小学初中高中数学公式大全整理

一、公式及应用：

1.长方形的周长=（长+宽）×2 公式：C=(a+b)×2

（ 长方形的长=周长÷2—宽 长方形的宽=周长2—长 ）

2.长方形的面积=长×宽 公式 S= a×b

（ 长=面积÷宽 宽=面积÷长）

3..正方形的周长=边长×4 公式：C= a ×4

（边长=周长÷4 ）

4.正方形的面积=边长× 边长 公式 S= a2 5.三角形的周长=三条边之和

6. 三角形的面积=底×高÷2 公式 S= a×h÷2

（三角形的高=面积÷底×2。 三角形的底=面积÷高×2） 7 .平行四边形的面积＝底×底边上的高 公式 S= a×h

（平行四边的高=面积÷高对应的底 平行四边的底=面积÷底边上的高 ） 8.梯形的面积＝（上底+下底）×高÷2 公式 S=(a+b)h÷2

（梯形的高=面积÷上下底之和×2 梯形的上底=面积÷高×2—下底 梯形的下底=面积÷高×2—上底）

9. 圆的周长＝直径×π=2×半径×π 公式：C＝πd＝2πr （直径=圆的周长÷π 半径=圆的周长÷2÷π ） 10.圆的面积= π×半径×半径 公式：S=πr2 11.半圆周长=整圆周长÷2+直径 或= 12.半圆弧长=整圆周长÷2

13. 圆环的面积=π×（大圆半径的平方—小圆半径的平方） 14.圆环的周长=大圆周长+小圆周长 15.长方体的底面积=长×宽

16.长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4 = 长×4+宽×4+高×4 （长方体的长=（棱长总和—宽×4—高×4）÷4）

17.长方体的表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2公式：S=（a×b+a×c+b×c）×2 18.长方体的体积＝长×宽×高 公式：V = abh

（ 长方体的高＝体积÷长÷宽 长方体的长＝体积÷宽÷高 长方体的宽＝体积÷长÷高 19.正方体的棱长总和=棱长×12 （棱长=棱长总和÷12）

20.正方体的表面积=棱长×棱长×6 公式： S=6a2 21.正方体的体积=棱长×棱长×棱长 公式：V = a3

22. 长方体（或正方体）的体积＝底面积×高 公式：V = abh 23.圆柱体的侧面积=底面周长×高 公式：S=ch=πdh＝2πrh

（ 圆柱体的高=侧面积÷底面周长 底面周长=侧面积÷高 ） 24. 圆柱体的表面积=侧面积+两个底面面积 公式：S=ch+2s=ch+2πr2 25.圆柱体的体积=底面积×高 公式：V=Sh

26.圆锥的体积=1/3底面积×积高。 公式：V=1/3Sh

二、单位换算：

1、长度单位

1公里＝1千米 1千米＝1000米 1米＝10分米 1分米＝10厘米 1厘米＝10毫米 2、面积单位

1平方千米=100公顷 1公顷=10000平方米

1平方米＝100平方分米 1平方分米＝100平方厘米 1平方厘米＝100平方毫米 3、体积单位

1立方米＝1000立方分米 1立方分米＝1000立方厘米 1立方厘米＝1000立方毫米 1立方分米=1升 1立方厘米=1毫升 1立方分米=1升=1000毫升 1亩＝平方米。 4、重量单位

1吨＝1000千克 1千克= 1000克= 1公斤= 1市斤

5、人民币单位

1元=10角 1角=10分 1元=100分 6、时间单位

1世纪=100年 1年=12月 大月(31天)有:1\\3\\5\\7\\8\\10\\12月 小月(30天)的有:4\\6\\9\\11月 平年2月28天, 闰年2月29天 平年全年365天, 闰年全年366天 1日=24小时 1时=60分

1分=60秒 1时=3600秒

1年=4个季度 1季度=3个月 一月为三旬

三、一般运算规则

1、每份数×份数＝总数 总数÷每份数＝份数 总数÷份数＝每份数 2、1倍数×倍数＝几倍数 几倍数÷1倍数＝倍数 几倍数÷倍数＝1倍数3 、速度×时间＝路程 路程÷速度＝时间 路程÷时间＝速度 4、 单价×数量＝总价 总价÷单价＝数量 总价÷数量＝单价

5 、工作效率×工作时间＝工作总量 工作总量÷工作效率＝工作时间 作时间＝工作效率

6、 加数＋加数＝和 和－一个加数＝另一个加数

7、 被减数－减数＝差 被减数－差＝减数 差＋减数＝被减数

工作总量÷工

8 、因数×因数＝积 积÷一个因数＝另一个因数

9 、被除数÷除数＝商 被除数÷商＝除数 商×除数＝被除数 10、分数的乘法则：用分子的积做分子，用分母的积做分母。 11、分数的除法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数。

17、利息＝本金×利率×时间（时间一般以年或月为单位，应与利率的单位相对应）

18、利率：利息与本金的比值叫做利率。一年的利息与本金的比值叫做年利率。一月的利息与本金的比值叫做月利率。

四、应用题： 相遇问题

相遇路程＝速度和×相遇时间 相遇时间＝相遇路程÷速度和 速度和＝相遇路程÷相遇时间 追及问题

追及距离＝速度差×追及时间 追及时间＝追及距离÷速度差 速度差＝追及距离÷追及时间 流水问题

顺流速度＝静水速度＋水流速度 逆流速度＝静水速度－水流速度

静水速度＝(顺流速度＋逆流速度)÷2 水流速度＝(顺流速度－逆流速度)÷2 浓度问题

溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量 溶质的重量÷溶液的重量×100%＝浓度 溶液的重量×浓度＝溶质的重量 溶质的重量÷浓度＝溶液的重量 利润与折扣问题

利润＝售出价－成本 利润率＝利润÷成本×100%＝(售出价÷成本－1)×100% 涨跌金额＝本金×涨跌百分比 折扣＝实际售价÷原售价×100%(折扣＜1) 利息＝本金×利率×时间 税后利息＝本金×利率×时间×(1－20%) 和差问题的公式

(和＋差)÷2＝大数 (和－差)÷2＝小数 和倍问题

和÷(倍数－1)＝小数 小数×倍数＝大数 (或者 和－小数＝大数) 差倍问题

差÷(倍数－1)＝小数 小数×倍数＝大数 (或 小数＋差＝大数) 植树问题

1、 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形: ⑴、如果在非封闭线路的两端都要植树,那么: 株数＝段数＋1＝全长÷株距－1

全长＝株距×(株数－1) 株距＝全长÷(株数－1) ⑵、如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么: 株数＝段数＝全长÷株距

全长＝株距×株数 株距＝全长÷株数 ⑶、如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么: 株数＝段数－1＝全长÷株距－1

全长＝株距×(株数＋1) 株距＝全长÷(株数＋1) 2 、封闭线路上的植树问题的数量关系如下 株数＝段数＝全长÷株距

全长＝株距×株数 株距＝全长÷株数 盈亏问题

(盈＋亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数 (大盈－小盈)÷两次分配量之差＝参加分配的份数

