机械原理(东南大学出版_王洪欣)课后习题答案

习 题 与 参 考 答 案

2－1 题2－1图所示为三种型式液压泵的结构简图，试绘制它们的机构简图。

(a) (b) (c)

参图

B 1 A 4 2 B 3 C 1 A 4 C C 3 2 3 1 A 4 2 B (a) (b) (c)

题2－1图

2－2 题2－2图所示为高速机械压力机的机构简图，除去曲柄1、连杆2之外，机构尺寸关于y轴对称，试求它的自由度（参：F223n(2PLPH)39(2130)1）。

y O1 E1 7 C B 1D1 6 8 5 10 F1 9 题2－2图

题2－3图

F2 x 6 1 2 A y 1 B 7 E y C E B 4 G 5 1 A 4 D 5 3 2 C G x 6 A C2 3 4 E2

D D2 2 3 题2－4图

2－3 题2－3图所示为连杆机械压力机的机构简图，试求它的自由度（参：F233n(2PLPH)35(270)1）。

1

2－4 题2－4图所示为齿轮连杆组合机构的机构简图，其中构件2、5组成齿轮齿条副，构件2、3组成移动副，试求它的自由度（参：F243n(2PLPH)36(281)1）。

2－5 题2－5图所示为齿轮连杆组合机构的机构简图，试求该机构的自由度（参： F253n(2PLPH)36(281)1）。

2－6 题2－6图所示为凸轮连杆压力机的机构简图，试求它的自由度，将该机构中的高副用低副代替，画出低代后的机构简图（参：F263n(2PLPH)34(251)1）。

y 5 1 O2 4 P 2 O1 O3 3 O7 题2－5图 题2－6图

B 7 6 x O5 O1 2 A 1 6 D 5 O3 C B 4 3

2－7 题2－7图所示为一种织机开口机构的机构简图，试求它的自由度（参： F273n(2PLPH)39(2130)1）。

2－8 题2－8图所示为另一种织机开口机构的机构简图，试求它的自由度（参： F283n(2PLPH)36(281)1）。

C 7 A A0 1 8 3 5 B0 4 E' O 36 E 4 E\" 7 7' 1 φ 3 4 5 H 8' 2 B K 4 e 6 I B 2 C G D E x A 题2－7图 题2－8图

2－9 题2－9图所示为一种鸟的机构简图，试求它的自由度（参：

2

F293n(2PLPH)39(2130)1）。

B 1 F 5 4 E G D 3 6 A J 10 K 9 2 C 2 7 H I 8 L 题2－9图

2－10 题2－10图所示为一种人工膝关节机构的机构简图，试求它的自由度（参： F2103n(2PLPH)35(270)1）。

2－11 题2－11图所示为一种织机机构的机构简图，试求它的自由度（参： F2113n(2PLPH)310(2141)1）。

A 4 6 B 3 3 5 2 1 Z1 Z2 O3 4 5 D' C 2 1 9 ω1 O1 O2 8' E' 7' 8 E 7 6 O4 D 题2－10图 题2－11图

3

习 题

3－1 题3－1图(a)所示为曲柄滑块机构，设曲柄1的杆长a＝0.045 m，连杆2的杆长b＝0.225 m，连杆上BD的杆长c＝0.180 m，BD的方位角δ＝30º，曲柄1的角速度ω1＝10 rad/s。试用图解法求φ＝25°时滑块3的速度V3与加速度a3，连杆2上D点的速度VD与加速度aD（参：V3＝－0.225 m/s，a3＝－4.8 m/s2，VD＝0.121 m/s，aD＝5.392 m/s2）。

P24 α2 c ω1 B 1 25° μL=4 题3－1图

4 ω2 2 C 3 d D b A 1 φ ω1 B c D δ 2 b 4 S 题3－1图

θ C 3 30° A c p

μV=10 (mm/s)/mm (a) 速度图

pb＝VB/μV＝450/10＝45 mm

解：

μL=4，μV=(450mm/s)/(45mm)=10 (mm/s)/mm VB=aω1=0.045×10＝0.45 m/s＝450 mm/s VC=VB+ VCB

V3=pc×μV =22.5×10＝225 mm/s VD=pd×μV =12.1×10＝121 mm/s

VCB=ω2×b=cb×μV，ω2=cb×μV/b=40.85×10/225=1.816 rad/s aC=aB+ anCB+ atCB

aB=ω21a=102×45=4 500 mm/s anCB=ω22b=1.8162×225=742 mm/s

μa＝(4500 mm/s2)/(45 mm)=100 (mm/s2)/mm p'b'=aB/μa =4500/100=45 mm b'c\"= anCB /μa=742/100＝7.42 mm a3=p'c'×μa =48×100＝4 800 mm/s aD=p'd'×μa =53.92×100＝5 392 mm/s2

2

c' p'

d'

c\" b' μa＝100 (mm/s2)/mm

(b) 加速度图

4

3－2 题3－2图所示为油田抽油机机构，D1D2为中心在O3点、半径为c32的圆弧，5为钢丝绳与抽油活塞组合体，长度比例尺μL＝实际尺寸/图上尺寸＝50，ω1＝3.14 rad/s，试用图解法求活塞5在图示位置的速度V5（参：V5＝0.983 m/s）。

VA＝aω1=7.26×50×3.14＝1140.4 mm/s VB＝VA＋VBA

b a

图上尺寸 a＝7.26 mm

S5 b＝26.47 mm c31＝18.58 mm d＝28.02 mm

p

c32＝18.58 mm

c32 D Q 5 活塞D1 y O3 3 c31 ψ d 4 B b 2 ω1 θ D2 A δ a 1 φ x O O1 题3－2图

d

μV=50 (mm/s)/mm

速度图

pa＝22.8 mm pb＝19.66 mm

VB＝19.66×50＝983 mm/s

ω3＝VB /c31＝983/(18.58×50)＝1.058 rad/s

V5＝ω3 c32＝1.058×18.58×50＝983 mm/s

3－3 题3－3(a)图所示为牛头刨床的工作机构，已知d＝0.420 m，a＝0.125 m，b＝0.820 m，c＝0.656 m，H0＝0.800 m，ω1＝0.2 rad/s。试用解析法求刨头5的位移S5、速度V5与加速度a5（参考曲线如图3－3(b)所示）。

4 c S5 α D 3 b B 2 a5 0 V5 S5 2π φ 5 E 6 H0 ωa 1 φ A S23 d C θ (a) (b)

题3－3图

5

3－4 题3－4图(a)所示为近似等速比传动的工作机构，O1A/O1O3＝a/d＝0.5，a＝0.100 m，b6

＝0.160 m，d＝0.200 m，试用解析法求移动从动件5的位移S5、速度V5与加速度a5（参考曲线如图3－4(b)所示）。

6 5 B2 S5 C b6 O3 θ A1 3 O1 2 A 1 φ 0 a5 V5 S5 2π φ B 4 B1 A2 (a) (b)

题3－4图

3－5 题3－5图(a)所示为曲柄导杆移动从动件平面六杆机构，设曲柄1为主动件，ω1＝10 rad/s，移动件5为从动件，当移动从动件5达到下极限位置时，移动从动件5的平底与杆3垂直。设d1＝0.100 m，δb＝60º，r1＝d1sin(0.5δb)，r3＝0.180 m，d2＝0.95r3＝0.152 m，b＝0.040 m，H6＝0.35r3＝0.063 m，S3表示摆杆3上O3A的长度，S5表示移动从动件5的位移。试用解析法求移动从动件5的位移S5、速度V5与加速度a5（参考曲线如图3－5(b)所示）。

3 2 A 1 r1 φ ω1 O1 S3 B2 A1 φS δb δ d2 O3 0.5δb r3 C B 5 (a)

S5 b H6 6 A2 4 B1 S5 φS+2π V5 (a)

0 φ Sa5 φ 题3－5图

6

习 题

4－1 题4－1图为一平面六杆压力机机构，曲柄1作匀速转动，ω1＝6.28 rad/s，设滑块5的质量m5＝185 kg，质心在E点；连杆4的质量m4＝95 kg，质心在S4点，关于S4的转动惯量JS4＝0.600 kgm2；连杆2的质量m2＝80 kg，质心在S2点，关于S2的转动惯量JS2＝0.400 kgm2，其余构件的质量与转动惯量忽略不计。机构的尺寸为LAB＝0.150 m，LBC＝0.800 m，LBS2＝0.450 m，LCD＝0.650 m，LCE＝0.700 m，LCS4＝0.300 m，Hx＝0.650 m，Hy＝0.650 m。机构的受力状态为，当滑块5向上运动时，工作阻力Fr＝10 000 N；当滑块5向下运动时，摩擦阻力Fr＝1 000 N。不计惯性力与惯性力矩，试用图解法作φ＝60°位置的受力分析（参：F12＝F61＝2 398 N，F2C＝2 535 N，F3C＝F63＝13 637 N，FC4＝12 797 N，F45＝11 865 N，F65＝1 090 N，M1＝308 Nm）。

解：仅做静力分析，动力分析未做。

E y x D 3 Hx Hy S2 C 2 B A 1 φ ω1 6 S4 4 V5 5 G5 Fr 题4－1图

对连杆4上的C点取力矩得：F54t LCE＝G4 LCS4sin5.1

y x D 3 ψ 5.5° F3C 2 C F54r 4 θ S2 A G2 Hy Hx F54t＝95×9.81×0.3sin5.1/0.7＝35 N。

对滑块5取力平衡方程：F45t cos5.1+F45r sin5.1＝F65 对滑块5取力平衡方程：F45t sin5.1－F45r cos5.1＝－(Fr+G5) F65＝[(Fr+G5) sin5.1+F45t]/ cos5.1

＝[(104 +185×9.81)sin5.1+35]/ cos5.1＝1 090 N，

B F45r＝F65 sin5.1+ (Fr+G5) cos5.1 1 φ ω1 FC4 FC4y 4.887° FC4x C 4 F45r F65 F45t (a) ＝1090×sin5.1+ (104 +185×9.81) cos5.1＝11 865 N。

FC4 F3C 85.825° 75.438° S2 G2 (d)

6 F12t 2 B

F12r S4 G4 5.1° V5 F45r F65 F45t E G5 Fr F54t 5 V5 C 9.062° S4 G4 5.1° V5 F54t

M1 E G5 Fr (b)

F21t 5 B F54r E (c)

F21r

1 φ A (e)

题4－1图

7

对连杆4取x方向的力平衡方程得：FC4x＝F54t cos5.1+F54r sin5.1＝35 cos5.1+11865 sin5.1＝1 090 N，

对连杆4取y方向的力平衡方程得：FC4y＝G4－F54t sin5.1+F54r cos5.1＝95×9.81－35 sin5.1+11865 cos5.1＝12 747 N。

连杆4上C点的合力为FC4＝FC24xFC24y＝12 797 N，

连杆4上C点的合力FC4的方位角为φC4＝180°－arctan(FC4y / FC4x)＝180°－arctan(12747 /1090)＝94.887°。

对连杆2上的C点取力矩得：F12t LBC＝G2(LBC－LBS2)cos9.062°＝80×9.81(0.800－0.450) cos9.062° F12t＝80×9.81(0.800－0.450) cos9.062°/0.800＝339 N。

对连杆2取θ＋π/2方向的力平衡方程得：F12t+F3C sin75.438°＝FC4 sin85.8258°+G2cos9.062° 对连杆2取θ＋π方向的力平衡方程得：F12r+G2sin9.062°+ FC4 cos85.8258°＝F3C cos75.438°

F3C＝(FC4 sin85.8258°+G2cos9.062°－F12t)/ sin75.438°

＝(12797×sin85.8258°+80×9.81 cos9.062°－339) / sin75.438°＝13 637 N，

F12r＝F3C cos75.438°－G2sin9.062°－FC4 cos85.8258°

＝13637 cos75.438°－80×9.81 sin9.062°－12797 cos85.8258°＝2 374 N。

22连杆2上B点的合力为F12＝F12tF12r＝2 398 N。

222连杆4对滑块5的作用力为F45＝F42＝11 865 N。 5tF45r3511865连杆2对C点的作用力为F2C＝(F12tG2cos9.062)2(F12rG2sin9.062)2

F2C＝(339809.81cos9.062)2(2374809.81sin9.062)2＝2 535 N。 F21tLABcos(9.062) 曲柄1的平衡力矩为M1F21rLABsin(9.062)　M123740.150sin(609.062)　3390.150cos(609.062)＝308 Nm。

4－2 题4－2图为一斜面运动变换机构，主动力F＝10 000 N，α＝35.5º，b＝88 mm，h1＝120 mm，h2＝50 mm，h3＝188 mm。

(1) 若不计摩擦力的影响，求阻力Q0的大小（参：Q0＝14 019 N）；

(2) 当各个摩擦面的摩擦系数f＝0.1时，求阻力Q的大小（参：Q＝10 070 N）； (3) 当各个摩擦面的摩擦系数f＝0.1时，求该斜面机构的机械效率（参：η＝Q/Q0 =0.718）。

F V 1 F12 φ n12 α n13 φ F31 3 α h2 n12 n13 h1 b F32b φ Q0 F210

F +F310+ F210＝0

(1) 不计摩擦时

Q F120 F310

F21 F31+ F21+ F＝0 F12+ F32+ Q＝0 F

(b)

(c) (2) 计入摩擦时

F32b F32a

F12 F31 F21 φ F32a (a)

