册)试题答案以及复习要点汇总(完整版)

一. 选择题 (每题3分,共15分) 1. 设

[ A ] (A) xx ； (B)

解：选A 。

3f(x,y)具有一阶连续偏导数，若f(x,x2)x3，fx(x,x2)x22x4，则fy(x,x2)

2x22x4 ； (C) x2x5 ； (D) 2x2x2 。

f(x,x2)x3 两边对 x 求导：

fx(x,x2)fy(x,x2)2x3x2，将 fx(x,x2)x22x4 代入得

x22x42xfy(x,x2)3x2 ，故 fy(x,x2)xx3 。

2．已知axyycosx[ C ]

(A) –2和2； (C)2和–2；

解：选C 。

32dx1bysinx3xydy为某二元函数的全微分，则a和b的值分别为

22(B) –3和3； (D) 3和–3；

QP2bycosx6xy23axy2ycosx b2,a2 xy

3. 设∑为曲面z=2－(x2+y2)在xoy平面上方的部分，则IzdS=[ D ]

(A)d2B002C0 。

2D022r14rrdr；

d2r14rrdr； d2rrdr；

d2r14rrdr

2r222022202202220

解：选D 。

Id02202r214r2rdr 。

4. 设有直线L:的位置关系是： [ C ]

(A) L

解：选C 。

xy4z10222，曲面zxyz在点(1,1,1)处的切平面，则直线L与平面

xy30； (B) L//； (C) L； (D) L与斜交 。

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L

的方向向量

s1 1 4{4,4,2}，曲面F(x,y,z)x2y2z2z0在点

1 1 0i j k(1,1,1)处的切平面的法向量n 5. 设

{FFF,,}(1,1,1){2,2,1}。由于n//s，因此L 。 xyzf(x,y)x22yy2xy1，则下面结论正确的是 [ B ]

11(A) 点（，）是 f(x,y) 的驻点且为极大值点 ；

2211(B) 点（，）是极小值点 ；

22(C) 点（0，0）是 f(x,y) 的驻点但不是极值点 ；

(D) 点（0，0）是极大值点 。。

解：选B 。

二. 填空题 (每题3分,共15分)

1．

解：

设

zln(xy) ，则 x或

zzy 。 xy1ln(xy)

1。 z22．函数 解：duuey(xeyx2y2) ，则

du 。

y22xydxx23y2dy。

y43. 曲线x2y2在点(2,4,5)处的切线方程 。

z4x2y4z5解：切线方程 。 10132234．设L是圆周x2+y2=a2 (a>0)负向一周,则曲线积分xxydxxyydy= _______。 解：曲L线积分

xL3xydxxyydy＝

2023a4

2

。

5．交换二次积分的次序：

解：

dy1012y2yf(x,y)dx= 。

x222x2dy012y2yf(x,y)dx=dx0f(x,y)dydx10f(x,y)dy。

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三.求解下列各题（每题8分，共16分）

z2z1．设zf(esiny,xy)，f具有二阶连续偏导数，求及。

yxyz解：excosyf12yf2 （2分）

yzexsinyf12xf2 （2分）x2zexcosyf1exsinyf11excosy2yf122xf21excosy2yf22xyx22 （2分）

excosyf1f11e2xsinycosy2yexsinyf122xf21excosy4xyf22

excosyf1e2xsinycosyf112exxcosyysinyf124xyf22 （2分）

xyF(x,y) 具有一阶连续偏导数，zz(x,y) 是由方程F(,)0 所确定的隐函数，试求

zzzz表达式 xy 。

xyxy解法一：方程 F(,)0 两端对x求导：

zzzxzxyzxzF1zF2，同理可求，（6分） FF0  z z12xyz2z2xF1yF2xF1yF2zz xyz 。 （2分）

xyxy111解法二：令 u(x,y,z)F(,)，则 uxF1 , uyF2 ，uz2[xF1+yF2] , （3

zzzzz2．设函数

分）

uyuxzF1zF2于是，zx ， zy （3分）

uzxF1yF2uzxF1yF2zz xyz （2分）

xy

四．计算下列各题（每题8分，共32分）

1．计算积分Ix2y2xyxydxdy。

，则

解：极坐标：令

xrcos , yrsin考试日期:2007年7月9日星期一 高等数学(2)期末 B卷答案及评分标准 120分钟 第 3 页 共 45 页

Id434sincos0r2(sincos)dr （3分）

14(sincos)4d （2分） 3414(1sin2sin22)d （3分） 34222，其中为曲面z2xyzdv33

2．计算三重积分

及zx2y2所围成的闭区域。

解：联立的两曲面方程，得交线：x投影柱面：x22y21，(z1)；

y21；在xoy面的投影域为：Dxy:x2y21(z0)，

用柱面坐标：：0r1,02,r2z2r2, （2分）

20zdvzrdrddzddr20r12r2rzdz （2分）

2rdr12r2r4 （2分）

02172rr3r5dr （2分）

0121

3．计算曲线积分0）的上半圆周 解

：

设

eLxsiny8ydxexcosy8dy，其中L是由点A（a，0）到点O（0，

，

由

格

林

公

式

得

到

x2y2ax(y0,a0)

Pxexsiny8y,Qxexcosy8QPexcosyexcosy88xyQP2siny8ydxexcosy8xydxdy8dxdya （4分）

LOADDQP28dxdy0a （4分） IdxdyxyDLOAOADOAex4．计算

(xyz)dS，其中曲面为球面x2y2z2a2上zh(0ha)的部分。

解：曲面的方程为z =ax2y2，其在xoy坐标面上的投影区域D为：

x2y2a2h2，

1(zx)2(zy)2=

aax2y2D， （3分）

(xyz)dS=

(xyax2y2)aax2y2d

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=

a(xy)a2x2y2Dd+

Dad（3分）

由积分区域和被积函数的对称性得所以

五．（8分）求幂级数

a(xy)a2x2y2Dd=0，且

ada(aD2h2)，

(xyz)dS=a(a2h2)。 （2分）

n211n()n2n11n(n)x 的和函数，并求数项级数 nn1 的和。

n21nn1n解： xnxx （2分）

nn1n1n1n1n1＝xnxxn

n1n1n＝x(xn1n)xn1dx （2分）

n10xx111)dx

01x1xxln(1x) (1x1)， （2分） ＝

(1x)2＝x(取

1x ，得

2n211n()2ln2 。 （2分） n2n1

六．（8分）求解微分方程

y3y2yex(12x) 。

解：对应齐次微分方程的特征方程为：

r23r20 （2分）

故特征根 r11,r22，从而齐次微分方程的通解为：

yC1exC2e2x （2分）

*x令非齐次方程特解为：yxe(AxB) 代入方程解得 AB1 ，于是特解为

y*xex(x1) （2分）

则原方程通解为：

yyy*C1exC2e2xxex(x1 。 （2分）

七．（6分）某企业生产甲、乙两种产品，其销售单价分别为10万元/件、9万元/件，若生产x件甲产品和件乙产品的总成本为C100件，试建立这一问题的数学模型，并分析两种产品的产量各为多少时企业获得最大利润。

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y，又已知两种产品的总产量为4002x3y0.01(3x2xy3y2)（万元）

解：因为企业获得的总利润G应为总收入R10x9y与总成本C之差，因此这一问题的数学模型应描述如下：

maxG10x9y4002x3y0.01(3x2xy3y2) s.. txy100 （3分）

这是有条件极值问题，利用Lagrange乘数法，令

L(x,y,)10x9y4002x3y0.01(3x2xy3y2)(xy100)

求L对各个变量的偏导数，并令它们都等于0,得 Lx1020.06x0.01y0Ly930.06y0.01x0 （3分） Lxy100解上述方程组得到唯一驻点(70,30)，依题意知所求最大利润一定存在。故当产品甲产量为70件，产品乙

产量为30件时企业获得最大利润。

二. 选择题 (每题3分,共15分)