五、 算术方面（运算定律）

1.加法交换律：两数相加交换加数的位置，和不变。

2.加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，再同第三个数相加，和不变。

3.乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积不变。

4.乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，再和第三个数相乘，它们的积不变。

5.乘法分配律：两个数的和同一个数相乘，可以把两个加数分别同这个数相乘，再把两个积相加，结果不变。

6.除法的性质：在除法里，被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商不变。 O除以任何不是O的数都得O。

7.简便乘法：被乘数、乘数末尾有O的乘法，可以先把O前面的相乘，零不参加运算，有几个零都落下，添在积的末尾。

8.什么叫等式等号左边的数值与等号右边的数值相等的式子叫做等式。

9.等式的基本性质：等式两边同时乘以（或除以）一个相同的数，等式仍然成立。 10.含有未知数的等式叫方程式。

23.有余数的除法： 被除数＝商×除数+余数 24.一个数连续用两个数除，可以先把后两个数相乘，再用它们的积去除这个数，结果不变。例：90÷5÷6＝90÷（5×6）

七、代数知识: (一)、整数:

1、质数

一个数除了1和它本身，不再有其它的约数（因数），这个数叫做质数（质数也叫做素数）。最小的质数是“2”，也是质数中唯一的一个偶数，其余的质数均为奇数

2、合数

一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。最小的合数“4”。 注意：1只有一个约数，就是它本身，1既不是质数，也不是合数。 3、偶数

偶数就是可以被2整除的自然数（包括0）也叫做双数。偶数通常用“2k”表示。 注：偶数除了2以外都是合数。偶数：能被2整除的数。（也包括0） 4、奇数

奇数就是不能被2整除的自然数，也叫做单数。奇数通常用2k+1表示

5.自然数：表示物体的数量的数，最小的自然数是“0” 自然数也是整数。0是正整数与负整数的分界线。

6.互质数：只有公约数“1”的两个数。 7.公约数：两个数公有的约数。 8.公倍数：两个数公有的倍数。

9.质因数：把一个合数分解成几个质数相乘的形式，这几个质数叫作这个合数的质因数。 10.分解质因数：把一个合数分解成几个质数相乘的形式，这个过程叫做分解质因数。 能被2整除数的特征：个位上的数字是0，2，4，6，8 能被3整除数的特征：各位上的数字之和是3的倍数 能被5整除数的特征：个位上的数字是0，5

能被9整除数的特征：各位上的数字之和是9的倍数． 能被4或25整除数的特征：末两位上的数是4或25的倍数．

能被8或125整除数的特征：末三位数是8或125的倍数．

11、最大公约数：几个数都能被同一个数一次性整除，这个数就叫做这几个数的最大公约数。（或几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。其中最大的一个，叫做最大公约数。）

12、互质数： 公约数只有1的两个数，叫做互质数。

13、最小公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。

（二）小数:

1.小数的基本性质：在小数末尾添上”0”或去掉”0”，小数的大小不变． 2.有限小数：小数部分的位数是有限的。 3.无限小数：小数部分的为数是无限的。 4.无限循环小数：小数部分的数位有规律的.

5.、无限不循环小数：一个小数，从小数部分起到无限位数，没有一个数字或几个数字依次不断的重复出现，这样的小数叫做无限不循环小数。3. 4…… 6.纯循环小数：从小数部分第一位开始循环`

7.混循环小数：不是从小数部分第一位开始循环

8.循环节:从小数部分的某一位起.开是依次不断重复一个或几个数字.这些数字叫做循环节.

9.循环小数：一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字依次不断的重复出现，这样的小数叫做循环小数。如3. 141414

10.不循环小数：一个小数，从小数部分起，没有一个数字或几个数字依次不断的重复出现，这样的小数叫做不循环小数。如3. 4

（三）分数

1.分数：把单位\"1\"平均分成若干份，表示这样的一份或几分的数,叫做分数。

2.分数的加减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。异分母的分数相加减，先通分，然后再加减。

3.分数大小的比较：同分母的分数相比较，分子大的大，分子小的小。异分母的分数相比较，先通分然后再比较；若分子相同，分母大的反而小。

4.分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变。 5.分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作为分母。 6.分数除以整数（0除外），等于分数乘以这个整数的倒数。 7.真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。

8.假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫做假分数。假分数大于或等于1。 9.带分数：把假分数写成整数和真分数的形式，叫做带分数。

10.分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或除以同一个数（0除外），分数的大小不变。

11.一个数除以分数，等于这个数乘以分数的倒数。

12.甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘以乙数的倒数。 13. 真分数＜1. 假分数≥1

14.将一个分数的分子与分母同时同时除以他们的最大公因数，这个过程叫约分．（约分用最大公约数） 而得到的这个分数叫最简分数．

15.最简分数：分母与分子为互质数的时候．这个分数就叫最简分数．

16.将几个异分母的分数利用分数的基本性质将分母变成一样．这个过程叫通分．在分数大小的比较中会广泛遇到通分．（通分用最小公倍数） 17、分数计算到最后，得数必须化成最简分数。

18、个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，即能用2进行约分。个位上是0或者5的数，都能被5整除，即能用5进行约分。在约分时应注意利用。

（四）百分数：表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数。百分数也叫做百分率或百分比。

1、把小数化成百分数，只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。其实，把小数化成百分数，只要把这个小数乘以100％就行了。

2、把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。

3、把分数化成百分数，通常先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数），再把小数化成百分数。其实，把分数化成百分数，要先把分数化成小数后，再乘以100％就行了。 4、把百分数化成分数，先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。 5、要学会把小数化成分数和把分数化成小数的化发。

（五）比例：

1、比或比的意义：两个数相除就叫做两个数的比。

2、比的基本性质：比的前项和后项同时乘以或除以一个相同的数（0除外），比值不变。 3、求比值的依据是比的意义。化简比的依据是比的基本性质。解比例的依据是比例的基本性质。 4、比例：表示两个比相等的式子叫做比例。

比例的基本性质：在一个比例中，两外项之积等于两内项之积。 5、解比例：求比例中的未知项，叫做解比例。

求比例相关的问题包括总量、分量、差量三种方法。

6、正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着化，如果这两种量中相对应的的比值（也就是商k）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系就叫做正比例关系。 7、反比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系就叫做反比例关系。

八、几何知识:

一个封闭式图形,将他的周围围上1圈,这个圈的长度是他的周长. 一个物体所占平面的大小叫做这个物体的面积. 一个物体所占空间的大小叫做这个物体的体积.

一个物体所能容纳别的物体的体积叫做这个物体的容积 一个物体表面的面积叫表面积

三角形的内角和是180度.四边形的内角和是360度.N边形的内角和是(边长-2)×180度. 外角:1条边的反向延长线与相邻的一条边所夹的角叫做外角.三角形的外角是不相邻的两个内角之和,

任何封闭式的图形的外角和都是360度 线:

直线:没有端点,没有长度,无限延长 射线:有一个端点,没有长度,无限延长 线段:有两个端点,有长度.

