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向量的概念及运算知识点与例题讲解
【基础知识回顾】
1 .向量的概念 ① 向量
既有大小又有方向的量。向量一般用
a,b,c……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如:
|即向量
AB几何表示法
的大小，记作丨a |。
a ；坐标表示法a = xi + y j = （x, y）。向量的大小即向量的模（长度），记作
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小 ② 零向量
-
-
_
_
—
耳
长度为0的向量，记为0 ,其方向是任意的，0与任意向量平行零向量 a = 0 ：= | a 1= 0。由于0的方向
I
是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有 件。（注意与0的区别）
③ 单位向量
模为1个单位长度的向量，向量 a0为单位向量=| a0 I = 1。 ④ 平行向量（共线向量）
方向相同或相反的非零向量。 任意一组平行向量都可以移到同一直线上，
方向相同或相反的向量， 称为平行 向量，记作a // b。由于向量可以进行任意的平移
非零向量\"这个条
（即自由向量），平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向
量也称为共线向量。
数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量 中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的
⑤ 相等向量
长度相等且方向相同的向量相
等向量经过平移后总可
以重合，记为 a = b。大小相等，方向相同
(xi, yi) =(X2, y2)-
2. 向量的运算 （1）向量加法
求两个向量和的运算叫做向量的加法
设 AB =a, BC =b，贝U a+b = AB BC = AC。 规定:
(1) 0 a =a 0=a ；
（2）向量加法满足交换律与结合律； 向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”
（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角 线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。 更多精品文档
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(2) 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示 这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点
当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则。 向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加:
AB BC CD
但这时必须“首
尾相连”。
(2)向量的减法
① 相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做 记作「a,零向量的相反向量仍是零向量。
a的相反向量
(i) - (- a) = a ； (\") a+(-a)=(-a)+a=O ；
关于相反向量有:
(iii)若a、b是互为相反向量，则 a=-b,b = -a,a + b= O。
② 向量减法
向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，
记作：a -b二a (-b)求两个向量差的运算，叫做向量的减法
③ 作图法：a -b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量(a、b有共同起点)。 (3) 实数与向量的积
① 实数入与向量a的积是一个向量，记作 入a，它的长度与方向规定如下：
(I) £ = • £ ；
(n)当/ ? 0时，入a的方向与a的方向相同；当儿：0时，入a的方向与a的方向相反；当，=0时，，a = 0, 方向是
任意的。
② 数乘向量满足交换律、结合律与分配律 3. 两个向量共线定理：
向量b与非零向量a共线二 有且只有一个实数，，使得b = .a。 4. 平面向量的基本定理
如果q ,e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量
a，有且只有一对实数■仆• 使:
2
a = 丁冷2e2其中不共线的向量 e\\ ,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 5. 平面向量的坐标表示
4 4
(1)平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与 彳
由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量
x轴、y轴方向相同的两个单位向量
i , j作为基底
# 呻 扌 4
a可表示成a二xi • yj，由于a与数对(x,y)是一一对应的，因
此把(x,y)叫做向量a的坐标，记作a =(x,y)，其中x叫作a在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标。
规定：
(1) 相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量；
