2016-2017学年江西省南昌三中高二上学期期末数学试卷(文科)(解析版)

2016-2017学年江西省南昌三中高二（上）期末数学试卷（文科）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（5分）复数A．

B．

的共轭复数是（ ） C．﹣i D．i

2．（5分）函数f（x）=x3+3x2+4x﹣a的极值点的个数是（ ） A．2

B．1

C．0

D．由a确定

3．（5分）与直线2x﹣y+4=0的平行的抛物线y=x2的切线方程是（ ） A．2x﹣y+3=0 B．2x﹣y﹣3=0 C．2x﹣y+1=0 D．2x﹣y﹣1=0

4．（5分）设a、b都是不等于1的正数，则“3a＞3b＞3”是“loga3＜logb3”的（ ） A．充要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5．（5分）下列判断错误的是（ ）

A．若p∧q为假命题，则p，q至少之一为假命题

B．命题“∀x∈R，x3﹣x2﹣1≤0”的否定是“∃x∈R，x3﹣x2﹣1＞0” C．若∥且∥，则∥是真命题 D．若am2＜bm2，则a＜b否命题是假命题

6．（5分）函数f（x）=x2﹣2lnx的单调递减区间为（ ） A．（0，1） B．（﹣1，1） C．（0，+∞） D．（1，+∞）

7．（5分）若函数f（x）=x3﹣6bx+3b在（0，1）内有最小值，则实数b的取值范围（ ）

A．（0，1） B．（﹣∞，1） C．（0，+∞） D．8．（5分）函数f（x）=sinx+2xf′（

），f′（x）为f（x）的导函数，令a=﹣，

b=log32，则下列关系正确的是（ ）

A．f（a）＞f（b） B．f（a）＜f（b） C．f（a）=f（b） D．f（|a|）＜f（b） 9．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，

1

则a的取值范围为（ ）

A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣∞，0） C．（2，+∞） D．（1，+∞）

10．（5分）已知函数f（x）=x2+cosx，f′（x）是函数f（x）的导函数，则f′（x）的图象大致是（ ）

A． B． C．

D．

11．（5分）已知椭圆：+=1（0＜b＜2），左右焦点分别为F1，F2，过F1的

|+|

|的最大值为5，则b的值是（ ）

直线l交椭圆于A，B两点，若|A．1

B．

C． D．

12．（5分）已知函数f（x）满足f（x）=f（π﹣x），且当（x）=ex+sinx，则（ ）

时，f

A．f（1）＜f（2）＜f（3） B．f（2）＜f（3）＜f（1） C．f（3）＜f（2）＜f（1） D．f（3）＜f（1）＜f（2）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上） 13．（5分）函数y=2x3﹣x+4在点（﹣，

）处的切线的斜率为 ．

14．（5分）若命题“∃x∈R，使得x2+（a﹣1）x+1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是 ．

15．（5分）若曲线y=xα+1（α∈R）在点（1，2）处的切线经过坐标原点，则α= ． 16．（5分）已知函数f（x）=mx2+lnx﹣2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为 ．

2

三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（12分）已知函数f（x）=x﹣2lnx（a∈R）．求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程和极值．

18．（12分）已知p：指数函数f（x）=（2a﹣6）x在R上是单调减函数；q：关于x的方程x2﹣3ax+2a2+1=0的两根均大于3，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．

19．（12分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，曲线y=f（x）在x=1处的切线为l：3x﹣y+1=0，当x=时，y=f（x）有极值． （1）求a、b、c的值；

（2）求y=f（x）在[﹣3，1]上的最大值和最小值．

20．（12分）已知两点A（﹣2，0）、B（2，0），动点P满足（1）求动点P的轨迹E的方程；

（2）H是曲线E与y轴正半轴的交点，曲线E上是否存在两点M、N，使得△HMN是以H为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由．

21．（12分）已知函数f（x）=（Ⅰ）求函数f （x）的单调区间；

（Ⅱ）证明：当a＞0时，对于任意x1，x2∈（0，e]，总有g（x1）＜f （x2）成立，其中e=2.71828…是自然对数的底数．

22．（10分）平面直角坐标系xOy中，曲线C：（x﹣1）2+y2=1．直线l经过点P（m，0），且倾斜角为

．以O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立坐标系．

+a，g（x）=aln x﹣x（a≠0）．

．

（Ⅰ）写出曲线C的极坐标方程与直线l的参数方程；

（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|PA|•|PB|=1，求实数m的值．

3

2016-2017学年江西省南昌三中高二（上）期末数学试卷

（文科）

参与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（5分）（2011•新课标）复数A．

B．

C．﹣i D．i

的共轭复数是（ ）

【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，复数化简为a+bi（a，b∈R）的形式，然后求出共轭复数，即可． 【解答】解：复数故选C

