备战中考数学必会模型之模型八 三垂直全等模型

模型：三垂直全等模型

如图：∠D＝∠BCA＝∠E＝90°，BC＝AC. 结论：Rt△BCD≌Rt△CAE.

BADCE

模型分析

说到三垂直模型，不得不说一下弦图，弦图的运用在初中直角三角形中占有举足轻重的地位，很多利用垂直求角，勾股定理求边长，相似求边长都会用到从弦图支离出来的一部分几何图形去求解.图①和图②就是我们经常会见到的两种弦图.

图①

图②

三垂直图形变形如下图③、图④，这也是由弦图演变而来的.

BDC图③BACE

DEA图④

模型实例

例题1 如图，AB⊥BC，CD⊥BC，AE⊥DE，AE＝DE，求证：AB＋CD＝BC.

ADBEC

【证明】∵AE⊥DE，AB⊥BC，DC⊥BC，

∴∠AED＝∠B＝∠C＝90°，∴∠A＋∠AEB＝∠AEB＋∠CED＝90°，∴∠BAE＝∠CED BC在△ABE和△ECD中，ACED ，∴△ABE≌△ECD，∴AB＝EC，BE＝CD

AEED∴AB＋CD＝EC＋BE＝BC.

例题2 如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD＝2.5cm，BE＝0.8cm，则DE的长为多少？

BEDCA

【解析】∵BE⊥CE，AD⊥CE， ∴∠E＝∠ADC＝90°. ∴∠EBC＋∠BCE＝90°. ∵∠BCE＋∠ACD＝90°， ∴∠EBC＝∠DCA.

EADC在△CEB和△ADC中，EBCDCA，∴△CEB≌△ADC

BCAC∴BE＝DC＝0.8cm，CE＝AD＝2.5cm，∴DE＝CE－CD＝2.5－0.8＝1.7cm

例题3 如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC有两个顶点在坐标轴上，求第三个顶点的坐标.

yA(0,3)BxC(-2,0)图①O

【解析】（1）如图③，过点B作BD⊥x轴于点D，∴∠BCD＋∠DBC＝90°.

由等腰Rt△ABC知，BC＝AC，∠ACB＝90°，∴∠BCD＋∠ACO＝90°，∴∠DBC＝∠ACO. BDCAOC在△BCD和△CAO中，DBCACO，∴△BCD≌△CAO，

BCAC∴CD＝OA，BD＝OC.

∵OA＝3，OC＝2，∴CD＝3，BD＝2，∴OD＝5， ∴B（－5，2）

yA(0,3)BxDC(-2,0)O图③（2）如图④，过点A作AD⊥y轴于点D.

ADCCOB在△ACD和△CBO中，DACOCB，∴△ACD≌△CBO.

ACCB

∴CD＝OB，AD＝CO. ∵B（－1，0），C（0，3） ∴OB＝1，OC＝3.

∴AD＝3，OD＝2. ∴OD＝5. ∴A（3，2）.

yC(0，3)ADxB(-1,0)O图④巩固提升

1．如图，正方形ABCD，BE＝CF.求证：（1）AE＝BF；（2）AE⊥BF.

AD

FBCE

【证明】（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BD，∠ABC＝∠BCD＝90°.

ABBC在△ABE和△BCF中，ABEBCF，∴△ABE≌△BCF，∴AE＝BF.

BECF（2）∵△ABE≌△BCF，∴∠BAE＝∠CBF. ∵∠ABE＝90°， ∴∠BAE＋∠AEB＝90°. ∴∠CBF＋∠AEB＝90°. ∴∠BGE＝90°， ∴AE⊥BF.

2．直线l上有三个正方形a、b、c，若a、c的面积分别是5和11，则b的面积是_____.

AaB【解析】∵a、b、c都是正方形， ∴AC＝CD，∠ACD＝90°.

DbcCE

∵∠ACB＋∠DCE＝∠ACB＋∠BAC＝90°， ∴∠BAC＝∠DCE.

ABCCED在△ABC和△CBE中，BACDCE，∴△ACB≌△CDE，∴AB＝CE，BC＝DE

ACCD在Rt△ABC中，AC2＝AB2＋BC2＝AB2＋DE2 即Sb＝Sa＋Sc＝5＋11＝16.

3．已知，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点P为BC上一动点（BP（2）若P为BC延长线上一点，其它条件不变，则线段BE、CF、EF是否存在某种确定的数量关系？画图并直接写出你的结论.

AFPBE【解析】∵BE⊥AP，CF⊥AP，

∴∠AEB＝∠AFC＝90°，∴∠FAC＋∠ACF＝90°，

A

CBCP∵∠BAC＝90°，∴∠BAE＋∠FAC＝90°，∴∠BAE＝∠ACF.

AEBAFC在△ABE和△CAF中，BAEACF，∴△ABE≌△CAF，∴AE＝CF，BE＝AF.

ABAC∵EF＝AE－AF，∴EF＝CF－BE. （2）如图，EF＝BE＋CF. 理由：同（1）易证△ABE≌△CAF. ∴AE＝CF，BE＝AF. ∵EF＝AE＋AF， ∴EF＝ BE ＋ CF.

EAFBCP

4．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，设∠BCD＝α，以D为旋转中心，将 腰DC绕点D逆时针旋转90°至DE. （1）当α＝45°时，求△EAD的面积； （2）当α＝45°时，求△EAD的面积；

（3）当0°<α<90°，猜想△EAD的面积与α大小有无关系？若有关，写出△EAD的面积S与α的关系式；若无关，请证明结论.

EADB【解析】（1）1；（2）1；

C

（3）过点D作DG⊥BC于点G，过点E作EF⊥AD交AD延长线于点F. ∵AD∥BC，DG⊥BC， ∴∠GDF＝90°.

又∵∠EDC＝90°，∴∠1＝∠2.

DGEDFE在△CGD和△EFD中，12，∴△DCG≌△DEF，∴EF＝CG

CDDE∵AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3， ∴BG＝AD＝2，∴CG＝1. ∴S1＝AD·EF＝1. EAD2∴△EAD的面积与α大小无关

5．向△ABC的外侧作正方形ABDE、正方形ACFG，过A作AH⊥BC于H，AH的反向延长线与EG交于点P. 求证：BC＝2AP.

EPGDAFBHC

【解析】过点G作GM⊥AP于点M，过点E作EN⊥AP交AP延长线于点N. ∵四边形ACFG是正方形， ∴AC＝AG，∠CAG＝90°. ∴∠CAH＋∠GAM＝90°. 又∵AH⊥BC，

∴∠CAH＋∠ACH＝90°. ∴∠ACH＝∠GAM.

AHCGMA在△ACH和△GAM中，ACHGAM，∴△ACH≌△GAM

ACGA∴CH＝AM，AH＝GM. 同理可证△ABH≌△EAN ∴BH＝AN，AH＝EN. ∴EN＝GM.

EPNGPM在△EPN和△GPM中，ENPGMP，∴△EPN≌△GPM，∴NP＝MP

ENGM∴BC＝BH＋CH＝AN＋AM＝AP＋PN＋AP－PM＝2AP