2 h3 0.5b Q F31＝13 553 N F F21＝10 301 N Q＝10 070 N η1＝Q /Q0＝10070/14019 ＝0.7183

F310＝17 232 N Q0＝14 067 N

8

解：(1) 若不计摩擦力的影响，求阻力Q0的大小

(1-1) 作图法：F +F310+ F210＝0，μF＝10000 (N(/30(mm)＝333.333 (N/mm)，力多边形如图(b)所示。

F310＝51.695×μF＝17 232 N，Q0＝42.2×μF＝14 067 N。

(1-2) 解析法：F310＝F/sinα＝10000/ sin35.5＝17220 N，Q0＝F/cosα＝10000/ tan35.5＝14019 N。 (2) 当各个摩擦面的摩擦系数f＝0.1时，求阻力Q的大小 (2-1) 作图法：φ＝arctan f＝arctan 0.1＝5.711°。

F +F31+ F21＝0，μF＝10000 (N(/40(mm)＝250 (N/mm)，力多边形如图(c)所示。

F31＝54.214×μF＝13 553 N，F21＝41.024×μF＝10 301 N。 (2-2) 解析法：

(a) 斜块1的力平衡方程为

F31sin()F21sinF F31sin()cosF21sincosFcos F31cos()F21cos0 F31cos()sinF21cossin0

化简得

F31sin(2)Fcos，F31Fcos/sin(2)

F31Fcos/sin(2)10000cos5.711/sin(35.525.711)13622N F21F31cos()/cos13622cos(35.55.711)/cos5.71110299N

(b) 滑块2的力与力矩的平衡方程为

F32asinF32bsinQF12cos

F32acosF32bcosF12sin

F32abbsinF32a(h3h2)cosF32bsinF32b(h3h2h1)cosF12h3sin 22化简得

F32atanF32btanQ/cosF12

F32aF32bF12tan

F32abbtanF32a(h3h2)F32btanF32b(h3h2h1)F12h3tan 22F32atanF32btanQ/cosF12 F32aF32bF12tan

bb(F32bF12tan)(tanh3h2)F32b(tanh3h2h1)F12h3tan

22bbbF32b(tanh3h2)F32b(tanh3h2h1)F12h3tanF12tan(tanh3h2)

222bbbF32b(tanh3h2tanh3h2h1)F12(h3tantan2h3tanh2tan)

222bF32bh1F12(tan2h2tan)

2bF32bF12(tan2h2tan)/h110299(44tan25.71150tan5.711)/120391N

2F32aF32bF12tan39110299tan5.7111421N

QF12cosF32asinF32bsin10299cos5.7111421sin5.711391sin5.71110070N

(3) 求该斜面机构的机械效率η1＝Q /Q0＝10070/14019＝0.7183。

9

4－3 题4－3图为一曲柄摇杆机构，用作转动到摆动的变换，各个转动副的摩擦圆半径均为ρ＝6 mm，工作阻力矩Mr＝100 Nm，曲柄1的杆长a＝50 mm，连杆2的杆长b＝125 mm，摇杆3的杆长c＝100 mm，机架4的杆长d＝85 mm，试求图示位置主动力矩Md的大小（参：Md＝75.33 Nm）。

ω23 ω21 2 h3 ω3 F43 D 4 C F23 3 Mr F32 C 2 b B 1 ω1 Md a A d 4

题4－3图

ω3 D c 3 Mr

h1＝24.438 mm h3＝32.424 mm F21 F12 B h1 1 Md ω1 F41 A 解

μL＝1:2.5 F23＝Mr /(h3×μL)＝100 000/(32.424×2.5)＝1233 N F12＝F23

Md＝F12×h1×μL＝1233×24.438×2.5/1000＝75.33 Nm

4－4 题4－4图为偏心圆杠杆夹紧机构在钳工作业中的应用，试分析当F31在O12左侧时，工件处于自锁状态（参：当F31在O12左侧时，F31的力矩使偏心圆夹紧而不是被推出）。

杠杆 2 O3 工件 F31 O12 1 手柄 F31 N31 O12 3 工作台 N31 f 题4－4图

4－5 题4－5图为一正切机构，用作摆动到移动的变换，已知h＝400 mm，b＝80 mm，ω1＝－10 rad/s，构件3的质量m3＝20 kg，滑块2的质量m2＝5 kg，工作阻力Q＝1 000 N。

(1) 不计惯性力时，试求图示位置驱动力矩Md的大小（参：Md＝－402.5 Nm）； (2) 计入惯性力时，试求图示位置驱动力矩Md的大小（参：Md＝418.6 Nm）。

解：(2) 计入惯性力时，求驱动力矩Md的大小

S3htan1，V3h1/(cos1)2，V3(cos1)2h1，a3cos212V31cos1sin10 a32V31sin1/cos12V31tan1

V3h1/(cos1)20.410/cos2305.333m/s a32V31tan125.33310tan3061.584m/s2

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FR2＝Q－(m2＋m3)(g＋a3) ＝1000－(5＋20)(－9.81＋61.584)＝－784.85 N F23＝FR2/cosφ1＝784.85/cos30°＝906 N Md＝F21h/cosφ1＝906×0.4/cos30＝418.6 Nm

解：(1) 不计入惯性力时，求驱动力矩Md的大小 F23＝F12 FR1 φ1 F12 F23 F43 FR2 F43 F23 φ1 ω1 1 φ1 A 4 h B 3 2 S3 b C Q FR1＝Q－(m2＋m3)g ＝1000－(5＋20)×9.81＝754.75 N F23＝FR1/cosφ1＝754.75/cos30°＝871.5 N Md＝－F21h/cosφ1＝871.5×0.4/cos30＝－402.5 Nm 题4－5图

4－6 题4－6图为一正弦机构，用作转动到摆动的变换，已知LAB＝110 mm，h1＝150 mm，h2

＝70 mm，ω1＝10 rad/s，构件3的质量m3＝30 kg，滑块2的质量m2＝8 kg，构件1的质心在A点，m1＝20 kg，工作阻力Fr＝2 000 N。

(1) 不计惯性力时，试用解析法求机构在φ1＝30°、φ1＝60°、φ1＝120°和φ1＝220°位置时，构件1上的平衡力矩Mb（参：Mb＝35.512，20.503，－20.503，－31.412 Nm）；

(2) 计入惯性力时，试用解析法求机构在φ1＝30°、φ1＝60°、φ1＝120°和φ1＝220°位置时，构件1上的平衡力矩Mb（参：Mb＝55.422，40.412，－40.412，－8.774 Nm）。

Fr h2 h2 4 C3 h1 B ω1 A 1 φ1 2 S3 x3 4 C3 ω1 A m3g 1 φ1 B 2 m2g Fr x3 3 h1 S3 3 题4－6图 解：(1) 不计惯性力时，构件1上的平衡力矩Mb Mb(m2m3)gL1cos1389.810.110cos3041.0058cos3035.512 Nm

Mb(m2m3)gL1cos1389.810.110cos6041.0058cos6020.503 Nm

Mb(m2m3)gL1cos1389.810.110cos12041.0058cos12020.503 Nm Mb(m2m3)gL1cos1389.810.110cos22041.0058cos22031.412 Nm

(2) 计入惯性力时，构件1上的平衡力矩Mb

S3L1sin1，x3L1cos1

V3L11cos1，Vx3L11sin1

a3L112sin1，ax3L112cos1

a3L112sin10.110100sin111sin111sin305.5 m/s2 a3L112sin10.110100sin111sin111sin609.526 m/s2

11

a3L112sin10.110100sin111sin111sin1209.526 m/s2 a3L112sin10.110100sin111sin111sin2207.070 m/s2 Mb(m2m3)(ga3)L1cos138(9.815.5)0.110cos3055.422 Nm Mb(m2m3)(ga3)L1cos138(9.819.526)0.110cos6040.412 Nm Mb(m2m3)(ga3)L1cos138(9.819.526)0.110cos12040.412 Nm Mb(m2m3)(ga3)L1cos138(9.817.070)0.110cos2208.774 Nm

4－7 题4－7图为一双滑块机构，用作移动到移动的变换，已知LAB＝160 mm，转动副A、B处的摩擦圆半径均为ρ＝6 mm，移动副中的摩擦角φ＝8°，F为主动力，工作阻力Q＝800 N。

(1) 求机构在α＝65°位置时，各运动副中的支反力（参：F23＝1 300 N，F41＝1 143 N，F43＝6 N）；

(2) 该机构在ρ＝6 mm，φ＝8°时的自锁条件（参：α＝4.3°）。

F F41 F21 Q F43 V1 F A 1 F23 Q B 3 2 α F V1 A 1 ω21 4

Q B 2 ω23 α F F32

题4－7图

F12 3 F32 4

解：

F23＝1 300 N F41＝1 143 N F43＝6 N α＝arcsin(12/160)＝4.3°

4－8 题4－8图为一偏心夹具机构，已知R＝100 mm，A处为固定支承，OA与垂线之间的夹角α＝30°，转动副A处的摩擦圆半径均ρ＝8 mm，构件1与2、2与3之间的摩擦系数f＝0.1。试分析当夹紧到图示位置后，在工件反力的作用下，夹具不会自动松开时，OA之间的长度为多大（参：OAmax＝4.18×μL＝35 mm）。

A R α O B 1 解：

μL＝100/14＝7.14286 R＝100 mm RTu＝14 mm OATu＝8.5796 mm ρTu＝2.24 mm

φ＝arctan f＝arctan 0.1＝5.711°

工件 2 OATumin＝4.18 mm

OATumax＝4.18×μL＝35 mm

3 题4－8图

4－9 题4－9图为一曲柄摇块机构，已知曲柄1的转速ω1＝10 r/min，曲柄1的杆长a＝0.150

m，机架4的杆长d＝0.450 m。当曲柄1转B1B3B2区间时，工作阻力矩Mr3＝50 Nm，不计惯性力，S2(asin)2(acosd)2，求驱动力矩Md1的大小（参：arctan2[asin/(acosd)]，

Md1Mr3acos()/S2　）。

解：arctan2[asin/(acosd)]，S2(asin)2(acosd)2

12

3a1cos()/S2　Md11，Md1Mr3acos()/S2　，Mr3a1cos()/S2　

B B3 Md1 ω1 a 1 B1 φ 2 d Mr3 δ 3 D B2 题4－9图

A 4－10 题4－10图为一工作台升降机构，当油缸下腔通入高压油时，工作台作上升运动。已知比例尺μL＝实际尺寸/图上尺寸＝30，工件的重量 GW＝10 000 N，求驱动力F12的大小（参：F12＝28 175 N）。

解：F65Gw(ba)/b10000(33.421.5)/33.43563 N

F45Gwa/b1000021.5/33.437 N

F36F56c/(cd)353632.5/(32.516.5)4972.5 N F12gF63fF43e

F12(F63fF43e)/g(4972.5163732.9)/10.3428175 N

b a 工件 升降工作6 3 O3 8 B 2 G F12 A 1 升降油缸 O1 C 7 D GW 4 5 E 解： 图上尺寸 a=21.5 b=33.4 c=32.5 d=16.5 e=32.9 f=16 g=10.34

F65 F56 a b 5 工件 GW 4 c F45 F43 e d 6 f g 3 B F12 F36 C F63 F76 G 题4－10图

F83

13

习 题

5－1 试确定题5－1图所示偏置曲柄滑块机构中AB为曲柄的几何条件。若为对心曲柄滑块机构(e＝0)，其条件又如何?(参：AB＋e≤BC，AB≤BC)

5－2 在题5－2图所示铰链四杆机构中，已知b＝50 mm，c＝35 mm，d＝30 mm，d为机架。(1) 若为曲柄摇杆机构，a为曲柄，试求a的最大值；(2) 若为双曲柄机构，试求a的最小值；(3) 若为双摇杆机构，试求a的值域?(参：(1) a＝15 mm，(2) a＝45 mm，(3) 15＜a＜45 mm；55＜a＜115 mm)

C1 C C2 2 e θ A B1 a B 题5－1图 偏置曲柄滑块机构

b B2 b B 1 a A d 4 c 3 C D

题5－2图 铰链四杆机构

解：(1) a＋50≤35＋30＝65，0＜a≤15 (2) d＋a≤b＋c，30＋a≤50＋35＝85，a≤55 d＋b≤a＋c，80＝30＋50≤a＋35，45≤a

d＋c≤a＋b，65＝30＋35≤a＋50，15≤a，45≤a≤55 (3) a≤b＋c＋d≤50＋35＋30＝115，15＜a＜45；55＜a＜115

曲柄摇杆机构 0 15 双摇杆机构 双曲柄机构 45 55 双摇杆机构

115

5－3 参见题5－1图所示的偏置曲柄滑块机构，已知：a＝24 mm，b＝72 mm，e＝25 mm，试作图求解：(1) 滑块的行程H；(2) 曲柄为主动件时，机构的最小传动角γmin；(3) 滑块为主动件时，机构的死点位置。(参：(1) H＝51.9 mm，(2) γmin＝47°，(3) B1C1，B2C2)

H μL＝1:2

e θ A a B3 B B2 C1 C3 γmin C C2 b B1 题5－3图 偏置曲柄滑块机构

5－4 试用图解法设计题5－2图所示的曲柄摇杆机构。已知摇杆CD的急回系数K＝1.4，机架

14

d＝38 mm，摇杆长c＝45 mm，其摆角ψ＝50°，试确定曲柄长a和连杆长b。(参： a＝13.25 mm，b＝53.75 mm)

解：θ＝(K－1)180°/ (K＋1)＝(1.4－1)180°/ (1.4＋1)＝30°，a＝13.25 mm，b＝53.75 mm。

C1 C2 b＋a＝67 μL＝1:1 θ ψ B2 A d 4 θ D c b－a＝40.5 a＝13.25 mm b＝53.75 mm B1 P

5－5 试用图解法设计题5－1图所示的曲柄滑块机构。已知滑块的急回系数K＝1.5，滑块的行程H＝55 mm，偏距e＝20 mm，试确定曲柄长a和连杆长b。(参：a＝24 mm，b＝49.5 mm)

