从一道例题看高等代数中的常用方法

于对角矩阵”这一结论，由 '展示了高等代数解题中常用的思想方法•关键词幕等矩阵；对角矩阵；最小多项式；标准形中图分类号 O151 文献标识码 A 文章编号 1008 - 1399(2020)01 - 0085 - 02Common Methods in Higher Algebra through an ExampleZENG Liwei, LIU Shuxia, and MA ChangiiCollege of Mathematics and Information Science , Hebei Normal University , Shijiazhuang 050024 , China)Abstract Thispaperpresentsproofsoftheidempotentmatrixissimilartoadiagonalmatrixfromthean-

glesofmathematicalinduction matrixpartition minimumpolynomial thestandardformofmatrices and

linear transformation , which shows the common thinking methods in solving problems of Higher Algebra.

Keywords idempoOenOmaOrix diagonalmaOrix minimumpolynomial sOandardform《高等代数》是数学专业的一门重要基础课,对

后继课程的学习起着非常关键的作用.本文以一道

2证明方法令2为A的一个特征值,a为A属于2的特征 向量,则Aa = !(a'0).由于A2 =A,我们有证明题为例,从不同角度给出了多种论证,从而阐述 了高等代数解题的若干思维策略.1问题设A是数域P上一个\"l\"幕等矩阵，即A-= A.证明：A相似于\"级对角矩阵A-a=A(!) =2-a=Aa = !,从而2 = 0或1.也就是说幕等矩阵的特征值只能为

0或1.由于相似矩阵具有相同的特征值,且对角矩

阵的特征值为主对角线上所有元素，因此要想解决

4Er OR以上问题,只需证明幕等矩阵A相似于对角矩阵即

, (1)

[O O,可.接下来我们就用不同方法来证明这一点.(1)利用数学归纳法证明其中r=r(A)为A的秩,E”为r级单位矩阵.为方便起见,我们用LM1,M2,-,Ms(来表示对

角线上为2] , M-,…，M,的准对角矩阵，如用[Er,

数学归纳法是解决数学问题经常用到的一种方

O]来表示(1)式.收稿日期：2019 - 05 - 15

修改日期-019-06-04法,例如我们经常对多项式的次数,行列式和矩阵的 级数,线性方程组未知量的个数,线性空间中子空间

基金项目：国家自然科学基金(No. 11701140),河北省自然科学基金

的维数 数等作数学 法证明1 我们 A 的 数 数学 法(A2018205168).作者简介：曾丽伟(1986 — ),女，河北井陲人,博士 ,副教授,代数组合

与编码,Email: zenglwei220@126.com.当\"=1时，由已知可得A = 0或1 ,结论显然成

立.假设\"一1级幕等矩阵相似于对角阵，接下来证

86高等数学研究2020年1月明A为\"级幕等矩阵时结论也成立.令p[A的一个特征值o为A属于“的特征 向量,则存在\"一1个\"维列向量心03,…o”连同a

构成线性无关的一组向量.令)=(0,02 03 , •••O\"),则)1 A)=

4-'〕T[o A1S.由A2 = A 可知—,A1 =A1 •且

1)\"'+\"'A1=0.令341 (T)'R=

0

E\"—1 丿•此时我们有3t)ta)3= A1 (.由归纳假设可 得结论.(2) 利用矩阵分块证明为了研究问题的需要，经常对矩阵适当地进行 分块，把一个大矩阵看成由若干小矩阵块为元素组 成的矩阵,例如对矩阵行分块或列分块，这样可以使

矩阵的结构看得更清楚.运用矩阵分块的思想，可 使证明更简洁，思路更开阔.引理1'1(属于同一矩阵不同特征值的特征向

性引理2'1( 一个\"级矩阵与对角矩阵相似当且

仅当它有\"个线性无关的特征向量.证明2我们对矩阵A列分块，令A=(01,02,03,…o”).A2=AA0t=0t(i = 1,2 ,••• ,n)，也就是说A的列向量均为A的属于1的特征向量. 齐次线性方程组AX=O的非零解均为A的属于0的 特征向量.这样由引理1 A的列向量组的极大线性

无关组和AX=O的基础解系就构成了 A的”个线性 无关的特征向量.由引理2可得A相似于对角阵.(3) 利用最小多项式证明最小多项式是多项式理论中的重要内容，在矩

阵对角化的判断、矩阵是否相似以及在线性变换结

构中的研究都有重要的应用.引理3'1(设g(x)为矩阵B的最小多项式，则

f(x)以B为根当且仅当g(x)整除f(x).引理4'1(数域P上”级矩阵B与对角矩阵

相似当且仅当B的最小多项式是P上互素的一次 因式的乘积.证明3 由A2=A可知A为f(x)=x(x —1)的

根.由引理3可知A的最小多项式为&(x)的因式， 所以必为互素的一次因式的乘积，再根据引理4命

得(4)利用矩阵的标准形证明矩阵的标准形法也是处理矩阵常用手法，常见

的有矩阵的等价标准形和若尔当标准形，对称矩阵 的合同标准形，方阵的相似标准形，实对称矩阵的相

似标准形等.引理5'1(令mX\"矩阵B的秩为则存在m

级可逆矩阵)和”级可逆矩阵3,使得B(Er =P O]

