2023-2024学年甘肃省天水市高二上册期末数学(理)试题(含解析)

一、单选题1．已知直线l:3xy10，下列说法中正确的是（A．直线l的倾斜角为120C．直线l的斜率为3【正确答案】C【分析】由倾斜角，方向向量，斜率，法向量等概念判断各选项正误即可.【详解】AC选项，由题可得y3x1，则直线斜率为3，倾斜角为60，故A错，C正确；BD选项，由题可得直线的一个方向向量为1,3，因1,3与1,3不共线，）B．1,3是直线l的一个方向向量D．3,1是直线l的一个法向量3,1与1,3不垂直，故BD错误.故选：C，是通过对企业采购经理的月度调查结果统计汇总、编制而成的指2．采购经理指数（PMI）数，它涵盖了企业采购、生产、流通等各个环节，包括制造业和非制造业领域，是国际上通用的检测宏观经济走势的先行指数之一，具有较强的预测、预警作用．制造业PMI高于50%时，反映制造业较上月扩张；低于50%，则反映制造业较上月收缩．下图为我国2021年1月—2022年6月制造业采购经理指数（PMI）统计图．根据统计图分析，下列结论最恰当的一项为（）A．2021年第二、三季度的各月制造业在逐月收缩B．2021年第四季度各月制造业在逐月扩张C．2022年1月至4月制造业逐月收缩D．2022年6月PMI重回临界点以上，制造业景气水平呈恢复性扩张【正确答案】D【分析】根据题意，将各个月的制造业指数与50%比较，即可得到答案.【详解】对于A项，由统计图可以得到，只有9月份的制造业指数低于50%，故A项错误；对于B项，由统计图可以得到，10月份的制造业指数低于50%，故B项错误；对于C项，由统计图可以得到，1、2月份的制造业指数高于50%，故C项错误；对于D项，由统计图可以得到，从4月份的制造业指数呈现上升趋势，且在2022年6月PMI超过50%，故D项正确.故选：D.2523．在二项式(x)的展开式中，x的系数为（x

）D．80A．﹣80【正确答案】AB．﹣40C．40rr103r【分析】根据二项展开式的通项，可得Tr1(2)C5x，令r3，即可求得x的系数，得到答案.252r2r25rrr103r【详解】由题意，二项式(x)的展开式的通项为Tr1C5(x)()(2)C5x，xx33令r3，可得T4(2)C5x80x，即展开式中x的系数为80，故选A.本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4．函数yxA．4【正确答案】C【分析】利用基本不等式求解即可.【详解】因为x2，所以x20，444x222x226，x2x2x24

当且仅当x2，即x3时，取等号，x24

x2的最小值是（x2）C．6D．2B．5则yx

所以函数yx

4

x2的最小值是6.x2故选：C.5．等比数列an中，若a53，则log3a3log3a7（A．2【正确答案】A【分析】由等比中项性质可得答案.2【详解】因an为等比数列，则a3a7a5，故log3a3log3a7log3a3a72log332.）D．9B．3C．4故选：A6．下列函数既是奇函数，又在区间1,1上单调递减的是（A．fxsinxx

C．fxa

）B．fxx1

D．fxln2xln2x【正确答案】D【分析】根据题意按照减函数和奇函数的定义逐项分析.

【详解】对于A，1,1,，由正弦函数的性质知：在该区间是增函数，不符合22

题意；对于B，当x1,1时，x10，fxx1x1，是减函数，但fxx1fx，不是奇函数，不符合题意；x

对于C，由指数函数的性质可知fxa是非奇非偶函数，不符合题；对于D，fxln2xln2xln是减函数，又fxln故选：D.2x4ln1由复合函数的性质知：fx，2xx22x2x

lnfx，是奇函数，满足题意；2x2xππ

7．函数fxAsinxA0,0,的部分图象如图所示，则，的值22

分别是（）A．2，

π3B．2，

π6C．4，

π6D．4，π3【正确答案】A【分析】根据函数图象先确定A的值，再由周期求出，利用最大值点求出的值，从而得出结论．12π11π5π

，2．【详解】因为A0，有图可得A2，且21212再将最大值点代入解析式可得：2即

5ππ

2kπ，kZ，122ππ2kπ，kZ，又，所以.3322故选：A．8．若直线mx2m1y10和直线3xmy20垂直，则m（A．2【正确答案】B【分析】根据两直线垂直可得A1A2B1B20计算即可得解.【详解】因为直线mx2m1y10和直线3xmy20垂直，所以3mm2m10，解得m0或1.故选：B.9．由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线y2x21a0,b0下支的一部分，且此双曲线的虚轴长为2，离心率为2，则该双曲线a2b2）B．0或1C．1D．0的方程为（）3y2x2A．144B．3yx1223x2y2C．144D．3x2y21