【点评】本题是基础题，考查复数代数形式的混合运算，共轭复数的概念，常考题型．

2．（5分）（2014秋•娄底期末）函数（fx）=x3+3x2+4x﹣a的极值点的个数是（ ） A．2

B．1

C．0

D．由a确定 =

=

=i，它的共轭复数为：﹣i．

【分析】对函数求导，结合导数的符号判断函数的单调性，进而可求函数的极值的个数

【解答】解：∵f′（x）=3x2+6x+4=3（x+1）2+1＞0， 则f（x）在R上是增函数，故不存在极值点． 故选C．

【点评】本题主要考查了利用函数的导数判断函数的单调区间、函数的极值的判断，属于基础试题

3．（5分）（2004•湖北）与直线2x﹣y+4=0的平行的抛物线y=x2的切线方程是（ ）

4

A．2x﹣y+3=0 B．2x﹣y﹣3=0 C．2x﹣y+1=0 D．2x﹣y﹣1=0

【分析】根据切线与直线2x﹣y+4=0的平行，可利用待定系数法设出切线，然后与抛物线联立方程组，使方程只有一解即可． 【解答】解：由题意可设切线方程为2x﹣y+m=0 联立方程组

得x2﹣2x﹣m=0

△=4+4m=0解得m=﹣1， ∴切线方程为2x﹣y﹣1=0， 故选D

【点评】本题主要考查了两条直线平行的判定，以及直线的一般式方程，属于基础题．

4．（5分）（2015•四川）设a、b都是不等于1的正数，则“3a＞3b＞3”是“loga3＜logb3”的（ ） A．充要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】求解3a＞3b＞3，得出a＞b＞1， loga3＜logb3，

或

根据对数函数的性质求解即可，

再利用充分必要条件的定义判断即可． 【解答】解：a、b都是不等于1的正数， ∵3a＞3b＞3， ∴a＞b＞1， ∵loga3＜logb3， ∴即

， ＜0， 或

求解得出：a＞b＞1或1＞a＞b＞0或b＞1，0＜a＜1

5

根据充分必要条件定义得出：“3a＞3b＞3”是“loga3＜logb3”的充分条不必要件， 故选：B．

【点评】本题综合考查了指数，对数函数的单调性，充分必要条件的定义，属于综合题目，关键是分类讨论．

5．（5分）（2016秋•东湖区校级期末）下列判断错误的是（ ） A．若p∧q为假命题，则p，q至少之一为假命题

B．命题“∀x∈R，x3﹣x2﹣1≤0”的否定是“∃x∈R，x3﹣x2﹣1＞0” C．若∥且∥，则∥是真命题 D．若am2＜bm2，则a＜b否命题是假命题

【分析】A．利用复合命题的真假判定方法即可得出； B．利用命题的否定定义即可判断出； C．不一定正确，例如当

时；

D．其否命题为：若am2≥bm2，则a≥b，是假命题，m=0时，a，b大小关系是任意的．

【解答】解：A．若p∧q为假命题，则p，q至少之一为假命题，正确； B．“∀x∈R，x3﹣x2﹣1≤0”的否定是“∃x∈R，x3﹣x2﹣1＞0”，正确； C．∥且∥，则∥是真命题不一定正确，例如当

时；

D．若am2＜bm2，则a＜b否命题为：若am2≥bm2，则a≥b，是假命题，m=0时，a，b大小关系是任意的． 故选：C．

【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、向量与不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

6．（5分）（2016秋•东湖区校级期末）函数f（x）=x2﹣2lnx的单调递减区间为（ ）

A．（0，1） B．（﹣1，1） C．（0，+∞） D．（1，+∞）

【分析】求出原函数的导函数，由导函数小于0求出自变量x在定义域内的取值

6

范围，则原函数的单调减区间可求．

【解答】解：由f（x）=x2﹣2lnx，得：f′（x）=（x2﹣2lnx）′=2x因为函数f（x）=x2﹣2lnx的定义域为（0，+∞）， 由f′（x）＜0，得：2x解得：0＜x＜1．

所以函数f（x）=x2﹣2lnx的单调递减区间是（0，1）． 故选：A．

【点评】本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，是中档题．

7．（5分）（2016秋•东湖区校级期末）若函数f（x）=x3﹣6bx+3b在（0，1）内有最小值，则实数b的取值范围（ ） A．（0，1） B．（﹣∞，1） C．（0，+∞） D．