1. 函数

xy22,xy022f(x,y)xy在原点（0，0）处间断，是因为： [ ]

0,x2y20f(x,y)在原点无定义； (B) 函数f(x,y)在原点无极限；

(A) 函数

(C) 在原点极限存在，但该点无定义； (D) 在原点极限存在，但不等于它的函数值。

选B。 2. 曲面ezzxy3在点（2，1，0）处的切平面方程是： [ ]

(A) 2xy40； (B) 2xyz40； (C) x2y40； (D) 2xy50。

选C。

x2y23. 旋转抛物面z1在1z2部分的曲面面积S为: [ ]

2(A)(C)

选B 。

4. 若幂级数

x2y221x2y2dxdy； (B)

1x2y2dxdy ； (D)

x2y221x2y2dxdy； 1x2y2dxdy。

x2y24x2y24an(2x)n1n的收敛半径是2，则

naxnn1的收敛半径为： [ ]

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(A) 2； (B) 1； (C) 2； (D) 4。

选D 。 5. 若连续函数(A)

f(x)满足f（x）f()dtln2，则f(x)等于 [ ]

02xt2e2xln2；

(B) exln2；

x2x(C) eln2； (D) e

选A 。

二. 填空题 (每题3分,共15分)

ln2。

zzx x 。 xyxf1ffxf2．设zfu,v可微，其中uxy,v，dz(y)dx(x2)dy 。

yuyvuyv1. 设zyfu，其中ux2y2,fu为可微函数，则yx2y2z3．曲线4y4在点（2，4，5）处的切线与x轴所夹锐角。 44．交换二次积分的次序：5. 若

20dy2f(x,y)dxdxxf(x,y)dy 。

0y22y4x注：

为x2y2z2R2的外侧，且cos,cos,cosxcosycoszcosdS4R。 222xyzxcosycoszcosdS222xyz1R2是其外法线向量的方向余弦，则

xdydzydzdxzdxdy1R23dVV1433R4R2R3

三.求解下列各题（每题8分，共16分） 1．设z解：

fxy,y，其中

2z2z2zf具有二阶连续偏导数，求2,,2。

xxyyzyf1,xzxf1f2,， （2分） y考试日期:2007年7月9日星期一 高等数学(2)期末 B卷答案及评分标准 120分钟 第 7 页 共 45 页

2z （2分） y2f112x2zf12 （2分） f1yxf11xy2z22xf12f22 （2分） xxffxffxf11111221222y

2．设xuyv0,yuxv1,求

解：将所给方程两边对x求导并移项，得

ux和

v22 （已知xy0）。 xvuxyu,xx （4分） yuxvv,xx 由已知xy20，可得

u y2uv xxuyv， （2分） 22x yxxyy xx uvy vyuxv。 （2分） 22x yxxyy x

四．计算下列各题（每题8分，共32分）

1．计算二重积分

(xy)D2dxdy，其中D：x2y2a2(a0) 。

解：利用极坐标变换

(xy)D2dxdy(rcosrsin)rdrd （3分）

D2r3dr(12sincos)d00a2 （3分）

1a4 （2分） 2

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2．计算三重积分

22x2y2z2dv其中为球面x2y2z2z所围成的闭区域。

2解：应用球面坐标计算。x2y2z2z即为rrcosrcos，则

＝

xyzdv2220d2d0cos0r2rsindr （3分）

142d004sincosd （3分）

＝112cos52 （2分）

04510

3．计算

Lex2y2222ds, 其中L为圆周xya(a0), 直线yx及x轴在第一象限内所围

成的扇形的整个边界。

解：所求积分的曲线可分为三段：线段OA、弧AB、线段OB。

线段OA：

y0，0xa，1yx21，eOAasint，0tx2y2dsexdxea1； （2分）

0a弧AB：xacost,y所以

4，

xt2yt2a，

ABex2y2ds4eaadtaea04； （2分）

2 y B O 线段OB：

yx，0xex2y2aa2，1yx2，

所以

OBds02e2x2dxea1。 （2分）

Ax x

综上，

Lex2y2ds＝ea(2a)2。 （2分） 424．计算曲面积分

zdxdyxdydzydzdx, 其中是柱面xy21被平面z0及z3所截得的

z 在第一卦限内的部分的前侧。

解：由于曲面在xoy坐标面上的投影区域Dxy为0，所以

曲面在

（2分） zdxdy0；

z = y yoz坐标面上的投影区域Dyz为0y1,0z3,

1y2dydz=dzyzxdydz=D03101y2dy=34 o x ; （2分）

z = 同理，曲面在xoy坐标面上的投影区域Dxz为0  x  1, 0  z  3,

ydxdz=

Dxz1x2dxdz=dz03101x2dx=34; （2分）

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故，

zdxdyxdydzydzdx=2·34=

3。 （2分） 2

x2n1五．（8分）求幂级数（1x1）的和函数，并求数项级数

2n1n12n112n1n 的和。

解：在（-1，1）上，令

352n12n12n1xxxx1 （3分） x2n2s(x)x=,s(x)x352n11x2n12n1n12n1n1n1上式两边积分得：

x2n1s(x)2n1n11ln1x1x1， （3分） 01x2dx121xx 

11ln1111=sn2n1122n12n1222n1(2n1)(2)211ln212

21

（2分）

六．（8分）求微分方程

yysin2x0满足初始条件yx1,yx1的特解。

解：对应齐次微分方程的特征方程为：

2

rr0故特征根 r10，r21从而齐次微分方程的通解为： （2分）

x yc1c2e （2分） 因 2i 不是特征根，故可令非齐次方程特解为：

y*Acos2xBsin2x

11代入方程解得 A，B于是原方程通解为：

10511yc1c2excos2xsin2x （2分）

10533代入初始条件得c2e，c1

5233x11cos2xsin2x。 （2分） 所以满足初始条件的特解为：yee25105

七．（6分）证明：

解：因曲线为封闭曲线，P,Q满足Green公式条件，从而直接应用Green公式有：

Ledxxdy2y2，其中L是4x2y28x正向一周。

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QPy2)dxdy(12ye)dxdy （2分） 原式＝(xyDD＝

dxdy2yeDDy2dxdy （1分）

＝

120 （2分）

＝2 （1分）

高等数学试题 一、填空题（每小题3分，共计15分）

 zxzzf(x,y)xyyze x1．设由方程确定，则 。

232．函数u2xyzxyz在点P0(0,1,2)沿方向l 的方向导

数最大。

22x2y2dsxy43．L为圆周，计算对弧长的曲线积分L= 。

234．已知曲线xt,yt,zt上点P处的切线平行于平面x2yz2，则点

P的坐标为 或 。

]定义为5．设f(x)是周期为2的周期函数，它在区间(1, 1的

21x0f(x)x0x1，则f(x)的傅里叶级数在x1收敛于 。

二、解答下列各题（每小题7分，共35分）

1．设f(x, y)连续，交换二次积分

x2y2dxdyIdx012x11x2f(x,y)dy的积分顺序。

222．计算二重积分D，其中D是由y轴及圆周x(y1)1所围成的在第一象限内的区域。

2222zxyz1xy3．设是由球面与锥面围成的区域，试将三重积

分

If(x2y2z2)dxdydz化为球坐标系下的三次积分。

与路径无关，其中f(x)具有一阶连续

4．设曲线积分L[f(x)ex]ydxf(x)dy导数，且f(0)1，求f(x)。

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5．求微分方程y2yye的通解。

x三、(10分)计算曲面积分

x2y2z24(z0)的上侧。

ydzdxzdxdy2，其中∑是球面

(xyz)dxdydz四、(10分)计算三重积分，其中由zx2y2与z1围

成的区域。

22五、(10分)求zxy1在y1x下的极值。

22六、(10分)求有抛物面z1xy与平面z0所围立体的表面积。

xn1n七、(10分)求幂级数n1n3的收敛区间与和函数。



高等数学试题解答

一、填空题（每小题3分，共计15分）

xz zyzexzxzyxezf(x,y)xyyze x1．设由方程确定，则。

23,1,沿2u2xyzxyz在点P0(02．函数方)向l(4,0,-12)

