ｒ新构造函数求参数的取值范围镧Ｉ｝ｃ护，￡ｉ强蛾．鼎删÷碰＃￡漪噼锚她蚺虻矗ｕ龋潍诎出。船ｗ抛盛ｏ。。。：：。。≮。‰。。。，，。。、如，，。。。俑妇…：。五。。＃．‘ｊ。，。ｉ：！＾０。二赫。ｏ幺；《蕊黼蘑（＝）昆明市第一中学王佳文求参数取值范围同题一直是高考的重点、热点，也是一个难点，一些含参数变量的问题，往往看起来很复杂，甚至无从下手。但如果能构造函数，通过求函数的值域或最值，进而确定参数的取值范围，则会起到简捷明了．事半功倍的效果。本文将通过典型范例介绍解决该类问题的有效的方法一构造函数法．一、构造函数求不等式中参数的取值范围例１．已知两个函数“ｘ）＝８ｘ‘＋１６ｘ—ｋ，ｇ（ｇ）＝２ｘ。＋Ｓｘ‘＋４ｘ，其中ｋ为实数．若对任意的ｘ∈［一３，３］都有“ｘ）≤ｇ（ｘ）成立，求ｋ的取值范围；解析该问题是恒成立问题。构造函数，令ｈ（ｘ）＝ｇ（ｘ）－ｆ（ｘ）＝２ｘＪ一３ｘ＇－１２ｘ＋ｋ。问题转化为ｈ（ｘ）＞ｔ０在ｘ∈［－３，３］上恒成立，为此只需ｈ（ｘ）在［一３，３］Ｉ－ｆｌ勺ｌ／Ｊ＇值ｈ（ｘ）一≥ｏ即可。（解略）点评：本题学生易犯的错误是将原不等式转化为“ｘ）～≤ｇ（ｘ）。，其实，从图像上看，只需“ｘ）图像在ｇ（ｘ）下方即可。含有参数的不等式恒成立问题在高考试题中经常出现，是高考数学的另一个重要知识点，是长盛不衰，常考常新的考点。这类问题涉及知识点多，方法灵活多样，技巧性强，难度大，是教学的一个难点，若能通过构造函数，大多数题都能迎刃而解。例２，设函数ｆ（ｘ）＝ａ＋Ｖ～ｘ‘一４ｘ，ｇ（ｘ）＝÷ｘ＋１，ｊ若“ｘ）≤ｇ（ｘ）恒成立，求ａ的取值范围．解析：构造函数，利用导数法求解．解法１：不等式《ｘ）≤ｇ（ｘ）就是ｒ——１———一』ａ＋、／一ｘ．一４ｘ≤—！ｘ＋１．３艮ｉ］ａ≤一、／一ｆ一４ｘ＋÷ｘ＋１．①）杉击壹ｉｌ擞，ｚ；轴（ｘ）＝一、／一０４ｘ＋－！．－４ｘ＋ｌ，ｘＥ［－４，０］．万 方数据要使不等式①恒成立，只要ａ≤ｈ（ｘ）～就可，用导数知识可以求得“Ｘ）～＝一５．故ａ≤一５．点评：构造函数的办法不是唯一的，也可以构造两个函数，函数思想是高中数学中的重要解题思想之一，为什么要构造？怎样构造？值得我们去思考。解法２：不等式“ｘ）≤ｇ（ｘ）就是Ｖ—ｘＺ－－４ｘ≤！ｘ＋１一ａ３构造函数，令Ｙ，＝、／一ｆ一４ｘ，显然这个关系表示为（ｘ＋２）‘＋ｙ：＝４（ｙ。≥ｏ），说明方程是以（一２，ｏ）为圆心，以２为半径的圆在ｘ轴以上的部分，且包含端点。构造函数，令ｙ：＝要ｘ＋１一ａ，这表示斜率为定值｛，ｙ轴截ＪＪ距为变数１－ａ的一条直线．在同一坐标系内画出两个方程表示的曲线，根据题意，就可以得出ａ≤－５．点评：在不等式ａ＋＇Ｖ三－ｘ２－４ｘ≤喜ｘ＋１里，通过细ｊ小的转化、移项得到了定半圆。动的平行直线族，使得问题的解法变得简单多了．数形结合是高中数学的重要思想，应在解答问题时多多留意．二、构造函数求方程中参数的取值范围数ｍ的取值范围为——．例３．已知方程２ｓｉｎ＇ｘ—ｃｏｓ‘ｘ＋２ｓｉｎｘ＋ｍ＝ｏ有解，则实解：原方程可化为３ｓ访２ｘ＋２Ｓｉｎｘ＝１一ｍ（１）设ｓｉｎｘ＝ｔ＠ｇ（ｔ）＝３ｔａ＋２ｔ（一１≤ｔ≤１）解得一三３≤ｇ（ｔ）≤５，要方程（１）有解，即一三３≤１一ｍ≤５哲堕国ＩＩ得一４≤ｍ≤要例４．已知方程ｃｏｓ２ｘ＋２ｓｉｎｘ＋２ａ－３＝０在［ｏ，２１Ｔ］内恰有两个实根，求ａ的取值范围。解：令ｕ＝ｓｉｎｘ，则方程化为Ｕｚ－ｕ＋（１－ａ）＝ｏ，在ｔ∈（－１。１）上有且仅有一个实根，①△＝ｏ时，ａ＝号，ｔ＝丢符合；②△＞。