．

＜0，即（x+1）（x﹣1）＜0，

【分析】由题意知，f′（0）＜0，f′（1）＞0，解不等式组求得实数b的取值范围． 【解答】解：由题意得，函数f（x）=x3﹣6bx+3b 的导数 f′（x）=3x2﹣6b 在（0，1）内有零点，

且 f′（0）＜0，f′（1）＞0，即﹣6b＜0，且 （3﹣6b）＞0， ∴0＜b＜， 故选：D．

【点评】本题考查函数在某区间上存在极值的条件，利用了导数在此区间上有零点．

8．（5分）（2014•东昌区校级二模）函数f（x）=sinx+2xf′（

），f′（x）为f（x）

的导函数，令a=﹣，b=log32，则下列关系正确的是（ ）

A．f（a）＞f（b） B．f（a）＜f（b） C．f（a）=f（b） D．f（|a|）＜f（b） 【分析】先求出f′（x），然后令x=

即可求出f′（

），确定出f（x）的解析式，

由cosx的值域得到f′（x）=cosx﹣1下于等于0，即可得到f（x）为递减函数，

7

则由a小于b，得到f（a）大于f（b）即可． 【解答】解：因为f′（x）=cosx+2f′（所以f′（

）=cos

+2f′（

），

）=﹣

），解得f′（

所以f（x）=sinx﹣x，由f′（x）=cosx﹣1≤0，得到f（x）为递减函数， 而﹣＜log32，则f（﹣）＞f（log32）即f（a）＞f（b）． 故选A

【点评】本题是一道综合题，学生做题时注意f′（出导函数后令x=

9．（5分）（2017春•盐湖区期末）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围为（ ）

A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣∞，0） C．（2，+∞） D．（1，+∞）

【分析】分类讨论：当a≥0时，容易判断出不符合题意；当a＜0时，求出函数的导数，利用导数和极值之间的关系转化为求极小值f（）＞0，解出即可． 【解答】解：当a=0时，f（x）=﹣3x2+1=0，解得x=±零点，不符合题意，应舍去；

当a＞0时，令f′（x）=3ax2﹣6x=3ax（x﹣）=0，解得x=0或x=＞0，列表如下： x f′（x） f（x） （﹣∞，0） + 单调递增 0 0 （0，） ﹣ ）应为常数项，突破点是求

．此题要求学生掌握导数的运算法则．

，函数f（x）有两个

（ ，+∞） + 0 极大值 单调递减 极小值 单调递增 ∵x→﹣∞，f（x）→﹣∞，而f（0）=1＞0，∴存在x＜0，使得f（x）=0， 不符合条件：f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，应舍去．

当a＜0时，f′（x）=3ax2﹣6x=3ax（x﹣）=0，解得x=0或x=＜0，列表如下： x f′（x）

（﹣∞，） ﹣ （ ，0） + 0 0 （0，+∞） ﹣ 8

0

f（x） 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 而f（0）=1＞0，x→+∞时，f（x）→﹣∞，∴存在x0＞0，使得f（x0）=0， ∵f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，∴极小值f（

2

）=a（

）3﹣3（

）

+1＞0，

化为a2＞4， ∵a＜0，∴a＜﹣2．

综上可知：a的取值范围是（﹣∞，﹣2）． 故选：A．

【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．

10．（5分）（2017•青州市模拟）已知函数f（x）=x2+cosx，f′（x）是函数f（x）的导函数，则f′（x）的图象大致是（ ）

A． B． C．

D．

【分析】由于f（x）=x2+cosx，得f′（x）=x﹣sinx，由奇函数的定义得函数f′（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD，取x=sin