解：θ＝(K－1)180°/ (K＋1)＝(1.5－1)180°/ (1.5＋1)＝36°，a＝24 mm，b＝49.5 mm

C1 H C2 e b θ A a B2 μL＝1:1 b－a＝25.488 B1 b＋a＝73.474 θ P 15

5－6 试设计题5－6图所示的脚踏轧棉机上的曲柄摇杆机构。要求踏板CD在水平位置上下各摆10°，lCD＝500 mm，lAD＝1000 mm，用几何作图法求曲柄lAB和连杆lBC的长度。(参：lAB＝79 mm，lBC＝1115 mm)

解： lAB＝79 mm，lBC＝1115 mm μ＝1000/50＝1:20 A b＝1115 a＝79

b－a＝51.8×20＝1036 b＋a＝59.7×20＝1194

A B D C1 C2

题5－6图 脚踏轧棉机机构

D 10º10ºC1

C C2

5－7 如题5－7图所示，已知滑块3与曲柄1的对应位置如下表所示。试用解析法设计a、b、e的长度(参：a＝15.497 mm，b＝.522 mm，e＝－6.594 mm)。

S0 S1 S2 S3 S4 S5 0.0235 φ5 65º S6 S7 S8 S9 0.0355 φ9 125º S10 0.0375 φ10 140º 0.086 0.008 0.012 0.016 0.020 φ0 20º φ1 5º φ2 20º φ3 35º φ4 50º 0.027 0.030 0.033 φ6 80º φ7 95º φ8 110º y A a 1 φ φ0 e 2 b B S0 4 S 3 B0 x A0 题5－7图 曲柄滑块函数生成机构

5－8 在题5－8图中，连杆的3个平面位置分别为，xP1＝10 mm，yP1＝10 mm，φ1＝0°；xP2＝20 mm，yP2＝5 mm，φ12＝30°；xP3＝30 mm，yP3＝0，φ13＝60°；设连架杆AB和CD的固定铰链中心A0(a0x，a0y)和B0(b0x，b0y)的坐标值分别为A0(0，0)，B0 (20，0)，试用解析法设计此铰链四杆机构。

16

cos1j[D1j]sin1j0sin1jcos1j0pjxp1xcos1jp1ysin1jpjyp1xsin1jp1ycos1j　　　(529)　　　　　　　　　　1

cos12sin12p2xp1xcos12p1ysin12[D12]p2yp1xsin12p1ycos12sin12cos12010cos30sin302010cos3010sin30cos30　　　sin30cos30510sin3010cos30sin300001cos13sin13p3xp1xcos13p1ysin13[D13]p3yp1xsin13p1ycos13sin13cos13010cos60sin603010cos6010sin60cos60　　　sin60cos60010sin6010cos60sin600001y sin30cos30016.33978.66031

sin60cos60033.660313.66031

P1 θ12 O P2 P3 题5－8图 铰链四杆机构的设计

θ13 x qjxcos1jqjysin1j10q2xcos30qsin302y10q3xcos60qsin603y10sin1jcos1j0sin30cos300sin60cos600pjxp1xcos1jp1ysin1jq1xpjyp1xsin1jp1ycos1jq1y　　　　　　　　　　　　(528)

1116.3397q1xq1xcos30sin30q1y16.3397qsin30cos30q8.66038.6603q1y 1y1x11133.6603q1xq1xcos60sin60q1y33.6603qsin60cos60q13.660313.6603q1y 1y1x111ajxa1xaDa　　　　　　　　　　　　j2,3,,n　　　　　　　　　　　　　(531) 1j1yjy11 17

a2xa1xcos30aDasin30121j2y110a3xa1xcos60aDasin60131j3y110sin30cos300sin60cos60016.3397a1xa1xcos30a1ysin3016.3397asin30acos308.6603 8.6603a1y1y1x11133.6603a1xa1xcos60a1ysin6033.6603asin60acos6013.6603 13.6603a1y1y1x111(ajxa0x)2(ajya0y)2(a1xa0x)2(a1ya0y)2　　　　　j2,3　　　　　　　(530)

(a1xcos30a1ysin3016.33970)2(a1xsin30a1ycos308.66030)2(a1x0)2(a1y0)2

(a1xcos60a1ysin6033.66030)2(a1xsin60a1ycos6013.66030)2(a21x0)(a1y0)2(b1xcos30b1ysin3016.339720)2(b1xsin30b1ycos308.66030)2(b2

1x20)(b1y0)2(b1xcos60b1ysin6033.660320)2(b1xsin60b1ycos6013.66030)2(b1x20)2(b1y0)2

18

习 题

6－1 在题6－1图所示的凸轮机构中，μL(实际尺寸/图上尺寸)＝10，凸轮1为主动件，推杆3为从动件。

(1) 画出凸轮的理论基圆并量取半径r0（参：r0＝139.5 mm）； (2) 标出凸轮机构在图示位置的压力角α并量取α（参：α＝21°）； (3) 标出并量取从动件的位移S（参：S＝93 mm）； (4) 标出并量取从动件的行程h（参：h＝134 mm）；

(5) 若主动力矩Md＝10 Nm，不计所有运动副的摩擦，求图示位置的工作阻力Fr（Fr＝82 N）； (6) 偏心距e的引入对受力是否有利（参：有利）。

3 C e 2 B S0 S Fr 4 C e n 3 Fr 4 h 2 S 1 P13 n r0 ω1 Md r′0 A D α B ω1 Md A 1 题6－1图

题6－1图

解：

(1) 量出基圆半径r0＝13.95×μL＝139.5 mm； (2) 该位置从动件的压力角α＝21°；

(3) 该位置时从动件的位移S＝9.3×μL＝93 mm； (4) 该位置时从动件的行程h＝13.4×μL＝134 mm；

(5) 求此位置工作阻力Fr的大小 由Mdω1＝FrV3得Fr为

Fr＝Mdω1/ V3＝Md/( V3/ω1)＝Md/(AP13×μL)，AP13＝12.2 mm＝0.0122 m， Fr＝10/(0.0122×μL)＝82 N (6) 偏心距e的引入对受力是否有利（有利）。

tanα＝DP13/(S0+S)＝(AP13－e)/(S0+S)，e的存在使推程的压力角α减少，有利。

6－2 在题6－2图所示的凸轮机构中，μL(实际尺寸/图上尺寸)＝10，凸轮1为主动件，推杆2

19

为从动件，已知凸轮1的基圆半径r0，从动件在推程[0，80º]的运动规律为S＝b·sin[9δ/(4π)] (mm)，b为常数。

(1) 试推导凸轮在推程阶段的轮廓方程（参：S＝b·sin[9δ/(4π)] (mm)，dS/dδ＝9b/(4π)cos[9δ/(4π)]，x(r0S)sin(dS/d)cos，y(r0S)cos(dS/d)sin）；

(2) 该机构的压力角α（参：α＝0）； (3) 从动件2的行程H（参：H＝91 mm）； (4) 求常数b（参：b＝108.144 mm）。

y 3 δ 2 r0 ω1 1 B 2 r0 ω1 1 10.9 20 P12 S0 S B －ω1 y 3 δ －ω1 x x P12 S0 S 题6－2图 题6－2图

解：

(1) 推导凸轮在推程阶段的轮廓方程S＝b·sin[9δ/(4π)] (mm)，dS/dδ＝9b/(4π)cos[9δ/(4π)]

x(r0S)sin(dS/d)cos 　y(r0S)cos(dS/d)sin(2) 该机构的压力角α＝0

(3) 从动件2的行程H＝[(S0＋Smax)－S0]×μL＝(20－10.9) ×10＝91 mm (4) 求常数b

80º＝80º×π/180º＝4×π/9 91＝b·sin[9×4π/9/(4π)]＝b·sin(1) ＝b·sin(1×180º/π)＝0.84147 b

b＝91/0.84147＝108.144 mm

6－3 在题6－3图所示的凸轮机构中，凸轮1为圆心在O1点转动中心在A点的圆，圆的半径R1＝150 mm， AO1＝0.542R1，摆杆3的长度L3＝2.118R1，滚子2的半径R2＝0.26R1，AD＝2.088R1。

(1) 标出摆杆3在图示位置的压力角α（参：α＝31°）； (2) 画出摆杆3的摆角ψ（参：ψ＝28°）；

(3) 求摆杆3的运动规律（参：kA2bL3sin，kB2L3(dbcos)，

22222。 kC(R1R2)2L23db2bdcos，2arctan2[(kAkAkBkC)/(kBkC)]）

解：

(1) 作图得摆杆2在图示位置的压力角α＝31°。

20

(2) 作图得摆杆2的摆角ψ＝28°。 (3) 求摆杆2的运动规律。

[L3cos(dbcos)]2(L3sinbsin)2(R1R2)2

最大角位移2 C B 3 ψ D 4 题6－3图

R1 O1 A φ 位置 1 ω1 D 4 最大角位移位置 ψ 3 C B 28° 2 31° 1 ω1 φ O1 A 题6－3图

2222L23(dbcos)2L3cos(dbcos)2L3bsinsinbsin(R1R2) 222L23db2bdcos2dL3cos2bL3coscos2bL3sinsin(R1R2)

22(2bL3sin)sin2L3(dbcos)cos[(R1R2)2L23db2bdcos]0 22kA2bL3sin，kB2L3(dbcos)，kC(R1R2)2L23db2bdcos

kAsinkBcoskC0

2222arctan2[(kAkAkBkC)/(kBkC)]

6－4 在题6－1图所示的凸轮机构中，已知基圆半径r0＝60 mm、滚子半径rg＝30 mm、偏置距e＝15 mm，推程运动角δ0＝120º＝2π/3，推程按正弦加速度运动规律上升40 mm，远休止角δ01＝60º＝π/3，回程运动角δ'0＝100º＝5π/9，回程按余弦加速度运动规律下降，近休止角δ02＝80º＝4π/9。试建立推程阶段凸轮的理论轮廓与实际轮廓方程。

解： STh[3 Fr 4 e 2 B S0 ω1 Md A 1 题6－4图

S 12πsin()] 02π0C 310.04ST0.04[sin(3)][3sin(3)] m

2π2π2πS0re0.060.0150.058m，

20222dST0.12[1cos(3)] d2πxT(S0ST)sinecos 　yT(S0ST)cosesinxxrgcos

yyrgsin6－5 在题6－5图所示的凸轮机构中，设基圆半径为rb，推程运动角为δ0，推程阶段的凸轮轮廓为渐开线，其余尺寸如图所示，试求摆杆3在凸轮推程阶段的运动规律。

21

解：

在初始位置，设摆杆3的角位移为ψ0，O1B0的方位角γ0，ψ0与γ0由位置方程求得 b(rbrg)cos0L3cos0 a(rbrg)sin0L3sin0

D0B0的长度为D0B0(rbrg)2rb2，结构角β0为0(D0B0rg)/rb。 设O1D0的方位角为λ0，λ0由位置方程求得 rbcos0B0D0cos(0π/2)(rbrg)cos0

凸轮1的初始角位移δS＝λ0＋β0。

当凸轮1转δ角时，机构的位移方程为

brbcos(S0)[rb(0)rg]cos(S0π/2)L3cos arbsin(S0)[rb(0)rg]sin(S0π/2)L3sin

由以上方程求得摆杆3的角位移ψ（θ为过程变量）。

2 3 L3 C 4 ψ a B A D rb δS 1 ω1

C 4 题6－5图

2 L3 3 ψ a B B0 A0 A δ O1 rb C β0 D0 D θ δS 1 ω1

ω1 O1 1 2 A δ δb rb K 3 S S0 A0 δ O1 b b 题6－6图

6－6 在题6－6图所示的凸轮机构中，设基圆半径rb＝30 mm，推程运动角δ0＝40º，推程阶段的凸轮轮廓为渐开线，其余的尺寸如图所示，试求从动件3在凸轮推程阶段的运动规律S（参：Srb）。 解：

S0rbbrb，b1，Srb

6－7 在题6－7图所示的等宽凸轮机构中，三段大圆弧ab、cd、ef的半径都为R1，三段小圆弧fa、bc、de的半径都为R2、O2＝O2O3＝O3O1＝R1－R2，从动件2与凸轮1接触的宽度BC＝R1＋R2，O1A的长度为L，方位角为θ。当凸轮1上ab、de段圆弧与从动件2接触，ab段圆弧位于下方时，从动件2处于回程，如图(a)所示；当凸轮1上ab、de段圆弧与从动件2接触，ab段圆弧位于上方时，从动件2处于推程，如图(b)所示；当凸轮1上cd段圆弧与从动件2接触，cd段圆弧位于上方时，从动件2处于上极限位置，上极限的起始位置如图(c)所示，上极限的结束位置如图(d)所示。当凸轮1上cd段圆弧与从动件2接触，cd段圆弧位于下方时，从动件2处于下极限位置，下极限的起始位置如图(e)所示，下极限的结束位置如图(f)所示；从动件2在上、下方的停歇角均为π/3；试推导摆动从动件2的运动方程。

解：

1) 确定凸轮推程起点（下停歇终点）、推程终点（上停歇起点）、回程起点（上停歇终点）与回程终点（下停歇起点）的角度

22

(1) 由图(d) 得从动件2处于上停歇终点与回程起点时，凸轮1 的角位置φs2为

s2arctan[L2(0.5R10.5R2)2/(0.5R10.5R2)]

(2) 由图(e) 得从动件2处于回程终点与下停歇起点时，凸轮1 的角位置φx1＝φs2＋2π/3 (3) 由图(f) 得从动件2处于下停歇终点与推程起点时，凸轮1 的角位置φx2＝φs2＋π (4) 由图(c) 得从动件2处于推程终点与上停歇起点时，凸轮1 的角位置φs1＝φs2－π/3 2) 由图(a)所示，，当从动件2处于回程时，设O1O2的方位角为φ时，过O2点作ab、de圆弧的法线n－n，延长AO1，n－n与AO1延长线的交点为速度瞬心P12，令AP12＝S2。设从动件2的角位移为ψ，法线nn的方位角为ψ＋π/2，则有机构的位移方程为

y 2 n D 1 d e O2 φ O1 f a ω1 n ω1 θ B A ψ ω2 3 x f y 2 n a O1 O3 b c θ A L ψ 3 x C ω2 P12 O3 c b O2 d φ e 1 n E

