中考数学二轮专题复习_几何型综合题[2]

【简要分析】

几何型综合题包括几何论证型综合题和几何计算型综合题两大类，一般以相似为中心，以圆为重点，还常与代数综合．它以知识上的综合性与中考中的重要性而引人注目．

值得一提的是，在近两年各地的中考试题，几何综合题的难度普遍下降，出现了一大批探索性试题，根据新课标的要求，减少几何中推理论证的难度，加强探索性训练，将成为几何型综合题命题的新趋势．

【典型考题例析】

例1：如图2-4-27，四边形ABCD是正方形，△ECF是等腰直角三角形，其中CE=CF，G是CD与EF的交点．

（1）求证：△BCF≌△DCE．

（2）若BC=5，CF=3，∠BFC=900，求DG：GC的值．

（2005年吉林省中考题）

分析与解答 （1）∵四边形 ABCD是正方形， ∴∠BCF+∠FCD=900，BC=CD． ∵△ECF是等腰直角三角形，CF=CE．

∴∠ECD+∠FCD=900．∴∠BCF=∠ECD．∴△BCF≌△DCE （2）在△BFC中，BC=5，CF=3，∠BFC=90．

∴BF=BCCF220

AFDGEBC图2-4-27534．

22∵△BCF≌△DCE，∴DE=BF=4，∠BFC=∠DEC=∠FCE=900． ∴DE∥FC．∴△DGE∽△CGF．∴DG：GC=DE：CF=4：3．

例2：已知如图2-4-28，BE是⊙O的走私过圆上一点作⊙O的切线交EB的延长线于P．过E点作ED∥AP交⊙O于D，连结DB并延长交PA于C，连结AB、AD．

（1）求证：AB2PBBD．

（2）若PA=10，PB=5，求AB和CD的长．

（2005年湖北省江汉油田中考题）

分析与解答 （1）证明：∵PA是⊙O的切线，∴∠1=∠2． ∵ED∥AP，∴∠P=∠PED．

而∠3=∠BED，∴∠3=∠P．∴△ABD∽△PBA．∴AB2PBBD．

图2-4-28PCBA132OE（2）连结OA、AE．由切割线定理得，PA2PBBD．即1025(5BE)， ∴BE=15．又∴△PAE∽△PBA，∴

AEABPAPB2，即AE=2AB．

在Rt△EBA中，152AB2(2AB)2，

∴AB35．将AB、PB代入AB2PBBD，得BD=9． 又∵∠BDE=90，ED∥AP， ∴DC⊥PA．∴BC∥OA．∴∴BC55152152BCOAPBPO0

．

3．∴CD=12

例2：如图2-4-29，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，圆心O1在

CAHDO2FBG图2-4-28E⊙O2上，连心线O1O2与⊙O1交于点C、D，与⊙O2交于点E，与AB交于点H，连结AE．

（1）求证：AE为⊙O1的切线．

（2）若⊙O1的半径r=1，⊙O2的半径R32O1，求公共弦AB的长．

（3）取HB的中点F，连结O1F，并延长与⊙O2相交于点G，连结EG，求EG的长

（2005年广西壮族自治区桂林市中考题）

分析与解答 （1）连结AO1．∵O1E为⊙O2的直径，∴∠O1AE=90． 又∵O1A为⊙O1的半径，∴AE为⊙O1的切线．

（2）∵O1A=r=1，O1E=2R=3，△AO1E为Rt△，AB⊥O1E，

2∴△AO1E∽△HO1A．∴O1AO1HO1E．

0

∴O1H13．AB2AH2OA2OH142432．

（3）∵F为HB的中点，∴HF=HFAB23，

∴O1FO1HHF2233．

∵HO1FGO1E． ∴Rt△O1HF∽Rt△O1GE．∴

O1FO1EHFEG．

2∴EGHFO1EO1F，即EG33326．

例4 如图2-4-30，A为⊙O的弦EF上的一点，OB是和这条弦垂直的半径，垂足为H,BA的延长线交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线与EF的延长线交于点D． （1）求证：DA=DC