时，ａ＞÷，令ｆ（ｕ）＝ｕ２一ｕ＋（１－ａ），则ｆ（１）・ｆ（一１）＜０，．．．（１－ａ）（３－ａ）＜Ｏ．．．．１＜４＜３，综上，得ａ＝三或１＜ａ＜３．三、构造函数求函数中参数的取值范围例５．已知函数“ｘ）＝ｘ３一ｘ２一越一１，是否存在实数。。使“ｘ）在（－１，１）上单调递减，若存在，求出ａ的取值范围，若不存在，说明理由。解：ｆ，（ｘ）＝３／一２ｘ—ａ要“ｘ）在（－１，１）上单调递减，则需ｆ（ｘ）≤０瓦口３ｘ２—２ｘ－ａ≤ｏ车专化为３ｘ？一２ｘ≤ａ令ｇ（ｘ）＝３ｘ２－２ｘ（一１＜ｘ＜１）则ｇ（ｘ）一≤ａＩｉＰｇ（ｘ）一２９（上３）≤ａ解得一土３≤ａ例６．已知函数“ｘ）＝２ａｘ－－：１，ｘ∈（０，１］，若ｘＥ（０，１］上是增函数，求ａ的取值范围：解：‘．。“ｘ）在ｘＥ（ｏ，Ｉ］上是增函数，．・．ｆ，（ｘ）＝ａ＋丢＞ｏ．即ａ＞一之．・．ｆ，（ｘ）：２ａ＋三＞ｏ．即ａ＞一三构造函数，Ａｄ－ｇ（ｘ）＝一一１，问题转化为ａ＞ｇ（ｘ）一，而ｇ（ｘ）＝一去在（ｏ，１］上是增函数。．・．ｇ（ｘ）～＝ｇ（１）＝一１，．．．ａ＞一１四、转化参数与自变■间的角色。通过构造函数求参数取值范围把原题中的参数看作自变量，而把未知数看作参数，转化它们之间的角色，通过构造函数，求出自变量（即原题中的参数）取值范围，也是一种常用的方法。万 方数据例７（２００６年，四川卷，文）Ｆｍ函数ｆ（ｘ）＝ｘ’＋３ａｘ－１，ｇ（ｘ）＝ｆ，（ｘ）一３．Ｘ一５．其中ｆ（ｘ）是“ｘ）的导函数．对满足－１≤ａ≤１的一切ａ的值，都有ｇ（ｘ）＜ｏ，求实数ｘ的取值范围．解析：由题意ｇ（ｘ）＝３ｘ‘ａｘ＋３ａ－５，这一问表面上是一个给出参数ａ的范围。解不等式ｇ（ｘ）＜ｏ的问题，但是，直接求解没有特别好的方法，如果换一个角度，把以ｘ为变量的函数ｇ（ｘ），由于参数ａ的范围的存在，改为以ａ为变量的函数，即构造以ａ为自变量的函数，令由（ａ）＝（３一ｘ）ａ＋３ｘ‘一５（一１≤ａ≤１），贝ｌＪ对一１≤ａ≤１，恒有ｇ（ｘ）＜ｏ．即由（ａ）＜Ｏ，从而转化为－１≤ａ≤１，巾（ａ）＜ｏ恒成立的问题，又由巾（ａ）是ａ的一次函数，问题就容易解决了．只需皑己．即。３。ｘ抽Ｚ－ｘ－２＜＜。Ｏ，．解得一÷＜ｘ＜１．故ｘＥ（一÷，１）时，对满足一１≤ａ≤１的一切ａ的值，都有ｇ（ｘ）＜Ｏ．２的值均成立，则ｘ的范围为——．例８．设不等式２ｘ－１＞ｍ（ｘ‘－１）对一切满足ｌｍＩ≤解：原不等式可化为：ｍ（ｘ‘一１）一２ｘ＋１＜ｏ构造纠ｍ为自变量的区敝。令区ｍ）＝（ｆ一１）ｍ一２ｘ＋１（一２≤ｍ≤２），该函数是ｌ；Ａ，ｍ为自变量的一次函数，跏）＜０成立即需瞄＝。号Ｉ（ｘ２—１）×（一２）一２ｘ＋ｌ＜Ｏｆ２）ｃ２＋２ｘ一３＞０解之得半＜ｘ＜旦之笪Ｉ（ｘ２—１）×２－２ｘ＋１＜０１２／一２ｘ一３＜０由上可知，“构造函数法”是解含参数问题比较通用的一种方法，如果能合理构造函数，把求参数范围与构造函数的值域作联系。许多的问题都能迎刃而解。注意到含参数问题广泛渗透在方程、函数、不等式中，我们有必要将其纳入到高考函数、不等式综合训练中系统掌握。构造函数求参数的取值范围
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
王佳文
昆明市第一中学
课程教材教学研究（教育研究）
KECHENG JIAOCAI JIAOXUE YANJIU（JIAOYU YANJIU）2008(5)
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