北京理工大学2009级数值分析试题及答案

2009级计算机学院《数值分析》期末试卷A卷

班级 学号 姓名 成绩

注意：① 答题方式为闭卷。 ② 可以使用计算器。

 请将填空题和选择题的答案直接填在试卷上，计算题答在答题纸上。

一、 填空题 （2 0×2′）

1. 设x=0.231是精确值x*=0.229的近似值，则x有 位有效数字。 2. 设

322，‖A‖∞＝___ ____，‖X‖∞＝__ _____，A,X213‖AX‖∞≤____ ___ (注意：不计算‖AX‖∞的值) 。

3. 非线性方程f(x)=0的迭代函数x=(x)在有解区间满足 ，则使用该迭代函

数的迭代解法一定是局部收敛的。

4. 若f(x)=x7－x3＋1，则f[20,21,22,23,24,25,26,27]= ，

f[20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 。

5. 区间[a,b]上的三次样条插值函数S(x)在[a,b]上具有直到 阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商

公式的 （填写前插公式、后插公式或中心差分公式），若

所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 （填写前插公式、后插公式或中心差分公式）；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 。

7. 拉格朗日插值公式中f(xi)的系数ai(x)的特点是：ai(x) ；所以当

i0n系数ai(x)满足 ，计算时不会放大f(xi)的误差。 8. 要使

20的近似值的相对误差小于0.1%，至少要取 位有效数字。

9. 对任意初始向量X(0)及任意向量g，线性方程组的迭代公式x(k+1)=Bx(k)+g(k=0,1,…)收

敛于方程组的精确解x*的充分必要条件是 。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 。

x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 1

y=f(x) -2 -1.75 -1 0.25 2 4.25 11. 牛顿下山法的下山条件为 。

12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差ri (i=0,1,…,n)来实现的，其中的残差

ri＝ ，(i=0,1,…,n)。

13. 在非线性方程f(x)=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f(x)

的二阶导数不变号，则初始点x0的选取依据为 。 14. 使用迭代计算的步骤为建立迭代函数、 、迭代计算。

二、判断题(在题目后的( )中填上“√”或“×”。) （10×1′） 1、 若A是n阶非奇异矩阵，则线性方程组AX＝b一定可以使用高斯消元法求解。( ) 2、 解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法在单根x*附近是平方收敛的。 ( ) 3、 若A为n阶方阵，且其元素满足不等式

aiiaij (i1,2,...,n)j1jin则解线性方程组AX＝b的高斯——塞德尔迭代法一定收敛。 ( ) 4、 样条插值一种分段插值。 ( ) 5、 如果插值结点相同，在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。 ( ) 6、 从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误差及舍入误差。 ( ) 7、 解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组AX＝b。 ( ) 8、 迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计,直到最后一步迭代计算的舍入误差。 ( ) 9、 数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差，则误差的最佳分配原则是截断误差＝舍入误差。 ( ) 10、插值计算中避免外插是为了减少舍入误差。 ( ) 三、计算题 （5×8′+10′） 1、用列主元高斯消元法解线性方程组。(计算时小数点后保留5位)。

x1x2 x34 5x14x23x3122xxx111232

2、用牛顿——埃尔米特插值法求满足下列表中插值条件的四次插值多项式P4(x)，并写出其截断误差的表达式(设f(x)在插值区间上具有直到五阶连续导数)。 xi f(xi) f ’(xi) 0 1 1 -1 1 2 3 5 3、对下面的线性方程组变化为等价的线性方程组，使之应用雅克比迭代法和高斯——赛德尔迭代法均收敛，写出变化后的线性方程组及雅克比迭代法和高斯——赛德尔迭代法的迭代公式，并简单说明收敛的理由。

2x1 x2 x41  x  x5x6134  x24x3 x48x13x2 x3 3

4、设y=sinx，当取x0=1.74, x1=1.76, x2=1.78建立拉格朗日插值公式计算x=1.75的函数值时，函数值y0, y1, y2应取几位小数? 5、已知单调连续函数y=f(x)的如下数据： xi f(xi) -0.11 -1.23 0.00 -0.10 1.50 1.17 1.80 1.58 若用插值法计算，x约为多少时f(x)=1。(计算时小数点后保留5位)。

af(x)16、应用牛顿法于方程 2 0 ，导出求a的迭代公式，并用此公式求

x（计算时小数点后保留4位)。 115的值。

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课程编号：12000044 北京理工大学

2009-2010学年第二学期

2009级计算机学院《数值分析》期末试卷A卷

班级 学号 姓名 成绩

注意：① 答题方式为闭卷。 ② 可以使用计算器。

 请将填空题和选择题的答案直接填在试卷上，计算题答在答题纸上。

四、 填空题（2 0×2′）

15. 设x=0.231是精确值x*=0.229的近似值，则x有 2 位有效数字。 16. 设

322，‖A‖∞＝___5 ____，‖X‖∞＝__ 3_____，A,X213‖AX‖∞≤_15_ __。

17. 非线性方程f(x)=0的迭代函数x=(x)在有解区间满足 |’(x)| <1 ，则使用该迭代

函数的迭代解法一定是局部收敛的。

18. 若f(x)=x7－x3＋1，则f[20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ，

f[20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。

19. 区间[a,b]上的三次样条插值函数S(x)在[a,b]上具有直到 2 阶的连续导数。 20. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商