的方向导数最大。

3．L为圆周xy4，计算对弧长的曲线积分L22x2y2ds8=。

234．已知曲线xt,yt,zt上点P处的切线平行于平面x2yz2，则点

111(,,)P的坐标为(1,1,1)或3927。

]定义为5．设f(x)是周期为2的周期函数，它在区间(1, 1的

21x03f(x)x0x1，则f(x)的傅里叶级数在x1收敛于2。

二、解答下列各题（每小题7分，共35分） 6．设f(x, y)连续，交换二次积分

Idx012x11x2f(x,y)dy的积分顺序。

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Idx012x11x2f(x,y)dyf(x,y)dxdy122y0解：

dy011(y1)20f(x,y)dx

7．计算二重积分

成的在第一象限内的区域。

Dx2y2dxdy22yx(y1)1所围D，其中是由轴及圆周

 解：

Dxydxdy2d0222sin0r2dr169

2222zxyz1xy8．设是由球面与锥面围成的区域，试将三重积

分

解：

If(x2y2z2)dxdydz化为球坐标系下的三次积分。

Ifx2y2z2dxdydz2ddfr2r2sindr000419．设曲线积分L

[f(x)ex]ydxf(x)dy与路径无关，其中f(x)具有一阶连续

[f(x)ex]ydxf(x)dy导数，且f(0)1，求f(x)。

解：P[f(x)e]y，Qf(x)。由Lx与路径无关，

1xxyceexxQPf(x)f(x)e0yyexy2得，即。解微分方程，得其通解。

111cf(x)exex2。故22 又f(0)1，得

x10． 求微分方程y2yye的通解。

解：y2yy0的通解为y(c1c2x)e。

*x设原方程的一个特解yce，代入原方程，得

1y(c1c2x)exex4

y2dzdxzdxdy222 三、(10分)计算曲面积分，其中∑是球面xyz4(z0)的上侧。

xc14。其通解为

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22:z0 (xy4)下侧。 1解：补上2ydzdxzdxdy1y2dzdxzdxdyy2dzdxzdxdy..............2分1(2y1)dxdydz0............................................3分2ydxdydzdxdydz1616.........................3分33

(xyz)dxdydz22四、(10分)计算三重积分，其中由zxy与z1围成的区域。 解：

对称性0(xyz)dxdydzxdxdydzydxdydzzdxdydz...........................2分对称性00zdxdydzdrdr2zdz00r2113..............8分

五、(10分)求zxy1在y1x下的极值。

222解：zx(1x)12x2x2

11xx222。z40，2为极小值点。故zxy1在令z4x20，得

22113(,)y1x下的极小值点为22，极小值为2。

22六、(10分)求有抛物面z1xy与平面z0所围立体的表面积。 22解：z1xy (z0)的面积为

S1dS2100x2y2114x24y2dxdy.............4分dr14r2dr............................2分 (551)6 平面z0部分的面积为。故立体的表面积为。

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(551)6...............1分xn1n七、(10分)求幂级数n1n3的收敛区间与和函数。

xn1xnxn11s(x)(xs(x))()nnn[3,3)n3n33x。n1n1n13解：收敛区间为。设，ln31x0xxln(3x)s(x)1x03故。

1.微分方程y4y4y2xe2x的一个特解形式可以设为 .

*222x1.yx(AxBxC)e 选择题

1. 已知曲面z4xy上点P处的切平面平行于平面2x2yz10,则点P的坐标是 ( ).

A. (1,-1,2); B. (-1,1,2); C. (1,1,2); D. (-1,-1,2). 2. 级数(1)n1n1221n32为（ ）.

A.绝对收敛; B. 条件收敛; C.发散; D. 收敛性不确定.

2223. 若是锥面xyz被平面z0与z1所截下的部分,则曲面积分

22(xy)dS( ). A. C.

220d0rrdr; B. 0d0rrdr;

12120d0r2rdr; D.

n1120d0r2rdr.

213nxn4. 幂级数(1)的收敛半径为( ).

n1n11A. R2; B.R; C.R3; D.R.

23选择题

解答题

1. C; 2. A; 3.D. 4.D.

xy1．(7分) 设zsin(xy)e,求dz.

2． (7分) 计算三重积分Ixdxdydz,其中为三个坐标面及平面

x2yz1所围成的闭区域.

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3． (7分) 求I(1yz)dS,其中是平面yz5被圆柱面x2y225截出

的有限部分.

(1)n(x1)n的收敛域. 4． (7分) 求幂级数nn115． (7分) 将f(x)展开为麦克劳林级数. 22xxxx6． (7分) 求曲线积分IL(esinyy)dx(ecosy1)dy,其中L为

x2y2ax上从A(a,0)到O(0,0)的上半圆周.

7． (7分) 求微分方程y2xy4x在初始条件yx03下的特解.

8． (7分) 求曲面积分I(x1)dydz(2y2)dzdx(3z3)dxdy ,其中为曲面xyz4的内侧.

9．(7分) 计算曲线积分I(xy)ds,其中L是以O(0,0),A(1,0),B(0,1)为顶点

L222的三角形折线

一、 1.解 zxcosx3 分 (y)yexy(y)xe  zycosx3 分

dz[cosx(y)ye2.解 I0dx111x201x20xyxy7分 ]dx[cosx(yx)yxedydy1xy20xdz3 分

0xdx(1x2y)dy5分

110(x2x2x3)dx6分 417分 483.解 :z5y1分

2分 D:x2y22522I(1y5y)1zxzydxdy 4分

D62dxdy6分

D7分 1502 考试日期:2007年7月9日星期一 高等数学(2)期末 B卷答案及评分标准 120分钟 第 16 页 共 45 页

4. 解 R12分 当x2时收敛4分 当x0时发散6分 收敛域为(0,2]. 7分

11115.解 2分 22xx31xx212 11 3分

x31x6(1)2n1n1xx(1)n5分 3n06n02111(1)nn1xn6分 3n027分 x1x6.解Pesinyy, Qecosy11分

xQP13分 xy由格林公式得Idxdy6分

Da12 a7分

2287.解ye2xdx2C4xedxx23分

ex2[C2ed(x2)]4分

x22 Ce5分

将yx03代入上式得 C16分

x22所求特解为ye7分

8.解 利用高斯公式得

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x24分 I6dv46分 64332 7分

(x)ydsx) yds9.解 I(xy)ds(OAOBBA12分 (xy)ds0xdx2OA114分 (xy)ds0ydy2OB1BA6分 (xy)ds0(x1x)2dx217 I12

高等数学（下）试卷一

一、 填空题

zarctan（1）已知函数（2）交换积分次序，

yzx，则x

2yy220dyf(x,y)dx＝

（3）已知L是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则（4）已知微分方程二、选择题

(xy)ds

Ly2y3y0，则其通解为

x3y2z10（1）设直线L为2xy10z30，平面为4x2yz20，则（ ）

A.

L平行于 B. L在上 C. L垂直于 D. L与斜交

22（2）已知是由曲面4z25(x标系下化成三次积分为（ ） A.

y2)及平面z5所围成的闭区域，将

22(xy)dv在柱面坐

20drdrdz002350r235 B.

20drdrdz00222500435

2C. D.