(a) 从动件2处于回程 (b) 从动件2处于推程

y n b c O3 O2 O1 a d e θ ψ A y n d e O2 x c O3 b n O1 φs2 θ ψ A φs1 f n x (c) 从动件2处于推程终点与上停歇起点 (d) 从动件2处于推程停歇终点与回程起点

y L n O1 O2 d O3 θ b c n A ψx x y L n O1 θ b O3 c A ψx x e φx1 φx2 O2 e d n (e) 从动件2处于回程终点与下停歇起点 (f) 从动件2处于回程停歇终点与推程起点

题6－7图

(R1R2)eiR2ei(0.5π)S2ei0.5(R1R2)ei(1.5π)Lei

(R1R2)cosR2cos(0.5π)S2cos0.5(R1R2)cos(1.5π)Lcos

23

(R1R2)sinR2sin(0.5π)S2sin0.5(R1R2)sin(1.5π)Lsin (R1R2)cosR2sinS2cos0.5(R1R2)sinLcos (R1R2)sinR2cosS2sin0.5(R1R2)cosLsin

(R1R2)cossinR2sin2S2cossin0.5(R1R2)sin2Lcossin

(R1R2)sincosR2cos2S2sincos0.5(R1R2)cos2Lsincos (R1R2)cossinR2sin20.5(R1R2)sin2(R1R2)sincosR2cos0.5(R1R2)cosLcossinLsincos22

(R1R2)cossinR20.5(R1R2)(R1R2)sincosLcossinLsincos (R1R2)cossin(R1R2)sincos0.5(R1R2)LcossinLsincos [(R1R2)cosLcos]sin[(R1R2)sinLsin]cos0.5(R1R2)0

kA(R1R2)cosLcos，kB(R1R2)sinLsin，kC0.5(R1R2) kAsinkBcoskC0

sin2x/(1x2)，cos(1x2)/(1x2)

kA2x/(1x2)kB(1x2)/(1x2)kC0 2kAxkB(1x2)kC(1x2)0 2kAxkBx2kBkCkCx20 (kBkC)x22kAxkBkC0

2222arctan2[(kAkAkBkC)/(kBkC)]

6－8 在题6－8图所示的凸轮机构中，凸轮1为圆心在O1点转动中心在A点的圆，圆的半径为R1，AO1＝b，CA＝L3，从动件2以平底与凸轮接触。

2 B S2 ψ C 3 题6－8图

O1 A ω1 φ 1 C 3 ψb 2 ψ B ω1 O1 A φ 1 (1) 求摆杆2在图示位置的压力角α（参：α＝0°）； (2) 画出摆杆2的摆角ψb（参：ψb＝25°）；

(3) 列出摆杆2的运动规律（参：kAbcosL3，kBbsin，kCR1，

222arctan2[(kAkAkBR12)/(kBR1)]）。

解：

(1) 作图得摆杆2在图示位置的压力角α＝0°； (2) 作图得摆杆2的摆角ψb＝25°；

(3) 列出摆杆2的运动规律。机构位移方程的复数形式为

24

beiR1ei(0.5π)L3ei0S2ei

展开上式得

bcosR1cos(0.5π)L3cos0S2cos，bsinR1sin(0.5π)S2sin

化简得

bcosR1sinL3S2cos，bsinR1cosS2sin

bcossinR1sin2L3sinS2cossin bsincosR1cos2S2sincos

bsincosR1cos2(bcossinR1sin2L3sin)0 bsincosR1cos2bcossinR1sin2L3sin0 bcossinL3sinbsincosR10 (bcosL3)sinbsincosR10

令kA(bcosL3)，kBbsin，kCR1，得摆杆2摆角ψ的位移方程及其解分别为 kAsinkBcoskC0

2A2B2C2arctan2[(kAkkk)/(kBkC)]

6－9 在题6－9图所示的凸轮机构中，凸轮1为圆心在O点转动中心在A点的圆，圆的半径R＝30 mm，AO＝15 mm，滚子2的半径rg＝10 mm，偏心距e＝10 mm。

(1) 求图示位置以及凸轮1顺时针转过30°角时的压力角α；（参：图示位置的压力角α＝7°；顺时针转过30°角时的压力角α＝4.3°）

(2) 画出凸轮1的基圆并量取基圆半径r（r0＝12.522 mm）； 0参：(3) 求推程的运动角δ1（参：δ1＝66.5°）； (4) 画出推杆3的行程h（参：h＝30.8 mm）。 解：μL(实际尺寸/图上尺寸)＝2。

A rg 4 e 3 B 2 C R ω1 O 1 题6－9图

4 e 3 α rT B 2 C r0 A R δ1 O 1 ω1 AO＋R r0 C 4 e 3 α rT B 2 最低位置

h 1 最高位置

S R α δ1 ω1 30° A O (a)

(b)

25 题6－9图的解

6－10 在题6－10图所示的凸轮机构中，凸轮1为圆心在O点转动中心在A点的圆，圆的半径R＝15 mm，ω1＝10 rad/s，AO＝7.071 mm，AO与水平线的夹角δ1＝45°，偏心距e＝5 mm，滚子半径rg＝5 mm。

(1) 画出凸轮1的基圆并量取基圆半径r0（参：r0＝15－7.071＋5＝12.929 mm）； (2) 画出推杆3的行程h（参：h＝14.3 mm）；

(3) 标出滚子2与凸轮1上C、D两点接触时的压力角αC、αD（参：αC＝0°；αD＝0°）； (4) 当凸轮1逆时针转动时，凸轮1上C点、D两点成为接触时，凸轮1的转角δCD（参：δCD＝83.4°）；

(5) 求推杆3的运动规律S＝S(δ)，V＝V(δ)，a＝a(δ)。

4 h R＋AO＋rg B C ω1 A δ1 O e 题6－10图

3 AB0＝R－AO＋rg ＝15－7.071＋5 ＝12.929 mm e 4 rg B 2 S S3 (a)

4 rg 2 R－AO＋rg R D 1 r0 A δ1 3 rg 2 3 B 最高位置 最低位置 C δCD O e 1 R D B0 R r0 O S0 最低位置

V3 0 1 a3 2π δ A O0 δ (b)

(c)

题6－10图的解

解：μL(实际尺寸/图上尺寸)＝1。 (5) 求推杆3的运动规律 (5.1) 位移分析

S0(AB0)2e212.92925211.923 mm

26

AOeiδ(Rrg)eiθ(S0S)eiπ/2eei0 AOcosδ(Rrg)cosθe AOsinδ(Rrg)sinθ(S0S) cosθ(eAOcosδ)/(Rrg)

sinθ(Rrg)2(eAOcosδ)2/(Rrg)

(Rrg)2(eAOcos)2/(Rrg)sin tancos(eAOcos)/(Rrg)arctan2[(Rrg)2(eAOcos)2/(eAOcos)]

SAOsinδ(Rrg)sinθS0

(5.2) 速度分析

AOω1sinδω2(Rrg)sinθ0 AOω1cosδω2(Rrg)cosθV3 ω2AOω1sinδ/[(Rrg)sinθ] V3AOω1cosδω2(Rrg)cosθ

(5.3) 加速度分析

22AOω1cosδα2(Rrg)sinθω2(Rrg)cosθ0 22AOω1sinδα2(Rrg)cosθω2(Rrg)sinθa3 22α2[AOω1cosδω2(Rrg)cosθ]/[(Rrg)sinθ]

22a3AOω1sinδα2(Rrg)cosθω2(Rrg)sinθ

推杆3的运动规律S＝S(δ)，V＝V(δ)，a＝a(δ)如题6－10图(c)所示。

27

习 题

8－1 一对渐开线标准齿轮在标准中心距下传动，传动比i12＝3.6，模数m＝6 mm，压力角α＝20°，中心距a＝345 mm，求小齿轮的齿数z1，分度圆直径d1，基圆直径db1，齿厚s与齿槽宽e，基圆齿厚sb1。

解：

(1) 计算小齿轮的齿数

由a＝m (z1+z2)/2＝m z1 (1+i12)/2＝6 z1 (1+3.6)/2＝345 mm得z1＝25，z2＝25×3.6＝90 (2) 计算小齿轮的分度圆直径 d1＝mz1＝6×25＝150 mm

(3) 计算小齿轮的基圆直径 db1＝d1cosα＝150 cos20°＝140.954 mm (4) 计算小齿轮的齿厚 s＝mπ/2＝6×π/2＝9.425 mm (5) 计算小齿轮的齿槽宽 e＝mπ/2＝6×π/2＝9.425 mm

(6) 计算小齿轮的基圆齿厚

rrrsKsK2rK(invKinv)，sb1sb12rb1(invb1inv)sb12rb1inv

r1r1rr140.954sb1sb12rb1inv209.425140.954(tan2020π/180)10.957mm

r1150

8－2 一对渐开线标准齿轮在标准中心距下传动，如题8－2图所示，已知模数m＝4 mm，齿数如图所示，压力角α＝20°，求中心距a，小齿轮分度圆直径d1，齿顶圆直径da1，齿根圆直径df1，基圆直径db1，基圆齿厚sb1。

解：由图得z1＝18 z2＝24 (1) 计算中心距

a＝m(z1+z2)/2＝4(18+24)/2＝84 mm (2) 计算小齿轮分度圆直径

d1＝mz1＝4×18＝72 mm (3) 计算小齿轮齿顶圆直径

*da1＝(z1+2ha)m＝(18＋2)×4＝80 mm

Wk (4) 计小齿轮齿根圆直径

*df1＝(z1－2ha－2c)m＝(18－2－0.5)×4＝62 mm

题8－2图

(5) 计算小齿轮基圆直径db1＝d1cosα＝72cos20°＝67.658 mm (6) 计算小齿轮基圆齿厚

sb1srb14π67.6582rb1inv2067.658(tan2020π/180)6.913mm■ r12728－3 在题8－2图所示的齿轮传动中，Wk表示跨k＝3个齿的公法线，跨齿数k＝α z/180º＋0.5，α为压力角，α＝20°，通过测量Wk，可以检测标准齿轮分度圆上的齿厚。Wk的计算公式为

28

Wk＝(k－1)pb＋sb＝mcosα[(k－0.5)π＋z invα]

invα为渐开线函数，invα＝tanα－α。设W3的测量值W3c＝30.415 mm，试利用该式计算理法线长度W3，计算分度圆上的实际齿厚s1c与误差△s1c。

解：

(1) 计算理法线长度的一般公式 计算理法线长度的一般公式为

Wk＝(k－1)pb＋sb＝mcosα[(k－0.5)π＋z invα]＋2xmsinα，x为变位系数，此题的x＝0。

(2) 计算基圆齿厚

sb1srb14π67.6582rb1inv2067.658(tan2020π/180)6.913mm ■ r1272(3) 计算理法线长度W3

由Wk＝(k－1)pb＋sb得理法线长度W3为

W3＝(k－1)pb1＋sb1＝(k－1)mπcosα＋sb1＝(3－1)4πcos20°＋6.913＝30.530 mm ■ (4) 计算理论基圆齿距

由(k－1)pb1＋sb1＝m cosα[(k－0.5)π＋z1 invα]得pb1为

pb1＝{m cosα [(k－0.5)π＋z1 invα]－sb1}/(k－1)

pb1＝{4 cos20°[2.5π＋18(tan20°－20°×π/180)]－6.913}/2＝11.808 mm ■ 或由pb1×z1＝db1×π得pb1为

pb1＝db1×π/ z1＝67.658×π/ 18＝11.808 mm ■ (5) 计算分度圆上的实际齿厚s1c

通过测量Wk，得到分度圆的实际齿厚s1c，将Wk＝mcosα[(k－0.5)π＋z invα]的两边同时乘以π/2得

Wk(π/2)＝m(π/2) cosα [(k－0.5)π＋z invα]＝s cosα[(k－0.5)π＋z invα]

将上式中的Wk代入测量值30.415 mm得分度圆上的实际齿厚s1c为

s1c＝(Wkπ/2)/{cosα [(k－0.5)π＋z1 invα]}

＝30.415×π/2/{cos20° [(3－0.5)π＋18 inv20°]}＝6.260 mm ■ (6) 计算分度圆上齿厚的误差△s1c s1的理论值为

s1＝mπ/2＝4×π/2＝6.283 mm ■ 分度圆上的齿厚误差△s1c为

△s1c＝s1c－s1＝6.260－6.283＝－0.023 mm ■

8－4 一对渐开线标准齿轮在标准中心距下传动，已知模数m＝4 mm，齿数z1＝21、z2＝72，试求其重合度。

解：

db1＝d1cosα＝m z1cosα＝4×21cos20°＝78.934 mm db2＝d2cosα＝m z2cosα＝4×72cos20°＝270.631 mm

*da1＝(z1+2ha)m＝(21＋2)4＝91 mm

*da2＝(z2+2ha)m＝(72＋2)4＝296 mm

αa1＝arccos(rb1/ra1)，αa2＝arccos(rb2/ra2)，α'＝arccos(acosα/a') αa1＝arccos(rb1/ra1)＝arccos(78.934/91)＝29.841

29

αa2＝arccos(rb2/ra2) ＝arccos(270.631/296)＝23.4 α'＝α＝20°

α[z1(tana1tan)z2(tana2tan)]/(2π)　

