精选高中模拟试卷
威远县二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 在正方体ABCDA1B1C1D1中，E,F 分别为BC,BB1的中点，则下列直线中与直线 EF相交
的是（ ）
A．直线AA1 B．直线A1B1 C. 直线A1D1 D．直线B1C1 2． 设集合S=|x|x＜﹣1或x＞5}，T={x|a＜x＜a+8}，且S∪T=R，则实数a的取值范围是（ ） A．﹣3＜a＜﹣1 B．﹣3≤a≤﹣1 C．a≤﹣3或a≥﹣1 D．a＜﹣3或a＞﹣1 3． 设sin（A．﹣
+θ）=，则sin2θ=（ ）
B．﹣
C．
D．
，M为A1B1的中点，则AM与平面AA1C1C所成
4． 在直三棱柱中，∠ACB=90°，AC=BC=1，侧棱AA1=角的正切值为（ ） A．
B．
C．
D．
5． 等比数列的前n项，前2n项，前3n项的和分别为A，B，C，则（ ） A．B2=AC
B．A+C=2B
C．B（B﹣A）=A（C﹣A）
）的图象向左平移
D．B（B﹣A）=C（C﹣A）
6． 把函数y=cos（2x+φ）（|φ|＜对称，则φ的值为（ ） A．﹣
B．﹣
C．
个单位，得到函数y=f（x）的图象关于直线x=
D．
7． 若复数z满足=i，其中i为虚数单位，则z=（ ）
D．﹣1+i
A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i 则正方体棱长为（ ）
8． 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是线段A1C1的中点，若四面体M-ABD的外接球体积为36p， A．2 B．3 C．4 D．5
【命题意图】本题考查以正方体为载体考查四面体的外接球半径问题，意在考查空间想象能力和基本运算能力． 9． 已知点A（0，1），B（3，2），向量A．（﹣7，﹣4）
B．（7，4）
=（﹣4，﹣3），则向量C．（﹣1，4）
=（ ）
D．（1，4）
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10．如图，△ABC所在平面上的点Pn（n∈N*）均满足△PnAB与△PnAC的面积比为3；1，（2xn+1）（ ）
（其中，{xn}是首项为1的正项数列），则x5等于
=﹣
A．65
B．63 C．33 D．31
11．已知函数f（x）=围是（ ）
A．（0，1） B．（1，+∞） 12．已知函数f（x）=31+|x|﹣A．
B．
若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则实数k的取值范
C．（﹣1，0） D．（﹣∞，﹣1）
，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（ ）
C．（﹣，） D．
二、填空题
13．椭圆
+
=1上的点到直线l：x﹣2y﹣12=0的最大距离为 ．
14．直线ax﹣2y+2=0与直线x+（a﹣3）y+1=0平行，则实数a的值为 ．
15．x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f（x）=x﹣[x]的最小正周期是 ．
16．直线x2yt0与抛物线y216x交于A，B两点，且与x轴负半轴相交，若O为坐标原点，则
OAB面积的最大值为 . 【命题意图】本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，意在考查分析问题以及解决问题的能力. 17．不等式 ．
的解集为R，则实数m的范围是
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18．在直三棱柱中，∠ACB=90°，AC=BC=1，侧棱AA1=角的正切值为（ ） A．
B．
C．
，M为A1B1的中点，则AM与平面AA1C1C所成
D．
三、解答题
19．已知f（x）=log3（1+x）﹣log3（1﹣x）． （1）判断函数f（x）的奇偶性，并加以证明； （2）已知函数g（x）=log
20．（本小题满分12分）
如图（1），在三角形PCD中，AB为其中位线，且2BDPC，若沿AB将三角形PAB折起，使
，当x∈[，
]时，不等式 f（x）≥g（x）有解，求k的取值范围．
PAD，构成四棱锥PABCD，且
（1）求证：平面 BEF平面PAB； （2）当 异面直线BF与PA所成的角为
PCCD2. PFCE时，求折起的角度. 3
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21．已知平面直角坐标系xoy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为0），设点A（1，）． （1）求该椭圆的标准方程；
，右顶点为D（2，
（2）若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程；
（3）过原点O的直线交椭圆于B，C两点，求△ABC面积的最大值，并求此时直线BC的方程．
22．某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：
[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]（Ⅰ）求图中x的值，并估计该班期中考试数学成绩的众数；
（Ⅱ）从成绩不低于90分的学生和成绩低于50分的学生中随机选取2人，求这2人成绩均不低于90分的概率．
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23．啊啊已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的参数方程为
2
（t为参数），圆C的极坐标方程为p+2psin（θ+
2
）+1=r（r＞0）．
（Ⅰ）求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程； （Ⅱ）若圆C上的点到直线l的最大距离为3，求r值．
n*24．（本题12分）已知数列{xn}的首项x13，通项xn2pnq（nN，p，为常数），且x1，x4，x5成等差数列，求：
（1）p，q的值；
（2）数列{xn}前项和Sn的公式.
