第２４卷第１期 ２０１５年１月 测绘工程 Ｖ０１．２４。Ｎｏ．１ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ｏｆ Ｓｕｒｖｅｙｉｎｇ ａｎｄ Ｍａｐｐｉｎｇ ＪａｒＬ，２０１５ 采用弱基准和抗差估计的重力网平差 赵德军 ，张敏利 ，王强 ，陈永祥 ， （１．西安测绘总站，陕西西安７１００５４；２．大地测量与地球动力学国家重点实验室，湖北武汉４３００７７） 摘要：以沿海某测区绝对重力和相对重力网数据处理为例，详细描述了弱基准重力网平差的方法，绝对重力和相 对重力先验权的确定，用抗差等价权来调整相对重力的权、重力仪参数的取舍。结果表明，弱基准能有效地提高整 网的精度；抗差估计能有效地探测并降低异常数据的权。重力点平均中误差为１３．６×１０ ｍｓ＿ ，偶然误差检验符合 正态分布。 关键词：重力网；绝对重力；相对重力；弱基准；抗差估计 中图分类号：Ｐ２２３ 文献标志码：Ａ 文章编号：１００６—７９４９（２０１５）０１—００２５—０３ Ａｄｊ ｕｓｔｍｅｎｔ ｏｆ ｇｒａｖｉｔｙ ｎｅｔｗｏｒｋ ｕｓｉｎｇ ｆａｉｎｔ ｄａｔｕｍ ａｎｄ ｒｏｂｕｓｔ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ＺＨＡＯ Ｄｅｊｕｎ ，ＺＨＡＮＧ Ｍｉｎ－ｌｉ ，ＷＡＮＧ Ｑｉａｎｇ ，ＣＨＥＮ Ｙｏｎｇ—ｘｉａｎｇ ＇ （１．ｘｉ’ａｎ Ｄｉｖｉｓｉｏｎ ｏｆ Ｓｕｒｖｅｙｉｎｇ ａｎｄ Ｍａｐｐｉｎｇ，Ｘｉ’ａｎ ７１００５４，Ｃｈｉｎａ；２．Ｓｔａｔｅ Ｋｅｙ Ｌａｂｏｒａｔｏｒｙ ｏｆ Ｇｅｏｄｅｓｙ ａｎｄ Ｅａｒｔｈ’Ｓ Ｄｙｎａｍｉｃｓ， Ｗｕｈａｎ ４３００７７，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｓｏｌｖｉｎｇ ａ ｓｙｎｔｈｅｔｉｃ ａｄｊ ｕｓｔｍｅｎｔ ｏｆ ａｂｓｏｌｕｔｅ ａｎｄ ｒｅｌａｔｉｖｅ ｇｒａｖｉｔｙ ｎｅｔｗｏｒｋ ｕｓｉｎｇ ｆａｉｎｔ ｄａｔｕｍ，ｔｈｅ ｄｅｔｅｒｍｉｎａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｗｅｉｇｈｔｓ ａｂｏｕｔ ａｂｓｏｌｕｔｅ ａｎｄ ｒｅｌａｔｉｖｅ ｇｒａｖｉｔｙ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｓ，ｒｏｂｕｓｔ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｗｅｉｇｈｔｓ，ｔｈｅ ｃｈｏｉｃｅ ｏｆ ｒｅｌａｔｉｖｅ ｇｒａｖｉｍｅｔｅｒ’Ｓ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ａｒｅ ｄｅｓｃｒｉｂｅｄ ｉｎ ｄｅｔａｉｌｓ，ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ． Ｓｏｍｅ ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ ｒｅｓｕｌｔｓ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ，ｔｈｅ ａｃｃｕｒａｃｙ ｏｆ ｇｒａｖｉｔｙ ｎｅｔｗｏｒｋ ｃａｎ ｂｅ ｅｎｈａｎｃｅｄ ｂｙ ｆａｉｎｔ ｄａｔｕｍ ａｄｉｕｓｔｍｅｎｔ，ａｎｄ ｒｏｂｕｓｔ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｃａｎ ｒｅｄｕｃｅ ａｎｏｍａｌｏｕｓ ｄａｔａ’Ｓ ｗｅｉｇｈｔｓ，ｏｆ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ ａｖｅｒａｇｅ ｅｒｒｏｒ ｅｓｔｉｍａｔｅ ｏｆ ｔｈｅ ｕｎｋｎｏｗｎ ｇｒａｖｉｔｙ ｖａｌｕｅｓ ｉｓ±１３．