(完整word版)二次函数知识点总结

二次函数知识点总结

一、二次函数的定义

1． 二次函数的概念：一般地，形如yax2bxc（a，b，c是常数，a0）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a0，而b， c可以为零．2. 二次函数yax2bxc的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2． ⑵ a，b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．

二、二次函数的基本形式

1. yax2的性质：

a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 x0时，y随x的增大而增大；x0时，a0 向上 0，0 y轴 y随x的增大而减小；x0时，y有最小值0． x0时，y随x的增大而减小；x0时，a0 向下 0，0 y轴 y随x的增大而增大；x0时，y有最大值0．

2. yax2c的性质：

开口方向 顶点坐标 对称轴 a的符号 性质 x0时，y随x的增大而增大；x0时，a0 向上 0，c y轴 y随x的增大而减小；x0时，y有最小值c． x0时，y随x的增大而减小；x0时，a0 向下 0，c y轴 y随x的增大而增大；x0时，y有最大值c． 3. yaxh的性质：

2开口方a的符号 向 顶点坐标 对称轴 性质 xh时，y随x的增大而增大；xh时，a0 向上 h，0 X=h y随x的增大而减小；xh时，y有最小值0． xh时，y随x的增大而减小；xh时，a0 向下 h，0 X=h y随x的增大而增大；xh时，y有最大值0．

4. yaxhk的性质： 开口方a的符号 向 顶点坐标 对称轴 2性质 xh时，y随x的增大而增大；xh时，a0 向上 h，k X=h y随x的增大而减小；xh时，y有最小值k． xh时，y随x的增大而减小；xh时，a0 向下 h，k X=h y随x的增大而增大；xh时，y有最大值k．

三、二次函数图象的平移

1. 平移步骤：

⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式yaxhk，确定其顶点坐标h，k； ⑵ 保持抛物线yax2的形状不变，将其顶点平移到h，k处，具体平移方法如下：

向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位2y=ax2y=ax2+k向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移 |k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2y=a(x-h)2+k

2. 平移规律

概括成八个字“左加右减，上加下减”．

四、二次函数yax2bxc图象的画法

五点绘图法：

利用配方法将二次函数化为顶点式ya(xh)2k，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点

c、以及0，c关于对称轴对称的点2h，c、与x为：顶点、与y轴的交点0，0，x2，0（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点） 轴的交点x1，画草图时应抓住以下几点：

开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.

五、二次函数yax2bxc的性质

1.二次函数yaxhk与yax2bxc的比较

从解析式上看，yaxhk与yax2bxc是两种不同的表达形式，后者

b4acb2b4acb2通过配方可以得到前者，即yax，其中h，． k2a4a2a4a222b4acb2b2. 当a0时，抛物线开口向上，对称轴为x，顶点坐标为，当．2a4a2axbbb时，y随x的增大而减小；当x时，y随x的增大而增大；当x2a2a2a4acb2时，y有最小值．

4ab4acb2b3. 当a0时，抛物线开口向下，对称轴为x，顶点坐标为，当．2a4a2axbbb时，y随x的增大而增大；当x时，y随x的增大而减小；当x2a2a2a4acb2时，y有最大值．

4a六、二次函数解析式的表示方法

1. 一般式：yax2bxc（a，b，c为常数，a0）； 2. 顶点式：ya(xh)2k（a，h，k为常数，a0）；

3. 两根式：ya(xx1)(xx2)（a0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.

注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函

数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b24ac0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

七、二次函数的图象与各项系数之间的关系

1. 二次项系数a

二次函数yax2bxc中，a作为二次项系数，显然a0．

⑴ 当a0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；

⑵ 当a0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．

总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b

在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在a0的前提下，

当b0时，当b0时，当b0时，b0，即抛物线的对称轴在y轴左侧； 2ab0，即抛物线的对称轴就是y轴； 2ab0，即抛物线对称轴在y轴的右侧． 2a⑵ 在a0的前提下，结论刚好与上述相反，即 当b0时，当b0时，当b0时，b0，即抛物线的对称轴在y轴右侧； 2ab0，即抛物线的对称轴就是y轴； 2ab0，即抛物线对称轴在y轴的左侧． 2a

总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置． 3. 常数项c

⑴ 当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；

⑵ 当c0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；

⑶ 当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．

总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．

总之，只要a，b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．

八、二次函数解析式的确定

根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：

1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．

九、二次函数图象的对称

二次函数图象的对称一般有三种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x轴对称

yax2bxc关于x轴对称后，得到的解析式是yax2bxc；

yaxhk关于x轴对称后，得到的解析式是yaxhk；

22 2. 关于y轴对称

yax2bxc关于y轴对称后，得到的解析式是yax2bxc；

yaxhk关于y轴对称后，得到的解析式是yaxhk；

22 3. 关于原点对称

yax2bxc关于原点对称后，得到的解析式是yax2bxc； yaxhk关于原点对称后，得到的解析式是yaxhk； 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物

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线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．

十、二次函数与一元二次方程：

1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：

一元二次方程ax2bxc0是二次函数yax2bxc当函数值y0时的特殊情况.

图象与x轴的交点个数：

0，Bx2，0(x1x2)，其中的①当b24ac0时，图象与x轴交于两点Ax1，x1，x2是一元二次方程ax2bxc0a0的两根．这两点间的距离ABx2x1.

② 当0时，图象与x轴只有一个交点；

③ 当0时，图象与x轴没有交点.

1' 当a0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y0；

2'当a0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y0．

2. 抛物线yax2bxc的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)； 3. 二次函数常用解题方法总结：

⑴ 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；

⑶ 根据图象的位置判断二次函数yax2bxc中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合；

⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.