由一个点引出的两条射线,这两条射线所夹的这个部分叫做角,而那个点叫做顶点.角分为几种角:锐角(大于0度小于90度),直角(等于90度),钝角(大于90度小于180度),平角(等于180度),周角(等于360度)

由1点做一条线段的垂线,这个点叫做垂足.

当两条直线永远不相交时,就说明这两条直线互相平行. 九、平面图形:

三角形:

三角形中最大的角是钝角的话这个三角形叫钝角三角形. 三角形中最大的角是直角的话这个三角形叫直角三角形 三角形中最大的角是锐角的话这个三角形叫锐角三角形

从顶点做与他对边的垂线段.这个垂线段的长度叫做这个三角形的高.1个三角形有三条高. 当三角形有两条边的长度相等时,这个三角形叫等腰三角形,等腰三角形长度相等的两个边叫做腰,而剩下的叫底.当三角形3条边相等时,这个三角形叫等边三角形,等边三角形是特殊的等腰三角形.他的3个角都是60度.

四边形:

一个四边形的四个角都是直角.且任意不相邻的两条边互相平行时,这个四边形叫长方形.当四条边都相等时,且每个角是90度时,这是个正方形.正方形是特殊的长方形.

当四边形的任意两条边互相平行时,这个图形是平行四边形(长方形是特殊的平行四边形).平行四边形有无数条高.当4条边长度相等时.这个图形叫菱形(菱形是特殊的平行四边形).

只有一组对边互相平行时,这个图形叫梯形.梯形上面那条边叫上底.下面那条边叫下底.而梯形的左右两条边叫梯形的腰.

当左右两条边的长度相等时.这个梯形叫等腰梯形.

圆的周长与直径的比值始终是定植.人们把他叫做圆周率.圆周率一般用字母π表示.π≈. 十、立体图形:

长方体与正方体有6个面,12条菱,8个顶点

另外还有圆柱圆锥圆台.这里我就不介绍了,毕竟是个很深奥的话题.以后中学就要重点学习立体几何了.

初中数学公式

章节 线

性质

1、过两点有且只有一条直线。 2、两点之间线段最短。

3、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直。

4、直线外一点与直线上任意点连接的线段中，垂线段最短 5、线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 1、平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直

线平行

2、两直线平行，同位角相等 3、两直线平行，内错角相等 4、两直线平行，同旁内角互补

1、 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 2、 对顶角相等

3、 同角（或等角）的余角相等 4、 同角（或等角）的补角相等 1、 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连

线的垂直平分线

2、关于某条直线对称的两个图形是全等形 3、关于中心对称的两个图形是全等的

4、关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心

，并且被对称中心平分

1、 定理 三角形两边的和大于第三边 2、 推论 三角形两边的差小于第三边 3、 直角三角形的两个锐角互余

判定

1、到一条线段两个端点距离相等的点，在这条

线段的垂直平分线上

平行线

角

1、平行与同一条直线的两条直线平行 2、同位角相等，两直线平行 3、内错角相等，两直线平行 4、同旁内角互补，两直线平行

5、垂直于同一条直线的两条直线平行

1、到角的两边距离相等的点都在角的平分线上

图形对称

三角形

1、 任意两边的和大于第三边的三边能构成三

角形

4、 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 5、 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 6、 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第

三边

7、 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并

且等于它

8、 三角形的三边中线交于一点，这一点叫重心

直角三角形 1、直角三角形的两锐角互余

2、直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半

3、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的

直角边等于斜边的一半

等腰三角形 1、等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角）

1、如果一个三角形的两边的平方和等于第三边

的平方，那么这个三角形是直角三角形。 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，

那么这个三角形是直角三角形

1、 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个

全等三角形 相似三角形 比例线段

梯形 平行四边形 矩形 菱形 正方形 正多边形 圆

2、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高

互相重合（三线合一）

3、等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°

1、 全等三角形的对应边相等、对应角相等

2、 全等三角形的周长相等、面积相等

1、 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平

2、 分线的比都等于相似比

3、 相似三角形对应角相等、对应边成比例 4、 相似三角形周长的比等于相似比

5、 相似三角形面积的比等于相似比的平方 6、 相似多边形周长的比等于相似比

7、 相似多边形面积的比等于相似比的平方 8、 相似多边形对应角相等、对应边成比例

1、 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线

），所得的对应线段成比例

2、 两条直线被三条平行线所截，所得的线段对应成比例

1、 等腰梯形在同一底上的两个角相等

2、 等腰梯形的两条对角线相等

3、 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰 4、 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于

两底和的一半

1、 平行四边形的对角相等

2、 平行四边形的对边相等

3、 推论 夹在两条平行线间的平行线段相等 4、 平行四边形的对角线互相平分

1、 矩形的四个角都是直角

2、 矩形的对角线相等

1、 菱形的四条边都相等

2、 菱形对角线互相垂直平分，并且平分每一组对角

1、 正方形的四个角都是直角，四条边都相等

2、 正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对

角线平分一组对角

1、 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆

是同心圆

2、 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直

角三角形

1、 同圆或等圆的半径相等

角所对的边也相等（等角对等边） 2、 三个角都相等的三角形是等边三角形

3、有一角等于60°的等腰三角形是等边三角形 1、 边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对

应相等的两个三角形全等

2、 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应

相等的两个三角形全等

3、 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应

相等的两个三角形全等

4、 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个

三角形全等

5、 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角

边对应相等的两个直角三角形全等 1、 两角对应相等，两三角形相似（AA）

2、 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似

（SAS）

3、 三边对应成比例，两三角形相似（SSS） 4、 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边

与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似（HL）

5、 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两

边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似

6、 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角

三角形和原三角形相似

1、 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯

形

2、 对角线相等的梯形是等腰梯形

1、 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 2、 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 3、 对角线互相平分的四边形是平行四边形 4、 一组对边平行相等的四边形是平行四边形 1、 有三个角是直角的四边形是矩形 2、 对角线相等的平行四边形是矩形 1、 四边都相等的四边形是菱形

2、 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 1、 有一个直角的菱形是正方形

2、 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正

方形

1、定理 把圆分成n(n≥3):

⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内

接正n边形

⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为

顶点的多边形是这个圆的外切正n边形 1、圆是定点的距离等于定长的点的集合

2、 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对

的两条弧

3、 推论1 ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平

分弦所对的两条弧

4、 ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 5、 ③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分

弦所对的另一条弧

6、 推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等

7、 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的

弦相等，所对的弦的弦心距相等

8、 推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两个圆心角

、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等

9、 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

10、推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，

相等的圆周角所对的弧也相等

11、推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆

周角所对的弦是直径

12、圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于

它的内对角

13、直线和圆：d=圆心到直线距离，r=圆的半径

① 直线L和⊙O相交?d＜r ② 直线L和⊙O相切?d=r ③ 直线L和⊙O相离?d＞r

12、圆的切线垂直于经过切点的半径

13、推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 14、推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 15、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线