三、计算题（每题8分，共48分）

20drdr5dz0drdrdz

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x1y2z3x2y1zLL01且平行于直线2：211的平面方程 1、 求过直线1:1zz22zf(xy,xy)，求x， y 2、 已知

3、 设

D{(x,y)xy22xdxdy4}，利用极坐标求

D24、 求函数

f(x,y)e2x(xy22y)的极值

xtsint(2xy3sinx)dx(x2ey)dyLL5、计算曲线积分， 其中为摆线y1cost从点O(0,0)到

A(,2)的一段弧

6、求微分方程

xyyxex满足 yx11的特解

四.解答题（共22分）

22xzdydzyzdzdxzdxdy1、利用高斯公式计算

22zxy，其中由圆锥面

与上半球面

z2x2y2所围成的立体表面的外侧

(10)

2、（1）判别级数

(1)n1n1n3n1的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；（6）

（2）在x(1,1)求幂级数

nxn1n的和函数（6）

高等数学（下）模拟试卷一参

一、填空题：

1、

yx2y2 2、

40dx1f(x,y)dy2xx

x3xyCeCe2123、 4、

二、选择题1.C2. C

三、计算题（每题8分，共48分） 1、解：

A(1,2,3)s1{1,0,1}s2{2,1,1} 2

ins1s21jk01i3jk1

216

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平面方程为 x3yz20 8

2vx2y 2 2、解： 令uxyzzuzvxuxvx

zzuzvyuyvy3、解：D:02f1y2f22xy

6

f12xyf2x2

8

20r2， 3

20232xdxdyrcosdrdDDcos2dr3dr04

8

4．解：

2x2fx(x,y)e(2x2y4y1)012x(,1)fy(x,y)e(2y2)02 得驻点 4

Afxx(x,y)e2x(4x4y28y4),Bfxy(x,y)e2x(4y4),Cfyy(x,y)2e2x6

2211f(,1)eA2e0,ACB4e0极小值为22PQ2x,2yP2xy3sinx,Qxex 5．解：，有y曲线积分与路径无关 2

积分路线选择：L1:

8

y0,x从0，L2:x,y从02 4

L1L2L(2xy3sinx)dx(x2ey)dyPdxQdyPdxQdy200

3sinxdx(2ey)dy22e278

y6．解：

11yexP,Qexxx 2

P(x)dxdxdxP(x)dx[Q(x)edxC]ex[exexdxC]11通解为

ye

4

11[exxdxC][(x1)exC]xx 6

1y[(x1)ex1]y1x代入x1，得C1，特解为 8

四、解答题

1、解：

2xzdydzyzdzdxzdxdy(2zz2z)dvzdv2

4

r3cossindrdd

6

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方法一： 原式＝

20d4cossind020r3dr102

210

方法二： 原式＝

20drdr012r2rzdz2(1r)rdr2 10

n1un131nn1nn1limlim1un(1)n1n3nn1nun33n1n32、解：（1）令收敛， 4

n(1)n1n13绝对收敛。 6 n1

（2）令

s(x)nxxnxn1xs1(x)nn1n1xn1

2



x0s1(x)dxnxdxxnn10n1xx1s1(x)()1x1x(1x)26

5

s(x)x(1x)2x(1,1)

高等数学（下）试卷二

一．填空题 （1）已知函数zexy，则在(2,1)处的全微分dz ；

（2）交换积分次序，

e1dxlnx0f(x,y)dy＝ ；

2ydsyxL（3）已知是抛物线上点O(0,0)与点B(1,1)之间的一段弧，则L ；

（4）已知微分方程y2yy0，则其通解为 .

二．选择题（每空3分，共15分）

xy3z0（1）设直线L为xyz0，平面为xyz10，则L与的夹角为（ ）；

A. 0 B. 2 C. 3 D. 4

z33zf(x,y)z3xyza（2）设是由方程确定，则x（ ）； yzyzxzxy2222xyzzxyxyzzxy A. B. C. D.

考试日期:2007年7月9日星期一 高等数学(2)期末 B卷答案及评分标准 120分钟 第 21 页 共 45 页

（3）微分方程

y5y6yxe2x的特解y的形式为y（ ）；

2xA.(axb)e B.(axb)xe2222x C.(axb)ce22x D.(axb)cxe2x

（4）已知是由球面xy三次积分为（ ）；

zadv所围成的闭区域, 将在球面坐标系下化成

A

2020dsindrdr0a2 B.

2020ddrdr0a

a0C.

20ddrdr00a D.

20dsindr2dr0

5、 求过

A(0,2,4)且与两平面1:x2z1和2:y3z2平行的直线方程 .

，

zxy)，求x6、 已知zf(sinxcosy,ezy .

22D{(x,y)xy1,0yx}，利用极坐标计算

7、 设

arctanDydxdyx .

得分 8、 求函数

f(x,y)x25y26x10y6的极值.

9、 利用格林公式计算

上半圆周(xa)2L(exsiny2y)dx(excosy2)dy，其中L为沿

y2a2,y0、从A(2a,0)到O(0,0)的弧段.

6、求微分方程

四．解答题（共22分）

3yy(x1)2x1的通解.

1、（1）（6）判别级数

(1)n12nsinn13n的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；

xn（2）（4）在区间(1,1)内求幂级数n1n的和函数 .

22xdydzydzdxzdxdy2、(12)利用高斯公式计算，为抛物面zxy2(0z1)的下

侧

高等数学（下）模拟试卷二参

一、填空题： 1、e2dx2e2dy 2、01dyyf(x,y)dxee

1(551)x3、12 4、y(C1C2x)e 二、选择题：（每空3分，共15分） 1. A 2.B3. B 4.D

三、计算题（每题8分，共48分）

考试日期:2007年7月9日星期一 高等数学(2)期末 B卷答案及评分标准 120分钟 第 22 页 共 45 页

1、解：

A(0,2,4)n1{1,0,2}n2{0,1,3} 2

isn1n21j0k22i3jk

0136

xy2z4231 8 直线方程为

sinxcosyvexy 2

zzuzvf1cosxcosyf2exyuxvx x 6 zzuzvf1(sinxsiny)f2exyyuyvy 8

D:00r143、解：， 3

2、解： 令u21yarctandxdyrdrd4drdr00x 8 DDfx(x,y)2x60fy(x,y)10y100 得驻点(3,1) 4 4．解： Afxx(x,y)2,Bfxy(x,y)0,Cfyy(x,y)10 6 A20,ACB2200极小值为f(3,1)8 8

5．解：Pexsiny2y,Qexcosy2，

Qexcosy,x2

Pexcosy2,有y 取

0x,02a 4 从

QP2()dxdy2dxdyaxyLPdxQdyOAPdxQdyDD 6

2A(2a,0),OA:y 原式＝a－

OAPdxQdy＝a20a2 8

31P,Q(x1)2x16．解： 2

通解为

yeP(x)dx[Q(x)e12P(x)dxdxdxx1x12dxC]e[(x1)edxC]131

4

考试日期:2007年7月9日星期一 高等数学(2)期末 B卷答案及评分标准 120分钟 第 23 页 共 45 页

32(x1)[(x1)dxC](x1)[(x1)2C]3 8

四、解答题

n1un123limlim1nnun3un(1)n12nsinn2nsinn334 1、解：（1）令

n2sinn(1)n12nsinn3收敛， n13绝对收敛 6 n12n1sinxns(x)n1n（2）令



nx1s(x)xn11x， 2 n1nn1s(x)s(x)dxs(0)ln(1x)0x

4

2、解：构造曲面1:z1,上侧

12xdydzydzdxzdxdy2xdydzydzdxzdxdy

02

(211)dv4dv420drdr2dz81(1r2)rdr20r11

4 6 8

I22xdydzydzdxzdxdy1

10

2dxdyDxy

高等数学（下）模拟试卷三

12

一． 填空题（每空3分，共21分）

zzexy，则x1．已知

(1,0) 。

2ds221,01,0xy1L上点到的上半弧段，则 。 2．设L为

3

．交换积分顺序

e1dxlnx0f(x,y)dy 。

考试日期:2007年7月9日星期一 高等数学(2)期末 B卷答案及评分标准 120分钟 第 24 页 共 45 页

(1)nn4.级数n15．微分方程

是绝对收敛还是条件收敛？ 。

ysinx的通解为 。

二．选择题（每空3分，共15分）

1．函数zfx,y在点x0,y0的全微分存在是fx,y在该点连续的（ ）条件。

A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分，也非必要

2．平面1:x2yz10与2:2xyz20的夹角为（ ）。

A．6 B．4 C．2 D．3 (x5)nn3．幂级数n1的收敛域为（ ）。

A．

4,6 B．4,6 C．4,6 D．4,6

y1(x)y2(x)常数，则下列（ ）

4．设y1(x),y2(x)是微分方程yp(x)yq(x)y0的两特解且

是其通解（c1,c2为任意常数）。 A．C．

yc1y1(x)y2(x) B．yy1(x)c2y2(x) yy1(x)y2(x) D．yc1y1(x)c2y2(x)

