普朗克黑体辐射公式的详细推导

普朗克假设黑体辐射是由一系列离散的微观振动体产生的，这些振动体能够吸收和释放以能量量子(hf)为单位的能量。当这些振动体处于平衡状态时，设振动体的能量分布函数为Ψ(ε)，其中ε表示振动体的能量。

考虑单位体积和单位能量范围内的振动体数目，记为N(ε)dε，其中N表示单位体积内振动体的总数。

根据统计力学的理论，N(ε)dε可表达为波尔兹曼分布，即： N(ε)dε = g(ε)exp(-ε/kBT)dε

其中，g(ε)表示在特定能量范围内的能量态的数目，exp(-ε/kBT)是由玻尔兹曼因子得到，k是玻尔兹曼常数，T是温度。

由于辐射的能量不连续，因此，可以将单位体积和单位频率范围内的振动体数目表示为N(v)dv，其中v表示频率，dv表示频率范围。

考虑到能量和频率之间的关系，有ε = hv，其中h是普朗克常数。根据可加性和幂次原理，能量态的数目g(ε)应满足：

g(ε)dε=4π(2m/h^2)^(3/2)ε^(1/2)dε 其中，m是振动体的质量。

将ε和dε用v和dv表示，并对能量态的数目函数进行简化得到： g(v)dv = (8πv^2/c^3)dv 其中，c是光速。

由于单位体积和单位能量范围内的振动体数目与单位体积和单位频率范围内的振动体数目之间有关系：

N(ε)dε = N(v)dv

将上述得出的g(ε)和g(v)带入上式，并整理可得： N(v) = (8πv^2/c^3)exp(-hv/kBT)dv

可以将上式转化为单位面积、单位时间、单位频率范围内的能量密度u(v)：

u(v) = N(v)hv

代入上式并进行整理，得到：

u(v) = (8πhv^3/c^3)exp(-hv/kBT)dv

利用频率和波长的关系，即v=c/λ，可以将上式转化为以波长表示的能量密度：

u(λ) = (8πhc/λ^5)exp(-hc/λkBT)dλ 这就是普朗克黑体辐射公式的最终形式。

通过对普朗克黑体辐射公式的推导，我们可以看出，普朗克假设了黑体辐射的能量是以能量量子为单位的离散量，这个假设是量子力学发展的重要先导。该公式可以精确地描述黑体辐射的能量分布，对于理解和研究光子的行为和量子力学的应用具有重要意义。