长相等圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 16、圆的外切四边形的两组对边的和相等

17、两个圆：d=两圆的圆心距，R、r两个圆的半径

①两圆外离?d＞R+r ②两圆外切?d=R+r

③两圆相交?R-r＜d＜R+r(R＞r) ④两圆内切?d=R-r(R＞r) ⑤两圆内含?d＜R-r(R＞r)

2、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的

点的集合

3、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的

点的集合

4、到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定

点为圆心，定长为半径的圆

5、不在同一直线上的三点确定一个圆

6、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线

是圆的切线

7、若圆心到直线距离等于圆的半径，则直线是

圆的切线。

绝对值

aa0a0a0a0|a|=， |a|=aa0， |a|=aa0a0a aa0运算律 1、 加法交换律：a+b=b+a 2、加法结合律：（a+b）+c=a+(b+c) 3、 乘法交换律：ab=ba 4、乘法结合律：(ab)c=a(bc) 5、 分配率：a(b+c)=ab+ac

等式性质

1、若a=b，b=c，则a=c 2、若a=b,则 a?c=b?c 3、若a=b,则 ac=bc 4、若a=b，c≠0则 cc 5、若a=b,则a=b 6、若a=b,(a≥0)，则

n

n

abnanb

不等式性质

1、 若a>b，则 b< a 2、若a>b，则a?c>b?c。 3、若a< b，则a?c< b?c。 4、若a>b，c>0，则ac>bc。 5、若a>b，c>0，则cc。 6、若a>b，c<0，则acb，c<0，则cc。 8、若a>b，b>c，则a>c

abab幂的性1、ab=(ab)。 2、aa=a。

mmmmnm+n

质

ammnmnmn

3、ana。 4、(a)=a。

1m0

5、aam（a≠0） 6、a=1，（a≠0）

7、当n为正奇数时: (-a)= -a或(a-b)= - (b-a) ,

n

n

n

n

当n为正偶数时: (-a) =a或 (a-b)=(b-a) .

乘法公式

1、(a+b)(a-b)=a—b。 2、(a?b)=a?2ab+b。 3、(a+b)(a—ab+b)=a+b。 4、(a—b)(a+ab+b)=a—b。

2

5、aba33a2b3ab2b3 6、(x+a)(x+b)=x+(a+b)x+ab

3nn nn

22222

22332233

分式性质

1、bbb。 2、bdacacacadbcbd。

acacacad3、bdbd. 4、bdbc

amaAACAAC，=5、b（A,B,C为整式，且B、C≠0） m 6、BBCBBCbmaaa7、bbb

特殊自然数

1、几组勾股数（不含扩大同一倍数的）：

3、4、5； 5、12、13； 7、24、25； 8、15、17。

2、平方数：11=121，12=144，13=169，14=196，15=225，16=256， 17=2，18=324，19=361， 20=400，21=441，22=484， 23=529，24=576，25=625。 3、立方数：2=8，,3=27，4=，5=125，6=216，7=343，8=512，9=729。

3

3

3

3

3

3

3

3

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

根式的性质

2） 2、a|a| 1、a0（a03、a5、

2a，（a≥0） 4、a 6、

3a3a

3a3abab，（a0,b0）

7、

比例性质

aba（a0,b0） b，

acacab1、若bd,，则ad=bc? 2、若ad=bc，则bd，cd。 acbdacba3、反比：bd?ac 4、更比：bd?dc， 5、bd?ba 6、和比：bd?7、等比：统计初步

acbdmbdnn0acbdmanbacdcacabcdbd

1、平均数：xx1x2x3nxnx。 2、加权平均数：

2xnx 4、标准差：

f1x1f2x2fmxm f1f2fm

12xx3、方差：sn1x22x2ss2概率

m1、 P（A）=n(m=事件A包括的基本事件数或事件A长度、面积、体积，n=基本事件总数或总长度、总面积、总体

积)

一元二次方程

1、 一元二次方程ax+bx+c=0 (a≠0)的两个根 x1，x2：x12bb24acbb24acx 2 2a2a22、一元二次方程ax+bx+c=0 (a≠0)的两个根 x1，x2：x1x2a,x1x2a 223、一元二次方程ax+bx+c=0 (a≠0)根的判别式 △=b-4ac ①当△>0时，方程有两个不等根。②当△=0时，方程有两个相等根。③当△<0时，方程没有根。 24、以a和 b为根的一元二次方程是：x－(a+b)x+ab=0． bc225、常用公式：x1x2x1x22x1x2,x1x2x1x24x1x2 222二次函数

b4acb21、一般式：?y=ax+bx+c（a≠0），其对应的顶点坐标：2a,4a， 对称轴：

2

xb2a

12、顶点式：y=a(x+h)+k（a≠0），其对应的顶点坐标(－h，k),对称轴x= —h

3、交点式：y=a（x-x1）（x-x2）其中x1、x2是二次函数与x轴的两个交点的横坐标，其对应的对称轴x=2x1x2

角 多边形 直角三角形

1、等角（同角）的余角相等： 2、等角（同角）的补角相等

1、三角形内角和=180°。 2、多边形内角和=（n-2）180°。（n=边数） 3、多边形外角和=360°。

baa22

1、Rt△ABC中∠C=90°，A、B、C所对的边是 a、b、c，则sinA=c，cosA=c，tanA=b，sinA＋cosA＝1，

2

长度

余角公式：sin(90o－A)＝cosA， cos(90o－A)＝sinA．

222

勾股定理：a+b=c,

222

2、勾股定理的逆定理：若△ABC中A、B、C所对的边是 a、b、c，a+b=c,则∠C=90°。 1、正方形周长=边长?4 2、矩形周长=（长+宽）?2

nRl3、圆周长=2πR 4、弧长计算公式：180

r5、Rt△ABC的三条边分别为：a、b、c（c为斜边），则它的内切圆的半径

面积

abc 2321s=a ah正三角形1、S三角形=2 （a=底，h=高） 2、41s菱形=ab3、 (对角线乘积的一半)， 4、s平行四形=ah (底?高) 21s=（a+b）h（a=上底，b=下底，h=高） 6、S=a2 (a=边长) 梯形5、正方形

21nr22s=lR7、扇形2360 （l=弧长，R=半径，n=扇形的圆心角度数） 8、S圆=πR

9、S环形=π(R-r),（R=大圆半径，r=小圆半径） 10、 S圆柱侧=2?rh (r=底面圆半径，h=圆柱高)

2

2

体积

10、S圆锥侧=?rl (r=底面圆半径，l=母线长=展开图中扇形半径)

3

1、V正方体=a (a=边长) 2、V长方体=abc (长宽高的积) 3、V圆柱=Sh （S=底面积，h=高） 4、V圆锥=1Sh （S=底面积，h=高） 3

高中数学公式大全（简化版）

目录

1 集合与简易逻辑 ……………………………………………………………………………… 01 2 函数 …………………………………………………………………………………………… 02 3 导数及其应用……………………………………………………………………………………07 4 三角函数 ………………………………………………………………………………………09 5 平面向量…………………………………………………………………………………………10 6 数列 ……………………………………………………………………………………………11 7 不等式……………………………………………………………………………………………12 8 立体几何与空间向量 …………………………………………………………………………13 9 直线与圆 ………………………………………………………………………………………16 10圆锥曲线 ………………………………………………………………………………………18 11排列组合与二项式定理 ………………………………………………………………………19 12统计与概率 ……………………………………………………………………………………20 13复数与推理证明 ………………………………………………………………………………23

§01. 集合与简易逻辑

1. 元素与集合的关系

xAxCUA,xCUAxA.

