《创新设计》2014届高考数学人教A版(理)一轮复习【配套word版文档】：第二篇第5讲对数与对数函数

A 级

第 5 讲 对数与对数函数

基础演练 (时间： 30 分钟

满分： 55 分)

5 log 0.3 则 1 3

4

3 10

3

(

一、选择题 (每小题 5 分，共 20 分 )

1．(2011 ·天津 )已知 a＝ 5log 3.4，b＝5log 3.6，c＝ 2 4 A ．a>b>c C．a>c>b 解 析

∵ 1

B．b>a>c D．c>a>b 3

3)．

10 ， 15 log 0.3 ＝ 5log 3

10 10

log23.4>log2 3 >log3 3 故选 C.

3.4<2,010 10

<2 ， 又

，∴log23.4>log3 3 >log43.6，∴ 5log23.4>5log3 3 >5log43.6，

C 答案

2a ． 徐·州模拟 若函数 － ax＋1)有最小值，则 a 的取值范围是 ( )．

2 (2013 ) y＝log (x A ．0B．0解析 因为 y＝x2 － ＋ 是开口向上的二次函数，从而有最小值 4－ a2 ，故要

ax 1 4

2a(x － ＋ 有最小值，则 使函数 ，且 4－a2 >0，得 1ax 1) a>1 y＝log

4

答案 C

3．(2013 ·九江质检 )若函数 f(x)＝log (x＋b) a

的大致图象如图所示，其中 a，b 为常数，则函数 g(x)＝ x

( a ＋b 的大致图象是 )．

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....

解析 由已知函数 f(x)＝loga ＋ 的图象可得 ， 则 ＝ x＋

(x b) 0a 2－ax＋ 3)(a>0 且 a≠1)满足对任意的 x1，x2，当 x1 2≤a时， ．若函数

4 f(x1)－ f(x2 )>0，则实数 a 的取值范围为 A ．(0,1)∪(1,3) C．(0,1)∪(1,2 3)

B． (1,3)

(

)．

D． (1,2 3)

a 2 解析 “对任意的 x1 10”实质上就是 “函数

f(x ，x ，当 x

2 单调递减 ” 的“伪装 ”，同时还隐含了 “ f(x)有意义 ”． 事实上由于 g(x)＝ x2

a

－ax＋3 在 x≤

2a>1，

时递减，从而 a

g 2 >0.

由此得 a 的取值范围为 (1,2 3)．故

a

选 D. 答案 D

二、填空题 (每小题 5 分，共 10 分 ) 1 2

5．函数 y＝log2(3x－a)的定义域是 3，＋∞ ，则 a＝ ________. 解析 由 3x－a>0 得 x>a 因此，函数 1

a

2

3.

y＝ log2(3x－a)的定义域是 3，＋ ∞ ，

所以 3＝ 3， a＝ 2.

答案 2

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．对任意非零实数 ，，若 6

解析 框图的实质是分段函数， log 9

＝－ 3. －3 答案 －3.

a b

的运算原理如图所示，则

1

21

1－2 ＝________.

a?b

(log 28)? 3 1 2

8＝－ 3， 3 － ＝9，由框图可以看出输出

.

2

x

三、解答题 (共 25 分 ) ． 分 已知函数 7 (12

)

1 2 －3a＋ 3)x

f(x)＝ log2(a

(1)判断函数的奇偶性；

1 2

(2)若 y＝f(x)在(－∞，＋∞ )上为减函数，求 a 的取值范围．

x

解 (1)函数 f(x)＝log 2(a －3a＋3) 的定义域为 R. － 2 1 x 又 f(－ x)＝log 2(a －3a＋3)

1 2 x ＝－ log2(a － 3a＋3)

＝－f(x)，

所以函数 f(x)是奇函数．

1 2

x

(2)函数 f(x)＝ log2(a －3a＋3) 在(－∞，＋∞ )上为减函数，则 y＝ (a － 3a＋3) 在(－∞，＋∞ )上为增函数，

2

由指数函数的单调性，知 a －3a＋ 3>1，解得 a<1 或 a>2.

1－x

8．(13 分 )已知函数 f(x)＝－ x＋log21＋x.

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1 1

＋f－ 2 014 的值； (1)求 f 2 014

(2)当 x∈(－ a，a] ，其中 a∈(0,1)，a 是常数时，函数 f(x)是否存在最小值？若

存在，求出 f(x)的最小值；若不存在，请说明理由．

1－x

1

1

1＋x

解 (1)由 f(x)＋f(－x)＝ log2 1＋x＋log21－x ＝ log21＝0.∴ f 2 014 ＋f － 2 014 ＝0. (2)f(x)的定义域为 (－ 1,1)，

2

∵f(x)＝－ x＋ log2(－ 1＋x＋1)，

当 x1∴当 a∈(0,1)， x∈ (－a，a]时 f(x)单调递减，

1－a

∴当 x＝a 时， f(x)min ＝－ a＋log21＋a.