α[21(tan29.841tan20)72(tan23.4tan20)]/(2π)　(4.40345.6911)/(2π)1.606 ■

8－5 一对渐开线标准齿轮在标准中心距下传动，已知模数m＝6，齿数z1＝23、z2＝，当中心距a'＝263 mm时，试计算啮合角α'。 解：

(1) 计算标准中心距 a＝m(z1+z2)/2＝6 (23+)/2＝261 mm (2) 由acosacos　得

arccos(acos/a　)arccos(261cos20/263)21.165 ■

8－6 一对渐开线标准斜齿轮在标准中心距下传动，已知模数mn＝8，齿数z1＝25、z2＝67，螺旋角β＝20º，齿宽b＝65 mm，试求重合度εγ。 解：

tanttann/cos　

tarctan(tann/cos　)arctan(tan20/cos20)21.173 ■

mnmtcos

mtmn/cos8/cos208.513mm ■

 hanmnhatmt，canmncatmt　hathanmn/mt18/8.5130.9397 cat　canmn/mt0.258/8.5130.2349 ■

db1＝d1cosαt＝mt z1cosαt＝8.513×25cos21.173°＝198.458 mm db2＝d2cosα＝mt z2cosαt＝8.513×67cos21.173°＝531.868 mm

*da1＝(z1+2hat) mt＝(25＋2×0.9397) 8.513＝228.824 mm *da2＝(z2+2hat) mt＝(67＋2×0.9397) 8.513＝586.370 mm

αat1＝arccos(rb1/ra1)，αat2＝arccos(rb2/ra2)

αat1＝arccos(rb1/ra1)＝arccos(198.458/228.824)＝29.854 αa2＝arccos(rb2/ra2)＝arccos(531.868/586.370)＝24.9

γαβ[z1(tanat1tant)z2(tanat2tant)]/(2π)bsin/(mnπ) γαβ[25(tan29.854tan20)67(tan24.9tan20)]/(2π)65sin20/(8π) γαβ＝[5.2497＋6.7129]/(2π)＋0.8845＝1.9139＋0.8845＝2.788 ■

8－7 一对渐开线变位齿轮传动，已知模数m＝4 mm，齿数z1＝23、z2＝79，变位系数x1＝0.65，x2＝－0.4，求中心距a'，啮合角α'，小齿轮的分度圆直径d1，齿顶圆直径da1，齿根圆直径df1，齿高h。

解：

(1) 计算啮合角α'

a＝m (z1+z2)/2＝4(23+79)/2＝204 mm inv2(x1x2)tan/(z1z2)inv　

30

inv2(0.650.4)tan20/(2379)(tan2020π/180　)

20.25tan20/102(tan2020π/180　) ＝0.001784＋0.01490＝0.016688 invα'＝tanα'－α'＝0.016688 α'＝20.741° ■

(2) 计算中心距a'

y0.5(z1z2)(cos/cos1)

y0.5(2379)(cos20/cos20.7411)＝0.2455

a'＝m(z1+z2)/2＋ym＝4(23+79)/2＋0.2455×4＝204.982 mm ■ (x1x2)y

(0.650.4)0.24550.0045 ■

(3) 计算小齿轮的分度圆直径d1＝mz1＝4×23＝92 mm ■ (4) 计算小齿轮的齿顶圆直径

*da1＝mz1 +2(ha+x1－ζ)m＝4×23 + 2(1 +0.65－0.0045)4＝105.1 mm ■

(5) 计算小齿轮的齿根圆直径

*df1＝mz1－2(ha+c－x1)m＝4×23 + 2(1 +0.25－0.65)4＝96.800 mm ■

*(6) 计算小齿轮的齿高h＝(2ha+c－ζ)m＝(2×1 +0.25－0.0045)4＝8.982 mm ■

8－8 一对等顶隙型直齿圆锥齿轮传动，已知模数m＝6 mm，齿数z1＝21、z2＝62，齿宽b＝45 mm，试计算小圆锥齿端分度圆直径d1，大端齿顶高ha1，大端齿根高hf1，大端齿全高h1，大端齿顶圆直径da1，大端齿根圆直径df1，锥距R，齿顶角θa1，齿根角θf1，顶锥角δa1，根锥角δf1。

解：

(1) 计算小圆锥齿端分度圆直径 d1＝mz1＝6×21＝126 mm

*(2) 计算小圆锥齿端齿顶高 ha1＝ham＝1×6＝6 mm

*(3) 计算小圆锥齿端齿根高 hf1＝(ha+c)m＝(1 +0.2)6＝7.2 mm

*(4) 计算小圆锥齿端齿全高 h1＝(2ha+c)m＝(2×1 +0.2)6＝13.2 mm

(5) 计算小圆锥齿轮分度锥角 δ1＝arctan(1/i12)＝arctan(z1/ z2)＝arctan(21/62)＝18.7117° (6) 计算小圆锥齿端齿顶圆直径 da1＝d1+2ha1cosδ1＝126 + 2×6cos18.7117°＝137.366 mm (7) 计算小圆锥齿端齿根圆直径 df1＝d1－2hf1cosδ1＝126－2×7.2cos18.7117°＝112.361 mm

20.56212622＝196.380 mm (8) 计算锥距 R0.5mz12z2(9) 计算小圆锥齿轮齿顶角 θa1＝arctan(ha/R)＝arctan(6/196.380)＝1.750°

(10) 计算小圆锥齿轮齿根角 θf1＝arctan(hf/R)＝arctan(7.2/196.380)＝2.0997° （θf2＝θf1） (11) 计算小圆锥齿轮顶锥角 δa1＝δ1+θf2＝18.7117°＋2.0997°＝20.8144° (12) 计算小圆锥齿轮根锥角 δf1＝δ1－θf1＝18.7117°－2.0997°＝16.612° ■

8－9 一圆柱蜗杆传动，已知蜗杆的齿数z1＝1，蜗轮的齿数z2＝42，蜗杆的分度圆直径d1＝80 mm，蜗轮的分度圆直径d2＝336 mm，试计算：① 蜗轮的端面模数mt2与蜗杆的轴向模数ma1，② 蜗杆的轴向齿距pa1，③ 导程L，④ 蜗杆的直径系数q；⑤ 蜗杆传动的标准中心距a，⑥ 导程角λ1。

解：

(1) 计算蜗轮的端面模数与蜗杆的轴向模数

d2＝mz2＝42m＝336 mm，m＝336/42＝8 mm，mt2＝ma1＝m＝8 mm

31

(2) 计算蜗杆的轴向齿距 pa1＝pt2＝ma1π＝8π＝25.133 mm， (3) 计算蜗杆的导程 L＝z1 pa1＝25.133 mm (4) 计算蜗杆的直径系数 q＝d1/m＝80/8＝10

(5) 计算蜗杆传动的标准中心距 a＝m(q+z2)/2＝8(10+42)/2＝208 mm

zpzmzmL)arctan(1a1)arctan(1a1)arctan(1) (6) 计算导程角 1arctan(πd1πd1d1d11arctan(z1m18)arctan()＝5.711° ■ d1808－10 现需要设计一对渐开线外啮合标准直齿圆柱齿轮机构。已知Z1＝18，Z2＝37，m＝5 mm，α＝20º，ha*＝1，c*＝0.25，试求：

(1) 两轮的几何尺寸（d1、d2；db1、db2；da1、da2；df1、df2）及标准中心距a； (2) 计算重合度εα 并绘出单、双齿啮合区。 解：

(1) d1＝mZ1＝5×18＝90 mm， d2＝mZ2＝5×37＝185 mm；

db1＝mZ1cos20°＝5×18 cos20°＝84.572 mm， db2＝mZ2 cos20°＝5×37 cos20°＝173.843 mm； da1＝(z1+2ha*)m＝(18＋2)5＝100 mm， da2＝(z2+2ha*)m＝(37＋2)5＝195 mm； df1＝(z1－2ha*－2c*)m＝(18－2－2×0.25)5＝77.5 mm， df2＝(z2－2ha*－2c*)m＝(37－2－2×0.25)5＝172.5 mm； 标准中心距为a＝m (Z1＋Z2)/2＝5 (18＋37)/2＝137.5 mm。 (2) αa1＝arccos(db1/da1)＝arccos(84.572/100)＝32.251°， αa2＝arccos(db2/da2)＝arccos(173.843/195)＝26.937°；

αB1B2/pb(B1CCB2)/(mπcos)[z1(tana1tan)z2(tana2tan)]/(2π)

α[18(tan32.251tan20)37(tan26.937tan20)]/(2π)1.614 ■

1.614pb pb B1 pb B2

单齿啮合区为中间的(1－0.614) pb＝0.386pb 双齿啮合区为两端的0.614pb

题8－10图

0.386pb 8－11 当标准齿条的齿廓与被测量的外齿轮的齿廓对称相切时，两切点之间的距离AA'称为固定弦齿厚，以sc表示，固定弦至齿顶的距离称为固定弦齿高，

ha hc 以hc表示，如题8－11图所示。试证明scscos2，hc＝ha－(s/4)sin(2α)。

解：

(1) 在题8－11图中，PAPacos(s/2)cos， scAA2PAcosscos。

2A a N rb Pb A' a' 分度线 N' r rf (2) hchaPbhaPAsinha(s/2)cossin， hcha(s/4)sin(2)。

α 当以固定弦齿高hc为基准，测量出固定弦齿厚sc后，通过s/(sccos2)，可以判断出齿厚s的偏差（要求齿顶圆有

O 题8－11图

32

严格的公差）。

习 题

9－1 在题9－1图所示的行星轮系中，皮带轮作为系杆，已知z1

＝20，z2＝20，z'2＝21，z3＝22，试求传动比i1H。

Hz20H121， 解：i122Hz1202

H 1

3

皮带轮

2'

n1

3H0Hz21H2i3， 22H2Hz322H21222122(2H)，2(HH)(1)H； 222122212222题9－1图

1H[(1)HH]H，

2121122222111HH()HH，i1H1。或者直接求解：

21212121H21Hi131H1Hz2z320222222，1HH

213H0Hz1z20212121H。 ■ 211

9－2 在题9－2图所示的电动螺丝拧紧轮系中，已知z1＝z4＝9，z3＝z6＝42，若中心轮1的转速n1＝3000 r/min，试求系杆H2的转速。

zH11442H113解：i13， 3H104z192 H1 5 H2 14H2i425194，14，41； 9951zH24H242946，H24； 6H20H2z49511 4 nH2nH299999n4n1300093.426 515151515193.426。 ■

3 6 题9－2图

9－3 在题9－3图所示的输送皮带减速轮系中，要求输送皮带的启动加速度不能过大，为此，采用了制动器B1与离合器B2联合驱动滚筒B3。已知z1＝30，z2＝66，z'2＝32，z3＝30，当制动器B1制动，离合器B2结合上时，试求传动比i1H。

z662.2 解：i12122z130z2z3z4z3，z4z22z33223092

Hi24B1

1

3 2'

2

3'

H

B2

B3

4 题9－3图

2H2Hz9242.875

4H0Hz32233

2H2.875H，23.875H

i1H1122.23.8758.525 H2Hi1H8.525。 ■

9－4 题9－4图所示为织机中的差动轮系，已知z1＝26，z2＝30，z'2＝22，z3＝24，z'3＝18，z4

＝120，n1＝50～200 r/min，nH＝300 r/min，试求内齿轮4的转速n4的变化范围。

nnHzzz3024120H1(1)22348.392， 解：i14n4nHz1zz262218232

3

3' 2'

卷

线齿轮

nnH n4nH18.392nnH50300n41nH300270.21

8.3928.392nnH200300n41nH300288.08

8.3928.392270.21≤n4≤288.08（n4与n1同向）。 ■

齿轮1的转速为n1＝1460 r/min，当制动器B2制动，制动器B1不制动时，试求滚筒的转速nH的大小。

nnzz4242H1H235.444， 解：i13n3nHz1z18182nnnnz150i3H3H56.818，

n5nH0nHz322H351

H

4

题9－4图

9－5 题9－5图所示为建筑绞车中的行星轮系，已知z1＝z'2＝18，z2＝z3＝42，z'3＝22，z5＝150，

B1 2 1 2' 3 H 钢丝绳 滚筒 B2 5 4 3' 或者直接求解

nnnnzzz4242150Hi151H1H23537.121n5nH0nHz1zz181822231 n1nH37.12nHnHn1/38.1211460/38.12138.230 nH38.230 r/min（n1与nH同向）。 ■

题9－5图

9－6 题9－6图所示为自由度等于1（F＝3×5－2×5－1×4＝1）的两层行星轮的行星轮系，已知z1＝20，z2＝18，z3＝24，z'3＝22，z4＝104，z5＝58，试求传动比i1H与i15。 nnnnzzz108H1H1H2345.4， 解：i14n4nH0nHz1z2z320nn1nH5.4nH，n14.4nH，nHn1/4.4，14.4；

nHHi453 2 H

3'

zzn4nH0nH2458350.608，

n5nHn5nHz4z3104220.608(n5nH)nH，0.608n5nH0.608nH1.608nH， nH(0.608/1.608)n50.378n5，

1 4

5

nH0.378 n5题9－6图

34

i1Hn1nnn4.4，■ i1511H4.40.3781.6。 ■ nHn5nHn5附题9－7图为一复合轮系，已知：Z1＝Z2'＝25，Z2＝Z3＝20，ZH＝100，Z4＝20，试求： (1) 该复合轮系的传动比i14；