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威远县二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参）
一、选择题
1． 【答案】D 【解析】
试题分析：根据已满治安的概念可得直线AA1,A1B1,A1D1都和直线EF为异面直线，B1C1和EF在同一个平面内，且这两条直线不平行；所以直线B1C1和EF相交，故选D. 考点：异面直线的概念与判断.
2． 【答案】A
【解析】解：∵S=|x|x＜﹣1或x＞5}，T={x|a＜x＜a+8}，且S∪T=R， ∴
故选：A．
，解得：﹣3＜a＜﹣1．
【点评】本题考查并集及其运算，关键是明确两集合端点值间的关系，是基础题．
3． 【答案】A
【解析】解：由sin（
+θ）=sin
cosθ+cos
sinθ=
（sinθ+cosθ）=，
两边平方得：1+2sinθcosθ=，即2sinθcosθ=﹣， 则sin2θ=2sinθcosθ=﹣． 故选A
【点评】此题考查学生灵活运用二倍角的正弦函数公式、两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题．
4． 【答案】D 【解析】解：双曲线
（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x
联立方程组，解得A（，），B（，﹣），
设直线x=与x轴交于点D
∵F为双曲线的右焦点，∴F（C，0）
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∵△ABF为钝角三角形，且AF=BF，∴∠AFB＞90°，∴∠AFD＞45°，即DF＜DA ∴c﹣
＜
222222
，b＜a，c﹣a＜a∴c＜2a，e＜2，e＜
又∵e＞1
∴离心率的取值范围是1＜e＜故选D
【点评】本题主要考查双曲线的离心率的范围的求法，关键是找到含a，c的齐次式，再解不等式．
5． 【答案】C 【解析】解：若公比q=1，则B，C成立； 故排除A，D； 若公比q≠1， 则A=Sn=B（B﹣A）=
A（C﹣A）=
（
﹣
，B=S2n=
，C=S3n=
）=
，
n
n
n
（﹣
（1﹣q）（1﹣q）（1+q）
）=
nnn
（1﹣q）（1﹣q）（1+q）；
故B（B﹣A）=A（C﹣A）； 故选：C．
【点评】本题考查了等比数列的性质的判断与应用，同时考查了分类讨论及学生的化简运算能力．
6． 【答案】B
【解析】解：把函数y=cos（2x+φ）（|φ|＜得到函数y=f（x）=cos[2（x+则2×
+φ+
）的图象向左平移
个单位，
对称，
）+φ]=cos（2x+φ+）的图象关于直线x=
，
=kπ，求得φ=kπ﹣，k∈Z，故φ=﹣
故选：B．
7． 【答案】A
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【解析】解：可得z=1﹣i． 故选：A．
8． 【答案】C
=i，则=i（1﹣i）=1+i，
9． 【答案】A
【解析】解：由已知点A（0，1），B（3，2），得到则向量
=
=（﹣7，﹣4）；
故答案为：A．
=（3，1），向量
=（﹣4，﹣3），
【点评】本题考查了有向线段的坐标表示以及向量的三角形法则的运用；注意有向线段的坐标与两个端点的关系，顺序不可颠倒．
10．【答案】 D
【解析】解：由得设
+（2xn+1）
==，
﹣（2xn+1），
，
以线段PnA、PnD作出图形如图，
则，
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∴，∴，
∵，∴，
则，
即xn+1=2xn+1，∴xn+1+1=2（xn+1），
则{xn+1}构成以2为首项，以2为公比的等比数列，
4
∴x5+1=2•2=32，
则x5=31． 故选：D．
【点评】本题考查了平面向量的三角形法则，考查了数学转化思想方法，训练了利用构造法构造等比数列，考查了计算能力，属难题．
11．【答案】A
【解析】解：函数f（x）=
的图象如下图所示：