６×１０一 ｍ／ｓ。，ａｎｄ ｒａｎｄｏｍ ｅｒｒｏｒｓ ｓａｔｉｓｆｙ ｎｏｒｍａｌ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｇｒａｖｉｔｙ ｎｅｔｗｏｒｋ；ａｂｓｏｌｕｔｅ ｇｒａｖｉｔｙ；ｒｅｌａｔｉｖｅ ｇｒａｖｉｔｙ；ｆａｉｎｔ ｄａｔｕｍ；ｒｏｂｕｓｔ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ 高精度重力测量主要是通过绝对重力测量和 国家重力基本网便采用弱基准平差方法 。 本文采用弱基准和抗差估计法［ ，按２０００国家 相对重力测量来实现的＿】］：①绝对重力仪测定的原 始观测值中，加入各项改正（包括固体潮改正、海潮 重力基本网的方法处理了沿海某测区绝对、基本网 和一等网重力测量数据［ ， 。 负荷改正［２］、气压改正、极移改正、光速有限改正和 高度改正）得到基准点的绝对重力值Ｌ３］。②相对重 力仪测量重力点间的重力段差，再联测至少１个已 知重力点即可算出所有未知点的重力值。 鉴于绝对重力仪测量精度有限，重力网平差采 用弱基准，所谓“弱基准”是指重力网平差时不固定 任何重力点，所有绝对观测量及相对观测量将赋以 适当的权，均作为观测量参与平差＿４ ｊ。我国２０００ 收稿日期：２０１４－０１—２０ 基金项目：国家自然科学基金资助项目（４１１０４０４７）；大地测量与地球 动力学重点实验室开放基金资助项目（ＳＫＬＧＥＤ２０１３—４—５一 Ｅ） １平差模型 １．１相对重力预处理 预处理流程按文献［１］执行：①仪器读数的格 值转换；②固体潮改正；③气压改正；④仪器高改 正；⑤零漂改正；⑥计算相对联测段差。 本工程测区范围在我国近海，因此预处理时加 入了海潮负荷改正。海潮负荷改正执行ＩＥＲＳ２００３ 规范，采用重力格林函数与海潮潮高作褶积积分来 计算［２］。软件采用美国加州大学开发的“ＳＰＯＴＬ” 软件包，海潮模型采用德国２０１１年发布的 ＥＯＴ１１Ａ，该模型是分辨率为７．５ ×７．５ 的全球海 作者简介：赵德军（１９７９一），男，工程师，硕士． ・２６・ 测绘工程 第２４卷 潮模型。 １．２弱基准平差数学模型 对基准点的绝对重力观测值，可列出绝对重力 观测误差方程，其形式为 Ｖｉ—ｇ 一ｇＯ． （１） 式中： 为绝对重力观测残差，ｇ 为ｉ点的平差重力 值，ｇ 为ｉ点绝对重力观测值。 将经过预处理后的每台仪器相邻两点的段差 观测值作为观测量，一台仪器在ｉ点和Ｊ点之间的 段差观测值的误差方程为［１ 一毋一ｇ ＋∑（盛 ～ｇ ）Ｃｎ＋ 耋ｘ 譬一ｓ ％ｊ一－一 耋 （ｓｉｎ警 ｎ ）． 式中： 为相对观测残差；ｇ ，ｇＪ分别为测站ｉ，Ｊ点 平差后的重力值；ｇ肠，ｇｎｚｊ分别为测站ｉ，Ｊ点经过 预处理后的相对联测观测值；Ｒ ，Ｒｊ为仪器在测站 ｉ， 点的观测读数；Ｃｘ为重力仪的Ｍ次（一般取１ 或２）多项式格值函数的Ｋ次格值改正因子； ， 为仪器周期误差参数（对于ＬＣＲ Ｇ型重力仪有７个 周期项）［ 。 部分相对观测量含有粗差，因此平差中采用了 抗差等价权，对所有的观测量（相对测量、绝对测 量）列出如下的误差方程矩阵形式： Ｖ—ＡＸ—Ｌ，Ｐ． （３） 式中：ｐ为抗差等价权，未知参数的无偏估 计为［ 删 又＝（Ａ ）－－１（Ａ 兄）． （４） 验后单位权中误差 一± ／ ． （５） 式中，ｒ为多余观测量，未知参数的协方差矩阵 ∑ 一 。（Ａ ）一． （６） ２重力测量数据处理 某沿海重力测量工程中，用ＦＧ５、ＡｌＯ绝对重 力仪分别测量了３０和４个基准站的绝对重力值，精 度在３×１０ ～５×１０ ｍｓ＿。，点位均匀分布在中国 近海（见图１）；１６台ＬＣＲ－Ｇ型、７台Ｂｕｒｒｉｓ、１台 ＣＧ－５重力仪联测了８Ｏ余条基本网测段，４００余条 一等网相对重力测段。 ２．１预处理精度统计 相对重力段差联测中误差的计算见文献［１］， 图１绝对重力点分布图 精度统计如下： １）基本网测段联测中误差限差ｍ。为１０× １０ ｍｓ～。基本网中１３ ９／６的测段精度小于１／３ｍ。， ３０ ９，６介于１／３ｍ０～２／３ｍ０，５７ 介于１／３ｍｏ～ ２／３ｍ。，所有测段精度满足要求。 ２）一等网测段中误差限差ｍ。为２５× １０ ｍｓ＿。，部分海上测段可适当放宽到２ｍ。。一等 测段２９ 的精度小于１／３ｍ。，４７ 介于１／３ｍ。～ ２／３ｍ０，２２ 介于１／３ｍｏ～２／３ｍｏ，２ 介于ｌｍ。～ ３／２ｍ。，所有一等测段中误差都满足要求。 ３）预处理后的段差按最少边数构成的环 来计算闭合差，结合文献［１］，闭合差限差 Ｗ０—２ｍｏ，／ｎ０＋２ｍ１，／ｎ１． （７） 式中：‰， 分别为构成闭合环的基本网、一等网测 段数；仇。， 分别为基本网、一等网段差中误差的 限差。相对重力联测路线共形成１４４个闭合环，闭 合差统计见表１。 表１闭合环闭合差统计 １个闭合环超限，该环是由两个外业队测量的３ 条测段构成的，外业无法发现闭合环是否超限，因 此通过内业抗差降权来处理。表２是构成闭合环的 ３条测段抗差降权统计，可以看出抗差后验权明显 第１期 赵德军，等：采用弱基准和抗差估计的重力网平差 ・２７・ 降低，甚至接近于０。 表２测段抗差降权统计 ２．２观测量权的确定 ２．２．１绝对与相对观测量的权比 绝对与相对观测量的权比为Ｅ１］ 垃一垒盟 ｆ Ｒ、 相 ‘ 先验假设，相对重力仪的中误差定为２Ｏ× ｌＯ ｍｓ＿。，ＦＧ５绝对重力仪优于５×１０ ｍｓ＿。Ｅ３，１１３， ＡｌＯ绝对重力仪精度约为９×１０ ｍｓ＿。，则绝对与 相对观测量权比：对于ＦＧ５为３２：１，对于Ａ１０为 １０：１。 ２．２．２相对观测量之间的权比 相对重力仪的测量精度主要受运输工具影响， 表３给出了汽车、轮船为载体测量的段差精度统计。 表３不同载体测量段差统计 １０—８ｍｓ 则两种载体相对观测量的权比为＿６］ 一 一 ≈ ． （９） 户船 ｌＬ ４ Ｕ・０ 由此确定：绝对重力、汽车、轮船观测值的先验 权比为３２（１０）：１：０．５。 ２．２．３抗差估计确权 在参加平差的观测量中，绝对观测量和仪器检 定的长基线联测成果均采用先验权且固定权；对于 汽车、轮船等观测量先采用先验权，再采用抗差估 计定权。 抗差估计采用ＩＧＧ等价权［４＾ 。根据抗差估 计理论，经过试算，认为抗差估计等价权模型参数 应取为ｋ。一１．５，ｋ１—４．５，迭代计算收敛数￡一２× １０ ｍｓ～，既最大限度采用了原始测量成果，又消 弱了含有较大误差的测量成果对平差结果的影 响［ 。抗差估计后，共剔除６条粗差，占相对观测方 程的Ｏ．４ ，约１１０个观测量降权。 ２．３仪器参数的确定 从式（２）中可看出，每台重力仪需要顾及的一、 二次格值因子和周期误差参数共１６个。若仪器的 周期误差参数太多，很可能产生法方程秩亏或不利 于提高平差精度，因此必须合理取舍格值因子ＣＫ 和周期误差Ｘ ， 。若仪器参数满足下面的双尾ｔ 检验，则可舍去此参数Ｅ ］。 ＜￡（１一ａ；ｒ）． （１ｏ） 主 式中：￡（１一ａ；ｒ）表示当置信水平为（１一ａ），自由度 为ｒ（即多余观测量）时，双尾ｔ分布的临界值。反复 试算后确定出２３台相对重力仪共需顾及８９个仪器 参数。 ２．４平差结果 １）单位权中误差（单台仪器一测回，汽车联测 中误差）为２３．６×１０ ｍｓ～。 ２）所有重力点平差值的平均中误差为１３．６× １０ ｍｓ ；基准点平均中误差为３．８×１０ ｍｓ＿。； 基本点平均中误差为８．９×１０ ｍｓ１。；一等点平均 中误差为１４．３×１０ ｍｓ１；最弱点为永兴岛附近的 金银岛为２７．９×１０ ｍｓ－。。 ３）偶然误差特性检验［ ］。 