(2) n1的转向如图示，标出系杆H的转向。 解：

该复合轮系由行星轮系与定轴轮系组合而成，构件1－2－2'－3－H与机架5组成行星轮系；构件H－4与机架5组成的定轴轮系。

(1) 周转轮系的传动比方程为

HiH1H113H13HZ2Z320200.3H0HZ1Z22525，

1H0.H，10.36H。■

(2) 构件H－4与机架5组成的定轴轮系的传动比方程为

iZH1005，1H14H4H4，HZ4205，

45化简以上两式得iH11410.36()0.072。■

H45

35

2 2' n 5 1 H 13 n4 4 附题9－7图

习 题

10－1 题10－1图(a)为一偏置曲柄滑块机构。偏心距e＝－0.15 m；曲柄1是圆盘上的一条线，杆长a＝0.35 m，圆盘的质心在A点，质量m1＝80 kg，转动惯量J1＝0.07 kgm2，角速度ω1的平均值ω1m＝16 rad/s，连杆2的杆长b＝1.05 m，关于质心C2的转动惯量JC2＝0.25 kgm2，DC2＝bC2＝0.65 m，质量m2＝100 kg，滑块3的质量m3＝120 kg。当滑块3的速度V3≤0时，滑块3上的工作阻力Fr＝8 000 N；当V3＞0时，Fr＝0，如图(b)所示。若以曲柄1的角位移φ1作为等效构件的角位移，安装在曲柄轴上的飞轮转动惯量JF＝100 kgm2，忽略构件的等效转动惯量。试求：

(1）机构关于A点的等效转动惯量Je1； (2）作用在等效构件上的等效阻力矩Mer1；

(3）若驱动力矩为常数，求驱动力矩Md1的大小（参：Md1＝901.7 Nm）； (4）求最大盈亏功△Wmax（参：△Wmax＝3243.491 Nm） (5）求曲柄1的速度波动不均匀系数δ（参：δ＝0.1055）。

y B BL Md1 φ1L ω1 a 1 φ1 φ1R e DL S3 3 b C2 BR m2 bC2 2 φ2 x D m3 4 DR Fr

φ1R 0 φ1L －Fr Md1 φ1 2π－φ1R A (a) (b)

题10－1图

解：

(1) 机构的位移分析与速度分析 acos1bcos2S3

asin1ebsin2

2arctan2[(asin1e)/(b2(asin1e)2)]

S3　acos1bcos2acos1b2(asin1e)2 nn2V3 a1si1b2sia1cos1b2cos2

2a1cos1/(bcos2)

V3aω1sin1bω2sin2　aω1sin1(bsin2)a1cos1/(bcos2)　　aω1(sin1cos1tan2)

连杆2上C2点的速度VxC2、VyC2分别为

xC2acos1(bbC2)cos2

yC2asin1(bbC2)sin2

36

VxC2a1sin1(bbC2)2sin2 VyC2a1cos1(bbC2)2cos2

(2) 机构关于A点的等效转动惯量Je1 Je(1)J1m2(VxC21)m2(2VyC21)2JC2(V22)m3(3)211

(3) 作用在等效构件上的等效阻力矩Mer1 Mer1FrV3/1a(sin1cos1tan2)Fr

(4) 若驱动力矩为常数，求驱动力矩Md1的大小

(4.1) 曲柄1的工作区间[1R，1L]与非工作区间[1L，1R]

1Rarctan[e/(ab)]arctan[0.150/(0.3501.050)]6.1155

1L180arctan[e/(ab)]180arctan[0.150/(0.3501.050)]167.90524 work1L1R167.905246.1155174.020743.03723　rad

back360work360174.02074185.979263.24595　rad

(4.2) 滑块3的行程H

4 S3R(ab)2e2(0.3501.050)20.15021.391 9(m)

S3L(ab)2e2(0.3501.050)20.15020.683740 (m) HS3RS3L1.391940.6837400.7082 (m)

(4.3) 曲柄1上的驱动力矩Md1 2πMd1FrH0

Md1FrH/(2π)80000.7082/(2π)901.7Nm

3000 2500 2000 1500 1000 500 0 φ1R 2π+φ1R 0

(c) (d)

25

－Mer1 20 15

Md1＝907.1 φ1 10 5

2π

ω1F ω1 题10－1图

(5）求最大盈亏功△Wmax W1L1R(Md1Mer1)d11L1R[901.7a(sin1cos1tan2)Fr]d1

Wmax＝37.1 Nm，Wmin＝－3206.326 Nm，△Wmax＝37.1＋3206.326＝3243.491 Nm

Wmax/[12m(Je1PJF)]，3243.491/[162(20.08498100)]0.1055。■

37

(6) 求运动规律

Me1Md1a(sin1cos1tan2)Fr

1[(i1)]Me1{(i),1[(i)]}0.512[(i)]{Je1[(i1)]Je1[(i)]}Je1[(i)]12[(i)]

Je1[(i)]1[(i)]数值计算的结果：Je1p＝20.084 kgm2，Md1＝701.71Nm，ω1m＝12.04258 rad/s，ω1Fm＝15.18783 rad/s，

无飞轮时速度波动的不均匀系数：1max1min19.3363501.6871991.46556

1m12.0425791Fmax1Fmin16.09695214.3202720.11698。

1Fm15.187825有飞轮时速度波动的不均匀系数：F

10－2 题10－2图为转化到多缸发动机曲轴上的等效驱动力矩Med和等效阻力矩Mer在一个运动循环内的变化曲线，等效阻力矩为常数，其等效驱动力矩曲线与阻抗力矩线所围成的各块面积依次为A1＝＋680、A2＝－420、A3＝＋490、A4＝－620、A5＝＋290、A6＝－490、A7＝＋360及A8＝－290 mm2，该图的比例尺为μM＝120 Nm/mm，μφ＝0.01 rad/mm。设曲轴的平均转速为n1＝600 r/min，其他构件的转动惯量忽略不计。若要求速度不均匀系数为δ＝0.015，求在曲轴上应安装飞轮的转动惯量JF的大小。

M Med A1 A2 A3 A4 A5 A6 －Mer A7 A8 0 题10－2图

8π φ 解：

(1) 计算功的累加值

A1＝＋680 A1＋A2＝260 A1＋A2＋A3＝750 A1＋A2＋A3＋A4＝130 A1＋A2＋A3＋A4＋A5＝420 A1＋A2＋A3＋A4＋A5＋A6＝－70 A1＋A2＋A3＋A4＋A5＋A6＋A7＝290 A1＋A2＋A3＋A4＋A5＋A6＋A7＋A8＝0。 (2) 计算最大盈亏功

最大的面积为750，最小的面积为－70，最大盈亏功为

38

△Wmax＝[750－(－70)] μMμφ＝820×120×0.01＝984 Nm (3) 计算角速度的平均值

ω1m＝2πn1/60＝2π×600/60＝62.832 rad/s (4) 计算飞轮的转动惯量JF

由JF≥△Wmax/(12m[δ])－Je计算飞轮的转动惯量JF为 JF≥984/(62.8322×0.015)－0＝16.616 kgm2。■

10－3 作用在某一机器从动件上的等效阻力矩Mer如题10－3图所示，等效驱动力矩Med近似为一常数，从动件的平均转速n＝240 r/min，从动件的不均匀系数δ＝0.026，关于该从动件的等效转动惯量的平均值JeP＝2 kgm2，求安装在该从动件上的飞轮转动惯JF 。

－Mer 280Nm 250Nm 180Nm 150Nm Med φ 0 π/8 5π/8 π/4 2π 题10－3图

π 解：

(1) 计算等效驱动力矩

Med＝(280×π/8＋150×5π/8＋250×π/4＋180×π)/(2π)

＝(280/8＋150×5 /8＋250/4＋180)/2＝185.625 Nm

(2) 计算两条曲线之间的功

W1＝(185.625－280)×π/8＝－37.061 Nm W2＝(185.625－150)×5π/8＝69.950 Nm W3＝(185.625－250)×π/4＝－50.560 Nm W4＝(185.625－180)×π＝17.671 Nm (3) 计算功的累加值

W0＝0

W0＋W1＝－37.061 Nm

W0＋W1＋W2＝－37.061＋69.950＝32.8 Nm

W0＋W1＋W2＋W3＝－37.061＋69.950－50.560＝－17.671 Nm W0＋W1＋W2＋W3＋W4＝－37.061＋69.950－50.560＋17.671＝0 Nm

39

(4) 计算最大盈亏功△Wmax＝32.8－(－37.061)＝69.950 Nm (5) 计算角速度ω1的平均值ω1m＝2πn1/60＝2π×240/60＝25.133 rad/s (6) 由JF≥△Wmax/(12m[δ])－JeP计算飞轮的转动惯量JF为

JF≥69.950/(25.1332×0.026)－2＝2.259 kgm2。■

－Mer 280Nm 250Nm 180Nm 150Nm W1 W2 W3 Med W4 φ 0 π/8 5π/8 π/4 2π 题10－3图

π

10－4 题10－4图为一齿轮机构与余弦机构组合的平面六杆机构，已知齿轮1的齿数Z1＝24，转动惯量J1＝0.08 kgm2，角速度ω1的平均值ω1m＝25.133 rad/s；齿轮2的齿数Z2＝52，转动惯量J2＝0.15 kgm2；齿轮2上的C点到转动中心B点的距离b2＝0.200 m。滑块3及其销轴的质量m3＝40 kg，滑块4的质量m4＝120 kg。当滑块4的速度V4≤0时，工作阻力Fr＝3 000 N；当滑块4的速度V4＞0时，Fr＝0。设驱动力矩Md1为常数。

试求：

(1) 机构以齿轮1的角位移φ1为等效构件角位移的等效转动惯量Je1； (2) 求驱动力矩Md1； (3) 求等效力矩Me1； (4) 求最大盈亏功△Wmax；

(5) 无飞轮时，求齿轮1的速度波动不均匀系数δ。

(6) 有飞轮时，设JF＝10 kgm2，求齿轮1的速度波动不均匀系数δF。

Md1 ω1 A 1 2 C 3 b2 φ2 B 4 S4 D y3 5 Fr Me1 0 φ1 πZ2/Z1 2πZ2/Z1 (a) (b)

题10－4图

解：

40

(1) 计算等效转动惯量Je1

由1/2Z2/Z1得1(Z2/Z1)2，2(Z1/Z2)1，φ2、φ1的变化区间分别为0≤φ2≤2π，0≤φ1≤2πZ2/Z1，

S4b2cos2b2cos(Z11/Z2)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(101) V4b22sin2b2(1Z1/Z2)sin(Z11/Z2)　　　　　　　　　　　　　　　　　(102) V3VC22b2b2(1Z1/Z2)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(103)

Je1Je1i(1)J1J2(Je1PJ1J2(Je1PJ1J2(Z12bZbZZ)m3(21)2m4(21)2sin2(11)　　　　　　　　　(104) Z2Z2Z2Z22πZ2/Z1Z12bZbZZ1)m3(21)2m4(21)2sin2(11)d1

0Z2Z22πZ2/Z1Z2Z22πZ2/Z1Z12bZmbZZZ)m3(21)24(21)2sin2(11)d(11)

0Z2Z22πZ2Z2Z2Je1PZbZmbZ1Z12ZJ1J2(1)2m3(21)24(21)2[11sin(11)]Z2Z22πZ22Z24Z202πZ2/Z1

Je1PJ1J2(Je1PZ12bZmbZ)m3(21)24(21)2　　　　　　　　　　　　　　　　　(105) Z2Z22Z2240.22421200.22420.080.15()240()()0.9kgm2

5252252 (2) 计算驱动力矩Md1

当0≤φ2≤π时，工作阻力Fr做负功WFr，此时，0≤φ1≤πZ2/Z1；当π＜φ2＜2π时，工作阻力Fr

＝0，无负载功，此时，πZ2/Z1＜φ1＜2πZ2/Z1。设齿轮2上的驱动力矩为M2，则由M22FrV4得M2为

M2FrV4/2Frb2sin2　　　　　　　　02π(106) 　　　　　　　　　　　　　M20　　　　　　　　　　　　　　　　π22πM2的平均值M2P为

M2PFrb21πFbsindcos2r2222π02ππ0Frb2　　　　　　　　　　　　　　　(107) π由Md11M22，2/1Z1/Z2，φ1＝(Z2/Z1)φ2得齿轮1上的驱动力矩Md1为

Md1(2/1)M2(Z1/Z2)Frb2sin(Z11/Z2)　　　　　　01πZ2/Z1(107) 　　　　Md10　　　　　　　　　　　　　　　　　πZ2/Z112πZ2/Z1Md1在一个周期0≤φ1≤2πZ2/Z1内的平均值Md1P为

Md1P12πZ2/Z10πZ2/Z1(Z1ZZFb)Frb2sin(11)d11r2Z2Z22πZ2πZ2/Z0πZ2/Z1sin(Z1Z1)d(11)Z2Z2　　　Z1Frb2Zcos(11)2πZ2Z20Z1Frb2　　　　　　　　　　　　　　　　　　(108)πZ2

(3) 计算等效力矩Me1

工作阻力Fr转化到齿轮1上的等效阻力矩Mer1为

Mer1(Z1/Z2)Frb2sin(1Z1/Z2)　　　　　　　　01πZ2/Z1(109) 　　　　　　　　Mer10　　　　　　　　　　　　　　　πZ2/Z112πZ2/Z1

41

齿轮1上的等效力矩Me1为

Me1Me1Frb2Z1Frb2Z1Zsin(11)　　　　　　　01πZ2/Z1πZ2Z2Z2(1010) 　　　　　　　Frb2Z1　　　　　　　　　　　　　πZ2/Z1＜1＜2πZ2/Z1πZ2(4) 求最大盈亏功△Wmax

在0≤φ1≤πZ2/Z1区间内，等效力矩Me1所做的功W1为

W１W1πZ2/Z10[Frb2Z1Frb2Z1Zsin(11)]d1 πZ2Z2Z2πZ2/Z1Frb2Z1πZ2ZZFrb2sin(11)d(11)

0πZ2Z1Z2Z2ZW1Frb2Frb2cos(11)Z20πZ2/Z1Frb22Frb2Frb2　　　　　　　　　　　　(1011)

在πZ2/Z1＜φ1＜2πZ2/Z1区间内，等效力矩Me1所做的功W2为

W2Frb2Z1πZ2Frb2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1012)