(2) 向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关系。 2)平面向量的坐标运算：
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① 若 a'=：i.X1,y1 ,bm[X2,y2 ，贝V a _b =[治 _X2,y1 _ y?； ② 若 AX, y1 ) B(X2, y2 )，则 AB =(冷—y? — % )； ③ 若 a =(x,y)，则，a=( ■ x, ■ y)；
④若 a = x-!,y1 ,b = x2,y2 ，贝U a//b：= %y2 -x2% =0。 【思考•提示】
数学教材是学习数学基础知识、形成基本技能的“蓝本” 义，教学中重视教材的使用应有不可估量的作用。 定的观点和方法组织成整体，形成知识体系。
学习本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理 向量的相关位置关系，
正确运用共它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点 向量的加法与减法是互线向量和平逆运算；
面向量的基相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件；
本定理，计向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线(即重合)，而向量平行则包括共线(重合)的情况; 向量的坐标算向量的
(1) (2) (3) (4) 【课前小测】
1•设平面向量 am.3,5 ,b=[-2,1，则 a-2b=() A • 7,3
，能力是在知识传授和学习过程中得到培养和发展
虽然只是个别小题，但它对学习具有指导意
的。新课程试卷中平面向量的有些问题与课本的例习题相同或相似，
因此，学习阶段要在掌握教材的基础上把各个局部知识按照一
与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关系
模、两点的距离等。由于向量是一 新的工具，
B • 1. -7, -3
C. 10 D. -10
2已知向量
a = x,1 , b = 4,x 且a//b则；的值为()
B. 2
C. 4 或一4
D. 2 或一2
)
A. 0 3已知点
(—1, 0)、
(1, 3),向量a=(2k—1,2 )，若AB丄a,则实数k的值为(
C. 1 D . 2
4已知向量
a…3,4,向量a与b方向相反，且b爲b
:；,则实数」的值是
5•已知直角梯形 二匚.的顶点坐标分别为2. 【典例解析】 题型1平面向量的概念
例1. ( 1)给出下列命题: ① 若 |a|=|b|,则 a = b ；
② 若A, B, C, D是不共线的四点，则 ③若 a=b， b = c，贝U a = c ；
是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;
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④
a = b的充要条件是|a|=|b|且a〃b ；
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□ * * 4 4 4
。
⑤ 若a//b , b〃c，贝U a//c ； 其中正确的序号是
（2）设ao为单位向量，（1若a为平面内的某个向量，贝U a=|a| • ao ；（2）若a与a°平行，则a=|a| •
ao ；
（3）若a与ao平行且| a |=1,则a = ao。上述命题中，假命题个数是（
A. 0
B . 1
C. 2
① 不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同; 解析：
（1） AB=DC ,••• | AB ^|DC | 且 AB//DC , ②正确；•••
）
又A, B, C, D是不共线的四点，• 四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形 ABCD为平
行四边形, 则，AB//DC且IABH
DCI,
I
T T 因此，AB = DC。
-I 4
③ 正确；•••
I
4
4
a = b , • a , b的长度相等且方向相同；
又b = c , • b , c的长度相等且方向相同， • a , c的长度相等且方向相同，故
I
a = c。
I
I
III
④ 不正确；当a//b且方向相反时，即使|a |=|b |,也不能得到a = b，故|a|=|b |且 a//b不是a=b的充要条 件，而是必要不充分条件；
I
I
⑤ 不正确；考虑b = 0这种特殊情况; 综上所述，正确命题的序号是②③。
点评：本例主要复习向量的基本概念。向量的基本概念较多，因而容易遗忘。为此，复习时一方面要构建良 好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想。
（2）向量是既有大小又有方向的量， a与| a |ao模相同，但方向不一定相同，故（1）是假命题；若a与ao
平行，则a与ao方向有两种情况：一是同向二是反向，反向时 a =— | a |ao，故（2）、（3）也是假命题。综上所 述，答案选D。
点评：向量的概念较多，且容易混淆，故在学习中要分清，理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向 量、同向向量等概念。
题型2:平面向量的运算法则
例2•如图所示，在平行四边形 ABCD中，下列结论中错误的是（C ） A. AB = DC B. AD AB 二 AC C. AB - AD 二 BD D. AD CB =o 变式1•如图所示，D是厶ABC的边AB上的中点，则向量等于
（A）
A. -BC
1 2
BA B. - BC BA
1 2 1
C. BC BA
2
D.