残差的正负号个数的检验：正号为８７３个，负号 为８８７个，正负号残差个数和的绝对值小于置信度 为９５ 的正态分布的限差２√ ＝８４， 为残差个数， 残差符合正态分布。 残差数值和的检验：残差数值和为３６５× １０ ｍｓ＿。，小于置信度为９５ ９／５的正态分布的限差 ２ －１ ９８０×１０一一ｓｍｓ一，残差符合正态分布。 正负残差平方和之差检验：残差平方和之差的 绝对值为４２ ７２３×１０ ｍ２ ｓ＿。，小于置信度为９５ ９／６ 的正态分布的限差２ 一８０ ９４１×１０ １３３ ｓ一， 残差符合正态分布。 ４）抗差估计剔除粗差后，相对观测量的残差分 布如图２所示，从中看出残差分布符合正态分布。 图２观测残差分布图 ３结束语 绝对重力测量精度优于５×１０ ｍｓ～，但这还 不能起到绝对控制重力网的作用，因此采用“弱基 准”的方法，将所有绝对重力值和相对重力值当成 （下转第３２页） ・３２・ 测绘工程 第２４卷 （上接第２７页） 未知量并赋予适当的权来参与平差。其优点是，若 学，２０１１，３１（４）：５２—５５． 绝对重力值有误差，甚至异常，可从平差结果中发 现，且绝对重力值还能通过平差得到改善。 相对重力仪在海上作业观测质量难免较差，甚 至出现异常数据，采用抗差估计能有效地降低异常 数据的权重，提高平差结果精度。 ＬＣＲ－Ｇ型和Ｂｕｒｒｉｓ重力仪由于其结构特性，要 ［－４－］郝燕玲，姜鑫，周广涛，等．基于小波分析的海洋重力测 量滤波算法［Ｊ］．测绘科学，２０１４，３９（８）：１１６一ｌｌ９． －［５－］ＷＡＮＧ Ｃ，ｅｔ ａ１．Ａｄｊｕｓｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｒｅｌａｔｉｖｅ Ｇｒａｖｉｔｙ Ｍｅａｓ— ｕｒｅｍｅｎｔｓ Ｕｓｉｎｇ Ｗｅｉｇｈｔｅｄ ａｎｄ Ｄａｔｕｍ－ｆｒｅｅ Ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｓ Ｉ－Ｊ］．Ｃｏｍｐｕｔｅｒｓ＆Ｇｅｏｓｃｉｅｎｃｅｓ，２００２，２８：１００５—１０１５． ［６］陈俊勇，杨元喜，王敏，等．２０００国家大地控制网的构 建和它的技术进步［Ｊ］．测绘学报，２００７，３６（１）：１－８． ［７］郭春喜，李斐，王斌．应用抗差估计理论分析２Ｏ００国家 重力基本网［Ｊ］．武汉大学学报：信息科学版，２００５，３０ （３）：２４２—２４５． 考虑１４个仪器周期参数，仪器参数对函数模型有较 强的影响，选择有显著影响的仪器参数，能改善计 算精度，但是选择合理的仪器参数需要经过大量的 试算。因此建议，在重力测量中优先使用无仪器周 期误差的重力仪，如ＣＧ－５。 参考文献： ［１］ 中华人民共和国国家质量监督检验检疫总局，中国国 家标准化管理委员会．ＧＢ／Ｔ ２０２５６—２００６．国家重力 ［８］孙海燕，李斐，晁定波．国家重力基本网的优化设计 ［Ｊ］．武汉测绘科技大学学报，２０００，２５（６）：４９６—４９９． ［９］党亚民，丘其宪，徐善．ＬＣＲ－Ｇ型重力仪周期误差的研 究Ｉ－Ｊ－］．武汉测绘科技大学学报，１９９６，２１（２）：１２０—１２３． ［１ｏ］杨元喜，宋力杰，徐天河．大地测量相关观测抗差估计 理论［Ｙ１．测绘学报，２００２，３１（２）：９５—９９． ［１１］邢乐林，李建成，李辉，等．国内绝对重力观测比对Ｉ－Ｊ］． 测绘通报，２００８（１１）：１－３． 控制测量规范［ｓ］．北京：中国标准出版社，２００６． ［２］ 王勇，张为民，王虎彪，等．绝对重力观测的潮汐改正 ［Ｊ］．大地测量与地球动力学，２００３，２３（２）：６５—６８． 等．２０００国家重力基本网部 ［３］ 张宏伟，董朝阳，赵东明，［１２］徐良骥．导线网间接平差算法分析与实现［Ｊ］．测绘科 学，２０１４，３９（３）：１０７—１１０． 分站的最新绝对重力测量［Ｊ］．大地测量与地球动力 ［责任编辑：刘文霞］