πZ2Z1令功的初始值为零，W0＝0，W0＋W1＝－Frb2，W0＋W1＋W2＝0

最大盈亏功△Wmax为

WmaxFrb2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1013) (5) 求速度波动的不均匀系数δ

曲柄1的速度波动不均匀系数δ为

无飞轮时，曲柄1的速度波动不均匀系数δ为

Wmax/(12mJe1P)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1014) Wmax/(12mJe1P)30000.2/(25.13320.9)0.9853

有飞轮时，曲柄1的速度波动不均匀系数δF为

FWmax/[12m(Je1PJF)]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1015)

WmaxFrb2　30000.2600　Nm

FWmax/[12m(Je1PJF)]30000.2/[25.1332(0.910)]0.0866

10－5 题10－5图为一行星轮系，已知Z1＝30，J1＝0.04 kgm2；Z2＝24，m2＝80 kg，J2＝0.03 kgm2；Z3＝78，JH＝0.05 kgm2；齿轮的模数m＝8 mm，作用在从动件H上的阻力矩Mr＝100 Nm。当取中心轮1的角位移作为等效构件的角位移时，求等效转动惯量Je1和等效阻力矩Mer1。 解：

(1) 计算传动比

z1H1H1HzziH233

z1z2z133H0HH132

H

1 3

题10－5图

42

i1HH12z130305z1 13，iH1H1z1z3307810818Hz11H1H1HziH2

z122H2Hz21(1H)H

z2zi211(1iH1)iH1

z2(2) 计算等效转动惯量 Je1J1m2[m(Z1Z2)z2iH1]2J2[1(1iH1)iH1]2JHiH1 2z20.008(3024)52305550.0480[]0.03[(1)]20.05()2

218241818182

0.040.2880.011720.0003860.3401 kgm

Je1(3) 计算等效阻力矩 Mer1MriH1

Mer11005/862.5 Nm

10－6 题10－6图为四槽槽轮机构，设中心距L＝360 mm，主动杆1的长度R＝Lcos45°，驱动力矩Md＝5 Nm，阻力矩Mr＝20 Nm，主动杆及其锁止弧（相当于飞轮）关于转动中心O1的转动惯量J1＝1.2 Kgm2，槽轮3关于转动中心O3的转动惯量J3＝0.25 Kgm2，在槽轮开始运动时，主动杆1的角速度ω10＝150.8 rad/s。

试求：

(1) 机构以主动杆的角位移φ为等效构件角位移的等效转动惯量Je1（参：Je1P＝1.2987 kgm2）；

(2) 求等效力矩Me1（参：

Me1MdMr3/1520Rcos()/S23　　　　　　　　3π/45π/4； ）

Me1Md　　　　　　　　　　　　　　　　　　　０＜3π/4,　5π/42π(3) 求最大盈亏功△Wmax（参：△Wmax＝23.562 Nm）；

10-4

(4) 求主动杆1的速度波动不均匀系数δ（参：δ＝8.5918×）。

解：

(1) 机构以驱动杆的角位移φ为等效构件角位移的等效转动惯量Je1

当主动杆1沿ω1方向从O1A0转动到O1Am

位置时，φ的角位移范围为π－(π/2－π/Z)≤φ≤π＋(π/2－π/Z)，槽轮3运动；当主动杆1沿ω1方向从O1Am转动到O1A0位置时，槽轮3静止。设O3、A之间的长度为S23，O2、O1之间的长度为L，槽轮3的槽数为Z，槽轮

43

ω2 Am L 题10－6图

3 Mr O3 A0 A δB 4 δ 2φ0 O1 1 2 R φ ω1 Md R1 3的运动角δB＝2π/Z，主动杆1的长度R＝Lsin(δB/2)。

该机构的位置方程及其解δ、S23分别为

RcosLS23cos

RsinS23sin arctan[Rsin/(RcosL)]　S23(Rsin)2(RcosL)2　

对位置方程求关于φ的一阶导数，得类速度VL23、类角速度ωL3分别为

VL23dS23/dV23/1Rsin()　

L3d/d3/1Rcos()/S23

32R2cos2()Je1Je1()J1J3()1.20.25　　　　　　3π/45π/42 1S23Je1Je1()J1　　　　　　　　　　　　　　　　　０＜3π/4,　5π/42π(2) 求等效力矩Me1

Me1MdMr3/1520Rcos()/S23　　　　　　　　3π/45π/4

Me1Md　　　　　　　　　　　　　　　　　　　０＜3π/4,　5π/42π(3) 求最大盈亏功△Wmax

W1＝Md×3π/4＝5×3π/4＝11.871 Nm，

W2＝(Md－Mr)×π/2＝(5－20)×π/2＝－23.562 Nm， W3＝Md×3π/4＝5×3π/4＝11.871 Nm，

令W0＝0，W0＋W1＝11.871 Nm，W0＋W1＋W2＝11.871－23.562＝－11.871 Nm， W0＋W1＋W2＋W3＝11.871－23.562＋11.871＝0 Nm。 △Wmax＝11.871－(－11.871)＝23.562 Nm。 (4) 求驱动杆的速度波动不均匀系数δ

Wmax/(12mJe1P)　Je1P＝1.2987 kgm2，δ为

Wmax/(12mJe1P)23.562/(145.314521.2987)8.5918104

(5) 求主动杆1的角速度 (5.1) 在槽轮运动区间的角速度

(i)135π/180(i1)π/180，(i1)(i)π/180　　　　　i1,2,3,,

(i)arctan{Rsin(i)/[Rcos(i)L]}　S23(i)[Rsin(i)]2[Rcos(i)L]2　

(i1)arctan{Rsin(i1)/[Rcos(i1)L]}　S23(i1)[Rsin(i1)]2[Rcos(i1)L]2　

44

Je1i32R2cos2[(i)(i)]Je1[(i)]J1J2()1.20.25， 3π/4≤φ(i)≤5π/4 21S23(i)Je1i132R2cos2[(i1)(i1)]Je1[(i1)]J1J2()1.20.25 21S23(i1)1[(i1)]Me1{(i),1[(i)]}0.512[(i)]{Je1[(i1)]Je1[(i)]}Je1[(i)]12[(i)] Je1[(i)]1[(i)]Md A0 A δB 4 δ 2φ0 O1 1 ω2 Am L (a)

(c)

2 R φ ω1 Md R1 0 φ1 2π (b)

Mr 3 O3 Mr 0 a 3π/4 b π/2 c 3π/4 d φ1 160 120 80 40 0

(e)

ω1 W W2 a W1 b 3π/4 π/2 (d)

2π 题10－6图

0 c W3 3π/4 d φ1 (5.2) 在槽轮静止区间的角速度

11[(i1)]1[(i)]1[(i1)]1[(i)] tttMe11[(i1)]1[(i)] 1[(i)]Je1[(i)]Me1 1[(i1)]1[(i)]Je1[(i)]1[(i)]主动杆1角速度的最大值为150.800 rad/s，最小值为100.4185 rad/s，平均值为145.3145 rad/s

δ＝(150.800－100.4185)/145.3145＝0.34671。

显然，经过速度分析之后的速度波动不均匀系数δ(＝0.34671)比直接求解的δ(＝8.5918×10-4) 大。

45

习 题

11－1 题11－1图(a)为一偏置曲柄滑块机构。偏心距e＝－0.15 m；曲柄1的杆长a＝0.35 m，质心在A点，转动惯量JA＝0.08 kgm2，角速度ω1＝18 rad/s；连杆2的杆长b＝1.05 m，关于质心C2的转动惯量JC2＝0.45 kgm2，b2＝BC2＝0.5 m，质量m2＝60 kg；滑块3的质量m3＝100 kg。

(1) 若对机构的惯性力作完全平衡，求应加在曲柄1上的平衡质量mf1（取r1＝0.3 m）以及连杆2上的平衡质量mf2（取r2＝0.4b m），如图(b)所示（参：mf1＝561.6 kg，mf2＝321 kg）。

(2) 若对机构惯性力的水平分量作部分平衡，求应加在曲柄1上的平衡质量mf1（取r1＝0.3 m）（参：mf1＝117 kg）。

y r2 a x 3 4 m3 r1 C1 1 b2 2 C2 m2 e b 3 4 x m3 y 1 b2 2 C2 m2 e b mf2 a r1 C1 φ φ mf1 S3 mf1 S3 (a) (b)

题11－1图

解：

(1) 将连杆2的质心调节到B点，设增加的质径积为mf2 r2，由mf2 r2＝m2 b2＋m3 b得

mf2＝(m2 b2＋m3b)/r2＝(60×0.5＋100×1.05)/( 0.4×1.05)＝321 kg

将曲柄1的质心调节到A点，设增加的质径积为mf1 r1，由(m2＋m3＋mf2)a＝mf1 r1得mf1

mf1＝(m2＋m3＋mf2)a/ r1＝(60＋100＋321)×0.35/0.3＝561.6 kg (2) 滑块3的位移、速度与加速度分别为

S3acosb2(asine)2　

S3acosb1(asine2，n1x1x/n，n1x21x2/n )　b(asine)2S3acosb　

2basineV3a1sina1cos　

bacosasinea3a12cosa12cos　a12sin

bbacosasinea3a12[coscos　sin　sin]

bbbeaa3a12[cossincos(2)　]

bb设在曲柄1上增加的质径积为mf1 r1，由力的平衡方程mf112r1cos(π)m3a12cos0得

mf1m3a　/r11000.35/0.3117kg

46

11－2 题11－2图为等厚圆盘中，在A处有一偏心凸出圆柱体，质量mA＝2 kg，其凸出厚度与圆盘等厚，其直径d1＝15 mm，rA＝160 mm。在结构上要求在B、C处开两个圆孔以达到静平衡的目的，已知rB＝rC＝140 mm，求这两个圆孔的直径dB、dC的大小（参：dB＝dC＝16.036 mm）。

60º d1 A B C O rA rB＝rC (2) 几何关系为

22d12rAdBrBdCrC

60º (1) 力多边形为

π(d12h)2rA 4gπ22(dBh)rB 4gπ22(dCh)rC 4gdBd1rA/rB

题11－2图 11－3 在题11－3图示的铰链四杆机构中，已知LAB＝48 mm，LBC＝160 mm，LCD＝105 mm，LAD＝200 mm，各构件的质量分别为m1＝10 kg，质心在A点；m2＝36 kg，LBS2＝90 mm；m3＝25 kg，LDS3＝80 mm。如在曲柄AB和摇杆CD上设置配重，rf1＝50 mm rf3＝80 mm，使机构的惯性力达到完全平衡，求配重的大小和位置（参：mf1＝15.12 kg，在BA的延长线上；mf3＝51.578 kg，在CD的延长线上）。

解：

(1) 将m2分配到B、C两点，mB2、mC2分别为

m2 LBS2＝mC2 LBC

mC2＝m2 LBS2/ LBC＝36×90/160＝20.25 kg mB2＝36－mC2＝36－20.25＝15.75 kg

(2) 计算mf1、mf3 由mB2LAB＝mf1 rf1得

mf1＝mB2LAB/ rf1＝15.75×48/50＝15.12 kg 由mC2LCD＋m3 LDS3＝mf3 rf3得

mf3＝(mCLCD＋m3 LDS3)/ rf3＝(20.25×105＋25×80)/80＝51.578 kg

11－4 题11－4图为凸轮轴，三个凸轮相互错开120°，其质量均为6 kg，质心到转动中心的距

离r＝16 mm，若选择Ⅰ、Ⅱ两个平面为动平衡校正平面，rⅠ＝rⅡ＝32 mm，求所加平衡质量的大小与相位（参：m∑Ⅰ＝m∑Ⅱ＝1.621 kg，关于x轴的方位角φ∑Ⅰ＝60°，φ∑Ⅱ＝240°）。

Ⅰ 45 75 75 45 y Ⅱ B 1 A 题11－3图

ω1 4 D 2 S3 S2 C 3 B C A x A

B C 题11－4图

47

r

解：

(1) 将惯性力分解到校正平面Ⅰ、Ⅱ上

PAⅠ＝(mAω2r)×195/240＝(6×16ω2)×195/240＝78ω2 PBⅠ＝(mBω2r)×120/240＝(6×16ω2) ×120/240＝48ω2 PCⅠ＝(mCω2r)×45/240＝(6×16ω2) ×45/240＝18ω2 PAⅡ＝(mAω2r)×45/240＝(6×16ω2) ×45/240＝18ω2 PBⅡ＝(mBω2r)×120/240＝(6×16ω2) ×120/240＝48ω2 PCⅡ＝(mCω2r)×195/240＝(6×16ω2) ×195/240＝78ω2

(2) 使校正平面Ⅰ、Ⅱ上的惯性力与所加平衡质量的惯性力等于零

PAⅠ＋PBⅠ＋PCⅠ＋P∑Ⅰ＝0 PAⅡ＋PBⅡ＋PCⅡ＋P∑Ⅱ＝0

P∑Ⅰ φ∑Ⅰ PAⅠ

P∑Ⅰ/ω2＝17.29×78/26＝51.871＝m∑ⅠrⅠ＝32 m∑Ⅰ P∑Ⅱ/ω2＝17.29×78/26＝51.871＝m∑ⅡrⅡ＝32 m∑Ⅱ

PCⅠ PBⅠ m∑Ⅰ＝m∑Ⅱ＝51.871/32＝1.621 kg φ∑Ⅰ＝60°

φ∑Ⅱ＝φ∑Ⅰ＋180＝240°

P∑Ⅱ PBⅡ PAⅡ PCⅡ φ∑Ⅱ

11－5 题11－5图为曲轴上安装A和B两个飞轮，已知曲柄的长度e＝200 mm，曲柄在距转动中心为e处的不平衡质量m＝400 kg。若在A和B两个飞轮上安装两个平衡质量mA、mB，其距轴线OO的距离均为r＝500 mm，求应加平衡质量mA、mB的大小与相位（参：mA＝94.545 kg，mB＝65.455 kg）。

