圆弧在空间曲线建模中的应用
随着CATIA在汽车、靛空虢天、通用机械、电子电器等领域的逐步普及，其概念设计、造型设计、详细设计、工程分析、数控加工等方面的应用已经被相当多的设计人员和工程技术人员所掌握和应用。而基于Windows的体系结构，个性化的用户界面、智能化的设计思想，也正在吸引更多的人学习鞠研究如侮利用CATIA，打造企业自身的市场意争力、为了帮助已经掌握CATIA初步使用方法的工程技术人员提高使用效率，同时也魏了给刚刚接触CATIA的初学者启蒙。 圆和圆弧是一种重要的几何元素，在设计过程中被广泛使用。CATIA V5的线框曲面设计(Wireframe and Surface Design)模块和创成式曲面设计(Generative Surface Design)模块提供了多种绘制圆和圆弧的建模方法，这两个模块所提供的圆和圆弧功能相同。本期介绍CATIA V5中圆弧的应用方法。
设计者首先需要调用菜单：【Insert(插入)】→【Wireframe(线框)】→【○ Circle(圆弧)】，系统将弹出如图1所示的【Circle Definition(圆弧定义)】对话框。通过这个对话框，可以根据不同的条件建立圆或者圆弧。
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图1 【Circle Definition(圆弧定义)】对话框
对话框中的“Circle type(圆弧类型)”下拉框中提供了9种圆弧创建的类型：
(1)Center and radius：圆心和半径，也就是通过提供一点作为圆心以及圆弧半径数值两个参数确定圆弧的尺寸；
(2)Center and point：圆心和圆弧上一点，也就是通过提供一个点作为圆心以及另一个点作为圆弧上点，从而确定圆弧的尺寸；
(3)Two points and radius：两点和半径，也就是通过选择两个点作为圆弧上的两点，并提供圆弧的半径值，从而确定了圆弧的尺寸；
(4)Three points：三个点，也就是通过依次确定圆弧上的三个点，从而确定圆弧的尺寸；
(5)Center and axis：圆心和轴线，也就是通过提供一条直线作为圆弧的轴线(垂直与圆弧所在平面并通过圆心)，并选择一个点来确定圆心的位置，这种情况还需要确定一个数值作为圆弧的半径；
(6)Bitangent and radius：两个相切元素及半径，也就是通过选择两个相切元素，并设置个半径数值从而确定圆弧的尺寸；
(7)Bitangent and point：两个相切元素及一点，也就是通过选择两个相切元素，并选择个点来确定边界，从而确定圆弧的尺寸；
(8)Tritangent：三个相切元素，也就是通过确定三个相切元素，从而得到一条与三个元素都相切的圆弧；
(9)Center and tangent：圆心和相切元素，也就是选择一个点作为圆心，并且选择一个相切元素，从而确定圆弧的尺寸。
下面笔者将比较详细地介绍以上所述9种圆弧类型中常用的些的应用方法和技巧。
1.圆心和半径(Center and radius)
这是一种最为简单及传统的圆弧建立方法，也就是通过选择一个点填入对话框中的“Center(圆心)”输入栏中，接着选择一个平面或者一张曲面填入“Support(支持面)”输入栏中作为圆弧的支持面，最后还需要在“Radius(半径)”输入栏中设定圆弧的半径。设定了以上这些参数后，就绘图区就出现了预览的圆弧了。
圆弧是一个平面元素，需要指定一个平面作为圆弧的支持面。实际上可以这么考虑，一点和一个半径实际上是确立了空间中的一个球，而通过一个平面与球相交，就确定了一个圆弧。如果选择了一张曲面作为圆弧的支持面，那么首先将圆心投影到曲面上，接着通过投影点做一个相切的平面，该平面就是圆弧的支持面了。如果选中对话框中的“Geometry on support(投影到支持面)”，而这个投影是沿着曲面的法线的。需要注意的是，投影后的圆弧并不是由一个球和曲面的交线。如图2所示，其中的3条曲线分别是未附着在曲面上的圆弧、附着在曲面上的圆弧和通过直径一样的球与曲面相交得到的交线。
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图2 圆弧的支持面
对于需要选择确定的点元素，例如这里需要选择一个点填入到“Center(圆心)”输入栏，可以通过在输入栏中单击右键，在弹出的如图3所示的菜单中选择一种功能建立一个新的点填入到对话框中。“Create Point(建立一个点)”可以调用点功能，建立一个新的点；“Create Midpoint(创建中点)”可以选择一条曲线，建立其中点填入输入栏中；“Create Endpoint(创建端点)”可以以一条曲线的端点填入输入栏中；“Create Intersection(创建交点)”可以建立两个元素的交点填入输入栏中；“Create Projection(建立投影)”可以将一个点投影到指定元素上得到投影点。
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图3 建立一个新的点
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图4 建立平面和曲面界面
同样，对于需要选择平面或者曲面填入的输入栏，也是可以通过单击右键弹出菜单，通过选择其中的某项功能从而建立一个所需的平面或者曲面。例如在“Support(支持面)”输入栏中单击右键，系统弹出如图4所示界面，其中提供了11种建立平面和曲面的方法。
在CATIA V5系统中，几乎所有输入栏都提供了这种右键功能，例如“Radius”输入栏中也同样有这种功能，为设计提供了方便。
圆弧和整圆功能都是由同 个功能提供的，只需要在对话框中选择0（整圆）或者剑（圆弧）。如果选择的是圆弧，那么需要在“Start（起始角度）”和“End（终止角度）”输入栏中确定圆弧的起始角度和终止角度。
“圆心和圆弧上一点(Center and point)”这种类型与“圆心和半径”类似，只是确定半径是通过圆心和圆弧上的一点来确定。
