2011中考数学一轮复习【几何篇】16.相似三角形(二)

16.相似三角形（二）

知识考点：

本节知识主要包括相似三角形、相似多边形的性质及应用

精典例题：

【例1】如图，在△ABC中，AB＝14cm，和周长。

分析：由AB＝14cm，CD＝12cm得SABC＝84，再由DE∥BC可得△ABC∽△ADE，有可求得SADE，利用勾股定理求出BC、AC，再用相似三角形的性质可得△ADE的周长。

答案：△ADE的面积为

AADBD59，DE∥BC，CD⊥AB，CD＝12cm，求△ADE的面积

SADESABCADAB2757cm2，周长为15 cm。

AADEDPEMPB例1图 CBMQFCBNC

例2图

变式1图

【例2】如图，正方形DEMF内接于△ABC，若SADE1，S正方形DEFM4，求SABC

分析：首先利用正方形的面积求出其边长，过A点作AQ⊥BC于Q，交DE于P，利用SADE可得AP及AQ的长，再由△ADE∽△ABC求出BC，从而求得SABC。

解：∵正方形的面积为4，∴DE＝MF＝2。过A点作AQ⊥BC于Q，交DE于P ∵SADE1，∴AP＝1

∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴

APAQDEBC，即

132BC

∴BC＝6，故SABC＝9

变式1：如图，已知菱形AMNP内接于△ABC，M、N、P分别在AB、BC、AC上，如果AB＝21 cm，CA＝15 cm，求菱形AMNP的周长。

答案：35 cm

变式2：如图，在△ABC中，有矩形DEFG，G、F在BC上，D、E分别在AB、AC上，AH⊥BC交DE于M，DG∶DE＝1∶2，BC＝12 cm，AH＝8 cm，求矩形的各边长。

ACADDMEMS1PS2MPNNS3BGHFCARTBBC变式2图 cm

例3图

问题一图

答案：

247 cm，

487【例3】如图，已知P为△ABC内一点，过P点分别作直线平行于△ABC的各边，形成小三角形的面积S1、S2、S3，分别为4、9、49，求△ABC的面积。

解：设MP＝p，RT＝r，PN＝q，由于S1、S2、S3都相似于△ABC，设△ABC的面积为S，AB＝c，则有

2Sqc，

3Spc，

7Sccrc，三式相加得：

237Spqrc1

∴S12，故S144

探索与创新：

【问题一】如上图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝a，BC＝b，过BD上一点P作MN∥BC交AB、DC于M、N，若AM∶MB＝m∶n。

（1）计算PM、PN的长；

（2）当a∶b＝m∶n时，PM与PN有怎样的关系？ （3）在什么条件下才能得到MN＝

12(ab)。

略解：（1）∵MN∥BC，AD∥BC，∴△BPM∽△BDA，△DPN∽△DBC ∴

PMDABMBA，

PNBCDNDCAMAB

又∵AM∶MB＝m∶n，∴BM∶AB＝n∶(mn) ∴AM∶AB＝m∶(mn) ∴PMnmnna，PNmmnmb

（2）∵PMb

mnmn ∴当namb，即a∶b＝m∶n时，才有PM＝PN；

namb1namb（3）∵MN＝PM＋PN＝，由(ab)可得：

mn2mna，PN

(ab))(mn)0

从而ab0或mn0

故当ab，且四边形ABCD为平行四边形时，MN＝(ab)或mn且MN为梯形（或平行

21四边形）的中位线时，MN＝

12(ab)。

【问题二】如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD、BC的长度分别为a、b(ab)，梯形ABCD的高未给出，在这样的图形中，是否总可以作一条平行于两底的截线EF（点E、F分别在AB、CD上），使EF把梯形ABCD分割成面积相等的两个梯形？如果可以分割，EF的长度如何求？试求出EF的长度。

解：延长BA、CD相交于点O，设EF＝x，△OAD的面积为S0，梯形ABCD的面积为2S， ∵AD∥EF，∴△OEF∽△OAD

O∴

SOEFSOAD2S0SxEF2 ，即SaAD0222AaD整理得1SS0xa………①

BEFbC同理△OBC∽△OAD，

S02SS0ba22，

问题二图 整理得12SS02ba22………②，由①②消去

SS02得：12xa22ba22

即x2ab22，∵x0，∴xab22，即EF＝

ab222

跟踪训练：

一、填空题：

1、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于O点，AD∶BC＝3∶5，则AO∶OC＝ ，SAOD∶

SBOC＝ ，SAOD∶SAOB＝ 。

2、把一张矩形的纸片对折，若对折后的矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的宽与长之比为 。 3、两个相似三角形面积之差为9cm2，对应角平分线的比是是 。

2∶3，这两个三角形的面积分别

AAODFDEGBCBC

第1题图

第4题图

DFGE4、如图，△ABC中，DE∥FG∥BC，如果AD∶DF∶FB＝1∶2∶3，则S四边形∶S四边形FBCG＝ 。

二、选择题：

1、如图，在正方形ABCD中，点E在AB边上，且AE∶EB＝2∶1，AF⊥DE于G交BC于F，则△AEG的面积与四边形BEGF的面积之比为（ ）

A、1∶2 B、1∶4 C、4∶9 D、2∶3

ADAGEDOEBFCBC

第1题图

第2题图

2、如图，已知DE∥BC，CD和BE相交于点O，SDOE∶SCOB＝4∶9，则AE∶EC为（ ） A、2∶1 B、2∶3 C、4∶9 D、5∶4

3、在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A，BC＝6，AC＝3，则CD的长为（ ） A、1 B、三、解答题：

1、如图已知，在△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝7，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，且△ADE的周长与四边形BCED的周长相等，求DE的长。

2、如图，等腰直角△ABC中，∠BAC＝900，D、E分别为AB、AC上一点，且BD＝求证：∠ADE＝∠EBC。

AA32 C、2 D、

52

13AB，AE＝

13AC，。

DAEFDEDBCBCBEC第1题图

第2题图

第3题图

3、已知如图，正方形ABCD中，AB＝2，E是BC的中点，DF⊥AE，F为垂足，求△DFA的面积S1和四

边形CDFE的面积S2。

4、在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16 cm，点P从A点开始沿AB边向点B以2 cm／秒的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以4 cm／秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒之后，△PBQ与△ABC相似？这样的三角形有几个。

跟踪训练参

一、填空题：

1、3∶5，9∶25，3∶5；2、1∶二、选择题：CAC 三、解答题：

1、

63112

2

2；3、18 cm，27 cm；4、8∶27；

；

2、提示：过E点作EF⊥BC于H，证△DAE∽△BHE较容易； 3、S10.8，S22.2；

4、2秒或0.8秒，这样的三角形有两个。