zdv5．在直角坐标系下化为三次积分为（ ），其中为x3,x0,y3,y0，

z0,z3所围的闭区域。

A．D．

03dxdyzdz00300333 B．

30dxdyzdz0033 C．

30dxdyzdz3003

30dxdyzdz

三．计算下列各题（共21分，每题7分）

zz,zlnzexy0xy。 1、已知，求

x1y2z(1,0,2)123的直线方程。 2、求过点且平行直线

3、利用极坐标计算区域。

22(xy)dD，其中D为由x2y24、y0及yx所围的在第一象限的

考试日期:2007年7月9日星期一 高等数学(2)期末 B卷答案及评分标准 120分钟 第 25 页 共 45 页

四．求解下列各题（共20分，第1题8分，第2题12分）

1、利用格林公式计算曲线积分2、判别下列级数的敛散性：

L(y2ex)dx(2xy5xsin2y)dy，其中L为圆域D：

x2y24的边界曲线，取逆时针方向。

(1)(1)n1n11n

n2(2)nn13

五、求解下列各题（共23分，第1、2题各8分，第3题7分）

1、求函数

f(x,y)x312y3x3y12的极值。

x0dyyexy2、求方程dx满足

2的特解。

x3、求方程y2y8y2e的通解。

高等数学（下）模拟试卷三参

一、填空题：（每空3分，共21分）

1、

0,2、2，3、

dy01eeyf(x,y)dx，4、条件收敛， 5、（c为常数），

二、选择题：（每空3分，共15分）1、三、解：1、令F(x,y,z)A，2、D，3、A，4、D，5、B

lnzezxy1

FzyzxxFz1zez 4

FyzxzyFz1zez 7

1,2,32 2、所求直线方程的方向向量可取为x1yz2237 则直线方程为：13、原式

4dr3dr0024

 7

PQ2y,2y5yx3

1、四、解：令

P(x,y)y2ex,Q(x,y)2xy5xsin2y,(D 原式

QP)dxdyxy6

20 8

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2、(1) 此级数为交错级数 1

nn1(n1,2,) 4

故原级数收敛 6

(2) 此级数为正项级数1

因

nlim1n01 ，

1(n1)2n113lim1n3n23n 因 4 故原级数收敛 6

2f(x,y)3x30，fy(x,y)3y0得驻点(1,3),(1,3) 2 五、解：1、由x在(1,3)处

因

Afxx(1,3)6,Bfxy(1,3)0,Cfyy(1,3)1 Afxx(1,3)6,Bfxy(1,3)0,Cfyy(1,3)1

2ACB20,，所以在此处无极值 5

1528

在(1,3)处

因

ACB0,A0，所以有极大值

f(1,3)2、通解

y[exedxc]edx1dx

3

xexcex 6

yx0c2

特解为

y(x2)ex 8

3、1)其对应的齐次方程的特征方程为 r22r80

有两不相等的实根r12,r24

所以对应的齐次方程的通解为

yc1e2xc2e4x（c1,c2为常数） 3

25

2)设其特解y*(x)aex

5aex2ex,a将其代入原方程得

2y*(x)ex56 故特解

3)原方程的通解为yc1ec2e

高等数学（下）模拟试卷四

一、填空题：（每题3分,共21分.）

2x4x2ex57

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2

zx2,1．已知函数zln(xy)，则

。

4．设L为yx1上点(1,0)到0,1的直线段，则L2ds 。

5．将01dx1x20f(x2y2)dy化为极坐标系下的二重积分 。

(1)n26.级数n1n是绝对收敛还是条件收敛？ 。

7．微分方程y2x的通解为 。

二、选择题：（每题3分,共15分.）

1．函数zfx,y的偏导数在点x0,y0连续是其全微分存在的（ ）条件。

A．必要非充分， B．充分， C．充分必要， D．既非充分，也非必要，

2．直线

l:xy2z2110与平面:x2yz3的夹角为（ ）。

A．6 B．3 C．2 D．4

xnn23．幂级数n13n的收敛域为（ ）。

A．(3,3) B．[3,3] C．(3,3] D．[3,3)

*4.设y(x)是微分方程yp(x)yq(x)yf(x)的特解，y(x)是方程yp(x)yq(x)y

0的通解，则下列（ ）是方程yp(x)yq(x)yf(x)的通解。

A．

y(x) B．y(x)y*(x) C．y*(x) D． y*(x)y(x)

在柱面坐标系下化为三次积分为（ ），其中为xRR005．

2zdv2Ry2z2R2的上半球体。

r0A．

2020drdrz2dzddr0RR2r202 B．

20drdrz2dz0

C．

zdz D．

20drdr0RR2r20z2dz

三、计算下列各题（共18分，每题6分）

zz,3z3xyz5xy 1、已知，求

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2、求过点(1,0,2)且平行于平面2xy3z5的平面方程。

(x3、计算

D2y2)dxdy，其中D为

yx、y0及x1所围的闭区域。

四、求解下列各题（共25分，第1题7分,第2题8分，第3题10分）

1、计算曲线积分段弧。

L(x2y)dx(xsiny)dy，其中L为圆周

y2xx2上点(0,0)到(1,1)的一

xdydzydzdxzdxdy2、利用高斯公式计算曲面积分：，其中是由z0,z3,x2y21所围区域的整个表面的外侧。

3、判别下列级数的敛散性：

1n(1)(2)4sin(1)lnn3nn2n1

五、求解下列各题（共21分,每题7分）

1f(x,y)3x26xy32y2131、求函数的极值。

dyyexyx01的特解。 2、求方程dx满足

n

x3、求方程y5y6y(x1)e的通解。

高等数学（下）模拟试卷四参

一、 填空题：（每空3分，共21分）

11、2，2、

22，3

、

20df(r2)rdr01，4、绝对收敛，5、

yx2c（c为常数），

二、选择题：（每空3分，共15分）1、B，2、B，3、B，4、D，5、D

三、解：

31、令F(x,y,z)z3xyz52

Fzyzx2xFzzxy 4

Fyzxz2Fzzxy 6 y2、所求平面方程的法向量可取为2,1,32

则平面方程为：2(x1)1xy3(z2)06

4

3、原式

dx(x2y2)dy0013 6

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四、解：1、令 原式

P(x,y)x2y,Q(x,y)(xsiny),11PQ1yx3

(x20)dx(1siny)dy006

53 7

2、令Px,Qy,Rz2

cos1原式

(PQR)dvxyz5

3dv7

98

3、(1) 此级数为交错级数 1

111lim0lnn(1)(n2,3) 4 因nlnn ，lnn 故原级数收敛 5

(2) 此级数为正项级数1

n143lim1n34nsinn3 因 4 故原级数发散 5

4n1sin五、解：1、由

2fx(x,y)6x60，fy(x,y)4yy0得驻点(1,0),(1,4)