由图可得：当k∈（0，1）时，y=f（x）与y=k的图象有两个交点， 即方程f（x）=k有两个不同的实根， 故选：A
12．【答案】A
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【解析】解：函数f（x）=3
1+x
当x≥0时，f（x）=3﹣
1+|x|
﹣
为偶函数，
∵此时y=3
1+x
为增函数，y=为减函数，
∴当x≥0时，f（x）为增函数， 则当x≤0时，f（x）为减函数， ∵f（x）＞f（2x﹣1）， ∴|x|＞|2x﹣1|， ∴x2＞（2x﹣1）2， 解得：x∈故选：A．
【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的奇偶性，函数的单调性，难度中档．
，
二、填空题
13．【答案】 4
．
【解析】解：由题意，设P（4cosθ，2则P到直线的距离为d=当sin（θ﹣
sinθ）
=
，
，
）=1时，d取得最大值为4
故答案为：4．
14．【答案】1
【解析】 【分析】利用两直线平行的条件，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，求得实数a的值． 【解答】解：直线ax﹣2y+2=0与直线x+（a﹣3）y+1=0平行， ∴
故答案为 1．
15．【答案】 [1，）∪（9，25] ．
，解得 a=1．
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【解析】解：∵集合
2
得 （ax﹣5）（x﹣a）＜0，
，
当a=0时，显然不成立， 当a＞0时，原不等式可化为
，
若
时，只需满足 ，
解得若
；
，只需满足 ，
解得 9＜a≤25， 综上，
当a＜0时，不符合条件， 故答案为[1，）∪（9，25]．
【点评】本题重点考查分式不等式的解法，不等式的性质及其应用和分类讨论思想的灵活运用，属于中档题．
16．【答案】【
5123 9解
析
】
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17．【答案】
【解析】解：不等式x2﹣8x+20＞0恒成立
2
可得知：mx+2（m+1）x+9x+4＜0在x∈R上恒成立． 2
显然m＜0时只需△=4（m+1）﹣4m（9m+4）＜0，
．
，
解得：m＜﹣或m＞ 所以m＜﹣ 故答案为：
18．【答案】 则DM∥C1B1，
【解析】解：法1：取A1C1的中点D，连接DM， 在在直三棱柱中，∠ACB=90°， ∴DM⊥平面AA1C1C，
则∠MAD是AM与平面AA1C1C所的成角， 则DM=，AD=
=
=，
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则tan∠MAD=．
法2：以C1点坐标原点，C1A1，C1B1，C1C分别为X，Y，Z轴正方向建立空间坐标系， 则∵AC=BC=1，侧棱AA1=∴
=（﹣，，﹣
），
，M为A1B1的中点，
=（0，﹣1，0）为平面AA1C1C的一个法向量
设AM与平面AA1C1C所成角为θ， 则sinθ=|则tanθ= 故选：A
|=
【点评】本题考查的知识点是直线与平面所成的角，其中利用定义法以及建立坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，将线面夹角问题转化为向量夹角问题是解答本题的关键．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）f（x）=log3（1+x）﹣log3（1﹣x）为奇函数． 理由：1+x＞0且1﹣x＞0，得定义域为（﹣1，1），（2分） 又f（﹣x）=log3（1﹣x）﹣log3（1+x）=﹣f（x）， 则f（x）是奇函数.
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（2）g（x）=log=2log3
，（5分）
又﹣1＜x＜1，k＞0，（6分） 由f（x）≥g（x）得log3即
≥
≥log3
，
，（8分）
即k2≥1﹣x2，（9分）
x∈[，]时，1﹣x2最小值为，（10分）
2
则k≥，（11分）
又k＞0，则k≥，
].