1 -
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BC BA
2
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2•下列各命题中，真命题的个数为 ① 若 |a|=|b|,则 a=b 或 a=-b;
② 若A^ = DC，则A、B、C、D是一个平行四边形的四个顶点; ③ 若 a=b,b=c，贝U a=c; ④ 若 a// b,b // c,则 a// c. A.4
B.3
C.2
D.1
(D )
3•在四边形ABCD中，AB=a+2b, BC =-4a-b, CD =-5a-3b，其中a, b不共线，则四边形 ABCD为(A) A.梯形 C.菱形
B.平行四边形 D.矩形
G 为 BE 上一点，且 GB=2GE，设 AB =a, AC =b,试用 a、
4.在△ ABC 中, D、E分别为BC、AC边上的中点,
b 表示 AD , AG ,
5.设P是厶ABC所在平面内的一点， BC，BA=2BP，贝U ( B) A. PA PB =0 B. PC PA =0 C. PB PC =0 D. PA PB PC =0
—— —r
6.已知向量 a=(1,%''3) , b=(—2,0)，则|a+b|= ___________________________ 【答案】2 【解析】由：a b =(-1, 〔a卡|「」口丄2.
―r
—r
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。已知平面向量a=(, b=
x,1) (— x,x2),贝U向量a + b ()
A平行于x轴
B•平行于第一、三象限的角平分线
C.平行于y轴
D.平行于第二、四象限的角平分线
答案 C
2 2
解析 a b =(0,1x
.由1 ■ x -0及向量的性质可知,C正确. 题型 3：平面向量的坐标及运算
例 5.已知 AABC 中，A(2, — 1), B(3,2) , C( — 3,1),BC 边上的高为 AD，求 AD。
解析：设 D(x,y)，则 AD 二 x -2,y 1 , BD 二 x-3,y -2 ,BC 二-b,-3 •/ AD _BC,BD _BC
-6 x -2 -3 y 1 =0 x=1
得
-3x -3 6 y -2 =0 ■= J = 1
所以 A
D 二-1,2。 例6.已知点A(4,0),B(4f,C(2,6),试用向量方法求直线 AC和OB ( O为坐标原点) 解析：设 P(x, y)，则 OP 二(x,y), AP = (x -4, y) 因为P是 AC与OB的交点，所以P在直线AC上，也在直线OB上。
即得 OP//OB, AP〃 AC，由点 A(4,0),B(4,4),C(2,6)得，AC =(-2,6), OB =(4, 4)。 得方程组
6(x—4)2八0
，解之得\"3
4x _4y =0 y =3
故直线AC与OB的交点P的坐标为(3,3)。 题型4：平面向量的性质 例7.平面内给定三个向量
3= 3,2 ,b - -1,2 亠 4,1，回答下列问题:
4^4
(1) 求满足a =mb • nc的实数 m,n ； 4 4 4
(2) 若 a • kc // 2b「a，求实数 k ；
(3)若 d 满足(d —C )// (3 +b )，且 d —C = J5，求 d。
—m + 4n = 3 解析：(1 )由题意得(3,2 )=m(-1,2)+ n(4,1)，所以丿
m
5 8 n =
9 2m + n = ，得2
9
(2)a kC = 3 +4k,2 +k ),2b -3=(-5,2 ),
2 3 4k - -5 2 k =0, k 二
16 13
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P的坐
标。
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(3)d —翼 x—4,y 一1 ,a b = 2,4
由题意得
・4(x—4)_2(y_1)=0 得 Jx = 3 或 Jx = 5 (x-4 2+(y-1 2 =5 y = -1 y = 3
例 &已知 a =(1,0),b =(2,1). (1) 求 | a 3b | ；
当k为何实数时，k a - b与a 3b平行， 平行时它们是同向
(2) 还是反向？
解析：(1)因为 a =(1,0),b =(2,1).
