实数培优材料

实数培优材料(总7页)

-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除

七年级数学培优讲义（2）

一、实数：

（一）【内容解析】

（1）概念：平方根、算术平方根、立方根、无理数、实数；

要准确、深刻理解概念。如平方根的概念：①文字概念：若一个数x的平方是a，那么x是a的平方根；②符号概念：若x2a，那么xa；③逆向理解：若x是a的平方根，那么x2a。

（2）性质：①在平方根、算术平方根中，被开方数a≥0式子有意义；

②在算术平方根中，其结果a是非负数，即a≥0； ③计算中的性质1：(a)2a（a≥0）；

④计算中的性质2：a2aa(a0)；

a(a0)⑤在立方根中，3a3a（符号法则）

⑥计算中的性质3：(3a)3a；3a3a

（3）实数的分类：

正有理数正有理数正实数正无理数有理数零负无理数（二分法）实数 （三分法）实数零 负有理数正无理数无理数负实数负无理数负无理数（二）【典例分析】

1、利用概念解题：

例1. 已知：Mb1a8是a8的算术数平方根，N2ab4b3是b3立

方根，求MN的平方根。

34x3y2，求xy的算术平方根与立方根。 练习：1. 已知x2y3，2．若2a＋1的平方根为±3，a－b＋5的平方根为±2，求a+3b的算术

平方根。

例2、解方程（x+1）2=36.