2．集合运算 全集U：如U=R

交集：AB{xxA且xB} 并集：AB{xxA或xB} 补集：CUA{xxU且xA} 3．集合关系 空集A

xB ABAABABBAB

子集AB:任意xA注：数形结合---文氏图、数轴 4. 包含关系

ABAABBABCUBCUAACUBCUABR

5．集合{a1,a2,有2n– 2个.

6. 真值表

ｐ 真 真 假 假 7. 常见结论的否定形式

原结论 是 都是 大于 小于 对所有x，成立 反设词 不是 不都是 原结论 至少有一个 至多有一个 反设词 一个也没有 至少有两个 至多有（n1）个 至少有（n1）个 ｑ 真 假 真 假 非ｐ 假 假 真 真 ｐ或ｑ 真 真 真 假 ｐ且ｑ 真 假 假 假 ,an}的子集个数共有2n 个；真子集有2n–1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集

不大于（小于等于） 至少有n个 不小于（大于等于） 至多有n个 存在某x，不成立 p或q p且q p且q p或q 对任何x，不成立 存在某x，成立 8. 四种命题

原命题：若p则q 逆命题：若q则p 否命题：若p则q 逆否命题：若q则p

原命题与逆否命题真假相同 否命题与逆命题真假相同

9. 充要条件

（1）充分条件：若pq，则p是q充分条件.

（2）必要条件：若qp，则p是q必要条件.

（3）充要条件：若pq，且qp，则p是q充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.

§02. 函数

1. 函数的单调性

(1)设x1x2a,b,x1x2那么

(x1x2)f(x1)f(x2)0(x1x2)f(x1)f(x2)0f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是增函数；

x1x2f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是减函数.

x1x2对于复合函数的单调性：fgx 同增异减（即fx与gx的增减性相同，那么符合函数就是增函数（同增）；

fx与gx的增减性相反，那么符合函数就是减函数（异减））

(2)设函数yf(x)在某个区间内可导，如果f(x)0，则f(x)为增函数；如果f(x)0，则f(x)为减函数. 2．函数的奇偶性

判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称。

f(x)偶函数f(x)f(x)f(x)图象关于y轴对称 f(x)奇函数f(x)f(x)f(x)图象关于原点对称 注：①f(x)有奇偶性定义域关于原点对称

②f(x)奇函数,在x=0有定义f(0)=0 对于复合函数：fgx 内偶则偶，两奇为奇 奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么

这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．

若函数yf(x)是偶函数，则f(xa)f(xa)；若函数yf(xa)是偶函数，则

f(xa)f(xa)

对于函数yf(x)(xR),f(xa)f(bx)恒成立,则函数f(x)的对称轴是函数x 两个函数yf(xa)与yf(bx) 的图象关于直线xab; 2ab对称. 2 若f(x)f(xa),则函数yf(x)的图象关于点(,0)对称; 若f(x)f(xa),则函数yf(x)为周期为2a的周期函数.

nn1多项式函数P(x)anxan1xa2a0的奇偶性

多项式函数P(x)是奇函数P(x)的偶次项的系数全为零.（常数按偶次项看待) 多项式函数P(x)是偶函数P(x)的奇次项的系数全为零. 3. 函数的周期性

T是f(x)周期f(xT)f(x)恒成立（常数T0）

（1）f(x)f(xa)，则f(x)的周期T=a； （2）f(x)f(xa)0，

或f(xa)11(f(x)0)， 或f(xa)(f(x)0), f(x)f(x)4. 函数yf(x)的图象的对称性

(1)函数yf(x)的图象关于直线xa对称f(ax)f(ax)

f(2ax)f(x).

(2)函数yf(x)的图象关于直线x两个函数图象的对称性

(1)函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于直线x0(即y轴)对称. (2)函数yf(x)和yf1ab对称f(amx)f(bmx) 2(x)的图象关于直线y=x对称.

若将函数yf(x)的图象右移a、上移b个单位，得到函数yf(xa)b的图象；若将曲线f(x,y)0的

图象右移a、上移b个单位，得到曲线f(xa,yb)0的图象. 互为反函数的两个函数的关系

1f(a)bf(b)a.

几中常见抽象函数原型

(1)f(xy)f(x)f(y),f(1)c.正比例函数f(x)cx

(2)f(xy)f(x)f(y),f(1)a0.指数函数f(x)ax

(3)f(xy)f(x)f(y),f(a)1(a0,a1).对数函数f(x)logax (4)f(xy)f(x)f(y),f(1).幂函数f(x)x

'(5），f(xy)f(x)f(y)g(x)g(y)，

f(0)1,limx0g(x)1. 余弦函数f(x)cosx,正弦函数g(x)sinx x5. 二次函数 解析式的三种形式

(1)一般式f(x)axbxc(a0); (2)顶点式f(x)a(xh)k(a0); (3)零点式f(x)a(xx1)(xx2)(a0). 闭区间上的二次函数的最值

二次函数f(x)axbxc(a0)在闭区间p,q上的最值只能在x得，具体如下：

222b处及区间的两端点处取2abbp,q，则f(x)minf(),f(x)maxmaxf(p),f(q)； 2a2abp,q，f(x)maxmaxf(p),f(q)，f(x)minminf(p),f(q). x2abp,q，则f(x)minminf(p),f(q)， (2)当a<0时，若x2abp,q，则f(x)maxmaxf(p),f(q)，f(x)minminf(p),f(q). x2a(1)当a>0时，若x6. 指数函数与对数函数 y=a与y=logax

x

定义域、值域、过定点、单调性

注：y=a与y=logax图象关于y=x对称（互为反函数） 分数、指数、有理数幂

x

amn1nam（a0,m,nN，且n1）；amn1amn（a0,m,nN，且n1）.

a,a0. (a)a；当n为奇数时，aa； 当n为偶数时，a|a|a,a0nnnnnn有理指数幂的运算性质

aaarsrsrs(a0,r,sQ).

(a)a(a0,r,sQ).

rs(ab)rarbr(a0,b0,rQ).

注： 若a＞0，p是一个无理数，则a表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.

指数式与对数式的互化式

p

logaNbabN(a0,a1,N0).

对数的换底公式

logaNlogmN (a0,且a1,m0,且m1, N0).

logmanlogab(a0,且a1,m,n0,且m1,n1, N0). mn推论 logamb对数的四则运算法则

若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则 (1)loga(MN)logaMlogaN; (2) logaMlogaMlogaN; Nn(3)logaMnlogaM(nR).