3

Afxx(1,0)6,Bfxy(1,0)0,Cfyy(1,0)4

在(1,0)处

因

ACB20,A0，所以有极小值f(1,0)2 5

Afxx(1,4)6,Bfxy(1,4)0,Cfyy(1,4)4

1dx在(1,4)处 因

ACB20,，所以在此处无极值 7

2、通解

y[exedxc]edx

3

(xc)ex 5

yx0c1,

y(x1)ex 7

yc1e2xc2e3x（c1,c2为常数） 3

特解为

3、1)对应的齐次方程的特征方程为 r25r60 , 有两不相等的实根r12,r23

所以对应的齐次方程的通解为

考试日期:2007年7月9日星期一 高等数学(2)期末 B卷答案及评分标准 120分钟 第 30 页 共 45 页

2)设其特解y*(x)(axb)ex

2ax3a2bx1,a将其代入原方程得

15,b24

15y*(x)(x)ex246 故特解

3)原方程的通解为yc1e2xc2e3x

高等数学（下）模拟试卷五

一． 填空题（每空3分，共24分）

1．

15(x)ex247

ydxxdy0的通解为 ________________

yzxx2．设，则______________________

3．微分方程y2y5y0的通解为

zarctan4．若区域D(x,y)|xy222dxdy4，则

D的和s=

二．选择题：（每题3分，共15分）

1．

1n5．级数n02fx,y在点a,b处两个偏导数存在是fx,y在点a,b处连续的 条件

（A）充分而非必要 （B）必要而非充分

（C）充分必要 （D）既非充分也非必要

10x0 2．累次积分

(A)

dx1f(x,y)dy改变积分次序为

1x0110dyf(x,y)dx0 （B）

dy0f(x,y)dx

（C）

10dyy20f(x,y)dx （D）

10dy2f(x,y)dxy

3．下列函数中， 是微分方程

y5y6yxe3x的特解形式(a、b为常数)

yae3x

3x3xy(axb)eyx(axb)e（A） （B）

（C）yx(axb)e （D）

4．下列级数中，收敛的级数是

23x（A）

n112n1 （B） nn12n1 （C）

(3)nnn12 （D）

(1)nnn1

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zxyz4z5．设，则x xxxxz (A) z (B) 2z (C) z2 (D)

222得分 阅卷人

三、求解下列各题（每题7分，共21分）

zu2lnv,而u1. 设

xzz,v3x4y,y，求xy

xeD23nnn2n12. 判断级数

y2dxdy，其中D为

的收敛性 3.计算

x2y21所围区域

四、计算下列各题（每题10分，共40分）

y1. 求微分方程2.计算二重积分3.求函数

1ylnxx的通解.

DIxydxdy，其中D是由直线yx,x1及x轴围成的平面区域.

f(x,y)y3x26x12y5的极值.

xn2nn44.求幂级数n1的收敛域.

高等数学（下）模拟试卷五参

一．填空题：（每空3分，共24分）

1.

二．选择题：（每题3分，共15分）

yyCx 2.1x2y2xye(C1cos2xC2sin2x) 4.8 3.

5. 2

1. D 2. D 3. B 4. C 5. B 三．求解下列微分方程（每题7分，共21分）

zzuzv2x3x22ln(3x4y)xuxvxy(3x4y)y21.解：

………(4分)

zzuzv2x24x23ln(3x4y)yuyvyy(3x4y)y2 ………(7分)

考试日期:2007年7月9日星期一 高等数学(2)期末 B卷答案及评分标准 120分钟 第 32 页 共 45 页

u2.解：limn1limxuxn3n1(n1)2n13nn2n3. 解：eDx2y2dxdy(5分)= 2 0 2derrdr(5分)0123 1(6分)2所以此级数发散(7分)四．计算下列各题（每题10分，共40分）

1r21=ed 020(e1)(7分)

1.解：原方程的通解为ye1dxx[lnxexdx1dxc] (6分)

1=x[lnxdxC]x[lnxdlnxC]x1x[(lnx)2C](10分)2

1xD 0 02. 解：xydxdy=dx 1xydy(6分) 1312x1=xyydxx2dx(10分) 0 02202 fx(x,y)2x603.解：得驻点 (，3和2)，(3-2)分(42f(x,y)3y120yfxx(x,y)2,fxy(x,y)0f,yx(y,)y6y)在点(3，2处，)A=，-2B，=0C在点(3，-2处，)A=，-2B，=0C

，=12)，=-1A2C22ACB=-24<，故点0，(3不是极值点2)分(7B，且=24>0，A<0故点(3，2)是极大值点，极大值f(3,2)30(10分)

考试日期:2007年7月9日星期一 高等数学(2)期末 B卷答案及评分标准 120分钟 第 33 页 共 45 页

4.解：此幂级数的收敛半径：R=limnanan112nn4lim4(6分)n1(n1)24n1x4时幂级数变为1是收敛的p-级数2n=1n(-1)nx4时幂级数变为2绝对收敛(8分)n=1nxn 所以2n收敛域为[-4，4](10分)n4n1 

高等数学（下册）考试试卷（一）

一、填空题（每小题3分，共计24分）

1、 z=loga(xy)(a0)的定义域为D= 。 2、二重积分

|x||y|122ln(x2y2)dxdy的符号为 。

3、由曲线ylnx及直线xye1，y1所围图形的面积用二重积分表示为 ，其值为 。

4、设曲线L的参数方程表示为x(t)y(t)(x),则弧长元素ds 。

225、设曲面∑为xy9介于z0及z3间的部分的外侧，则

（x2y21)ds 。

dyyytan的通解为 。 dxxx(4)7、方程y4y0的通解为 。

18、级数的和为 。

n(n1)n16、微分方程

二、选择题（每小题2分，共计16分）

1、二元函数zf(x,y)在(x0,y0)处可微的充分条件是（ ） （A）f(x,y)在(x0,y0)处连续；

（B）fx(x,y)，fy(x,y)在(x0,y0)的某邻域内存在；

22（C） zfx(x0,y0)xfy(x0,y0)y当(x)(y)0时，是无穷小；

考试日期:2007年7月9日星期一 高等数学(2)期末 B卷答案及评分标准 120分钟 第 34 页 共 45 页

（D）limzfx(x0,y0)xfy(x0,y0)y(x)(y)22x00。

y0xy2u2u2、设uyf()xf(),其中f具有二阶连续导数，则x2y2等于（ ）

yxxy（A）xy； （B）x； (C)y； (D)0 。

3、设：x2y2z21,z0,则三重积分I20zdV等于（ ）

（A）4（C）

0202ddrsincosdr；（B）ddrsindr；

02000131220ddrsincosdr；（D）01320ddr3sincosdr。

0014、球面x2y2z24a2与柱面x2y22ax所围成的立体体积V=（ ）

 （A）4 （C）820dd2acos02acos4ardr； （B）42d0222acos0r4a2r2dr；

200r4ardr； （D）2d2222acos0r4a2r2dr。

5、设有界闭区域D由分段光滑曲线L所围成，L取正向，函数P(x,y),Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数，则 （A）

PdxQdy(L)

