． ∴DMDN． 方法二：

∵∠A∠DBN45．

FEADMBNC∠ADM∠MDB∠BDN∠MDB90．

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∴∠ADM∠BDN． ∴△ADM≌△BDN．

∴DMDN．

②四边形DMBN的面积不发生变化； 由①知：△BMD≌△CND， ∴S△BMDS△CND．

11∴S四边形DMBNS△DBNS△DMBS△DBNS△DNCS△DBCS△ABC．

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⑵ DMDN仍然成立，

证明：连接DB．

在Rt△ABC中，∵ABBC，ADDC， ∴DBDC，∠BDC90． ∴∠DCB∠DBC45． ∴∠DBM∠DCN135．

∵∠CDN∠CDM∠BDM∠CDM90， ∴∠CDN∠BDM． ∴△CDN≌△BDM．

∴DMDN．

F

⑶ DMDN．

A E D

M BNC

【点评】本题的辅助线是根据实际描述所产生的连线，这属于辅助线里最基本的添加方式.

【例7】 在四边形ABCD中，ABCD，AB∥CD，求证：ADBC．

ABABEMBNCFADDC DC

【解析】 连接BD

∵AB∥CD，∴ABDCDB 在△ABD和△CDB中

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ABCDABDCDB BDDB∴△ABD≌△CDB ∴ADCB．

【例8】 如图所示：AFCD，BCEF，ABDE，AD．

求证：BC∥EF． 【解析】 分别连接BF、CE、BE，

利用SAS证得△ABF≌△DEC， ∴BFCE，

利用SSS证得△BFE≌△ECB， ∴BEFEBC， ∴BC∥EF．

【点评】充分考虑已给条件，添加辅助线凸显条件.

思维拓展训练（选讲）

训练1. 如图所示：ABAC，ADAE，CD、BE相交于点O.

