07高数B(2)A卷参考解答与评分标准

广东工业大学考试试卷参考解答及评分标准(A卷) 课程名称: 高等数学B（2） 试卷满分 100 分 考试时间: 2008 年 7 月 4 日 ( 第 19 周 星期 五 ) 一、选择题 （每小题4分，共20分）： 1 A 2 C 3 B 4 C 5 D 二、填空题 （每小题4分，共20分）： 1．4． yxlnxxC2ab ； 2．x22xR23 ； 3． a0 ； ； 5．三．计算题（每小题10分，共5小题50分） 1n1(1)x1 1. 解：令：f(x) ，由于： lim，故：R1 n1nn1nn1n （2分） (1)n1(1)2n1因：收敛，发散，故原级数的收敛区域为：(1,1]。 （2分） nnn1n1由逐项微分之性质， (1)n1xn(1)n1nxn11， f'(x)[](1)n1xn1nn1xn1n1n1xx （3分） 由逐项积分之性质，得：f(x)f(0)f'(t)dt001dtln(1x) 1t（2分） (1)n1xn所以：ln(1x)nn1(1x1) （1分） 广东工业大学试卷用纸，共3页，第1页

三．计算题（每小题10分，共5小题50分） 2. 解：设：F(x,y,z)xlnz ，则： （1分） zyFyz1Fxy1xzF1 ， ，(2)22 ， （4分） yzyyzzzyzxzzzzz2 从而 ， ， ， （4分） xzxyy(zx)zz2z所以，得：dzdxdy(ydxzdy) （1分） zxy(zx)y(zx)3. 解：设：ux2y2 ，则： （2分） limx0y0x2y2sinx2y2(xy)2322limu0usinu1cosu1 （8分） lim32u06u3u 4. 解：已知积分区域 D:x0,y0,x2y24. 在极坐标系下，区域 D:2220,0r2 （2分） 2Isin(xy)dxdy2drsinr2dr （3分） D0012021cos4dsinrd(r)0222202d(1cos4)4 （5分） 5. 解：由：f(x)2x(xt)f(t)dt 两边对x求导数得： 0x f(x)2f(t)dtxf(x)xf(x)2f(t)dt ， （2分） 00xx 上式两边再对x求导数得：f(x)f(x) ，记：yf(x) ， （2分） 可得微分方程：yy0 ， 对应的特征方程为：r210 ，特征根为：ri， （2分） 通解为：yC1cosxC2sinx ，（C1,C2为任意常数） 即：f(x)C1cosxC2sinx ，（C1,C2为任意常数） （2分） 代入初始条件后得：f(x)2sinx （2分） 广东工业大学试卷用纸，共3页，第2页

四、某地区计划投资162百万元对A、B两类厂进行技术改造，完成一个A厂改造需6百 万元，完成一个B厂改造需4百万元，若改造x个A厂和y个B厂，可使该地区年 总利润增加值为：f(x,y)Kxy3x2y(K0) ，问如何使用资金进行改造能使 年总利润增加值最大。 （10分） 解：本题为条件极值问题，设： F(x,y,)Kxy3x2y(1626x4y) （3分） 112令： FxKx3y33603221FyKx3y3240323132313(1) ， (2) （3分） F1626x4y0(3) 解得：x18,y13.5 ， （3分） 依题意，存在最大值，又驻点惟一，故：(18,13.5)为最大值点， 即完成18个A厂和13个B厂的改造能使年总利润增加值最大。 （1分）

广东工业大学试卷用纸，共3页，第3页