PQQP)dxdy； （B）()dxdy； yxyxDDPQQP （C）()dxdy； （D）()dxdy。

xyxyDD(6、下列说法中错误的是（ ） （A） （B）

方程xy2yxy0是三阶微分方程； 方程y2dydyxysinx是一阶微分方程； dxdx23222（C） 方程(x2xy)dx(y3xy)dy0是全微分方程；

dy12yx（D） 方程是伯努利方程。 dx2x7、已知曲线yy(x)经过原点，且在原点处的切线与直线2xy60平行，而y(x) 满足微分方程y2y5y0，则曲线的方程为y（ ）

x （A）esin2x； （B）e(sin2xcos2x)； x （C）e(cos2xsin2x)； （D）esin2x。

xx8、设limnun0 , 则

nun1n（ ）

（A）收敛； （B）发散； （C）不一定； （D）绝对收敛。

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三、求解下列问题（共计15分） 1、（7分）设f,g均为连续可微函数。uf(x,xy),vg(xxy)， 求

uu。 ,xy2、（8分）设u(x,t)222xtxtf(z)dz，求

uu,。 xt四、求解下列问题（共计15分）。

2、计算I(x1、计算I0（7分） dxeydy。

x2y2)dV，其中是由x2y22z,z1及z2所围成的空间闭区域（8分）

五、（13分）计算ILxdyydx，其中L是xoy面上的任一条无重点且分段光滑不经过原点O(0,0)22xyf(x)f(y)，且f(0)存在，求f(x)。

1f(x)f(y)的封闭曲线的逆时针方向。

六、（9分）设对任意x,y,f(x)满足方程f(xy)n(x2)2n1七、（8分）求级数(1)的收敛区间。

2n1n1

高等数学（下册）考试试卷（二）

1、设2sin(x2y3z)x2y3z，则2、limy0zz 。 xy39xy 。

x0xy3、设I20dx2xxf(x,y)dy，交换积分次序后，I 。

t04、设f(u)为可微函数，且f(0)0,则lim221t3x2y2t2f(x2y2)d 。

5、设L为取正向的圆周xy4，则曲线积分

Ly(yex1)dx(2yexx)dy 。

2226、设A(xyz)i(yxz)j(zxy)k，则divA 。 7、通解为yc1ec2e8、设f(x)x2x的微分方程是 。

1,1,x0，则它的Fourier展开式中的an 。

0x二、选择题（每小题2分，共计16分）。

考试日期:2007年7月9日星期一 高等数学(2)期末 B卷答案及评分标准 120分钟 第 36 页 共 45 页

xy2,241、设函数f(x,y)xy0,x2y20x2y20 ,则在点（0，0）处（ ）

（A）连续且偏导数存在； （B）连续但偏导数不存在； （C）不连续但偏导数存在； （D）不连续且偏导数不存在。 2、设u(x,y)在平面有界区域D上具有二阶连续偏导数，且满足

2u2u2u0 及 2 20，

xxyy则（ ）

（A）最大值点和最小值点必定都在D的内部； （B）最大值点和最小值点必定都在D的边界上；

（C）最大值点在D的内部，最小值点在D的边界上； （D）最小值点在D的内部，最大值点在D的边界上。 3、设平面区域D：(x2)2(y1)21，若I123，(xy)dI(xy)d 2DD则有（ ）

（A）I1I2； （B） I1I2； （C）I1I2； （D）不能比较。 4、设是由曲面zxy,yx,x1及z0 所围成的空间区域，则 （A）

23xyzdxdydz =（ ） 1111； （B）； （C） ； （D）。 3613623633x(t)f(x,y)5、设在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为 (t)，其中

y(t)(t),(t)在[,]上具有一阶连续导数，且2(t)2(t)0， 则曲线积分f(x,y)dsL（ ） (A) (C)

f((t),(t))dt； (B)

f((t),(t))2(t)2(t)dt ；

f((t),(t))2(t)2(t)dt； (D)f((t),(t))dt。

2226、设是取外侧的单位球面xyz1， 则曲面积分

xdydzydzdxzdxdy =（ ）

(A) 0 ； (B) 2 ； (C) ； (D)4。

7、下列方程中，设y1,y2是它的解，可以推知y1y2也是它的解的方程是（ ） (A) yp(x)yq(x)0； (B) yp(x)yq(x)y0； (C) yp(x)yq(x)yf(x)； (D) yp(x)yq(x)0。 8、设级数

an1n为一交错级数，则（ ）

考试日期:2007年7月9日星期一 高等数学(2)期末 B卷答案及评分标准 120分钟 第 37 页 共 45 页

(A)该级数必收敛； (B)该级数必发散；

(C)该级数可能收敛也可能发散； (D)若an0(n0)，则必收敛。 三、求解下列问题（共计15分） 1、（8分）求函数uln(x的方向的方向导数。

2、（7分）求函数f(x,y)x2y(4xy)在由直线xy6,y0,x0所围成的闭区域D上的最大值和最小值。

四、求解下列问题（共计15分） 1、（7分）计算I的立体域。

2、（8分）设f(x)为连续函数，定义F(t)222[zf(xy)]dv， y2z2)在点A（0，1，0）沿A指向点B（3，-2，2）

dv，其中是由x0,y0,z0及xyz1 所围成3(1xyz)其中(x,y,z)|0zh,x2y2t2，求五、求解下列问题（15分） 1、（8分）求IdF。 dtL经yaxx2(exsinymy)dx(excosym)dy，其中L是从A（a，0）

222222，其中是xyz(0za) 的外侧。 xdydzydzdxzdxdy到O（0，0）的弧。 2、（7分）计算I六、（15分）设函数(x)具有连续的二阶导数，并使曲线积分



L[3(x)2(x)xe2x]ydx(x)dy与路径无关，求函数(x)。

高等数学（下册）考试试卷（三）

一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、设uyzxzetdt， 则

2u 。 z2、函数f(x,y)xysin(x2y)在点（0，0）处沿l(1,2)的方向导数

fl(0,0)= 。

22 3、设为曲面z1xy,z0所围成的立体，如果将三重积分I对z再对y最后对x三次积分，则I= 。 4、设f(x,y)为连续函数，则Ilimt0f(x,y,z)dv化为先

1t2Df(x,y)d ，其中D:x2y2t2。

5、

L(x2y2)ds ，其中L:x2y2a2。

考试日期:2007年7月9日星期一 高等数学(2)期末 B卷答案及评分标准 120分钟 第 38 页 共 45 页

6、设是一空间有界区域，其边界曲面是由有限块分片光滑的曲面所组成，如果函数P(x,y,z)，Q(x,y,z)，R(x,y,z)在上具有一阶连续偏导数，则三重积分与第二型曲面积分之间有关系式： ， 该关系式称为 公式。 7、微分方程y6y9yx26x9的特解可设为y* 。

(1)n1 8、若级数发散，则p 。 pnn1二、选择题（每小题2分，共计16分）

f(xa,b)f(ax,b)=（ ）

x0x1 （A）fx(a,b)；（B）0；（C）2fx(a,b)；（D）f(a,b)。

2x 1、设fx(a,b)存在，则lim 2、设zx，结论正确的是（ ）

y22z2z2z2z（A）0； （B）0；

xyyxxyyx2z2z2z2z（C）0； （D）0。

xyyxxyyx3、若f(x,y)为关于x的奇函数，积分域D关于y轴对称，对称部分记为D1,D2，f(x,y)在D上连

续，则

f(x,y)d（ ）

D （A）0；（B）2

（C）4f(x,y)d； (D)2f(x,y)d。 f(x,y)d；

D1D1D24、设：x2y2z2R2，则

(x2y2)dxdydz=（ ）

8545816R5； （D）R5。

3315155、设在xoy面内有一分布着质量的曲线L，在点(x,y)处的线密度为(x,y)，则曲线弧Ｌ的重心的x （A）R； （B）R； （C）坐标x为（ ） （Ａ）x=（C）x=

1MLx(x,y)ds； （B）x=

1MLx(x,y)dx；

1xds, 其中M为曲线弧Ｌ的质量。 LML22６、设为柱面xy1和x0,y0,z1在第一卦限所围成部分的外侧，则 曲面积分

x(x,y)ds； （D）x=

22yzdxdyxzdydzxydxdz＝（ ）  （A）0； （B）4； （C）

5； （D）。 244７、方程y2yf(x)的特解可设为（ ）

x （A）A，若f(x)1； （B）Ae，若f(x)e；

x考试日期:2007年7月9日星期一 高等数学(2)期末 B卷答案及评分标准 120分钟 第 39 页 共 45 页

（C）AxBxCxDxE，若f(x)x22x； （D）x(Asin5xBcos5x)，若f(x)sin5x。

432x0，则它的Fourier展开式中的an等于（ ）

0x24[1(1)n]； （B）0； （C）1； （D） （A）。 nnn三、（１２分）设yf(x,t),t为由方程 F(x,y,t)0 确定的x,y的函数，其中f,F具有一阶连

