二元一次不等式组与平面区域

一、教材分析

1、本节课在教材中的地位和作用

本节课是高中数学必修5（北师大版）第3章《不等式》中的第4节简单的线性规划问题的第一课时，在此之前，学生已经学习了直线的方程，已经掌握了二元一次方程与平面直线的对应关系，同时也体验过数形结合的思想方法，为研究二元一次不等式与平面区域的对应关系做了知识和方法上的准备.二元一次不等式与平面区域作为线性规划三个课时中的第一课时，起到了承前启后的作用，既是对前面的不等式、直线方程等内容的再理解再学习，也是后续学习简单线性规划问题的基础，并有助于学生对优化思想的理解.这个节内容，是学生对不等式、直线方程知识的深化和综合应用.二元一次不等式作为刻画区域的工具，为解决简单的线性规划问题做铺垫，这种从点到数对的对应，直线与方程的对应，到平面区域与不等式组的对应的过渡和提升，能使学生进一步体会到数形结合思想的实质及其重要性.本节内容体现了数学的工具性、应用性，同时渗透了数形结合、分类讨论、化归的数学思想.

2、教学目标

（1）知识与技能：了解二元一次不等式（组）的相关概念，并会画二元一次不等式（组）表示的平面区域.

（2）过程与方法：经历观察、实验、探究、分析、归纳、概括及应用的认知过程， 体验由特殊到一般，由具体到抽象的探索方法以及数形结合的数学思想方法.

（3）情感、态度与价值观：通过主动参与、合作交流，感受勇于探索、勇于创新的科学精神；体验数学的应用价值与成功解决问题的快乐.

3、教学重点与难点：

（1）教学重点：会画二元一次不等式（组）所表示的平面区域.

（2）教学难点：如何判断二元一次不等式表示对应直线哪一侧的平面区域. 二、教学方法分析：

1、教学理念：建构主义认为，知识是在原有知识的基础上，在人与环境的相互作用过程中，通过同化和顺应，使自身的认知结构得以转换和发展.遵循教师为主导，学生为主体的教学原则，通过创设情境提出问题，用类比和实验的方法猜想出结论，思考验证方案，进而得到一般性的结论，再在知识应用的过程中加深对于方法的理解.让学生经历知识的形成过程，体验探索的乐趣.这不但有利于知识的掌握，也有利于培养他们的创新水平. 注重对学生数学思维方法的渗透，让学生主动参与提出问题、探索问题和解决问题的过程，突出以学生为主体的教学理念.

2、教学方法：创设问题情境，采用探索发现法、小组合作交流的方法，并以多媒体作为辅助教学手段实行教学.

3、教学难点突破方法：引导学生通过观察、实验、比较、分析、小组合作交流、总结等环节发现规律，并结合多媒体课件动态演示突破难点.

4、教学媒体：直尺，计算机，投影仪. 三、学生情况分析：

直线方程、不等式等基础知识方面上学生掌握比较好，但本节课的内容是全新的，对学生来讲是完全陌生的，需要从创设情境入手，通过类比与实验逐渐深入，渐近式展开，另外，高二的学生已经初步具有思考和探索问题的水平，观察分析水平也有很大的提升，通过自主探索与小组合作交流，完全能够适合掌握本节课的目标. 四、学法指导：