450 650 解：

Ⅰ O e m Ⅱ O mB PⅠ＝(mω2e)×650/1100＝mAω2r＝500mAω2 mA＝(400×200)×650/(1100×500)＝94.545 kg PⅡ＝(mω2e)×450/1100＝mBω2r＝500mBω2 mB＝(400×200)×450/(1100×500)＝65.455 kg

r mA A

题11－5图

11－6 题11－6图所示的圆盘上存在两个不平衡质量，m1＝1 kg，r1＝50 mm；m2＝1.2 kg，r2

＝80 mm，m1与m2之间的夹角为90°。圆盘的转速n＝1460 r/min，若不进行静平衡，求支承上附加动压力的P∑大小（参：P∑＝2 530 N）。

48

r B

m1 r1 m2 x r2 y 解：

ω＝2nπ/60＝2×1460×π/60＝152.1 rad/s PⅠ＝m1ω2r1＝1×152.12×0.050＝1 168.780 N PⅡ＝m2ω2r2＝1.2×152.12×0.080＝2 244.058 N P∑＝(1168.7802＋2244.0582)0.5＝2 530 N

题11－6图 11－7 题11－7图为一个刚性转子，在四个位置上存在不平衡质量，m1＝10 kg、r1＝150 mm、θ1＝0°，m2＝15 kg、r2＝140 mm、θ2＝90°、y2＝200 mm，m3＝20 kg、r3＝200 mm、θ3＝180°、y3＝400 mm，m4＝10 kg、r4＝160 mm、θ4＝270°、y4＝600 mm。设增加平衡质量的校正平面为两个端面，平衡质量所在的半径rⅠ＝rⅡ＝200 mm，求平衡质量m∑Ⅰ与m∑Ⅱ的大小及其相位φ∑Ⅰ与φ∑Ⅱ（参：m∑Ⅰ＝7.05 kg，φ∑Ⅰ＝263.197°；m∑Ⅱ＝14.07 kg，φ∑Ⅱ＝18.654°）。

z Ⅰ m2Ⅰ m1Ⅰ m3Ⅰ r3Ⅰ O r1Ⅰ x r∑Ⅰ m∑Ⅰ P3Ⅰ

P∑Ⅰ P1Ⅰ

P2Ⅰ

题11－7图

P4Ⅱ

P∑Ⅱ

r2Ⅰ Ⅰ O r1 m1 y2 x m2 r2 m3 θ2 r3 θ3 θ4 r 4m4 y3 y4 Ⅱ y m2Ⅱ z z Ⅱ r∑Ⅱ r m3Ⅱ 2Ⅱr3Ⅱ O r4Ⅱ m4Ⅱ P3Ⅱ

P2Ⅱ m∑Ⅱ x 解：

(1) 校正平面Ⅰ上的惯性力与平衡

P1ⅠP1，P2ⅠP2(y4y2)/y4，P3ⅠP3(y4y3)/y4和P4Ⅰ0；

222P1ⅠP1m1r1100.151.5，

P2ⅠP2(y4y2)/y4150.142(0.60.2)/0.61.42，

22P3ⅠP3(y4y3)/y4200.20(0.60.4)/0.61.333 P4Ⅰ0，

P121.421.3332PⅠ0； ⅠP2ⅠP3ⅠP4ⅠPⅠ0，1.5PⅠ2(1.51.33)21.421.4102。

校正平面Ⅰ上的平衡质量m∑Ⅰ与相位φ∑Ⅰ分别为

PⅠ1.4102mⅠrⅠ2，

mⅠ1.410/rⅠ1.410/0.27.05 kg，

Ⅰ270arctan[(1.51.333)/1.4]263.197。

49

(2) 校正平面Ⅱ上的惯性力与平衡

P1Ⅱ0，P2ⅡP2y2/y4，P3ⅡP3y3/y4和P4ⅡP4； P1Ⅱ0，

P2ⅡP2y2/y4150.1420.2/0.60.72，

P3ⅡP3y3/y4200.2020.4/0.62.6662 P4ⅡP4m4r42100.1621.62。

P1ⅡP2ⅡP3ⅡP4ⅡPⅡ0，0.722.66621.62PⅡ0。 PⅡ2(1.60.7)22.66622.8142。

校正平面Ⅱ上的平衡质量m∑Ⅱ与相位φ∑Ⅱ分别为

PⅡ2.8142mⅡrⅡ2，mⅡ2.814/rⅡ2.814/0.214.07 kg，

Ⅱarctan[(1.60.7)/2.666]18.654。

50

习 题

13－1 在题13－1图所示的坐标系中，动坐标系oxyz与固定坐标系OXYZ初始时重合，动坐标系相对于固定坐标系作以下变换，先绕Z轴转动＋90º，再绕Y轴转动＋90º，最后相对于固定坐标系移动Tr[＋4，－3，＋7，1]T。

试求：(1) 动坐标系相对于固定坐标的位姿[R(Z,Y,Tr)]。 (2) 动坐标系相对于固定坐标系先移动Tr[4，－3，＋7，1]T，再绕动坐标系的y轴转动＋90º，最后相对于动坐标系的z轴转动＋90º。试求动坐标系相对于固定坐标的位姿[R(Tr,y,z)]。

[R(Z,Y,Tr)]＝Tr[4，－3，＋7，1]T[R90,Y][R90,Z]

o3 z3 +7 －3 X +4 x o O +90° Y y y3 Z z +90° x3 题13－1图

解：坐标变换的动作为[R90,Z]、[R90,Y]与Tr[4，－3，＋7，1]T，[R(Z,Y,Tr)]为 cos(π/2)sin(π/2)sin(π/2)cos(π/2)[R90,Z]00000110[R90,Z]000010[R(Z,Y,Tr)]000100001000100cos(π/2)00，[R]90,Ysin(π/2)010010010000sin(π/2)0100 0cos(π/2)000101000403 17010000，[R90,Y]101001001000010，T[4,3,7,1]T0r001000100001001000101403 0701040030171010001010000100[R(Tr,y,z)]＝Tr[4，－3，＋7，1]T[R90,y][R90,z]＝[R(Z,Y,Tr)]

13－2 在题13－2图所示的坐标系OXYZ中放置一个立方体，在立方体上设置坐标系oxyz，其上的特征点A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7和A8组成的矩阵Wxyz(4×8)如下，坐标系oxyz的原点o在坐标系OXYZ中的坐标为(0，2，0)。若让立方体绕Z轴转过90°，用[R90,Z]表示该转动；再绕Y轴

Z z A3(－2,2,6) A4(2,2,6) A2(－2,2,0) O X x 题13－2图

o(0,2,0) A1(2,2,0) A7(－2,12,6) A8(2,12,6) A6(－2,12,0) A5(2,12,0) y Y 222222WXYZ(48)006000222222121212126006600000 51

转过90°，用[R90,Y]表示该转动；最后沿X轴方向平移4，用Tr[4，0，0，1] T表示该移动。求以上变换后立方体的位姿T[xyzXYZ]Tr[4,0,0,1]T[R90,Y][R90,Z]WXYZ(48)。

解： 0110[R90,Z]0000Z z A3(－2,2,6) A4(2,2,6) A2(－2,2,0) O X x 题13－2图

X 绕Z轴转过90°

y A6(0,－2, 12) Z A7(6,－2, 12) A5(0, 2,12) y A6 A5 Z A7 A8 o(0,2,0) A1(2,2,0) A7(－2,12,6) A8(2,12,6) A6(－2,12,0) A5(2,12,0) y Y A2(－2,－2,0) A1(－2,2,0) x o(－2,0,0) O Y 00100000，[R90,Y]101001001000010010T，T[4,0,0,1]r000100001040 01A8(－12,2,6)

y

A7(－12,－2,6) Z z A3(－2,－2,6) A6(－12,－2,0)

A4(－2,2,6) A5(－12,2,0)

A8(6,2, 12) A2(0,－2,2) A1(0,2,2) o(0,0,2) O x Y A3 z X A1 A2 O o(4,0,2) A4 x Y A3(6,－2,2) z X

A4(6,2,2) 再绕Y转过90°

再沿X轴方向平移4

T[xyzXYZ]Tr[4,0,0,1]T[R90,Y][R90,Z]WXYZ(48)

600222[R90,Y][R90,Z]22200042T[xyzXYZ]206006622222 21212121200000410104410102222222 222121212120000000

52

12－3 题13－3图为由三个平行轴关节和一个垂直轴关节组成的关节型机器人简图，它的结构参数如下表所示。求该关节型机器人的运动学方程W4＝T1 T2 T3 T4。 连杆序号n 1 2 3 4 关于Zn轴的转角 θZ0= θ1＝30° θZ1= θ2＝－60° θZ2= θ3＝－30° θZ3= θ4＝45° 两连杆之间的距离dZn-1 0 0 0 0 连杆的长度aXn aX1=a1= 100 mm aX2=a2= 100 mm aX3=a3= 100 mm aX3=a4= 0 mm 连杆的扭角θXn θX1= 0° θX2= 0° θX3=－90° θX4= 0° Y0 aX1 1 O0 X0 Y1 aX2 2 X1 O1 Y2 aX3 Z3 θ4 Y3 O2 3 O3 X3 X2 Z0 0 θ1 Z1 θ2 Z2 θ3 4 题13－3图

解：

110000ππ [R(-0.5π,X3)]0cos()sin()001220sin(π)cos(π)01022T4(Z3,X3)[R(4,Z3)][R(-0.5π,X3)] T4(X3,Z3)[R(-0.5π,X3)][R(4,Z3)] T3[R(3,Z2)]Tr[aX3，0，0，1]T T2[R(2,Z1)]Tr[aX2，0，0，1]T T1[R(1,Z0)]Tr[aX1，0，0，1]T

即

cos4sin40010000100T4(Z3,X3)sin4cos40001000010010000001100sin4cos40001000010010000100cos4sin0400100sin40cos41000sin40cos40010000 0100 01T4(X3,Z3)0cos4sin040010001001000010cos3sin3T300sin3cos3000cos4000sin410a3cos3sin3sin0cos3300010053

0a3cos30a3sin3 1001

cos2sin2T200sin2cos20000100100001001000a2cos200sin2100010sin2cos2000a2cos20a2sin2 1001cos1sin1T100sin1cos10000100100001001000a1cos1sin001100010sin1cos1000a1cos10a1sin1

1001因此，W3T1T2T3为

cos(123)sin(123)0a3cos(123)a2cos(12)a1cos1sin()cos()0asin()asin()asin123123312321211 W300001001若转角θ1＝30°，θ2＝－60°、θ3＝－30°和θ4＝45°，则该平面关节型机器人的手部坐标系O3X3Y3Z3

在固定坐标系O0X0Y0Z0中的位姿W3为

0.8660183.20.50.8660.5017.32　W3

00100001W4T1T2T3T4，T4[R(-0.5π,X3)][R(4,Z3)]

0.8660.50.8660.5W4W3[R(-0.5π,X3)][R(4,Z3)]00000.8660.50.8660.5W4W3[R(-0.5π,X3)][R(4,Z3)]00000183.2cos40017.32　10sin4010sin40cos400100010000 0100 010183.20.7070.7070017.320　100.7070.70701000.3530.3530.866183.20.6120.6120.517.32　W4W3[R(-0.5π,X3)][R(4,Z3)] 0.7070.707000010

54

12－4 在题13－4图所示的坐标系OXYZ中，手臂相对于机身拥有一个关于Z轴转动自由度，手腕相对于手臂有两个自由度，即关于手腕坐标系oxyz中的x，z轴的转动。已知手腕上的坐标系oxyz相对于机身坐标系OXYZ的位姿矩阵SW已知。

Z 手臂 机身 o y z 手腕 x 01SW00100001002621Y 题13－4图

X O 试求： (1) 若手臂相对于机身坐标系OXYZ的Z轴转动－90°，则坐标系oxyz转到坐标系o1x1y1z1

的矩阵SW1。

cos(π/2)sin(π/2)sin(π/2)cos(π/2)[R90,Z]000001SW1[R90,Z]SW001000001000100010，[R90,Z]0010100001001000001000 012100601026 2001210001(2) 若手臂相对于机身坐标系OXYZ的Z轴转动＋90°，手腕上的坐标系oxyz相对于手臂上的z轴转动＋90°，关于x轴转动＋90°，则坐标系oxyz转到坐标系o2x2y2z2的矩阵SW2。

解： cos(π/2)sin(π/2)sin(π/2)cos(π/2)[R90,Z]000000100cos(π/2)sin(π/2)sin(π/2)cos(π/2)0，[R90,z]0001000010001000，010001100000 01001000100110010ππ[R(90,x)]0cos()sin()，[R90,z][R90,Z]00220sin(π)cos(π)0022SW2[R90,Z]SW[R90,z][R(90,x)]

0100，[R(90,x)]00100110SW20000

0010001000101000010020110620010055

0010010000100001100000 0110SW20001SW200006011010201200001000010010000100001100000 011061000010020120100010000001610002 001021000112－5 题13－5图为五个转动关节的机器人，相对转轴分别为Z1～Z5，相对转角分别为θ1～θ5，杆AO2与垂直杆O2O3为刚性联结，杆O3O4关于Z3轴的相对转动来源于AB杆长的变化。假设全部结构参数为已知，坐标系标注如图所示，求手部坐标系X5Y5Z5相对于固定坐标系X0Y0Z0的位姿矩阵。

X5 Y3 B O3 Y4 X3 O4 Z3 Z4 Z2 Y2 A X4 Y5 O5 Z5 X2 Z0 Z1 O2 Y0 Y1 X0 X1 题13－5图

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