注：性质loga10 logaa1 alogaNN

常用对数lgNlog10N，lg2lg51 自然对数lnNlogeN，lne1 7. 函数图像与方程 描点法

函数化简→定义域→讨论性质（奇偶、单调） 取特殊点如零点、最值点等 图象变换

平移：“左加右减，上正下负”

yf(x)yf(xh)

yf(伸缩：yf(x)对称：“对称谁，谁不变，对称原点都要变”

x轴yf(x)yf(x)y轴yf(x)yf(x)

每一点的横坐标变为原来的倍1x)

yf(x)原点yf(x)注：yf(x)直线xayf(2ax)

翻折：yf(x)y|f(x)|保留x轴上方部分，

并将下方部分沿x轴翻折到上方

yy=f(x)yy=|f(x)|aobcxao bcx

yf(x)yf(|x|)保留y轴右边部分，

并将右边部分沿y轴翻折到左边

yy=f(x)yy=f(|x|)aobcxao bcx

零点定理

若f(a)f(b)0，则yf(x)在(a,b)内有零点 （条件：f(x)在[a,b]上图象连续不间断） 注：①f(x)零点：f(x)0的实根

②在[a,b]上连续的单调函数f(x)，f(a)f(b)0 则f(x)在(a,b)上有且仅有一个零点 ③二分法判断函数零点---f(a)f(b)0

§03. 导数及其应用

1．导数几何意义

'f(x)在点x处导数f(x0)：指点x0处切线斜率 0

2．导数公式

(C)0（C为常数） (xn)nxn1 (sinx)cosx (cosx)sinx

(ex)ex (lnx)1/x (uv)'u'v'. (uv)'u'vuv'.

uu'vuv'''' yx=yu.ux =2vv3．导数应用

单调性：如果f(x)0，则f(x)为增函数

如果f(x)0，则f(x)为减函数

极大值点：在x0附近f(x)“左增右减↗↘” 极小值点：在x0附近f(x)“左减右增↘↗”

注f'(x0)0

''求极值：f(x)定义域→f(x)→f(x)零点→列表：

/''x范围、f'(x)符号、f(x)增减、f(x)极值

求[a，b]上最值：

f(x)在(a，b)内极值与?(a)、?(b)比较

4．三次函数

f(x)ax3bx2cxd f/(x)3ax22bxc

图象特征：“↗↘↗” “↘↗↘”

a0,0 a0,0

极值情况:0f(x)有极值

0f(x)无极值

5．定积分

定理：性质：

babf(x)dxF(b)F(a)其中F'(x)f(x) kf(x)dxkf(x)dx（k为常数）

ababaf(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx

aabb应用：

② 直线x＝a，x＝b，x轴及曲线y＝f(x)(f(x)≥0)围成曲边梯形面积Sbaf(x)dx

曲边梯形AMNB

②如图，曲线y1＝f1(x)，y2＝f2(x)在[a，b]上围成图形的面积S＝S－S

曲边梯形DMNC

＝



baf1(x)dxf2(x)dxab

§04. 三角函数

1．特殊角的三角函数值

 sin 0 0  61 23 23 3 42 2 33 21 2 21  0 3 21 cos 1 2 21 0 1 0 tg 0 3 / 0 / 2．弧长 lr 扇形面积Slr

123. 同角三角函数的基本关系式

sin2cos21，tan=

sin，tancot1. cos4. 正弦、余弦的诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限）；符号：“一正全、二正弦、三正切、四余弦” 5. 和差角公式

sin()sincoscossin; cos()coscossinsin;

tan()6. 二倍角公式

tantan.

1tantansin2sincos. cos2cos2sin22cos2112sin2.

tan22tan. 21tanb，a要为正 ). a7. 辅助角公式

22 asinbcos=absin()(其中tan8. 正弦定理?

abc2R. sinAsinBsinC9. 余弦定理

b2c2a2abc2bccosA;（求边） cosA=（求角）

2bc222b2c2a22cacosB; c2a2b22abcosC.

10. 面积定理

111ahabhbchc（ha、hb、hc分别表示a、b、c边上的高）. 222111（2）SabsinCbcsinAcasinB.

222（1）S11．三角函数的图象性质 y=sinx y=cosx y=tanx 图象 单调性： (,)增 (0,)减 (,)增

值域 奇偶 周期 对称轴 中心 注：kZ

sinx [-1，1] 奇函数 2π cosx [-1，1] 偶函数 2π tanx 无 奇函数 π 无 2222xk/2 xkk,0 /2k,0 k/2,0 §05. 平面向量

1. 实数与向量的积的运算律

设λ、μ为实数，量那么

结合律：λ(μa)=(λμ)a; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb. 2.平面向量的坐标运算

(1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a+b=(x1x2,y1y2). (2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a-b=(x1x2,y1y2). (3)设A(x1,y1)，B(x2,y2),则ABOBOA(x2x1,y2y1).

(4)设a=(x,y),R，则a=(x,y).

(5)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a·b=(x1x2y1y2). 3. a与b的数量积(或内积) a·b=|a||b|cosθ．

a·b的几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积． 4. 对空间任意两个向量a、b(b≠0 )，a∥b存在实数λ使a=λb．

P、A、B三点共线AP||ABAPtABOP(1t)OAtOB.

AB||CDAB、CD共线且AB、CD不共线ABtCD且AB、CD不共线.

5. 两向量的夹角公式

cosx1x2y1y2xyxy21212222(a=(x1,y1),b=(x2,y2)).

6. 向量的平行与垂直

设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b0，则

平行：a//babx1y2x2y1（b0） 垂直：abab0x1x2y1y20 7. 三角形的重心坐标公式

△ABC三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则△ABC的重心的坐标是

G(x1x2x3y1y2y3,). 33§06. 数 列

1. 等差数列

定义：an1and 通项：ana1(n1)d

求和：Sn中项：bn(a1an)1 na1n(n1)d 22ac（a,b,c成等差） 2

性质：若mnpq，则amanapaq2. 等比数列 定义：

an1q(q0)an通项：ana1qn1

na1(q1)n求和：Sna1(1q)

(q1)1q中项：bac（a,b,c成等比）

性质：若mnpq 则amanapaq 3. 数列通项与前n项和的关系

s1a1(n1)an( 数列{an}的前n项的和为snss(n2)n1n2a1a2an).

4. 数列求通项常用几种方法

累加、累乘、取倒数、待定系数、构造辅助数列。（特征根法和不动点法） 5. 数列求和常用方法

公式法、裂项法、 错位相减法、倒序相加法

§07. 不 等 式

1.常用不等式：

22（1）a,bRab2ab(当且仅当a＝b时取“=”号)．

（2）a,bR（3）ab(abab(当且仅当a＝b时取“=”号)． 2ab2)(当且仅当a＝b时取“=”号)． 2备注：求最值条件是“一正、二定、三相等” 2. 柯西不等式

(a2b2)(c2d2)(acbd)2,a,b,c,dR.

（5）ababab.

3. 极值定理

已知x,y都是正数，则有

（1）若积xy是定值p，则当xy时和xy有最小值2p； （2）若和xy是定值s，则当xy时积xy有最大值

12s. 4224. 一元二次不等式axbxc0(或0)(a0,b4ac0)，如果a与ax2bxc同号，则其解

2集在两根之外；如果a与axbxc异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.

