名师辅导：2012考研数学强化阶段重要题型攻略之高等数学(七)

——含中值等式证明题

万学海文

含中值等式的证明是考试的热点与难点，辅助函数的构造是一个难点，下面，万学海文的数学钻石卡考研辅导专家们就为2012年考研的同学介绍几种常见辅助函数的构造.

证明：(a,b),使得G,f(),f(),0.

构造辅助函数F(x),再用罗尔定理.F(x)的构造方法如下：

(1) 积分法

① 将换成x得G[x,f(x),f(x)]0； ② 恒等变形,便于积分；

③ 积分,分离变量得F(x,f(x))C.

(2) 公式法

若欲证等式可变形为f(x)P(x)f(x)0,则应取辅助函数为

F(x)f(x)eP(x)dx.

(3) 经验法

条件中有定积分,则辅助函数为被积函数.

【例1】设f(x)在[1, 2]上连续,在(1, 2)内可导且f(1)1, f(2)2. 2求证:(1, 2)使f()2f().

证：只要证 f()2f()0

f(x) 2x令 F(x)则 F(1)f(1)1f(2)1， ，F(2)242由罗尔定理知(1,2)，使

2f()2f()F()0，即0 4从而有f()2f()0 原题得证.

1fx【例2】设函数f(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且earctanxdx,

022f10，证明：至少存在一点0,1，使12arctanf1.

证：设F(x)ef(x)arctanx，

2f由积分中值定理，存在[0,]，使得earctan,即F()

44F(1)4

由于F(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，F()F(1)， 由罗尔定理存在,1使得F()0

因为F(x)ef(x)ef(x)21arctanf1. f(x)，即21x...........................................................