引导学生体验知识的探索与发现的过程，促动其学习方式的转变，使学生的学习过程变成在教

师指导下的“再创造过程”，使学生从具体操作中掌握知识，在愉悦的气氛中自主探索发现，潜移默化地形成自己的一种“思考、积极探索”的学习方式. 五、教学流程：

类比探求 交流合作 提出问题

实验归纳解决问题 创设情境

应用新知 归纳总结 小结作业

练习巩固 揭示新知 反馈评价

六、教学设计：

教学 过程 教学内容 教学活动 设计意图 问题1：某班计划用少于50元的钱 购买单价分别为5元和10元的小、大提彩球装点联欢晚会的会场，根据需要，出小球数很多于3个，大球数很多于2个，问有几种不同的购买方案？ 题 创 设 情 境 问题2：一元一次不等式类2x40的解集如何在数轴上表示? 比 猜想 2 x 实 验问题3：二元一次不等式归x2y100的解集能够看成是直纳 角坐标系内的点构成的集合，它们位于 何处？又能表示什么图形？ 学生列出满足要求的数学关系式.学生列式： 设购买大球x个，小球y个： x2y10x3 y2xN**yN教师结合学生列出的关系式引出二元一次不等式组. 学生回答一元一次不等式2x40的解集在数轴上如何表示. 引导学生由一元一次不等式的解集能够表示在数轴上，类比猜想二元一次不等式如何表示. 从实际问题出发，创设情境，引出二元一次不等式和二元一次不等式组，体现数学的应用价值，吸引学生的学习兴趣. 由学生原有的知识作为新知识的生成点，类比猜想二元一次不等式的几何表示. 采用类比推理的方法开始探索本节课的内容，使学生比较容易的产生相关联想.把问题作为教学出发点，有利于激发学生学数学、用数学的兴趣，鼓励学生实行大胆的猜想，培养学生的想象水平和创新水平. 实验1：写出不等式学生在坐标纸上 画出满足不等式x02y0100的几组解，如 (3 , 1) x02y0100的 (2 , 3) (-1 , 2) (3 , -1)，并在 坐标系中描出这些点，判断它们与直线点，判断它们与直线 x2y100的关系. x2y100的关 系，小组交流合作归结论1：直线x2y100把平 纳结论（即“同号同 面分成三个区域，直线在右上、左下区侧”）1.教师引导学生 域，不等式x2y100表示的点都使用联系、转化的方 法将点P(x0,y0)与在左下区域，即“同号同侧” . 直线上的点A联系起思考1：如何证明？ 来，学生讨论得到证设点P(x0,y0)满足不等式类明方法. 即x02y0100,比x2y100， 猜即y10x0，直线上与P横坐标相 02想 A(x0,y)的点满足 同 10x0 x02y100，即y ，故2 y0y.即点P在点A下方，从而也在实 验直线x02y100下方. 归 纳 问题4：直线x2y100左下 针对问题4，学生 区域的点是否都满足x2y100？ 展开积极的分组交流 探索活动，教师适时实验2： 在直线x2y100下 用几何画板演示，引 导学生观察随着动点方任取一点P(x0,y0)，判断是否满足 P的变化， x02y010的数值x02y0100. 变化情况，最后师生结论2：直线x2y100左下 共同归纳结论2，即 区域的点都满足不等式“同侧同号”. x2y100. 即“同侧同号” . 通过学生的亲手实验验证，感受知识的生成过程，体现学生为主体的教学思路.通过这样的探究过程加深了学生对于数学本质的理解，更重要的是让学生经历了知识形成的一个完整过程，这培养了他们解决问题的思维方法. 学生交流合作、积极探索猜想，既调动了积极性，又培养了逻辑思维水平和创新水平. 多媒体动态模拟演示，有助于学生在感性理解的基础上形成理性理解. 问题4设计目的是从逻辑角度深刻理解二元一次不等式与平面区域的关系，体现数学的严密性。 通过验证发现可能成立，作为数学问题自然要考虑其是否能够证明，这体现了数学的严谨性.同时证明过程中渗透联系、化归的数学方法. 交流合作 解决问题 思考2：这里的下方如何理解？ 思考3：如何证明？ 探索：你如何快速地判断出二元一次不等式x2y100表示直线x2y100哪一侧区域？不等式yx10呢？ 2有上面证明结论1的过程，这里由学生自行完成结论2的证明. 通过上面一系列地实验与交流探索，引导学生发现判断出二元一次不等式 若有学生提出从函数角度理解二元一次不等式，可引导引导学生从函数角度理解二元一次不等式表示的平面区域。 从函数的角度出发得出判断二元一次不等式x2y100表示直线x2y100哪一侧区域的方法：把不等式改为y线yx10,从而表示直2x10以下区域。 2 问题5：试用你的方法分别说说不等式x2y100所表示的平面区域是什么？与x2y100有何不同？作图时如何体现？ 问题6：不等式x2y100和x1呢？ 思考2旨在引导学生证明结论2. 通过上面一系列地实验与交流与探索，启发诱导，揭示知识形成过程，让学生参与教学过程，倡导布鲁纳的发现教学：让学生做学习的主人.