即k的取值范围是（﹣∞，
【点评】本题考查函数的奇偶性的判断和证明，考查不等式有解的条件，注意运用对数函数的单调性，考查运算化简能力，属于中档题．
20．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】
试题分析：（1）可先证BAPA，再证CDFE,CDBE可得CDBAAD从而得到BA平面PAD，平面BEF,由CD//AB,可证明平面BEF平面PAB；（2）由PAD,取BD的中点G，连接FG,AG,可得PAG即为异面直线BF与PA所成的角或其补角,即为所折起的角度.在三角形中求角即可. 1 试题解析：
2． 3第 14 页，共 19 页
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（2）因为PAD，取BD的中点G，连接FG,AG，所以FG//CD，FG1CD，又AB//CD，21ABCD，所以FG//AB，FGAB，从而四边形ABFG为平行四边形，所以BF//AG，得；同时，
22因为PAAD，PAD，所以PAD，故折起的角度.
3考点：点、线、面之间的位置关系的判定与性质． 21．【答案】
【解析】解；（1）由题意可设椭圆的标准方程为，c为半焦距．
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∵右顶点为D（2，0），左焦点为∴a=2，
，
．
， ．
∴该椭圆的标准方程为
（2）设点P（x0，y0），线段PA的中点M（x，y）．
由中点坐标公式可得，解得．（*）
∵点P是椭圆上的动点，∴．
把（*）代入上式可得，可化为．
即线段PA的中点M的轨迹方程为一焦点在x轴上的椭圆
（3）①当直线BC的斜率不存在时，可得B（0，﹣1），C（0，1）． ∴|BC|=2，点A
到y轴的距离为1，∴
=1；
．
②当直线BC的斜率存在时，设直线BC的方程为y=kx，B（x1，y1），C（﹣x1，﹣y1）（x1＜0）． 联立∴∴|BC|=
22
，化为（1+4k）x=4．解得
，
=
． =2
．
又点A到直线BC的距离d=．
∴==，
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∴==，
令f（k）=，则
．列表如下：
．
令f′（k）=0，解得
又由表格可知：当k=
综上可得：当k=
时，函数f（x）取得极小值，即
→1．
，即
取得最大值2，即
．
．
而当x→+∞时，f（x）→0，
时，△ABC的面积取得最大值
【点评】熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、中点坐标公式及“代点法”、分类讨论的思想方法、直线与椭圆相交问题转化为直线的方程与椭圆的方程联立解方程组、两点间的距离公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、利用导数研究函数的单调性及其极值．
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由（0.006×3+0.01+0.054+x）×10=1，解得x=0.018，
前三组的人数分别为：（0.006×2+0.01+0.018）×10×50=20，第四组为0.054×10×50=27人，故数学成绩的众数落在第四组，故众数为75分．
（Ⅱ）分数在[40，50）、[90，100]的人数分别是3人，共6人， ∴这2人成绩均不低于90分的概率P=
=．
【点评】本题考查频率分布直方图及古典概型的问题，前者要熟练掌握直方图的基本性质和如何利用直方图求众数；后者往往和计数原理结合起来考查．
23．【答案】
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【解析】解：（Ⅰ）根据直线l的参数方程为消去参数，得 x+y﹣
=0，
=0，
2
）+1=r（r＞0）．
（t为参数），
直线l的直角坐标方程为x+y﹣
2
∵圆C的极坐标方程为p+2psin（θ+
∴（x+
2
）+（y+22
）=r（r＞0）．
2
）+（y+
22
）=r（r＞0）．
∴圆C的直角坐标方程为（x+（Ⅱ）∵圆心C（﹣圆心C到直线x+y﹣
，﹣
），半径为r，…（5分）
=2，
=0的距离为d=
又∵圆C上的点到直线l的最大距离为3，即d+r=3， ∴r=3﹣2=1．
【点评】本题重点考查了曲线的参数方程和普通方程的互化、极坐标方程和直角坐标方程的互化等知识．
24．【答案】（1）p1,q1；（2）Sn2n12n(n1). 2考
点：等差，等比数列通项公式，数列求和.
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