求证：AO平分DAE. 【解析】 利用SAS证得△ABE≌△ACD，

∴ED，

根据已知可得BDCE， 利用AAS证得△BOD≌△COE， ∴ODOE，

利用SAS证得△AOD≌△AOE， ∴OADOAE， ∴AO平分DAE

训练2. 如图，BD、CE分别是△ABC的边AC和AB边上的高，点P在BD

的延长线上，BPAC，点Q在CE上，CQAB． 求证：⑴APAQ；⑵APAQ．

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APEDQC10

B

【解析】 ∵BD、CE分别是△ABC的边AC和AB边上的高，

∴ABDACE， ∵BPAC，CQAB， ∴△ABP≌△QCA，

∴APAQ，APBQAC． ∵BPAC，∴ADP90， ∴APBDAP90， ∴CAQDAP90， 即PAQ90， ∴APAQ．

训练3. 在凸五边形中，BE，CD，BCDE，

M为CD中点．求证：AMCD．

BAECMD

【解析】延长AB、AE，交直线CD于F、G．

∵ABCAED． ∴FBCGED． ∵BCMEDM． ∴BCFEDG． ∴在△BCF与△EDG中 FBCGED BCEDBCFEDGFCMDGBEA∴△BCF≌△EDG(ASA) ∴FG．FCGD． ∴AGAF ∵CMMD ∴FMMG

∴在△AMF与△AMG中 AMAMFMMG AFAG∴△AMF≌△AMGSSS ∴AMFAMG∴AMCD

训练4. 如图，ABAE，ABCAED，BCED，点F是CD的中点．求证：AFCD．

18090， 2初一春季·第13讲·目标满分班·教师版

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ABEABECFDCFD

【解析】连接AC、AD．

∵ABAE，ABCAED，BCED ∴△ABC≌△AED， ∴ACAD

又∵F为CD的中点， ∴FCFD

∴△ACF≌△ADF ∴AFCAFD 即AFBE．

复习巩固

题型一 平移型全等 巩固练习

【练习1】 ⑴ 如图⑴，若ABCD，过E、F分别作DEAC， A、E、F、C在一条直线上，AECF，

BFAC．求证：BD平分EF．

⑵ 若将△DEC的边EC沿AC方向移动到图⑵的位置时，其他条件不变，上述结论是否成立？

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请说明理由．

BBAFEGCAEFGCD(1)(2)D

【解析】 ⑴ ∵AECF，∴AEEFCFEF，即AFCE，

∵DEAC，BFAC，∴AFBCED90 ∴Rt△ABF≌Rt△CDE， ∴BFDE， 又BGFDGE， ∴△BGF≌△DGE， ∴EGFG，即BD平分EF

⑵ 仍然成立．

证明方法同上，不再赘述．

【点评】 此题难度不大，老师们可以给学生说明图形平移变换的形式和它的简单性质，以及综合题的

命题形式和思路．

题型二 对称型全等 巩固练习

【练习2】 已知：如图，OP是AOC和BOD的平分线，OAOC，

OBOD.求证：ABCD．

（北京市中考题） A【解析】 证明：∵OP是AOC和BOD的平分线，

∴AOPCOP,BOPDOP ∴AOBCOD

在△AOB和△COD中， OAOC,AOBCOD, OBOD,OBPDC∴△AOB≌△COD ∴ABCD

题型三 旋转型全等 巩固练习

【练习3】 如图所示，已知过△ABC的顶点A作AFAB且使AFAB，

过A作AHAC，且使AHAC．求证：BHFC． 【解析】 ∵AFAB，AHAC，∴FABHAC90

∴FABBACHACBAC，即FACBAH 又AFAB，AHAC

432FHA初一春季·第13讲·目标满分班·教师版 1

BC13

∴△ABH≌△AFC ∴41

又23，3490 ∴1290， ∴BHFC

【练习4】 如图，已知△ABD和△AEC都是等边三角形，

DAFCD于F，AHBE于H，请问：AF和AH有何关 系？请说明理由． 【解析】 ∵△ABD和△AEC都是等边三角形，

∴ADAB，ACAE，DABCAE60， ∴DACBAE， ∴△ADC≌△ABE， ∴ADFABH， ∵AFCD，AHBE， ∴AFDAHB90， ∴△ADF≌△ABH， ∴AFAH．

题型四 辅助线添加初步 巩固练习

【练习5】 如图①，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一

起．现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O(点O也是BD中点)按顺时针方向旋转． ⑴ 如图②，当EF与AB相交于点M，通过观察或测量BM，GF与BD相交于点N时，FN

的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想； ⑵ 若三角尺GEF旋转到如图③所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点

M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，⑴中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

D(F)OGMA(G)①B(E)A②EBAG③BECDNFCFODOCAFOHCEB

【解析】 ⑴BMFN．

∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形， ∴ABDF45，OBOF． 又∵BOMFON，

∴△OBM≌△OFN．即BMFN．

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⑵BMFN仍然成立．

理由是：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形， ∴DBAGFE45，OBOF． ∴MBONFO135． 又∵BOMFON， ∴△OBM≌△OFN． ∴BMFN．

FNGMA(G)①B(E)A②EBAG③BMNCFODOECD(F)OCD

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第十四种品格：信念

天堂的位置

在得克萨斯州的一所小学里，一群天真无邪的孩子经常向玛琳娜老师询问天堂在哪里。为了满足孩子们的好奇和求知欲望，玛琳娜老师请来了莫迪神父。

莫迪神父首先在黑板中间画了一条线，把黑板分成两边，左边写着“天堂”，右边写着“地狱”，然后对孩子们说：“我要求你们每一个人分别在‘天堂’和‘地狱’下面写下与你们的想像或期望相符的内容。”

孩子心目中的天堂就这样呈现出来了：花朵、欢笑、树木、天空、爱情、阳光、诗歌、春天、音乐……在“地狱”这一边，孩子们写下了这样一些字眼：黑暗、肮脏、恶魔、哭泣、残杀、恐怖、仇恨、流血、丑陋……等孩子们写完之后，神父对他们说：“正如大家所知道的，天堂是具备了一切美好事物与美好心灵的地方。地狱正好相反，是亢斥了一切丑恶事物与丑恶心灵的地方。那么，人间在哪里呢？”

神父告诉孩子们：“人间不是介于天堂与地狱之间。人间既是天堂，也是地狱。当我们心里充满爱的时候，就是身处天堂，当我们心里怀着怨恨的时候，就是住在地狱！”

如果人一直怀着丑恶的心态生活，无论他处在什么环境，他的生活也是黑暗的；如果一个人内心充满了美好的感情，有着爱与善的品质，那他就是天堂里的人。

今天我学到了

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