用向量讨论垂直与平行

labml//ma//babal//lau0uauvu//u//vuv设直线l,m的方向向量分别为ax1,y1,z1,bx2,y2,z2平面，的法向量分别为ux3,y3,z3,vx4,y4,z4平行关系

线线平行：l//ma//babx1x2,y1y2,z1z2，R线面平行：l//auau0x1x3y1y3z1z30面面平行：//u//vuvx3x4,y3y4,z3z4，Rlalblmabab0aumla//uauuvuvuv0设直线l,m的方向向量分别为ax1,y1,z1,bx2,y2,z2平面，的法向量分别为ux3,y3,z3,vx4,y4,z4垂直关系

线线垂直：lmabab0x1x2y1y2z1z20线面垂直：la//uaux1x3,y1y3,z1z3，R面面垂直：uvuv0x3x4y3y4z3z40例1（线面垂直的判断定理）若一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则该直线与此平面垂直.

证明：如图b,c是平面内的两条相交直线，直线a满足ab,ac,设p是平ap面内任意一条直线，则只需证：ap.设直线a,b,c,p的方向向量分别是a,b,c,p,只需证ap.因为b,c相交，所以b与c不共线.由于b,c,p在同一平面内，根据平面向量基本定理，存在实数,,使得pbc.则ap(ab)(ac).因为ab,ac,所以ab0,ac0,从而ap0,即ap.所以直线a垂直于平面.bc例2（面面平行的判定定理）若一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行.

证明：如图，已知a和b是平面1a//2,b//2.平面1,2是n,n的法向量分别12，要证1//2,n只要证1//n2.又由于a故a//,b//2,b//n//2,22,所以2a,n2b.a与b相交，故向量nn2也是1//n12.n1aa1bbn22内的两条相交直线，且由于的法向量，从而有例3（三垂线定理）若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线在该平面内的投影，则这两条直线垂直.已知:如图b是平面外的一条直线，直线c是b在平面上的投影，直线c与平面内一条直线a垂直.求证:ab证明:过直线b上任一点做平面的垂线n.设直线a,b,c,n的方向向量分别是a,b,c,n，只需证ab.由于,b,c,n共面，根据平面向量的基本定理,存在实数,使得bcn.则ab(ac)(an).又由于ac,故ac0;因为直线a在平面内，n,故an,即an0.所以ab0,即ab.nbca推论：如果平面内的一条直线a垂直于平面外的一条直线b，那么a垂直于直线b在平面上的投影c.

例4在正方体ABCDABCD中.E,F分别是CC,BD的中点.Z求证（:1）AF平面BDE（.2）AD//平面CBD1证明:如图取DA,DC,DD分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2.A(2,0,0),B(2,2,0),A(2,0,2),E(0,2,1),F(1,1,0),AF(1，1，2)，DB(2，2，0)，DE(0，2，1)3平面ABD//平面CBDEFXYAFDB(1，1，2)(2，2，0)0，AFDE(1，1，2)(0，2，1)0，AFDB,即AFDB,AFDE,AFDE又DBDEDAF平面BDE.评注：

本题若用一般几何法证明，容易证A’F垂直于BD，而证A’F垂直于DE，或证A’F垂直于EF则较难，用建立空间坐标系的方法能使问题化难为易。

2证明:A2，0，0,D0,0,2,B2，2，0,C0,2,2AD2，0，2，BC2，0，23同理可证AB//平面CBD,ABADA所以ABD//平面CBDDADA评注：

由于三种平行关系可以相互转化，所以本题可用逻辑推理来证明。用向量法将逻辑论证转化为问题的算法化，在应用向量法时需要合理建立空间直角坐标系，方能减少运算量。本题选用了坐标法。

ZAD//BC,即AD//BC,则AD//平面CBDCBBCY练习

1.已知两条不同直线l1,l2的方向向量分别为s1,s2,判断两直线是平行还是垂直：（1）s1(1,1,1),s2(1,2,3)；(2)s1(1,2,0),s2(1,2,0)2.已知两个不同平面1,2的方向向量分别为n1,n2,判断两直线是平行还是垂直：（1）n1(1,2,3),n2(1,2,3)；(2)n1(2,2,3),n2(1,2,2)3.已知两条直线l的方向向量为s,，平面的法向量为n,且l,直线是平行还是垂直：（1）s(1,1,1),n(1,4,3)；(2)s(1,3,2),n(2,6,4)小结

利用向量解决平行与垂直问题

•向量法：利用向量的概念技巧运算解决问•坐标法：利用数及其运算解决问题。

两种方法经常结合起来使用。

题。1、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”

（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）

（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）

（回到图形（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。问题）

作业1：如图已知四边形ABCD、ABEF为两个正方形，MN分别在其对角线BF上，且FM=AN.求证：MN//平面EBC.

证明：在正方形ABCD,ABEF中BEAB,FMAN,FBAC,存在实数，使FMFB,ANACEF

MMNMFFAANBFEBAC(BEBAABAD)EBBEADEBBEBCBE1BEBCMN,BE,BC共面.M平面EBC,MN//平面EBC.BNCDA评注：向量p与两个不共线的向量a、

b共面的充要条件是存在实数对x,y使p=xa+yb.利用共面向量定理可以证明线面平行问题。本题用的就是向量法。

作业2：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，CD1和DC1相交于点O，

z求证：AO⊥A1B.

A1D1B1C1OADCyBx