估算的技巧

一般人总认为有的量总是越精确越好，尤其是小学生，数学题的演算总喜欢用等号，认为只有那些用等号的题才是可信的。其实在日常生活和生产实际中，往往只需要对某些量作一个大概的统计。如某省的人口只能是个大概数，某市某年的工农业总产值也只是个大概数，很难也没有必要精确到几元几角几分。

随着新课程标准的实施和新教材的改革，数学越来越接近生活实际，数学中的估算也越来越起着重要的作用。今天我们一起来学习估算的技巧。 二、重点知识归纳及讲解

估算就是对某些量的粗略运算，不仅现在，即使今后科学技术相当发达了，估算仍然是十分必要的。

估算也有一些原则，估算常用的方法有：

（1）省略尾数取近似值法。用位数较少的近似值代替位数较多的数时，要有一定的取舍法则。要保留的数位右边的所有数叫做尾数，取舍尾数的主要方法有： 四舍五入法四舍，就是当尾数最高位上的数字是不大于4的数时，就把尾数舍去；五入，就是当尾数最高位上的数字是不小于5的数时，把尾数舍去后，在它的前一位加1。例如：9.66…，截取到千分位的近似值是9.7，截取到百分位的近似值是9.90； 去尾法把尾数全部舍去。例如：9.66…，截取到千分位的近似值是9.6，截取到百分位的近似值是9.；

收尾法（进一法）把尾数舍去后，在它的前一位加上1。例如：9.…，截取到千分位的近似值是9.7，截取到百分位的近似值是9.90。

在上面的三种方法中，最常用的是四舍五入法。一般地，用四舍五入法截得的近似数，截到哪一位，就说精确到哪一位。

（2）前后夹攻法。要求某个式子的结果的整数部分，可将原算式各数适当放大或缩小，使它介于某两个连续整数之间，从而取那个整数。 三、难点知识剖析

例1、老师在黑板上写了13个自然数，让小明计算平均数（保留两位小数），小明计算的答案是12.43，老师说最后一位数字错了，其他的数字都对，正确的答案应该是什么？ 解析：

13个自然数之和必然是整数，由于此和不是13的整数倍，因而平均数是小数。又由于平均数精确到小数点后最后一位数字错了，其它的数字都对，所以13个自然数之

和必大于12.40的13倍，而小于12.49的13倍。因而可以推算出精确的13个自然数的和。 解答：

由12.40×13=161.20， 12.49×13=162.37。得13个自然数的和是小于162.37且大于161.20的整数，所以13个自然数的和应是162。 正确的答案应是162÷13≈12.46。 答：正确的答案是12.46。

例2、求出算式解析：

的结果精确到小数点后3位数的近似值。

分数的分子、分母的小数位数很多，但位数相同，我们可以取适当的位数求它的近似值。 解答：

分子、分母各取3位小数，有=0.2383…<原式<=0.2407…。

上式无法确定，应使范围缩小。分子、分母各取4位小数，有0.2395…<

原式<=0.2398…。

由上式知，原式小数点后3位肯定是239，第4位在5和8之间。按四舍五入法则，精确到小数点后3位数的近似值是0.240。

例3、有一个四位数被7除或被6除，余数都是1，符合这一条件的最大的四位数和最小的四位数各是多少？ 解析：

既然一个四位数被7除或被6除都余1，则这个数被(6×7=)42除也余1，求符合条件的最大四位数和最小四位数，我们可以分别从最大的四位数9999和最小的四位数来试除，得到答案。

解答：

最大的四位数是9999，9999÷42=238……3，非常清楚，要使它的余数为1，只要把9999减少2就行了。由此可知，被7除或被6除，余数都是1的最大的四位数是9997。 同样，求最小的四位数，我们瞄准1000，用它去试除：1000÷42=23……34， 42－34=8，把1000加上8就可以被7或6整除了。若想使余数为1，这个数最小为1000＋8＋1=1009。