B 级 能力突破 (时间： 30 分钟

一、选择题 (每小题 5 分，共 10 分 )

x －x 1．函数 f(x)＝lg(a ＋4a

A ．(0,4] C．(－∞， 4]

满分： 45 分)

－m)(a>0 且 a≠ 1)的定义域为 R，则 m 的取值范围为 ( )． B．(－∞， 4) D．(1,4]

x4

x 4

)．

解析 由于函数 f(x)的定义域是 R，所以 a ＋ x－m>0 恒成立，即 ma a 成立，由基本不等式知只需 m≤4. 答案 C

2．已知函数 f(x)＝|lg x|，若 0C．(3，＋∞ )

B． [2 2，＋∞ ) D． [3，＋∞ )

解析 作出函数 f(x)＝ |lg x|的图象，由 f(a)＝f(b)， 02

2

＝lg b，∴ab＝1，∴a＋2b＝a＋a，由函数 y＝x＋ x的单调性可知， 当 0~~

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2

函数单调递减，∴ a＋2b＝ a＋ a>3.故选 C.

C 答案

二、填空题 (每小题 5 分，共 10 分 )

ax＋b，x≤0，

．函数 3

解析

f(x)＝

logc x＋1 ， x>0

9

＝________.

的图象如图所示，则 a＋b＋c

1

由图象可求得 a＝2，b＝ 2，又易知函数 y＝logc x＋9

1

13 3

1 13

的图象过点 (0,2)，进而可求得 c＝3，所以 a＋b＋c＝2＋2＋3＝ 3 . 答案

4．对于任意实数 x，符号 [x]表示 x 的整数部分，即 [x]是不超过 x 的最大整数．在实

数轴 R(箭头向右 )上[x]是在点 x 左侧的第一个整数点，当 x 是整数时 [x]就

是 x.这个函数 [x] 叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用．那么 [log 31]＋[log 32]＋[log3 3]＋[log3 4]＋⋯＋ [log 3243]＝________.

解析 当 1≤ n≤ 2 时，[log 3 ＝ ，当 ≤ 2 时，3 ＝ ，⋯，当 k≤n<3k n] 0 3 n<3 [log n] 1 3

＋1

时， [log 3n] ＝k.

故 [log 31] ＋ [log 32] ＋ [log 33] ＋ [log 34] ＋ ⋯ ＋ [log 3243] ＝ 0× 2 ＋ 1×(32 － 3) ＋ 2×(33－ 32)＋ 3× (34－33)＋4×(35－34)＋5＝857. 答案 857 三、解答题 (共 25 分 )

5．(12 分)若函数 f(x)满足对于 (0，＋∞ )上的任意实数 x，y 都有 f(xy)＝f(x)＋f(y)，

且 x>1 时 f(x)>0，试证：

x

(1)f y ＝ f(x)－f(y)；

1

(2) f(x)＝－ f x ；

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(3) f(x)在 (0，＋∞ )上递增．

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x

证明 (1)由已知 f y ＋f(y)＝f(x)，

x

即 f(x)－ f(y)＝f y .

(2)令 x＝y＝1，则 f(1)＝ 2f(1)．因此 f(1)＝ 0.

1

∴f(x)＋f x ＝ f(1)＝0，即 f(x)＝－ f x . 1 (3)设 01

21 )>0.因此 f(x )1，由已知 f x2 >0，即 f(x )－ f(x

x1 x1

x＋ 1

数 f(x)在 (0，＋∞ )上递增．

6．(13 分 )已知函数 f(x)＝ logax－ 1， (a>0，且 a≠1)． (1)求函数的定义域，并证明：

x＋1

f(x)＝loga 在定义域上是奇函数；x－1 x＋1

(2)对于 x∈[2,4] ，f(x)＝logax－1>loga

x＋1

m

x－1 2 7－x 恒成立，求 m 的取值范围．

解 (1)由x－1>0，解得 x<－1 或 x>1， ∴函数的定义域为 (－∞，－ 1)∪ (1，＋∞ )．

－ x＋1

x＋1

1＝－ f(x)， ＝－ loga

x－1

∴ f(x)＝logax＋1在定义域上是奇函数．x

－1

x＋1

(2)由 x∈[2,4] 时， f(x)＝logax－1>loga ①当 a>1 时， x＋1

∴x－1 x＋1 －

当 x∈ (－∞，－ 1)∪ (1，＋∞ )时， f(－ x)＝loga－ x－1＝logax＋1＝loga x－1

m

x－1 2 7－x 恒成立，

m

x－1> x－1 2 7－x >0 对 x∈[2,4] 恒成立． ∴0则 g(x)＝－ x3＋ 7x2＋ x－ 7，

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52

＋14x＋1＝－ 3 x－ g′(x)＝－ 3x ＋ ，

3 3 ∴当 x∈[2,4]时， g′(x)>0.

∴ y＝g(x)在区间 [2,4] 上是增函数， g(x)min＝g(2)＝15. ∴0②当 0x＋1

m

2

7 2

f(x)＝logax－1>loga x－1 2 7－x x＋1

∴m

恒成立，

x－1< x－1 2 7－x 对 x∈[2,4] 恒成立．

∴m>(x＋1)(x－ 1)(7－x)在 x∈[2,4]恒成立． 设 g(x)＝(x＋1)(x－ 1)(7－x)， x∈[2,4] ， 由①可知 y＝ g(x)在区间 [2,4]上是增函数， g(x)max＝g(4)＝45，∴ m>45.

∴m 的取值范围是 (0,15)∪(45，＋∞ ).

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