5. 含有绝对值的不等式

当a> 0时，有

xax2aaxa.

2xax2a2xa或xa.

6. 无理不等式

（1）f(x)0 . （2）f(x)g(x)g(x)0f(x)g(x)f(x)0. f(x)g(x)g(x)0f(x)[g(x)]2f(x)0f(x)0. f(x)g(x)g(x)0或f(x)[g(x)]2g(x)0（3）7. 指数不等式与对数不等式

(1)当a1时,

af(x)ag(x)f(x)0f(x)g(x); logaf(x)logag(x)g(x)0.

f(x)g(x)(2)当0a1时,

af(x)ag(x)f(x)0f(x)g(x); logaf(x)logag(x)g(x)0

f(x)g(x)§08. 立体几何与空间向量

1．三视图 正视图、侧视图、俯视图（长对正、高平齐、宽相等）

''2．直观图 斜二测画法X'OY=45

0

平行X轴的线段，保平行和长度 平行Y轴的线段，保平行，长度变原来一半 3．体积与侧面积

V柱=S底h V锥 =

143

S底h V球=πR 332S圆锥侧=rl S圆台侧=(Rr)l S球表=4R 4．公理与推论 确定一个平面的条件： ①不共线的三点 ②一条直线和这直线外一点 ③两相交直线 ④两平行直线

公理：平行于同一条直线的两条直线平行

定理：如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 5. 平行的判定与性质

线面平行：

a∥b，b,aa∥ a∥，a,ba∥b

面面平行：

abAB∥，AC∥平面ABC∥

∥，aa∥

6．垂直的判定与性质 线面垂直：

pAB,pACp面ABC 面面垂直：a,a

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面垂直； 若两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 三垂线定理：

OPPO,AOaPAa PO,PAaAOa

Aa在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直逆定理 7．空间角、距离的计算

异面直线所成的角 范围（0°，90°] 平移法：转化到一个三角形中，用余弦定理 直线和平面所成的角 范围[0°，90°] 定义法：找直线在平面影，转为解三角形 二面角 范围[0°，180°] 定义法：作出二面角的平面角，转为解三角形 点到平面的距离

体积法--用三棱锥体积公式

注：计算过程，“一作二证三求”，都要写出 8．立体几何中的空间向量解法

法向量求法：设平面ABC的法向量n=（x,y）

nAB,nAC

nAB0,nAC0解方程组，得一个法向量n

A B 

异面直线所成角

C cos|cosa,b|=

|ab||a||b||x1x2y1y2z1z2|xyzx2y2z2212121222

b所成角，a,b分别表示异面直线a,b的方向向量）线面角： （其中（090）为异面直线a,直线与面的夹角 sincosn,ABABnABn

（其中n是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，AB与平面所成的角为）

二面角：设n1,n2是面,的法向量，二面角l 的大小为，则coscosn1,n2或

cosn1,n2

即二面角大小等于n1,n2或n1,n2 点到面距离：

若n是平面的法向量，AB是平面的一条斜线段，且B， 9．棱锥的平行截面的性质

如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比． 10. 球的组合体

(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:

正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体:

棱长为a的正四面体的内切球的半径为66a,外接球的半径为a. 124§09. 直线与圆

1. 倾斜角 范围0,

注：直线向上方向与x轴正方向所成的最小正角，倾斜角为90时，斜率不存在 2. 斜率公式 ktany2y1（P1(x1,y1)、P2(x2,y2)）.

x2x13. 直线的五种方程

k（1）点斜式 yy1k(xx1) (直线l过点P1(x1,y1)，且斜率为)．

（2）斜截式 ykxb(b为直线l在y轴上的截距).

（3）两点式

yy1xx1(y1y2)(P1(x1,y1)、P2(x2,y2) (x1x2)).

y2y1x2x1xy1(a、b分别为直线的横、纵截距，a、b0) ab(4)截距式

（5）一般式 AxByC0(其中A、B不同时为0). 4. 两条直线的平行和垂直

(1)若l1:yk1xb1，l2:yk2xb2

①l1||l2k1k2,b1b2; ②l1l2k1k21.

(2)若l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,且A1、A2、B1、B2都不为零, ①l1||l2A1B1C1； ②l1l2A1A2B1B20； A2B2C25．四种常用直线系方程

(1)定点直线系方程：经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为

yy0k(xx0)(除直线xx0),其中k是

A(xx0)B(yy0)0,其中A,B是待定的系数． 待定的系数; 经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为

(2)共点直线系方程：经过两直线l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20的交点的直线系方程为

(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0(除l2)，其中λ是待定的系数．

(3)平行直线系方程：直线ykxb中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程．与直线

AxByC0平行的直线系方程是AxBy0(0)，λ是参变量．

(4)垂直直线系方程：与直线AxByC0 (A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是BxAy0,λ是参变量． 6. 距离公式

两点间距离：|AB|=(x1x2)(y1y2)22

d点到直线距离：

7. 圆的四种方程

|Ax0By0C|AB22(点P(x0,y0),直线l：AxByC0).

（1）圆的标准方程 (xa)2(yb)2r2.

22 （2）圆的一般方程 xyDxEyF0(DE4F＞0).

22D2E24FDE 圆心, 半径r

222（3）圆的直径式方程 (xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0(圆的直径的端点是A(x1,y1)、B(x2,y2)). 8. 圆系方程

22(1)过直线l:AxByC0与圆C:xyDxEyF0的交点的圆系方程是

x2y2DxEyF(AxByC)0,λ是待定的系数．

2222(2) 过圆C1:xyD1xE1yF10与圆C2:xyD2xE2yF20的交点的圆系方程是

x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0,λ是待定的系数．

2229. 点P(x0,y0)与圆(xa)(yb)r的位置关系有三种

若d(ax0)(by0)，则

22dr点P在圆外;dr点P在圆上;dr点P在圆内.

10. 直线与圆的位置关系

222直线AxByC0与圆(xa)(yb)r的位置关系有三种:

dr相离0; dr相切0; dr相交0.

其中dAaBbCAB22.

11. 两圆位置关系的判定方法

设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，O1O2d

dr1r2外离4条公切线; dr1r2外切3条公切线;

r1r2dr1r2相交2条公切线; dr1r2内切1条公切线; 0dr1r2内含无公切线.