结合多媒体课件动态x2y100表示演示，突破难点. 直线x2y100 哪一侧区域的方法. 如有学生提出，可充分考虑学生可能通过对不等式想到的方法,注重课堂的上学生的生成性问题及x10所表示y知识，鼓励学生发挥自身2的平面区域的思考，的主观能动性，鼓励学生引导学生从函数角度积极思考，对于学生准确理解二元一次不等式的思考结果给予即时的表示的平面区域。 鼓励和肯定. 由学生交流讨论，问题5的设计目的在解决问题，教师给于于让学生主动思考边界评价. 直线的实与虚不同的表 示含义，从而有效的突破 这个易错点. 由学生交流讨问题6的设计是防止论，解决问题，教师学生产生不等号是小于给于评价. 号了即表示直线下方区域的错误理解，而x1则是考虑直线垂直于x轴（此时无“上下”之说）的情形. 归纳总结 揭示新知 结论3：在平面直角坐标系中,二教师引导学生依据“同侧同号”的结元一次不等式AxByC0(或论和证明过程总结得出一般结论和画平面AxByC0)表示直线区域的方法. AxByC0某一侧所有点组成的 平面区域，我们把直线画成虚线,以表 示区域不包含边界；不等式 AxByC0表示的平面区域包含 边界，把边界画成实线. 因为直线同侧的点的坐标代入 Ax+By+C中，所得实数符号相同，所以 只需在直线的某一侧取一个特殊点代 入Ax+By+C中，从所得结果的正负即可 判断Ax+By+C>0表示哪一侧的区域. 即 “直线定界，特殊点定域”。 学生思考，给出思考：如何取“特殊点” ？ 如何取“特殊点”的 方法，直线不经 过原 点时，一般取原点. 问题7由学生思问题7：不等式y2x表示怎样的考后回答。 区域？如何判断？ 从函数角度小结判断二元一次不等式通过前面对一个具体实例的求解，归纳总结得出一般结论，遵循了从“具体到抽象”的认知规律，蕴含了从“特殊到一般”的推理方法. 即时梳理归纳，符合建构主义的学习原理，能较好地形成新的认知结构.代点法的引入，“直线定界，特殊点定域”，难点的突破也就水到渠成了.学生分组探索解决问题，有利于培养良好的学习习惯，通过合作学习，提升分析和解决问题的水平，变“学会”为“会学”.充分保障学生的主体地位. 问题7的设计是考虑直线经过原点时如何判断不等式表示的区域。 AxByC0(或AxByC0)表示直线AxByC0哪一侧的平面区域，若不等式可改为y的形式，即表示对应直线上方区域；可改为y的形式，即表示对应直线下方区域。 例1.画出下面二元一次不等式表示的平面区域： (1)2xy40； (2) 3x2y60. 例1(1)采用学生回答老师板演的方法,给学生树立规范答题的榜样,(2)小题由学生板书画出不等式的平面区域，并讲解画出的过程和判断通过例题进一步理解和巩固所学的判断方法，掌握画二元一次不等式（组）表示的平面区域的方法. 应用新知 练习巩固 例2.画出以下不等式组表示的平xy10面区域：xy0. x2 例3.画出引例中的二元一次不等x2y10x3式组y2表示的图象,并指出xN**yN所有的购买方案. 例4.求二元一次不等式组xy50所表示的平面区域的面y20x2积. 学生练习：P98，1，4 xy502、若二元一次不等式组ya0x2所表示的平面区域是一个三角形，求a的取值范围. 区域的方法. 教师强调边界线虚实线的划法. 例2教师点拨学生在作出每个区域后找出它们的交集. 学生作图，教师点评. 例4由教师引导，学生完成.学生自行练习，教师巡视，收集练习中出现的典型错误并即时订正. 留出一定时间让学生自主练习， 教师巡视,第2题有一定的灵活性，注意在必要时予以引导和点拔. 由二元一次不等式到不等式组的设计，由浅入深，由易到难，便于学生的接受. 例3与引例相呼应，彻底的解决该问题，通过应用题，让学生体会到数学的应用价值. 精心设计了阶梯型的问题，层层设疑，学生积极参与到教学活动中，思维层层深入. 根据学生情况分层设计，注重学生的差异.巩固所学知识与方法，增强学生学习的自信心，使学生对学习数学产生兴趣. 1、二元一次不等式（组）表示平小面区域的判断方法； 结2、画二元一次不等式表示的平面作区域的方法: “直线定界，特殊点定业 域”； 3、数形结合的数学思想方法. 反 馈作业： P108页第3、4、5题. 评 阅读P109页的阅读材料. 价 师生共同回顾与总结所学的知识与方法. 教师批阅，有成绩及时肯定，发现问题及时纠正. 通过知识与方法的总结，使得所学的知识系统化、条理化. 根据学生情况分层设计，注重学生的差异.巩固所学知识与方法，增强学生学习的自信心，使学生对学习数学产生兴趣. 通过对阅读材料的阅读，使学生对数学知识产生兴趣，增强学生的学习兴趣，对学生进行的数学文化的渗透. 七、板书设计： 结合多媒体演示，本节课板书如下设计：

课题 结论1： 结论2： 结论3： 画法：

例1 例2： 例3： 例4：