3

3练习：（1）(x1)29 （2）（x1）25

152、利用性质解题：

例1 已知一个数的平方根是2a－1和a－11，求这个数．

变式：①已知2a－1和a－11是一个数的平方根，则这个数是 ；

②若2m－4与3m－1是同一个数两个平方根，则m为 。

例2．若y=3x＋x3＋1，求（x＋y）x的值

例3．x取何值时，下列各式在实数范围内有意义。

⑴

例4．已知312x与33y2互为相反数，求

12x的值. y ⑵ ⑶ ⑷

练习： 1.若一个正数a的两个平方根分别为x1和x3，求a2005的值。

2. 若（x－3）2＋y1=0，求x＋y的平方根； 3. 已知y12x4x22,求xy的值. 4. 当x满足下列条件时，求x的范围。

① (2x)2=x－2 ② 3x=x3 ③x=x

5. 若3a37，则a的值是 84

3、利用取值范围解题：

例1. 已知有理数a满足2004aa2005a，求a20042的值。

5

3、利用估算比较大小、计算：

估算法的基本是思路是设a，b为任意两个正实数，先估算出a，b两数或两数中某部分的取值范围，再进行比较。 例1．比较

13-31与的大小 87

说明：比较大小的常用方法还有： ①差值比较法：

如：比较1－2与1－3的大小。

解 ∵（1－2）－（1－3）=3－2＞0 ， ∴1－2＞1－3。 ②商值比较法（适用于两个正数） 如：比较

3-11与的大小。 553-113-11解：∵÷=3-1＜1 ∴＜

5555③倒数法：倒数法的基本思路是：对任意两个正实数a，b，先分别求出a与b的倒数，再根据当

11＞时，a＜b。来比较a与b的大小。（以后介绍） ab④取特值验证法：比较两个实数的大小，有时取特殊值会更简单。

1如：当0x11111解：（特殊值法）取x=，则：x2=，=2。∵＜＜2，∴x2＜x＜

24x421。 x

例2．若35的小数部分是a， 3-5的小数部分是b，求a+b的值。

例3.计算：①6(

5

16-6) ②3-23-2-2-1

练习：1.估计10＋1的值是（ ）

（A）在2和3之间 （B）在3和4之间 （C）在4和5之间 5和6之间

2．比较大小：① 4、利用数形结合解题：

例1 实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简|a+b|+(ba)2的结果是（ ）

A、2b B、2a

b C、－2a D、－2b a 0 例2 如图，数轴上表示1、2的对应点为A、B，点B关于点A的对称点为

C，则点C所表示的数是（ ）

A C B A、2－1 B、1－2

0 1 2 C、2－2 D、2－2

（三）【常见错误诊断】

1、混淆平方根和算术平方根：

15-1

1；②3 2.1（填“>”、“<”）

22

（D）在

①由-3是9的平方根得：9=-3。 ②由81的平方根是±9得81=±9

③-5是5的平方根的相反数 2、混淆文字表示和符号表示：

①16的算术平方根是4； ②的立方根是4 3、概念理解不透彻：

（1）平方根、算术平方根的概念不清：

①6是6的平方根；②6的平方根是6；③6与6互为相反数； ④a的算术平方根是a （2）无理数的概念不清：

①开方开不尽的数是无理数； ②无理数就是开方开不尽的数；③无理数是无限小数；④无限小数是无理数；⑤无理数包括正无理数、零、负无理数；⑦两个无理数的和还是无理数；⑧两个无理数的积还是无理数；

，2+3，…，22，3，0.303003.这些数填空：在-1.414，2，π， 3.1472中，无理数的个数有 个； 4、计算错误：

6

①(13)2=13；②1x=16=4.

25511119④若x2=16，则1③14412162545205、确定取值范围错误（漏解或考虑不全面） ①若代数式②若代数式

x1有意义，则x的取值范围是x1且x2 x2x1x2有意义，则x的取值范围是x2

6、公式用错：

2226；②（3.14-）①（-6）=3.14-π；②若c满足（c3）(c3)，则

c=-3

（四）【巩固练习】 1．.3的平方根（　　）

A.8 B. 8 C. 2 D.2

2．如果y0.25，那么y 的值是（ ） A. 0.0625 B. —0.5 C. 0.5 D .±0.5

3．下列说法中正确的是（ ）

A.81的平方根是±3 B.1的立方根是±1 C.1=±1 D.-5是5的平方根的相反数

4．若a2a，则实数a在数轴上的对应点一定在（ ）

A．原点左侧 B．原点右侧 C．原点或原点左侧 D．原点或原点右侧 5．若a=3.136，则

a=（ ） 100A、0.03136 B、0.3136 C、±0.03136 D、±0.3136

6．数a、b在数轴上的位置如图，那么化简baa2的结果是（ ）

A．2ab B．b C．b D．2ab

7

ba07．下列说法正确的是（ ）

A. 0.25是0.5 的一个平方根 B .正数有两个平方根，且这两个平方根之和等于0 C . 7 2 的平方根是7 D. 负数有一个平方根

8．若(a3)2a-3，则a的取值范围是( ). A. a＞3 B. a≥3 C. a＜3 D. a≤3

8

9．若a、b为实数，且满足│a－2│+b2=0，则b－a的值为（ ）

A．2 B．0 C．－2 D．以上都不对 10. 在

22，3.1415926，7，32，36，0.1这6个数中，无理数有（ ） 7 A．1个

B．2个 C．3个

D．4个

11．若一个数的立方根等于它的算术平方根，则这个数是 。 12．若2b15和3a1都是5的立方根，则34a3b= . 13．观察下列各式：121311111,23,34，……，根据你发现34455的规律，若式子a＝ . 14．由下列等式：32118（a、b为正整数）符合以上规律，则abbb22334423，3333，3443……所揭示的规7726266363律，可得出一般的结论是 （用字母n表示，n是正整数且n>1）。

15．比较下列实数的大小：①140 12 ②

51 0.5； 216．一个正方形的面积变为原来的m倍，则边长变为原来的 倍；一个立

方体的体积变为原来的n倍，则棱长变为原来的 倍。

17．计算： ①143274()2|25| ②3622136

18．已知一个2a-1的立方根是3，3a+b+5的平方根是±7，c是13的整数部分，求a2bc2 的平方根。

8

19．已知a、b满足2a8b30，解关于x的方程a2xb2a1

20．若a5，b27，abba，求a+b的值

9

21. 设2+6的整数部分和小数部分分别是x、y，求（x-1）2+(y6+8)2的平方根。

22．已知点A、B在数轴上对应的数分别是a、b，且a、b满足

ba1222a5，点C是数轴上不同于A、B的一动点，其对应AB0的数为c。

（1）若C运动到使AB=BC时，求点C所对应的数；

2（2）若c满足（c3）(c3)，试化简：c2(ac)2(bc)23c3

（3）当C运动某一位置时，实数c满足3-cc5c，试求线段BC的长.

9