答：符合要求的最大的四位数是9997，最小的四位数是1009。

例4、有一算式，左边方框里都是整数，右边答案只写出了四舍五入的近似值。

≈1.16

那么算式左边3个方框里的整数从左至右依次分别是多少？ 解析：

本例先用估算思维确定左边算式的精确范围。由于1.16是这个精确值四舍五入后得到的，所以它一定介于1.155与 1.1之间。 解答：

设算式左边3个方框中的整数从左至右依次分别为A、B、C，则1.155≤≤1.1。

然后通过通分和计算得1.155≤≤1.1。

上式去分母得121.275≤35A＋21B＋15C≤122.22，由于每个方框里的数都是整数，所以中间算式35A＋21B＋15C的结果也一定是整数，即35A＋21B＋15C=122。 由奇偶性可以看出A、B、C 3个数中一定是两奇一偶，同时根据题意，3个分数值

都小于。这样可得出A、B、C分别是1、2、3。经验算符合题意。

答：算式左边3个方框里的整数从左至右分别是1、2、3.

例5、已知x=解析：

，求x的整数部分。

由于题目只要求x的整数部分，注意到如果x介于两个连续自然数n与n+1之间，也就是n＜x＜n＋1。此时，x的整数部分即为n。因此，确定x的整数部分实际上就是去估计它介于哪两个连续自然数之间。 解答：

一方面，采用放大法把1＋…＋1=1×10=10。

，，，…，放大到1，则x<1＋

另一方面，采用缩小法把，，，…，缩小到，则x>

＋＋＋…＋=×10=9。

9也就是说x介于9与10之间，所以，x的整数部分是9。

演练检测

1、求数a=的整数部分。

2、试用估算的方法说明以下各题计算结果是否正确。

（1）8057×1=8034

（2）÷=1

（3）0.696×3.14=2.1395 （4）467×373=1193 （5）45×501=2396

3、估算（不用笔算）一下，“0.495×20.1＋×10.01”的结果的整数部分大约是多少？

4、已知A、B是不同的自然数，求A、B的和。

5、设A=0.8＋0.88＋0.888＋……＋，求A的整数部分。

6、在的□中，填上合适的自然数。

7、求0.31×8＋0.32×8＋0.33×8＋……＋0.50×8的整数部分。

8、有24个偶数的平均数，如果保留一位小数的得数是15.9，那么保留两位小数的得数是多少？

9、某人计算7个自然数的平均值，精确到小数点后两位，得14.73，后来发现此平均值的最后一个数字3有误，求正确结果。

10、在纸上写了20个1.1和20个1.11，从中划去多少个1.1与多少个1.11，可使剩下各数的和是19.?

11、求2122232425÷5242322212商的近似数。（得数保留三位小数）

12、某动物园的入园费，1个人是1.20元钱；若超过50个人，每人是1元；如果超过100个人，每人是0.8元。相同人数的两个团体，如果分别入园，合计需要126元，可是如果合在一起，作为一个团体入园，100.8元就够了，这两个团体的人数合在一起，一共是多少人？

13、一批货，每次运95箱，则4次运不完，5次又不够运；每次运75箱，则6次运不完，7次又不够运；如果每次运65箱，运若干次就正好运完。这批货有多少箱？

14、在下列方框里填上两个相邻的自然数使不等式成立：

□<1＋<□。

15、已知

，求A的整数部分是多少？

2、（1）因为因数所以计算错误。

大于1，所以积应该大于因数8057，而题中的积小于8057，

（2）因为被除数小于除数，商应该小于1，而题中的商错误。

大于1，所以计算

（3）因为三位小数乘两位小数，且积的末尾没有0，积应该是五位小数，而题中的积是四位小数，所以计算错误。

（4）因为两个因数的末尾7×3=21，积的个位应该是1，而题中的积的个位是3，所以计算错误。

（5）从积的个位看，5×1=5，不是6；从积的大小看，40×500=20000，而不是2000多，所以计算错误。

3、。

4、根据题意，A≠B，设A>B，则经过检验，B=4，A=12，所以A＋B=16。

，则A>6，6>B>3，B只能是4或5，

5、A最小是0.8×10=8，最大是0.9×10=9，所以A的整数部分是8。

6、根据原式可得：然数。

，则35>□>25，所以□中可以填26～34的9个自

7、 0.31×8＋0.32×8＋0.33×8＋„„＋0.50×8 =（0.31＋0.32＋0.33＋„„＋0.50）×8 =(0.31＋0.50)×20÷2×8 =.8