■ 屮
所以 a 3b =(7,3)
则 |a 3b^ ,'72_3^ =、、58 (2)k a - b -(k -2, -1)，a 3b =(7,3)
- - _ - 1
因为k a - b与a 3b平行，所以3(k - 2) • 7 = 0即得k = -
此时 k a - b -(k -2, -1)=( ka -'b方向相反。
-
7
3
,-1), a 3b =(7,3)，贝U a 3^ -3(ka -b)，即此时向量 a 3b 与
3
重点掌握平面向量的共线的判定以及
点评：上面两个例子重点解析了平面向量的性质在坐标运算中的体现， 平面向量模的计算方法。
题型5:共线向量定理及平面向量基本定理
例 9. (2009北京卷文)已知向量 a = (1,0),b = (0,1), c = ka b(k R),d=a-b，如果 c//d 那么
A. k =1且c与d同向 C. k = -1且c与d同向
()
B. k =1且c与d反向
D. k = -1且c与d反向
答案 D 解析 本题主要考查向量的共线(平行)、向量的加减法.属于基础知识、基本运算考查
•/ a= 1,0 , b= 0,1 ,若 k =1，则 c=a b 二 1,1 , d 二a-b= 1,-1 ,
显然，a与b不平行，排除A、B.
若 k = T，则 c=-a b= -1,1 , d=-a b=- -1,1 , 即c//d且c与d反向，排除C,故选D.
点评：熟练运用向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则进行运算；两个向量平行的坐标表示； 运用向量的坐标表示，使向量的运算完全代数化，将数与形有机的结合。 题型6:平面向量综合问题
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例10. (2009上海卷文)
已知△ ABC的角A、B、C所对的边分别是 a、b、c,设向量m = (a,b),
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X
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t 4
n= (si n B,si nA), p=(b_2,a_2).
(1) (2)
若m//n，求证：△ ABC为等腰三角形；
若m丄p，边长c = 2，角C =…，求△ ABC的面积
3
——uv v
证明：(1) Qm〃 n,. a si nA 二bs in B,
a 即a
b
b ，其中R是三角形ABC外接圆半径，a=b 2R 2R
uv v 卄
解(2)由题意可知 m〃 p = 0,即a(b -2) • b(a -2) = 0
=ABC为等腰三角形
a b =ab
由余弦定理可知， 4 = a3 2 • b2 -ab = (a ■ b)2 -3ab
即(ab)2 -3ab -4 =0 .ab =4(舍去 ab - -1) 1 1 S absin C 4 sin — = 3
2
【随堂巩固】
兀 厂
1 （2009湖南卷）对于 非 A.充分不必要条件 C.充分必要条件
0向量时a,b,
B. D.
“a//b ”的正确是
必要不充分条件 既不充分也不必要条件
，则一定共线的三点是
2 （ 05年山东卷）已知向
回且口
C. B、C、D D. A、C、D
且口//□则匚Z
量 、 B、 D B. A、 B、 A.A
A.
B. C. D.
4 （ 05年广东
卷） 【课后巩固】
的值为 A .
已知向量
（0, 8）.直线y=mx — 7与线段M1M2的交点M分有向线段 M1M2的比为1 : 1,
1..已知点M （ 6, 2)和 M2
B.
（）
3 （ 04年浙江卷文）已知向量
X
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3. （05年全国卷川）已知向量_|
4. （08年江苏卷）回的夹角为应匸因 ，则因
5. （ 2009湖南卷文）（每小题满分12分）
已知向量 a = (sin v,cos v -2sin r), b=(1,2). ⑴若；//b，求tax的值；
（n）若 |；|=|b|,0 “ :：:二，求二的值。
答案:
【课前小测】
1.A 2.D 3.B 4.-1/5 5.-1 或 1
【随堂巩固】
1 A 2. A 3. A 4. 4
【课后巩固】
1 : D 2.: B 3.:丄 4.: 7 5.解析：(I) 因为 a / /b，所以4 4
2sin
- co^ - 2sin 二
tan
1 于是 4sin v - COST，故
4
(n)斗 呻
由 | a | =|b | 知，sin2 二■ (cos 二-2sin 二)2 = 5,
所以 1 -2sin 2二 4sin 2 二-5.
从而—2sin 2 J 2(1-cos2旳=4，即 sinR cos2)- -1 ,
于是 sin（2
） .又由 ：
：： v ：
::二知，4
2
0 4 2
4 兀 5兀 兀 7兀
所以2二•一=——，或2寸•_ =——.
4 4 4 4
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，且A、B、C三点共线，则口 ______
4
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J
，或二=— I 2
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