微分方程数值解II,课堂开卷。

微分方程数值解II，课堂开卷。

1. (20分) 选择题（在选项前头打√，每题只选一个） (1). 下述哪个误差是描述数值方法的相容性的：

(a) 离散误差； (b) 舍入误差；(c) 全局误差；√(d) 截断误差。

34vv2v3vud3xd4x(2).逼近于微分方程qtuqx0的某个格式的修正方程为，其中txx3x4则正确的说法是： d3,d4为不为零的常数(a) 右端第一项为耗散误差，第二项为频散误差；√(b) 频散误差引起数值振荡；(c) 耗散误差引起数值振荡；(d) 耗散误

差始终起抑制数值振荡的作用。

(3). 关于求解扩散方程的ADI方法，错误的说法是： (a) ADI格式属于一种分数步法；（b）每个方向只需要求解一维的方程组；√（c）对于二、三维初边值问题都是无条件稳定的；（d）可能存在因式分解误差。 (4). 下列哪个方程不属于双曲型方程？

(a) 标量方程qtuqx0；（b）波动方程 qttc2qxx0；（c）标量方程qtq2x0；√(d) 方程组

p12pq23q0。 tx(5). CFL条件是差分格式稳定的必要条件，它可以描述为： √(a)数值解的依赖域包含微分方解的依赖域；（b）微分方解的依赖域包含数值解的依赖域。

1 if x0 or x31 if 0x1 or 2x3(6). 函数q(x)的Total variation 是:

1 if 1x22 if x3√(a) 5 ； (b) 1； (c) 2； (d) 4。

(7). 标量守恒律qtf(q)x0的特征线在解的光滑区为： (a) 一般曲线；√ (b) 直线。 (8). 标量守恒律qtq02x12的间断解qx，t4 if xt 是：

2 if xt√(a) 满足Lax 熵条件的； (b) 不满足Lax 熵条件的。

(9). 对于非线性标量守恒律qtf(q)x0，如果f(q)恒大于零， 则初值Qi1和Qi的Riemann问题有激波解的情形是：

√(a) Qi1Qi；(b) Qi1Qi。

pu(10). 守恒律方程组2utuf010的Jacobian 矩阵为A。问i点和i+1两点代数平均的矩阵12upqx1ˆA(qi)A(qi1)是不是Roe矩阵？ Ai1/22 √(a) 是Roe 矩阵 ；(b) 不是Roe矩阵。

2. (20分) 设hixi1xi,hi1xixi1，hi12uu利用(xi1,xi,xi1)三点，构造有最高精度的逼近于hi。及x2的xii

差分逼近式。 解：

分别将ui1和ui1在xi处做泰勒展开，可得

hi2hi3hi4ui1uihi(ux)i(uxx)i(u3x)i(u4x)i2624

hi21hi31hi41ui1uihi1(ux)i(uxx)i(u3x)i(u4x)i2624结合上述两式，得

aui1buicui1hi21hi2(abc)ui(ahi1chi)(ux)i(ac)(uxx)i

22hi31hi3hi41hi4 (ac)(u3x)i(ac)(u4x)i662424令

hiahi1(hihi1)abc0hihi1ahch1  b i1ihi1hih22ai1chi0hi122chi(hihi1)得到

hihhhi1ui1ii1uiui1hi1(hihi1)hi1hihi(hihi1)

hihi1hh(hh)(u3x)iii1ii1(u4x)i624(ux)i(h2)(ux)i故可得到逼近格式

hihihi1hi1uuuui1 i1ihi1(hihi1)hi1hihi(hihi1)xi误差为(h2),其中hmax(hi,hi1)。 又令

2ahi1(hihi1)abc02ahch0  b i1ihi1hih22hai1ci1222chi(hihi1)则得到

222ui1uiui1hi1(hihi1)hi1hihi(hihi1)hihi1hi2hihi1hi21(uxx)i(u3x)i(u4x)i

312(uxx)i(h)故可得到逼近格式

2u222uuui1 2i1ihi1hihi(hihi1)xihi1(hihi1)误差为(h)。

3. (20分)对于线性对流方程格式的修正方程。 解:

设函数v(x,t)精确满足差分格式，记v(xi,tn)Uin，将其带入上述中心差分格式得到

uuctc0，常数c0,有中心格式Uin1Uin（Uin1Uin-1），其中, 试写出tx2xv(x,tt)v(x,t)[v(xx,t)v(xx,t)] 2将各项在(x,t)处做泰勒展开,并化简得到

tt2x2(vtvttvttt)c(vxvxxx)0

266进一步整理有

vtcvxt1vtt(t2vtttcx2vxxx) 26省略二阶时间和空间项得

tvtt (1) 2上式分别对x,t求偏导数有 vtcvxtvcvvtttxtttt22  vcv(cvttxvttt) ttxxt2vcvvtxxxttx2故vttc2vxx(t) (2) 结合(1)(2)式可得

vtcvxt2cvxx(t2) 2t2cvxx 2所以格式的修正方程为

vtcvx

4. (20分) 用类似于Leveque 书6.1节得到Lax-Wendroff格式的Taylor级数展开，推导变系数对流方程qtu(x)qx0的Lax-Wendroff格式。 解：

q(x,tn1)在(x,tn)处做泰勒展开，有

t2q(x,tn1)q(x,tn)tqt(x,tn)qtt(x,tn)

2根据qtu(x)qx，可得qttu(x)qxtuuxqxu2qxx，代入上述泰勒展开公式得

t22t2q(x,tn1)q(x,tn)tu(x)qx(x,tn)u(x)qxx(x,tn)uxuqx(x,tn)

22上式右端取前四，用中心差分近似代替空间导数，可得Lax-Wendroff格式

tnn1tQin1Qinui(Qi1Qin1)(uin)2(Qin12QinQin1)2x2x1t uin(uin1uin1)(Qin1Qin1)8x 5.

(20

22

Uin1uuc0，常数c0,有Warming-Beam格式tx1ctUin（3Uin4Uin-1Uin-2）2(Uin2Uin-1Uin-2），其中,试用von Neumann稳定性方法，分析格式

22x分

)

对

于

线

性

对

流

方

程

的稳定性。

解：

设UinGneji，其中j21，x，代入Warming-Beam格式，约去G得到

n1Gejej(3ej4ej)2(ej2ej)22 [cos2(cos1)2(cos1)]isin(1)

[1(1)2(cos1)]isin(1)则有

GGej22 [1(1)2(cos1)]2[sin(1)]2 (2)(1)2(cos1)21因ct0，故 x当02时，有G1，此时格式稳定.