【正确答案】B【分析】按照2b2，即b1，以及实轴在y轴上逐项判断.y2x21【详解】对于A，4，b24,b2，不符合题意；43y2x21对于B，1，b21,b1，符合题意；13x2y2

1

对于C，4，实轴在x轴上，不符合题意；43x2

y21

对于D，1，实轴在x轴上，不符合题意；3故选：B.10．已知抛物线C:y212x的焦点为F，动点M在C上，圆M的半径为1，过点F的直

线与圆M相切于点N，则FMFN的最小值为（A．5【正确答案】DB．6C．7）D．82

【分析】由题作图，由图可得FMFNFM1，根据抛物线定义可得FM等于点M到准

线x3的距离，根据图形可得最小值情况，从而可得FMFN的最小值.【详解】因为抛物线C:y212x，所以焦点坐标为F3,0，如下图所示：连接MN，过M作MQ垂直准线x3于Q，FN，则在直角△NFM中，cosNFMFM

FN2222FMFNFMFNcosNFMFMFNFNFMMNFM1，所以FM

由抛物线的定义得：FMMQ，则由图可得MQ的最小值即抛物线顶点O到准线x3的距离，即MQmin3，FMFN所以min

8.故选：D.二、多选题11．有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，下列说法正确的是（）A．若五位同学排队要求甲、乙必须相邻且丙、丁不能相邻，则不同的排法有12种B．若五位同学排队最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种C．若甲乙丙三位同学按从左到右的顺序排队，则不同的排法有20种D．若甲、乙、丙、丁四位同学被分配到三个社区参加志愿活动，每个社区至少一位同学，则不同的分配方案有72种【正确答案】BC【分析】根据排列组合的典型方法：捆绑法、插空法、优限法、定序法、分组分配法逐项判断即可.【详解】对于A，若五位同学排队甲、乙必须相邻的安排有A2种，然后与戊全排列的安排A2

2

2

2222

种，丙、丁不能相邻的安排有A3种，共有A2A2A322624种，故A不正确；对于B，若五位同学排队最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则当甲在左端时，则有A4种安排方法；当乙在左端时，甲有A3种安排方法，其他人有A3种安排方法，故符合的总的34

1

413

安排方法种数为A4A3A3241842种，故B正确；A512020种，故C对于C，若甲乙丙三位同学按从左到右的顺序排队，则不同的排法有53A36正确；对于D，若甲、乙、丙、丁四位同学被分配到三个社区参加志愿活动，每个社区至少一位同学，则4人分三组的分组方法数为C4，再把三个组分配到三个社区的种方法数为A3，则总323的安排方法数为C4A36636种，故D不正确.2

故选：BC.12．已知圆O：x2+y2＝4和圆M：x2+y2－2x+4y+4＝0相交于A、B两点，下列说法正确的是（），半径为1A．圆M的圆心为（1，－2）B．直线AB的方程为x－2y－4＝0C．线段AB的长为255D．取圆M上点C（a，b），则2a－b的最大值为45【正确答案】ABD【分析】化圆M的一般方程为标准方程，求出圆心坐标与半径判断A；联立两圆的方程求得AB的方程判断B；由点到直线的距离公式及垂径定理求得AB的长判断C；利用直线与圆相切求得2a－b的范围判断D．【详解】由圆M：x2+y2－2x+4y+4＝0，得(x－1)2+(y+2)2＝1，则圆M的圆心为（1，－2），半径为1，故A正确；联立圆O：x2+y2＝4和圆M：x2+y2－2x+4y+4＝0，消去二次项，可得直线AB的方程为x－2y－4＝0，故B正确；圆心O到直线x－2y－4＝0的距离d