８、设f(x)1,1续偏导数，求

dydx。

四、（８分）在椭圆x24y24上求一点，使其到直线2x3y60的距离最短。 五、（８分）求圆柱面x2y22y被锥面z六、（１２分）计算I的外侧。

x2y2和平面z0割下部分的面积Ａ。

222，其中为球面 xyz1 的x0,y0部分 xyzdxdydf(cosx)1sin2x，求f(x)。

d(cosx)八、（10分）将函数f(x)ln(1xx2x3)展开成x的幂级数。

七、（10分）设

高等数学（下册）考试试卷（一）参

2222一、1、当0a1时，0xy1；当a1时，xy1；

2、负号； 3、

dD10dye1yeydx;3； 4、2(t)2(t)dt； 25、180； 6、sinyCx； x2x7、yC1cos2xC2sin2xC3e三、1、

C4e2x； 8、1；

二、1、D； 2、D； 3、C； 4、B； 5、D； 6、B； 7、A； 8、C；

uuf1yf2；xg(xxy)； xyuuf(xt)f(xt)；f(xt)f(xt)； 2、xt222y21y2y2y24四、1、dxedydyedxyedy(1e)；

0x0002柱面坐标22222214332、Iddrrdzddr12rdz；

00102r32考试日期:2007年7月9日星期一 高等数学(2)期末 B卷答案及评分标准 120分钟 第 40 页 共 45 页

Py2x2Q则，(x,y)(0,0)； 2y(xy2)2xPQ于是①当L所围成的区域D中不含O（0，0）时，在D内连续。所以由Green公式得：I=0；,yxPQ②当L所围成的区域D中含O（0，0）时，在D内除O（0，0）外都连续，此时作曲线l为,yxx2y22(01)，逆时针方向，并假设D*为L及l所围成区域，则

QPIGreen公式()dxdy2

LllLllxyD*x2y22yx五、令P2,Qxy2x2y2六、由所给条件易得： f(0)2f(0)f(0)0

1f2(0)f(x)f(x)f(x)1f(x)f(x)f(xx)f(x)又f(x)lim =lim

x0x0xx1f2(x)f(x)f(0) lim f(0)[1f2(x)] x01f(x)f(x)xf(x)即 f(0)

1f2(x)fn(x)f(0)xc即 f(x)tan[f(0)xc] arcta又 f(0)0 即ck,kZ f(x)tanf((0)x)

t2n1 七、令x2t，考虑级数(1)

2n1n1nt2n33t2 lim2nnt2n12n1当t21即t1时，亦即1x3时所给级数绝对收敛；

当t1即x3或x1时，原级数发散；

1收敛； 2n1n11n当t1即x3时，级数(1)收敛；

2n1n1级数的半径为R=1，收敛区间为[1，3]。

当t1即x1时，级数

(1)n1

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高等数学（下册）考试试卷（二）参

一、1、1； 2、-1/6； 3、

20dyyy/2f(x,y)dxdy242y/2f(x,y)dx ； 4、

2f(0)； 35、8； 6、2(xyz)； 7、yy2y0； 8、0；

二、1、C； 2、B； 3、A； 4、D； 5、C； 6、D； 7、B； 8、C； 三、1、函数uln(xy2z2)在点A（1，0，1）处可微，且

(1,0,1)uxuyA1xyz1xyz22221/2；

Ayyz22(1,0,1)0；

uzA1xyz22zyz22(1,0,1)1/2

21,),故在A点沿lAB方向导数为： 33uuuucos ++cosAAAcos Alxzy12211 0()1/2.

23323fx2xy(4xy)xy(1)02、由得D内的驻点为M0(2,1),且f(2,1)4， 2fyx(4x2y)0 又f(0,y)0,f(x,0)0

而lAB(2,2,1),所以l(, 而当xy6,x0,y0时，f(x,y)2x312x2 令(2x312x2)0得x10,x24

于是相应y16,y22且f(0,6)0,f(4,2).

f(x,y)在D上的最大值为f(2,1)4，最小值为f(4,2).

23(0x6)

0x1四、1、的联立不等式组为:0yx1

0z1xy所以I10dx11 20dz

00(1xyz)31x11dx[]dy

0(1xy)241xdy1xy考试日期:2007年7月9日星期一 高等数学(2)期末 B卷答案及评分标准 120分钟 第 42 页 共 45 页

1113x15)dxln2 (20x142162、在柱面坐标系中 F(t)所以

201ddr[zf(r)]rdz2[hf(r2)rh3r]dr

0003th22tdF112[hf(t2)th3t]2ht[f(t2)h2] dt33五、1、连接OA，由Green公式得：

ILOAOALOAOA

Green公式x2y2ax,y0xx(ecosyecosym)dxdy0 1ma2 8za2、作辅助曲面1:2 ，上侧，则由Gauss公式得： 22xya I+=

1111 =

22xyz2,0za2(xyz)dxdydzx2y2a22adxdy

=2a0dzax2y2z2zdxdya4

102六、由题意得：3(x)2(x)xe2x(x) 即(x)3(x)2(x)xe2x

2z3dza4a4

特征方程r3r20，特征根r11,对应齐次方程的通解为：yc1ec2e

x2x2r22

*2x又因为2是特征根。故其特解可设为：yx(AxB)e

代入方程并整理得：A即 y*1,2B1

1x(x2)e2x 2x2x故所求函数为：(x)c1ec2e

1x(x2)e2x 2考试日期:2007年7月9日星期一 高等数学(2)期末 B卷答案及评分标准 120分钟 第 43 页 共 45 页

高等数学（下册）考试试卷（三）参

一、1、yey2z2xex2z2； 2、5； 3、

11dx1x21x2dy1x2y20f(x,y,z)dz；

4、f(0,0);5、2a3； 6、(PQR)dvPdydzQdzdxRdxdy， xyzGauss公式； 7、Ax2BxC 8、P0。

二、1、C； 2、B； 3、A ； 4、C ； 5、A ； 6、D ； 7、B ； 8、B

三、由于dyfx(x,t)dxft(x,t)dt，FxdxFydyFtdt0

dyfxFtftFx由上两式消去dt，即得： dxFtftFy四、设(x,y)为椭圆x24y24上任一点，则该点到直线2x3y60的距离为

d62x3y13 ；令L(62x3y)2(x24y24)，于是由：

Lx4(62x3y)2x0 Ly6(62x3y)8y0 22Lx4y4083838383得条件驻点：M1(,),M2(,),M3(,),M4(,)

3555555562x3y 依题意，椭圆到直线一定有最短距离存在，其中dmin1322zxy五、曲线在yoz面上的

22xy2yz22y(0yz)投影为

x0 于是所割下部分在yoz面上的投影域为：

0y2Dyz:， y 0z2y由图形的对称性，所求面积为第一卦限部分的两倍。 A2 2M113即为所求。 13Dyz1(x2x)()2d x yz2Dyzdydz2yy2dy122y0dz2yy28

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2222六、将分为上半部分1:z1xy和下半部分2:z1xy，

1,2在面xoy上的投影域都为：Dxy:x2y21,x0,y0, 于是：

xyzdxdy1极坐标Dxy11x2y2dxdy

1； 00151 xyzdxdyxy(1x2y2)(dxdy)，

152Dxy

2d2sincos12d I1=

22 15df(cosx)1sin2x，即f(cosx)1sin2x

d(cosx)13 所以f(x)2x2 f(x)2xxc

3八、f(x)ln[(1x)(1x2)]ln(1x)ln(1x2)

七、因为

(1)n1n 又ln(1u)u,u(1,1]

nn1(1)n1n(1)n12nxx,x(1,1] f(x)nnn1n1(1)n1n x(1xn),x(1,1]

nn1

考试日期:2007年7月9日星期一 高等数学(2)期末 B卷答案及评分标准 120分钟 第 45 页 共 45 页