=

﹣1＜0，排除C，只有A适合．

代入f′（

）=

﹣

【解答】解：由于f（x）=x2+cosx， ∴f′（x）=x﹣sinx，

∴f′（﹣x）=﹣f′（x），故f′（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD， 又当x=

时，f′（

）=

﹣sin

=

﹣1＜0，排除C，只有A适合，

9

故选：A．

【点评】本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力，同时考查导数的计算，属于中档题．

11．（5分）（2016•长沙校级一模）已知椭圆：

+

=1（0＜b＜2），左右焦点

|+|

|的最大值为

分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|5，则b的值是（ ） A．1

B．

C． D．

【分析】利用椭圆的定义，结合∵的最大值为5，可得当且仅当

AB⊥x轴时，|AB|的最小值为3，由此可得结论． 【解答】解：由题意：∵

+|AB|=4a=8

的最大值为5，∴|AB|的最小值为3

当且仅当AB⊥x轴时，取得最小值，此时A（﹣c，），B（﹣c，﹣） 代入椭圆方程可得：∵c2=4﹣b2 ∴∴b=

故选D．

【点评】本题考查椭圆的定义，考查学生的计算能力，属于基础题．

12．（5分）（2013秋•洛阳期末）已知函数f（x）满足f（x）=f（π﹣x），且当

时，f（x）=ex+sinx，则（ ）

A．f（1）＜f（2）＜f（3） B．f（2）＜f（3）＜f（1） C．f（3）＜f（2）＜f（1） D．f（3）＜f（1）＜f（2）

10

【分析】根据函数的对称性和函数的单调性即可比较大小． 【解答】解：∵f（x）=f（π﹣x），则f（x）关于x=∴f（3）=f（π﹣3），f（2）=f（π﹣2） 当

时，y=ex+y=sinx，单调递增，

对称

∴此时函数f（x）=ex+sinx是增函数． ∵0＜π﹣3＜1＜π﹣2

，

∴f（π﹣3）＜f（1）＜f（π﹣2）， 即f（3）＜f（1）＜f（2）． 故选：D．

【点评】本题主要考查函数对称性和函数单调性的应用，根据条件求出函数f（x）的单调性是解决本题的关键，考查函数性质的综合应用．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上） 13．（5分）（2016秋•东湖区校级期末）函数y=2x3﹣x+4在点（﹣，切线的斜率为

．

）处的

【分析】欲求切线斜率，只须先利用导数求出在x=2处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决． 【解答】解：依题意得y′=6x2﹣1， 函数y=2x3﹣x+4在点（﹣，故答案为：．

【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．

14．（5分）（2011•湖南模拟）若命题“∃x∈R，使得x2+（a﹣1）x+1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是 （﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） ．

【分析】因为不等式对应的是二次函数，其开口向上，若“∃x∈R，使得x2+（a﹣1）x+1＜0”，则相应二次方程有不等的实根．

11

）处的切线的斜率为6×（）2﹣1=，

【解答】解：∵“∃x∈R，使得x2+（a﹣1）x+1＜0 ∴x2+（a﹣1）x+1=0有两个不等实根 ∴△=（a﹣1）2﹣4＞0 ∴a＜﹣1或a＞3

故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）

【点评】本题主要考查一元二次不等式，二次函数，二次方程间的相互转化及相互应用，这是在函数中考查频率较高的题目，灵活多变，难度可大可小，是研究函数的重要方面．

15．（5分）（2013•江西）若曲线y=xα+1（α∈R）在点（1，2）处的切线经过坐标原点，则α= 2 ．

【分析】求出函数的导函数，求出x=1时的导数值，写出曲线y=xα+1（α∈R）在点（1，2）处的切线方程，把原点坐标代入即可解得α的值． 【解答】解：由y=xα+1，得y′=αxα﹣1．

所以y′|x=1=α，则曲线y=xα+1（α∈R）在点（1，2）处的切线方程为： y﹣2=α（x﹣1），即y=αx﹣α+2． 把（0，0）代入切线方程得，α=2． 故答案为：2．

【点评】本题考查了利用导数研究曲线上某点处的导数，考查了直线方程点斜式，是基础题．

16．（5分）（2016秋•东湖区校级期末）已知函数f（x）=mx2+lnx﹣2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为 [1，+∞） ． 【分析】函数（fx）=mx2+lnx﹣2x在定义域（x＞0）内是增函数⇔≥0⇔

对于任意x＞0．⇔

．利用导数即可得出．

【解答】解：∵函数f（x）=mx2+lnx﹣2x在定义域（x＞0）内是增函数，∴

≥0，化为

．

12

令g（x）=，=﹣，解g′（x）＞0，得0＜x＜1；

解g′（x）＜0，得x＞1．

因此当x=1时，g（x）取得最大值，g（1）=1． ∴m≥1．

故答案为[1，+∞）．

【点评】正确把问题等价转化、利用导数研究函数的单调性、极值与最值是解题的关键．

三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（12分）（2016秋•东湖区校级期末）已知函数f（x）=x﹣2lnx（a∈R）．求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程和极值．

【分析】求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，即可得到函数的极小值，无极大值．

【解答】解：函数f（x）=x﹣2lnx的导数为f′（x）=1﹣， 可得曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线斜率为1﹣2=﹣1， 切点为（1，1），