4545，圆O的半径为2，5则线段AB的长为222(45245，故C错误；)55令t＝2a－b，即2a－b－t＝0，由M（1，－2）到直线2x－y－t＝0的距离等于圆M的半径，可得4t51，解得t＝45．∴2a－b的最大值为45，故D正确．故选：ABD．三、填空题13．已知z2i，则复数zz3i在复平面内对应的点在第__________象限．【正确答案】四【分析】根据复数的共轭复数，复数乘法运算以及复数的几何意义即可得答案.2

【详解】因为z2i，则zz3i2i24i46i4i86i，其在复平面内对应点为8,6，在第四象限.故四.，（1，1），（2，0）的圆的方程为__________．14．在平面直角坐标系中，经过三点（0，0）【正确答案】x2y22x0

【详解】分析：由题意利用待定系数法求解圆的方程即可.详解：设圆的方程为x2y2DxEyF0，圆经过三点（0，0），（1，1），（2，0），则：F0D222

11DEF0，解得：E0，则圆的方程为xy2x0.F0402DF0点睛：求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个参数，所以应该有三个等式．15．某高有1200人，其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列，现用分层抽样的方法从中抽取30人，那么高二年级被抽取的人数为__________．【正确答案】10【分析】设从三个年级抽取人数为a1，a2，a3，则a1a2a330.后由等差数列性质可得答案.【详解】设从三个年级抽取人数为a1，a2，a3，则a1a2a33a230a210.即从高二年级抽取的人数为10.故10.x2y2F，F16．已知12分别为椭圆C：221(ab0)的左，右焦点，直线l：y3x与椭圆Cab的一个交点为M，若MF1MF2，则椭圆的离心率为______.【正确答案】31##13【分析】由直线过原点及斜率，MF1MF2，可得MOOF2F2Mc，再结合椭圆定义，在焦点三角形△F1MF2通过勾股定理构建齐次方程，即可求出离心率

【详解】由题可知，△F1MF2为直角三角形，OF1OF2c，直线l过原点O，MOF260，故MOOF2F2Mc，又F1MF2M2a，则F1M2ac，222在△F1MF2中，F1MF2MF1F2，即(2ac)2c2(2c)2，又e

c

，解得：e31或e31（舍去）.a故答案为.31

四、解答题17．已知等差数列an的前n项和为Sn，nN*，条件①：a24；条件②：an1an2；条件③：S26，请从条件①、条件②和条件③中选择两个作为已知，先写出选择条件再完成以下解答．(1)求数列an的通项公式；(2)设等比数列bn满足b3a2，b4a4，求数列anbn的前n项和Tn．【正确答案】(1)an2n；2n(2)Tnnn21

d2a1d4【分析】（1）设数列公差为d.若选①②，则，可得通项；若选②③，则，2ad6d21a1d4

可得通项；若选①③，则，可得通项；2a1d6

n1

（2）由（1）可知an2n，则可知bn2，后由分组求和法可得答案.a12a1d4【详解】（1）选①②，由已知a24，an1an2，得，解得，d2d2∴数列an是首项为2，公差为2的等差数列，∴数列an的通项公式为ana1n1d2n122n．d2a12

选②③，由已知an1an2，S26，得，解得，2ad6d21

∴数列an是首项为2，公差为2的等差数列，∴数列an的通项公式为ana1n1d2n122n．a1d4a12

选①③，由已知a24，S26，得，解得，2ad6d21

∴数列an是首项为2，公差为2的等差数列，∴数列an的通项公式为ana1n1d2n122n．（2）由（1）知，an2n，∴b3a24，b4a48，∴等比数列bn的公比q

b4b42，故b131，b3q24n-1n-1∴等比数列bn的通项公式为bn=b1q=2，n1

∴数列anbn的前n项和Tn2462n124222nn12nn2n2122n1．18．已知直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，D，E分别是棱AB，A1C1的中点，如图所示．(1)求证：DE∕平面BCC1B1；∕(2)求DE与平面ABC所成角的正切值．【正确答案】(1)证明见解析(2)2【分析】（1）取BC的中点F，连接C1F，DF，证明四边形DEC1F是平行四边形，则可得DE∕∕C1F，再根据线面平行的判定定理即可得证；∕C1F，可得DE与平面ABC所成的角就是C1F与平面ABC所成的角，再根据（2）由DE∕