即原来算式计算结果的整数部分是。

8、根据题意，24个偶数的平均数，如果保留两位小数，最大是15.94，最小是15.85， 15.94×24=382.56，15.85×24=380.4，

则24个偶数的和是382，其平均数约是：382÷24≈15.92。

9、根据题意，7个自然数的平均值，精确到小数点后两位，得14.73时最后一位3有误，则7个自然数的平均值精确到小数点后两位最大是14.79，最小是14.70，14.79×7=103.53，14.70×7=102.9。

故7个自然数的和是103，其平均值精确到小数点后两位得103÷7≈14.71. 10、因为和为19.，所以至多取18个数，又和的小数点后第2位是9，所以必须有9个1.11，可见应取9个1.11与9个1.1。经过检验，应该划去11个 1.11与11个1.1。

11、因为2122÷5242≈0.405，21222÷52423≈0.405， 所以2122232425÷5242322212商的近似数约是0.405。

12、因为“如果超过100个人，每人是0.8元”，100人就需0.8×100=80元，而100.8>80，说明两个团体在一起的人数肯定超过100人，每人只需0.8元，所以一共有100.8÷0.8=126人。

13、由“每次运95箱，则4次运不完，5次又不够运”可知，这批货的箱数比（95×4=）380箱多，比（95×5=）475箱少；

由“每次运75箱，则6次运不完，7次又不够运”可知，这批货的箱数比（75×6=）450箱多。

故这批货物的箱数就应该大于450、小于475。

又由“每次运65箱，运若干次就正好运完”可知，这批货物的箱数一定是65与一个整数相乘，并且积在450～475之间，通过估算可知，65×7的积在450～475之间，所以这批货物的箱数应为（65×7=）455箱。

能力提升

例1、有30个数：1.、1.＋、1.＋、…、1.＋、1.＋。如果取

每个数的整数部分（例如：1.的整数部分是1，1.＋些整数相加，那么其和是多少？ 解析：

的整数部分是2），并将这

很明显30个数的整数部分的和与它们的和的整数部分一般是不同的，但一个一个地求又太麻烦，注意到每个正数a 都介于两个相邻的整数n和n＋1之间，此时n是a的整数部分，因此确定某个正数的整数部分实际上就是去估计它介于哪两个相邻的整数之间。 解答：

由于这30个数是按从小到大的顺序排列的，而1<1.<2，2<1.＋<3。因此，

这30个数都介于1与3之间，它们的整数部分只能取1或2，先须确定“分界点”。

因为2－1.=0.36==，所以1.＋的整数部分是1，1.

＋其整数部分是2。这样，前11个数的整数部分都是1，后19个数的整数部分是2。

因此，这些整数相加其和是 1×11＋2×19=49。 答：这些整数相加，其和是49。

例2、下面9个分数算式中，那一个和最小？它的和是多少？

解析：

所给9个算式都是两个分数的和，第1个分数在逐渐变小，第2个分数在逐渐变大，

后一个比前一个大，减少与增加相互抵消后可以看出前一部分算式得数在变小，后

一部分算式得数在变大，因此，最小的得数在中部。在中部取算式进行检验，即可找出最小得数。 解答：

所以，得数最小的算式是，最小得数是。

答：9个算式中，算式的和最小，它的和是。

小结：运用估算解决问题，应该注意：

1、在利用估算处理问题时，估算要恰当，不能使估算后的范围过大。

2、利用估算解决问题时，可以综合运用一些估算方法，在解决问题时更方便、快捷。

3、在估算一个算式的结果时，可以借助一个辅助等式，巧妙地利用不等式的性质、估算思维以及夹逼思维等方法，可以达到化繁为简的目的。