可得曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程为y﹣1=﹣（x﹣1）， 即为x+y﹣2=0；

由x＞0，f′（x）＞0，可得x＞2；f′（x）＜0，可得0＜x＜2， 即f（x）的增区间为（2，+∞），减区间为（0，2）， 可得f（x）的极小值为f（2）=2﹣2ln2，无极大值．

【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和极值，考查运算能力，属于基础题．

18．（12分）（2016秋•东湖区校级期末）已知p：指数函数f（x）=（2a﹣6）x在R上是单调减函数；q：关于x的方程x2﹣3ax+2a2+1=0的两根均大于3，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．

【分析】求出两个命题是真命题时a的范围，利用复合命题的真假，推出a的范

13

围即可．

【解答】解：p真，则指数函数f（x）=（2a﹣6）x的底数2a﹣6满足0＜2a﹣6＜1，所以3＜a＜．

q真，令g（x）=x2﹣3ax+2a2+1，易知其为开口向上的二次函数． 因为x2﹣3ax+2a2+1=0的两根均大于3，

所以①△=（﹣3a）2﹣4（2a2+1）=a2﹣4＞0，a＜﹣2或a＞2； ②对称轴x=﹣

=

＞3；可得a＞2．

③g（3）＞0，即32﹣9a+2a2+1=2a2﹣9a+10＞0，所以（a﹣2）（2a﹣5）＞0．所以a＜2或a＞． 综上得a＞．

p真q假，由3＜a＜及a≤，得a∈∅．

p假q真，由a≤3或a≥及a＞，得＜a≤3或a≥． 综上所述，实数a的取值范围为（，3]∪[，+∞）．

【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，指数函数的单调性以及二次函数的性质的应用，考查转化思想以及计算能力．

19．（12分）（2011•雅安三模）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，曲线y=f（x）在x=1处的切线为l：3x﹣y+1=0，当x=时，y=f（x）有极值． （1）求a、b、c的值；

（2）求y=f（x）在[﹣3，1]上的最大值和最小值． 【分析】（1）先对函数f（x）进行求导，根据f'（1）=3，f′求出a，b，c的值，得到答案．

（2）由（1）可知函数f（x）的解析式，然后求导数后令导函数等于0，再根据导函数的正负判断函数在[﹣3，1]上的单调性，最后可求出最值． 【解答】解：（1）由f（x）=x3+ax2+bx+c，得 f′（x）=3x2+2ax+b

=0，f（1）=4可

14

当x=1时，切线l的斜率为3，可得2a+b=0．① 当x=时，y=f（x）有极值，则f′可得4a+3b+4=0．② 由①、②解得a=2，b=﹣4． 由于l上的切点的横坐标为x=1， ∴f（1）=4．∴1+a+b+c=4． ∴c=5．

（2）由（1）可得f（x）=x3+2x2﹣4x+5， ∴f′（x）=3x2+4x﹣4．

令f′（x）=0，得x=﹣2，或x=．

=0，

∴f（x）在x=﹣2处取得极大值f（﹣2）=13． 在x=处取得极小值f

=

．

又f（﹣3）=8，f（1）=4．

∴f（x）在[﹣3，1]上的最大值为13，最小值为

．

【点评】本题主要考查导数的几何意义、函数在闭区间上的最值．导数是高等数学下放到高中的内容，是高考的热点问题，每年必考，要给予重视．

20．（12分）（2012•漳州模拟）已知两点A（﹣2，0）、B（2，0），动点P满足

．

（1）求动点P的轨迹E的方程；

（2）H是曲线E与y轴正半轴的交点，曲线E上是否存在两点M、N，使得△HMN是以H为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）设点P的坐标为（x，y）（y≠0），求PA、PB的斜率，利用

15

，化简可得动点P的轨迹E的方程；

（2）设能构成等腰直角三角形HMN，其中H为（0，1），由题意可知，直角边HM，HN不可能垂直或平行于x轴，故可设HM所在直线的方程为y=kx+1，（不妨设k＞0）则HN所在直线的方程为