2.两点和半径(Two points and radius)
这种圆弧创建方式是通过确定两个点作为圆弧上的点，并提供圆弧的半径，从而确定
圆弧的基本参数。与其他圆弧的创建类型相同，该方法也需要提供一个支持面。以上所提供的条件有4个解，如图5所示，这4个解实际上是两个对称的圆被所指定的两个点所连成的直线所分割，形成了四条圆弧。在对话框中按下按钮或者按钮可以切换不同的解，同时单击Next solution按钮选择不同的解。
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图5 四条圆弧
实际上，可以根据数学知识推导圆弧的生成原理。所提供的两个点可以构建条直线，该直线的中垂线就是圆弧的圆心轨迹线，以所提供的其中一个点为圆心，以提供的半径值为半径绘制—个圆，与中垂线将有两个点，这两个点就是满足所有条件的圆心，以这两个圆心绘制指定半径值的圆，就得到了如图6所示的两个圆。这两个圆被两个点所连成的直线分割为4个圆弧，设计者可以根据需要选择其中一个解。
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图6 两个圆
这种创建圆弧的方式需要注意的是，所提供的半径数值必须大干所提供的两个点距离的一半，只有满足这个条件才能生成圆弧。其实也是很明显，所提供的两个点是圆弧上的两个点，两个点最远的距离就是圆的直径的两个端点，也就是说两个点的最远距离就是圆的直径。
3.三个点(Three points)
根据三个点来确立一段圆弧，其http://www.huisheliren.com/zixun/使用方法比较简单，就是依次选择三个点填入对话框中即可，但需要注意的是，这三个点不能够共线。
从数学知识可以了解到，圆的方程包含三个未知数，也就是需要三个条件才能确立这个方程，因此提供三个条件就可以确立圆弧的参数。但是，如果这三个点出现共线的情况，那么实际上条件是不足的，也就是无法解出方程。
另外，不共线的三个点可以确立一个平面，因此这个平面就成为了圆的支持面。但是，也可以选择一个平面作为支持面，此时，所选择的三个点将首先投影到平面上，再根据投影点建立圆弧。
4.圆心和轴线(Center and axis)
这种圆弧创建类型是通过一条直线（轴线）、一个点、半径数值这三个条件确定圆弧的参数，如图7所示。
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图7 圆弧创建类型
这种圆弧的生成原理是：根据所提供的直线（轴线）就确定了一族平面，这些平面是垂直于所提供的直线的，再以所提供的点，就唯一确立了一个平面，这个平面就作为圆弧的支持面。所提供的点同时也作为圆心，以所指定的半径数值确立了圆的参数。
如果选择对话框中的“Project point on axis/line(将点投影到直线上)”选项，那么所提供的点首先投影到直线（轴线)上，该投影点就作为圆弧的圆心。
5.相切(Tangent)
相切圆弧在设计过程中有着相当广泛的应用，包括了一个相切元素、两个相切元素和
三个相切元素几种情况。
两个相切元素的情况和半径(Bitangent and radius)圆弧创建类型，是通过选择两个相切元素，并确定一个半径数值来创建一段圆弧。这里所指的相切元素，可以是点、直线、圆弧或者曲线。如果所选择的两个相切元素本来就位于相同的平面上，那么就不需要额外指定一个支持面。但如果两个相切元素不是共面，那么还需要指定一个平面或者曲面作为支持面，并且相切元素需要位于支持面上。
如图8所示，图(a)是以一条直线和圆弧作为相切元素，圆弧半径为30mm，得到了两个解，可以通过单击Nent solution按钮选择保留不同的解，由于所选择的两个相切元素是在同一个平面上，因此系统就默认了这个平面是支持面。图(b)是选择了一条直线和一条曲线作为相切元素，由于这两个相切元素不共面，因此需要特别选择一个曲面作为支持面。
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图8 支持面
两个相切元素和一点(Bitangent and point)，这种创建类型与“两个相切元素和半
径”类型类似，同样是选择两个相切元素，所不同的是这里需要指定一个点作为所选择的第二个相切元素的边界点，这个点可以在第二个相切元素之外，但是系统会将其投影到第二个相切元素上。如图9所示，就是以一条直线和一条圆弧作为相切元素，并且以圆弧的一个端点作为边界点，得到了相切圆弧。
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图9 相切圆弧
三个相切元素(Tritangent)，这种创建www.huishe.cn类型是通过选择三个相切元素从而确定相切圆弧的。如图10所示，选择一条圆弧、一条直线和个点作为相切元素，得到了一段圆弧。
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图10 圆弧
圆心和相切元素(Center and tangent)的方法需要选择一点填入“Center（圆心）”输入栏中作为圆的圆心，选择一条直线或者曲线填入Tangent curve中作为相切元素，这种方式只能生成整圆。如果选择一条直线填入“Center”中，那么生成圆的圆心在直线上，并且在直线和曲线的交点处与所选的相切曲线相切。如图11所示，该例是选择了一条直线作为圆心的轨迹线，选择一段圆弧作为相切元素，以25mm为圆弧半径，得到两个解。需要注意的是，所设定的圆弧半径，必须大干或者等于轨迹线与相切元素之间的最小距离。
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图11 一条直线作为圆心的轨迹线
圆弧作为一种重要的曲线类型，在设计中有相当广泛的应用。CATIA V5提供的9种圆弧的创建类型基本满足了以不同的边界条件建立圆弧的需求。