[o oJ3,等号右端中间的矩阵称为矩阵B的等价标准形.引理6'1(每一个”级复矩阵B —定与一个若

尔当形矩阵相似.这个若尔当形矩阵除去其中若尔 当块的排列顺序外由B唯一决定，称为矩阵B的若

准证明4(利用矩阵的等价标准形)幕等矩阵A

的秩为r,则存在”级可逆矩阵P和3,使得A = P[Er , 03.由A2 =A 可知[E” , OJ3PlEr ,0( = [E” , 0(.不妨令 13PEr41'=42 4=Er—43 丿,TO E\"—r S则厂1P^1APT= [E” , 0(,命题得证.证明5(利用矩阵的若尔当标准形)由引理6

可知,存在”级可逆矩阵P ,使PTAP= 51,52,…

Js),其中s\"\"为正整数且对于每一个i = 1,2，…,

s, Jt=XtEkt +A,为化级的若尔当块,即40

R10A, =

101 0 丿 k X i(下转第91页)第23卷第1期乔 舰，范淑芬：时间序列分析课程教学中的一些难点9#实证分析中对于多个时间序列变量一般是先进 行单位根检验，确定它们的同阶单整性，然后进行差 分,使相应时间序列变量平稳化，然后进行格兰杰因

[4( Z. M. Nopiah, A. Lennie, S. Abdullah, M. Z. Nuawi，

A. Z. Nuryazmin, M. N. Baharin. The use of autocor-

relationfunctionintheseasonalityanalysisforfatigue StrainData[J( Journalof Asian Scientific Research，

果检验，判定时间序列变量的因果关系，然后进行协 整检验，以确定时间序列变量之间是否存在长期均 衡,若存在则可进一步确定哪个变量是因变量，哪些

2012,2(11)： 782 - 788[5(王振龙.时间序列分析[M(.北京：中国统计出版社，

2000[(何书元.应用时间序列分析[M(.北京：北京大学出版

变量是自变量.需要说明直接对存在协整关系的时 间序列变量进行格兰杰因果检验是不妥当的[11].20033总结时间序列分析是统计学专业和经管类专业本科 生所学课程中唯一研究纵向数据如何建立统计模型

[7(周义仓，曹慧，肖燕妮.差分方程及其应用[M(北京:

科学出版社2019.[8( Robert H. Shumway, David S. Stoffer. Time series

analysis and its applications with R examples[M] Third edition. Springer Texts in Statistics,2010.的一门课程，是处理具有特殊结构数据的非常有效 的一种统计方法，具有非常广泛的应用领域，也是当

[9(

EViews 9 User's Guide 1 [M(. chapter 11: series.今经济、金融实证研究所使用的主流方法.该课程的 学生 于 些专 学生的统计建

Irvine, CA： Quantitative Micro Software, LLC, 2015 ：

实 具有4 - 470.[10( Durbin, J. Testing for serial correlation in least-squares

非常重要的意义.本文给出的十二个问题及解答是 同学们学习中经常被提及的一些问题，希望这些问

regression when some oftheregressors arelagged dependentvariables[J( Econometrica， Econometric

题的解答对于同学们学好并实践应用时间序列分析

Society, 1970,38(3)： 410 - 421.[1(沃尔特・恩德斯•应用计量经济学一时间序列分析

能有一定的推动作用.参考文献王燕•应用时间序列分析[M( 3版•匕京：中国人民大

[M( 2版.杜江,谢志超(译•北京：高等教育出版社，

2006[12( Granger, C. W. J； Lee T. H. . Multicointegration,

学出版社2012.[2(克莱尔等•时间序列分析及应用(R语言％M( 2版.潘

inadvancesineconometrics： cointegration， spurious regression and unit roots [ M( Edited by G F Rhodes, Jr. and 1. B. Fomlsy. New York： JAI

红宇(译)•北京：机械工业出版社2011[3( Chatfield，C. The analysis of time series一An intro-

duction[M(. Fifth Eds. Chapman k Hall,1996.Press,1990.(上接第86页)由A2=A 可知PTA：!P = PTAP,｛卩J, 0=J,$ = 1,2,…，s).3 总结本文通过证明幕等矩阵与对角矩阵相似，向大

通过计算k只能为1,且/ = 0或1因此A相似于 家展示了高等代数解题中常用的思想方法，不仅加 强了学生对高等代数课程内容和框架的认识，拓展 了学生的思维空间,更能让大家体会到解决问题方

对角矩阵，命题得证.(5)利用线性变换证明法的灵活性和多样性，有效提升学习数学的兴趣.与矩阵和线性变换相关的问题之间可以相互转 化.将抽象的线性变换问题转化为具体的矩阵问题,

参 文献从而借助矩阵运算简化解决问题的过程；也可以将 矩阵问题提升为线性变换问题，通过转换问题的角

[1(北京大学数学系前代数小组.高等代数[M(.高等教育

出版社，2013.度拓宽解决问题的途径.[2(麻常利、刘淑霞.高等代数思维训练[M(.清华大学出2014利用线性变换方法证明本文问题的过程见文献

[1(.[3(杨子胥.高等代数习题解[M(.山东科技出版社,2012.