，确定交点M、N的坐标，求出

HN、HM的长，利用|HM|=|HN|，即可求得结论． 【解答】解：（1）设点P的坐标为（x，y）（y≠0），则∵

，∴

，化简得

， ，

，

∴动点P的轨迹E的方程为（y≠0）．注：如果未说明y≠0，扣（1分）．

（2）设能构成等腰直角三角形HMN，其中H为（0，1），

由题意可知，直角边HM，HN不可能垂直或平行于x轴，故可设HM所在直线的方程为y=kx+1，（不妨设k＞0） 则HN所在直线的方程为

，由

求得交点

M，（另一交点H（0，1））

∴，

用代替上式中的k，得，

由|HM|=|HN|，得k（4+k2）=1+4k2，

∴k3﹣4k2+4k﹣1=0⇒（k﹣1）（k2﹣3k+1）=0， 解得：k=1或

，

时，HN斜率

；当

当HM斜率k=1时，HN斜率﹣1；当HM斜率HM斜率

时，HN斜率

，

综上述，符合条件的三角形有3个．

【点评】本题考查轨迹方程的求解，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是求出HN、HM的长，利用|HM|=|HN|进行求解．

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21．（12分）（2016秋•东湖区校级期末）已知函数f（x）=x﹣x（a≠0）．

（Ⅰ）求函数f （x）的单调区间；

（Ⅱ）证明：当a＞0时，对于任意x1，x2∈（0，e]，总有g（x1）＜f （x2）成立，其中e=2.71828…是自然对数的底数．

【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可； （Ⅱ）求出f（x）的范围，通过讨论a的范围得到g（x）的单调区间，求出g（x）的最大值，证明结论即可．

【解答】解：（Ⅰ）函数f （x）的定义域为R，f′（x）=当a＞0时，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x f′（x） f （x） （﹣∞，﹣1） ﹣ ↘ ﹣1 0 +a，g（x）=aln

=，

（﹣1，1） + ↗ 1 0 （1，+∞） ﹣ ↘ 当a＜0时，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x f′（x） f （x） 综上所述，

当a＞0时，f （x）的单调递增区间为（﹣1，1），单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞）；

当a＜0时，f （x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞），单调递减区间为（﹣1，1）．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当a＞0时，f （x）在区间（0，1）上单调递增，f （x）＞f （0）=a；

f （x）在区间（1，e]上单调递减，且f （e）=时，f （x）＞a，

因为g（x）=aln x﹣x，所以g′（x）=﹣1，令g′（x）=0，得x=a．

+a＞a，所以当x∈（0，e]

（﹣∞，﹣1） + ↗ ﹣1 0 （﹣1，1） ﹣ ↘ 1 0 （1，+∞） + ↗ 17

①当a≥e时，g′（x）≥0在区间（0，e]上恒成立，

所以函数g（x）在区间（0，e]上单调递增，所以g（x）max=g（e）=a﹣e＜a．

所以对于任意x1，x2∈（0，e]，仍有g（x1）＜f（x2）． ②当0＜a＜e时，由g′（x）＞0，得0＜x＜a；由g′（x）＜0，得e≥x＞a， 所以函数g（x）在区间（0，a）上单调递增，在区间（a，e]上单调递减． 所以g（x）max=g（a）=aln a﹣a；

因为a﹣（aln a﹣a）=a（2﹣ln a）＞a（2﹣ln e）=a＞0， 所以对任意x1，x2∈（0，e]，总有g（x1）＜f （x2）．

【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．

2222．（10分）（2017•潮南区模拟）平面直角坐标系xOy中，曲线C：（x﹣1）+y=1．直

线l经过点P（m，0），且倾斜角为立坐标系．

．以O为极点，以x轴正半轴为极轴，建

（Ⅰ）写出曲线C的极坐标方程与直线l的参数方程；

（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|PA|•|PB|=1，求实数m的值． 【分析】（1）曲线C：（x﹣1）2+y2=1．展开为：x2+y2=2x，把

代入

可得曲线C的极坐标方程．直线l的参数方程为：，（t为参数）．

（2）设A，B两点对应的参数分别为t1，t2．把直线l的参数方程圆的方程可得：t2+（可得出．

【解答】解：（1）曲线C：（x﹣1）2+y2=1．展开为：x2+y2=2x，可得ρ2=2ρcosθ，即曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．

）t+m2﹣2m=0，利用|PA|•|PB|=1，可得|m2﹣2m|=1，解得m即

直线l的参数方程为：，（t为参数）．

（2）设A，B两点对应的参数分别为t1，t2．把直线l的参数方程代入x2+y2=2x，

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可得：t2+（

）t+m2﹣2m=0，∴t1t2=m2﹣2m．

．

∵|PA|•|PB|=1，∴|m2﹣2m|=1，解得m=1或1±

【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标方程的方法、直线与圆的相交弦长问题、直线参数方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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