（2）当DF：EF=1：8且DF=2时，求ABAC的值．

（3）将图2-4-30中的EF所在的直线往上平移到⊙O外，如图2-4-31，使EF与OB的延长线交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交EF于点D．试猜想DA=DC是否仍然成立，并证明你的结论． （2005年山东省菏泽市中考题）

0

BEHOC图2-4-30AFDEDBHAFCOK图2-4-300

分析与解答 （1）连结OC，则OC⊥DC，∴∠DCA=90-∠ACO=90-∠B．

又∠DAC=∠BAE=900-∠B，∴∠DAC=∠DCA．∴DA=DC． （2）∵DF：EF=1：8，DF2，∴EF=8DF=82， 又DC为⊙O的切线，∴DC2DFDE29218． ∴DC1832．

∴ADDC32，AFADDF32222，

AEEFAF822262．

∴ABACAEAF622224．

（3）结论DA=DC仍然成立．理由如下：如图2-4-31， 延长BO交⊙O于K，连结CK，则∠KCB=90． 又DC是⊙O的切线，∴∠DCA=∠CKB=900-∠CBK． 又∠CBK=∠HBA，∴∠BAH=90-∠HBA=90-∠CBK． ∴∠DCA=∠BAH．∴DA=DC．

说明：本题是融几何证明、计算和开放探索于一体的综合题，是近几年中考的热点题目型，同学们复习时要引起注意．

【提高训练】

1．如图2-4-32，已知在△ABC中，AB=AC，D、E分别是AB和BC上的点，连结DE并延长与AC的延长线相交于点F．若DE=EF，求证：BD=CF．

BDE图2-4-32CFA0

0

0

2．点O是△ABC所在平面内一动点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结，如果DEFG能构成四边形．（1）如图2-4-33，当O点在△ABC内时，求证四边形DEFG是平行四边形．（2）当点O移动到△ABC外时，（1）中的结论是否成立？画出图形，并说明理由．（3）若四边形DEFG为矩形，O点所在位置应满足什么条件？试说明理由．

3．如图2-4-35，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC=45．翻折梯形ABCD，使点B重合于点D，折痕分别交边AB、BC于点F、E．若AD=2，BC=8，求：（1）BE的长．（2）∠CDE的正切值．

4．如图2-4-35，四边形ABCD内接于⊙O，已知直径AD=2，∠ABC=1200，∠ACB=450，连结OB交AC于点E．（1）求AC的长．（2）求CE：AE的值．（3）在CB的延长上取一点P，使PB=2BC，试判断直线PA和⊙O的位置关系，并加以证明你的结论．

B图2-4-34EFCAD0

ADOBEF图2-4-33GC

5．如图2-4-36，已知AB是⊙O的直径，BC、CD分别是⊙O的切线，切点分别为B、D，E是BA和CD的延长线的交点．（1）猜想AD与OC的位置关系，并另以证明．（2）设ADOC的值为S，⊙O的半径为r，试探究S与r的关系．（3）当r=2，sinE

【答案】 1．过D作DG∥AC交BC于G，证明△DGE≌△FCE 2．（1）证明DG∥EF即可

（2）结论仍然成立，证明略

（3）O点应在过A点且垂直于BC的直线上（A点除外），说理略． 3．（1）BE=5 （2）tanCDE3513DOAEBP图2-4-35C时，求AD和OC的长．

CDEAOB图2-4-36

4．（1）AC3 （2）CE:AE12

12（3）∵CE:AE，PB=2BC，∴CE：AE=CB：PB．

∴BE∥AP．∴AO⊥AP．∴PA为⊙O的切线

5．（1）AD∥OC，证明略

（2）连结BD，在△ABD和△OCB中，∵AB是直径，∴∠ADB=∠OBC=900． 又∵∠OCB=∠BAD，∴Rt△ABD∽Rt△OCB． ∴

ADOBABOC2．SADOCABOB2rr2r2，

∴S2r

3（3）AD

43，OC23.