公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。

21. 拉格朗日插值公式中f(xi)的系数ai(x)的特点是：ai(x) 1 ；所以当

i0n系数ai(x)满足 ai(x)>1 ，计算时不会放大f(xi)的误差。 22. 要使

20的近似值的相对误差小于0.1%，至少要取 4 位有效数字。

23. 对任意初始向量X(0)及任意向量g，线性方程组的迭代公式x(k+1)=Bx(k)+g(k=0,1,…)收

敛于方程组的精确解x*的充分必要条件是 (B)<1 。 24. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。

x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 4

y=f(x) -2 -1.75 -1 0.25 2 4.25 25. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。

26. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差ri (i=0,1,…,n)来实现的，其中的残差

ri＝ (bi-ai1x1-ai2x2-…-ainxn)/aii ，(i=0,1,…,n)。

27. 在非线性方程f(x)=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f(x)

的二阶导数不变号，则初始点x0的选取依据为 f(x0)f”(x0)>0 。 28. 使用迭代计算的步骤为建立迭代函数、 选取初值 、迭代计算。 五、判断题（10×1′） 10、

若A是n阶非奇异矩阵，则线性方程组AX＝b一定可以使用高斯消元法求解。

( × ) 11、

解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法在单根x*附近是平方收敛的。

(  ) 12、

若A为n阶方阵，且其元素满足不等式

naiiaij (i1,2,...,n)j1ji则解线性方程组AX＝b的高斯——塞德尔迭代法一定收敛。 ( × ) 13、

样

条

插

值

一

种

分

段

插

值

。

(  ) 14、

如果插值结点相同，在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。

(  ) 15、 误(  ) 16、

解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组AX＝b。 从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断

差

及

舍

入

误

差

。

( × ) 17、 步

迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计,直到最后一

迭

代

计

算

的

舍

入

误

差

。

( × ) 18、 是

数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差，则误差的最佳分配原则

截

断

误

差

＝

舍

入

误

差

。

5

(  )

10、插值计算中避免外插是为了减少舍入误差。 ( × ) 六、计算题（5×10′）

1、用列主元高斯消元法解线性方程组。

x1x2 x34 5x14x23x3122xxx11123解答：

（1，5，2）最大元5在第二行，交换第一与第二行：

5x14x23x312 x1x2 x342xxx11123L21=1/5=0.2,l31=2/5=0.4 方程化为：

5x14x23x312 0.2x2 0.4 x31.62.6x0.2x15.823（-0.2,2.6）最大元在第三行，交换第二与第三行：

5x14x23x312 2.6x20.2x315.80.2x 0.4 x1.623L32=-0.2/2.6=-0.076923,方程化为：

5x14x23x312 2.6x20.2x315.8 0.38462x0.3846636

回代得：

x13.00005 x25.99999 x1.0001032、用牛顿——埃尔米特插值法求满足下列表中插值条件的四次插值多项式P4(x)，并写出其截断误差的表达式(设f(x)在插值区间上具有直到五阶连续导数)。 xi f(xi) f ’(xi) 解答： 做差商表 xi 0 1 1 2 2 F(xi) 1 -1 -1 3 3 F[xi,xi+1] F[xi.xi+1.xi+2] F[xi,xi+1,xi+2,xi+3] F[xi,xi+1,xi+2,xi+3,xi+4] -2 1 4 5 3 3 1 0 -2 -1 0 1 1 -1 1 2 3 5 P4(x)=1-2x-3x(x-1)-x(x-1)(x-1)(x-2) R4(x)=f(5)()/5!x(x-1)(x-1)(x-2)(x-2)

3、对下面的线性方程组变化为等价的线性方程组，使之应用雅克比迭代法和高斯——赛德尔迭代法均收敛，写出变化后的线性方程组及雅克比迭代法和高斯——赛德尔迭代法的迭代公式，并简单说明收敛的理由。

2x1 x2 x41  x  x5x6134  x24x3 x48x13x2 x3 3

解答：

交换第二和第四个方程，使系数矩阵为严格对角占优：

2x1 x2 x41 x3x x 3123 x24x3 x48x  x5x67

雅克比迭代公式：

2x1 x2 x41 x3x x 3123

 x24x3 x48 x1  x35x46

4、设y=sinx，当取x0=1.74, x1=1.76, x2=1.78建立拉格朗日插值公式计算x=1.75的函数值时，函数值y0, y1, y2应取几位小数? 5、已知单调连续函数y=f(x)的如下数据： xi f(xi) -0.11 -1.23 0.00 -0.10 1.50 1.17 1.80 1.58 若用插值法计算，x约为多少时f(x)=1。(计算时小数点后保留5位)。

af(x)16、应用牛顿法于方程 2 0 ，导出求a的迭代公式，并用此公式求

x（计算时小数点后保留4位)。 115的值。

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