CC1平面ABC，可得C1FC即为所求角的平面角，再解Rt△C1CF即可.【详解】（1）取BC的中点F，连接C1F，DF，∵D，E分别是棱AB，A1C1的中点，∴DF∕∕AC，且DF∕AC，且EC1∵EC1∕

1

AC．21

AC，2∕EC1，DFEC1，∴DF∕

∕C1F，∴四边形DEC1F是平行四边形，故DE∕

∵DE平面BCC1B1，C1F平面BCC1B1，∴DE∕平面BCC1B1；∕

∕C1F，（2）∵DE∕

∴DE与平面ABC所成的角就是C1F与平面ABC所成的角，因为CC1平面ABC，所以C1FC即为所求角的平面角，在Rt△C1CF中，FC∴tanC1FC

1

CC1，2CC12，CF∴DE与平面ABC所成角的正切值是2．219．已知抛物线C:y2pxp0上一点P3,m到焦点F的距离为4．(1)求实数p的值；(2)若过点1,0的直线l与抛物线交于A，B两点，且AB8，求直线l的方程．【正确答案】(1)p2(2)xy10或xy10

【分析】（1）根据抛物线的几何性质求出p即可；（2）设直线l的方程，联立直线l和抛物线方程，运用韦达定理和抛物线的几何性质即可求解.【详解】（1）由抛物线的几何性质知：P到焦点的距离等于P到准线的距离，PF3

p

4，解得：p2；2（2）由（1）知抛物线C:y24x，则焦点坐标为F1,0，显然直线l斜率不为0，设直线l为：xty1，Ax1,y1，Bx2,y2xty1

联立直线与抛物线方程：2，得：y24ty40，y4x

2则y1y24t，y1y24，则x1x2ty1y224t2

2

所以ABAFBFx1x2p4t228，解得t1，所以直线l为：xy10或xy10；综上，p2，直线l为：xy10或xy10.20．设ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，3c2bsinC(1)确定角B的大小；(2)若ABC为锐角三角形，b6，ABC的面积为3，求ac的值．【正确答案】(1)B(2)ac32π2或π33【分析】（1）根据3c2bsinC，利用正弦定理得到3sinC2sinBsinC求解，从而可确定角B的大小；（2）由锐角三角形得角B，根据ABC的面积为3，求得ac4，然后再利用余弦定理与完全平方公式计算求解ac的值．【详解】（1）因为3c2bsinC，由正弦定理因为C(0,π)，所以sinC0，则sinB因为B(0,π)，所以B3，2bc

得：3sinC2sinBsinC，sinBsinCπ32ππ或．33（2）若ABC为锐角三角形，由（1）得Bπ，31

因为ABC的面积为acsinB3，所以ac4，2由余弦定理得b2a2c22accosB(ac)22ac2accosB，2所以6(ac)2424

1，2解得(ac)218，所以ac32．x2y221．已知椭圆C:221ab1的左、右焦点分别为F1，F2，且经过两点（2，0）和ab0,2．(1)求椭圆C的方程；(2)P为椭圆上一动点，圆O:x2y21，以点P为圆心，PF2为半径作圆P，当圆P与圆O有公共点时，求△F1PF2的面积的取值范围．x2y2【正确答案】(1)1

4246

,2(2)6

【分析】（1）由条件，显然2,0是右顶点，0,2是上顶点，直接写出椭圆方程；（2）作图，按照图中的几何意义求出y0的范围，按照三角形面积公式计算.【详解】（1）显然2,0是右顶点，0,2a2,b2,c2,F12,0,F2x2y2椭圆C的方程为：1；42,是上顶点，2,0（2）如图：222x0x0y02设Px0,y0，则，1，所以y02242所以PF2

x2022y0

22x022x0，22因为圆P与圆O有公共点，所以PF21OPPF21，即1

2222x0x0y03x0，22121222x0x0y0932x0x0，22两边平方得：12x0

202121212x02y2，所以12x0x0x02x0932x0x0，222223272232解得：，所以y02，x0y02，F1F222，362661

所以△F1PF2的面积为S△F1PF1F1F2y02y0，24646,2；△FPF所以S△F1PF12，所以12的面积的取值范围66

46x2y2,2.综上，椭圆C的标准方程为：1，△F1PF2的面积的取值范围2