12. 圆的切线方程

已知圆x2y2r2．

2①过圆上的P点的切线方程为; (x,y)xxyyr00000②斜率为k的圆的切线方程为ykxr1k. 13. 直线截圆所得弦长（垂径定理）

2AB2r2d2 备注：其中d表示圆心到弦AB的距离，r表示圆的半径。

§10. 圆锥曲线方程

x2y21. 椭圆 |PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|) 标准方程：221(ab0).

aba2a2 焦半径：PF1e(x)，PF2e(x).

cc中心原点 对称轴 焦点F1(c,0)、F2(-c,0) 顶点: (±a,0),(0, ±b) 范围: -a?x?a,-b?y?b 其中2a、2b表示长轴、短轴长

xxyyx2y2 椭圆的切线方程 221(ab0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是02021.

ababx2y22. 双曲线：|PF1|-|PF2|=±2a(0<2a<|F1F2|) 标准方程：221(a0,b0)

aba2a2 焦半径：PF1|e(x)|，PF2|e(x)|.

cc中心原点 对称轴 焦点F1(c,0)、F2(-c,0)

顶点: 双曲线(±a,0) 范围：|x| ? a，y?R 其中2a、2b双表示实轴、虚轴长 双曲线的方程与渐近线方程的关系

x2y2x2y2b(1）若双曲线方程为221渐近线方程：220yx.

aababxyxyb (2)若渐近线方程为yx0双曲线可设为22.

abaab22x2y2x2y2 (3)若双曲线与221有公共渐近线，可设为22（0，焦点在x轴上，0，焦

abab点在y轴上）.

x2y2xxyy双曲线的切线方程 221(a0,b0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是02021.

abab3. 抛物线y22px的焦半径公式

顶点（原点） 对称轴（x轴） 开口（向右） 范围x?0 离心率e=1

pp,0)准线x 22

p 焦半径CFx0.

2pp 焦点弦长CDx1x2x1x2p.

22焦点F(抛物线的切线方程 y22px上一点P(x0,y0)处的切线方程是y0yp(xx0) 4. 直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB(x1x2)(y1y2)或

22AB(1k2)(x2x1)2|x1x2|1tan2|y1y2|1cot2（弦端点A(x1,y1),B(x2,y2)，

ykxb2由方程 消去y得到axbxc0，0,为直线AB的倾斜角，k为直线的斜率）.

F(x,y)0§11. 排列组合、二项定理

1. 分类计数原理（加法原理） Nm1m2 分步计数原理（乘法原理） Nm1m22. 排列数公式

mAn=n(n1)(nm1)=

mn. mn.

n！*

.(n，m∈N，且mn)．

(nm)！注:规定0!1. 3. 组合数公式

Cmn=

mAnn(n1)(nm1)n！*

n==(∈N，mN，且mn). m12mm！(nm)！Am组合数的几个性质 (1)

mCn=

nmCn ; (2)

mCn+

m1Cn=

mCn1.

012rnn(3)CnCnCnCnCn2.

0注:规定Cn1.

4．排列组合应用题

原则：分类后分步，先选后排，先特殊后一般

解法：相邻问题“捆绑法”，不相邻“插空法”，特殊元素“定位法”，复杂问题“排除法”

n0n1n12n22rnrrnn5. 二项式定理 (ab)CnaCnabCnabCnabCnb ;

rnrr 通项公式 Tr1Cn1，2，n). ab(r0， 备注：Cn---第r1项二项式系数

r性质：所有二项式系数和为2 中间项二项式系数最大

n§12 概率与统计

1．古典概型：P(A)mA包含的基本事件个数（）

总的基本事件个数n求基本事件个数：列举法、图表法 2．几何概型：PAA的区域长度（面积或体积）

区域总长度（面积或体积）注：试验出现的结果无限个 3．常用抽样（不放回）

简单随机抽样：逐个抽取（个数少） 系统抽样：总体均分，按规则抽取（个数多） 分层抽样：总体分成几层，各层按比例抽取（总体差异明显） 4．用样本估计总体 众数： 出现次数最多的数据

中位数：按从小到大，处在中间的一个数据（或中间两个数的平均数）

1n1n2平均数：xxi方差S(xix)标准差s 极差S=最大数-最小数

ni1 ni15．频率分布直方图

小长方形面积=组距×

频率=频率 各小长方形面积之和为1 组距 众数—最高矩形中点的横坐标 中位数—垂直于x轴且平分直方图面积的直线与x轴交点的横坐标 6. 茎叶图：由茎叶图可得到所有的数据信息如

众数、中位数、平均数等

7. 互斥事件A，B分别发生的概率的和 P(A＋B)=P(A)＋P(B)．

n个互斥事件分别发生的概率的和 P(A1＋A2＋…＋An)=P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．

8. 事件A，B同时发生的概率 P(A·B)= P(A)·P(B).

n个事件同时发生的概率 P(A1· A2·…· An)=P(A1)· P(A2)·…· P(An)．

9．常用分布

两点分布B(1,P)：E()p D()p(1P)

kknk二项分布B(n,P)：E()np D()np(1P) P(k)Cnpq

超几何分布H(N,M,n)：

E()n10. 数学期望

MMNnM(1) D()n P(k)

NNNN1Ex1P1x2P2xnPn2

211. 方差 Dx1Ep1x2Ep2标准差 =D. 12.方差与期望的关系

xnEpn2

DE2E.

12. 正态分布密度函数f(x)21e2(x)222,x(,)

性质：曲线在x轴上方、关于x对称，曲线与x轴围成面积为1

频率/组距总体密度曲线变量在区间a,b内取值的概率等于 密度曲线与x轴、直线xa、xb 所围成曲边梯形的面积

单位Oab

y标准正态分布曲线fx = 12x2-图中阴影部分面积 e2表示概率P(xx0) x13.标准正态分布N(0,1)： xE()0,D(X)1

P(a)(a)可查表

P(ab)(b)(a)

a0,(a)1(a) a0,(0)0.5

正态分布N(,2)：

E(),D(X)2 P(a)F(a)(a)

P(ab)F(b)F(a)

P(Xa)1P(Xa). 14. 回归直线方程

nnxixyiyxiyinxybi1ni1n2yabx，其中22.

xxxnxiii1i1aybx§13复数与推理证明

1．复数概念

复数：zabi(a,bR)，实部a、虚部b 分类：实数（b0），虚数（b0），复数集C

注：z是纯虚数a0，b0

共轭复数：zabi 模：za2b2 zzz

2复平面：复数z对应的点(a,b) 2. 复数的相等

abicdiac,bd.（a,b,c,dR）

3．复数运算

(1)(abi)(cdi)(ac)(bd)i; (2)(abi)(cdi)(ac)(bd)i; (3)(abi)(cdi)(acbd)(bcad)i; (4)(abi)(cdi)nacbdbcadi(cdi0).

c2d2c2d24kr2 乘方：i1，iiir

4. 合情推理

类比：特殊推出特殊 归纳：特殊推出一般 演绎：一般导出特殊（大前题→小前题→结论） 5．直接与间接证明

综合法：由因导果

比较法：作差—变形—判断—结论 反证法：反设—推理—矛盾—结论 分析法：执果索因

分析法书写格式：

要证A为真，只要证B为真，即证……， 这只要证C为真，而已知C为真，故A必为真 注：常用分析法探索证明途径，综合法写证明过程 5．数学归纳法：

(1)验证当n=1时命题成立,

(2)假设当n=k(k?N* ，k?1)时命题成立, 证明当n=k+1时命题也成立

由(1)(2)知这命题对所有正整数n都成立

注：用数学归纳法证题时，两步缺一不可，归纳假设必须使用